• der Anfangswert r = 1 simpel,
• das Ergebnis U = 2 π r = 2 π • 1 ≈ 6,2831 kompliziert;

2. soll der Umfang eines Kreises mit dem Radius r = ≈ 0,3183 berechnet werden; da ist

• der Anfangswert r = ≈ 0,3183  kompliziert,
• das Ergebnis U = 2 π r = 2 π • = 2 sehr simpel;

Aus prinzipiellen Gründen gibt es aber keinen Kreis, der

• sowohl einen simplen Radius (= Anfangswert)
• als auch einen simplen Umfang (= Ergebnis) hat.

Hier geht es nicht darum, dass die Eins (natürlich!) die einfachste überhaupt denkbare Zahl ist, sondern darum, wie praktisch sie oftmals in anderen Zusammenhängen ist und wie sie in der Mathematik systematisch zum Erkenntnisgewinn eingesetzt wird

(vgl. auch die andere besonders praktische Zahl Null: ).

Dafür einige Beispiele aus unterschiedlichsten Bereichen der Schulmathematik

(und überhaupt erst die Unterschiedlichkeit der Bereiche zeigt das Grundprinzip):

• in der Schule wird massenhaft mit Wurzeln

(z.B. , oder auch   )

gerechnet, aber üblicherweise wird nur eine einzige dieser

(oder genauer: der irrationalen)

Wurzeln genauer betrachtet, nämlich .

Schauen wir uns mal genau an, was da passiert: meist ausschließlich anhand der wird gezeigt

(vgl. ),

dass diese Zahl irrational, d.h.

• einerseits nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreibbar,
• andererseits in Dezimalschreibweise hinter dem Komma weder endlich noch periodisch, d.h. nie komplett aufschreibbar ist.

Und daraus zieht man prompt die ebenso radikale wie resignierte Konsequenz, die Dezimalschreibweise von überhaupt nicht mehr zu benutzen

(schon gar nicht in den Taschenrechner einzugeben)

und somit auch nicht mehr mit zu rechnen - mit der kleinen, aber gewichtigen Ausnahme ()² = 2.

Der Beweis, dass irrational ist, dient dabei dazu, an dem einzigen Beispiel

1. zu zeigen, dass es überhaupt (mindestens eine) irrationale Zahl(en) gibt; und dann wird oftmals nur noch behauptet, dass es auch noch massenhaft andere irrationale Zahlen (z.B. ) gibt;
2. das grundsätzliche Beweisverfahren für die Irrationalität zu verdeutlichen, das man genauso gut auch für andere Wurzeln (z.B. ) benutzen könnte.

Da dieses Beweisverfahren aber arg umständlich ist und schon allein bei viel Arbeit bereitet hat, spart man es sich, dieses Verfahren auch noch für andere Wurzeln durchzuführen. Es reicht, anhand von das (immer gleiche) Beweisprinzip kennengelernt zu haben, und eine erneute Anwendung auf andere Wurzeln wäre nur noch langweilig, letztlich aber auch aussichtslos, da es unendlich viele irrationale Wurzeln gibt.

Wie schon gesagt, ist jegliches direkte Rechnen mit irrationalen Wurzeln aussichtslos, und deshalb führt man das Rechnen mit Wurzeln mittels der Wurzelgesetze auf das simple Rechnen mit rationalen Zahlen zurück:

Wie aber kommt man auf die Irrationalität von ?: merkwürdiger- und doch gleichzeitig auch bezeichnenderweise, indem man mit dem 1fachsten überhaupt nur denkbaren geometrischen Gegenstand, nämlich

• einem Quadrat
• mit der Seitenlänge 1 (!!!),

anfängt und dann feststellt, dass bereits die 1fachste Linie in diesem Quadrat, nämlich die Diagonale d, die irrationale Länge hat:

• Angenommen, die Gerade zu f: y = soll gezeichnet werden.

Da kann man sich streiten, welches Verfahren

• mathematisch sinnvoller
• und/oder in den Köpfen der SchülerInnen haltbarer ist:

man geht vom Punkt P (0 | 4 )

• 3 nach rechts und 2 nach oben:

• 1 (!!!) nach rechts und nach oben::

 .

• Die 1 dient in der Mathematik oftmals der Normierung:
  • die trigonometrischen Funktionen werden der 1fachheit halber nicht an (unendlich vielen!) Kreisen mit unterschiedlichen Radien, sondern alle am 1heitskreis (also mit dem Radius r = 1) hergeleitet;
  • alle Wahrscheinlichkeiten bewegen sich zwischen 0 (augeschlossen) und 1 (sicher);
  • der Korrelationskoeffizient ist erst dann zum Vergleich völlig unterschiedlicher zweidimensionaler Verteilungen geeignet, wenn er sich immer zwischen -1 (direkter fallender Zusammenhang) und +1 (direkter steigender Zusammenhang) bewegt.
    
• Gerade weil's (später) noch früh genug schwierig wird, ist es sinnvoll, an Probleme möglichst 1fach dran zu gehen, d.h. sie soweit abzunagen, bis nur noch das Grundproblem übrig bleibt und nicht mehr durch zusätzliche nebensächliche Schwierigkeiten von ihm abgelenkt wird.

Ein Beispiel: in einer 9. Klasse

(oder genauer: bei )

stellte sich ein Schüler die Aufgabe, den Böschungswinkel der Cheopspyramide zu berechnen:

Nun wusste ich ja, dass den Neuntklässlern das nötige Werkzeug für solch eine Winkelberechnung, nämlich die Trigonometrie, noch nicht zur Verfügung stand, und da kann man sich streiten, was besser ist:

1.  den Schüler vor einer Sackgasse zu warnen,
2. "die Pferde rennen", d.h. den Schüler unkommentiert an seinem Problem weiterarbeiten zu lassen oder ihn sogar bei seinem Vorhaben zu ermutigen.

Ich habe leider den ersten Weg gewählt, also versucht, dem Schüler die Aussichtslosigkeit seines Handelns klarzumachen, aber glücklicherweise hat er sich dennoch nicht von seinem Weg abbringen lassen - und folgendermaßen mit dem Dreisatz argumentiert: 

| : | =   : ß

Wenn man nun noch hinzunimmt, dass ß in dem gleichschenkligen, aus den beiden |-Seiten gebildeten Dreieck offensichtlich 45⁰ ist, so ergibt sich

.

Und wenn man das nach   auflöst, ergibt sich ≈ 57⁰.

Nun bin ich ja keineswegs immer sofort in der Lage zu überblicken, ob intelligente oder auch verschrobene alternative Lösungsansätze von SchülerInneN richtig oder falsch sind

(und sie können ja auch teilweise richtig sein, also gleichzeitig gute und falsche Ideen enthalten).

Genau dieses Unvermögen, auf Anhieb zu erkennen, ob eine Schüler-Lösung richtig oder falsch ist, sollte man als Lehrer aber offen zugeben, wenn nicht sogar regelrecht ausstellen, also auch die Möglichkeit "einräumen", dass einE SchülerIn eventuell schlauer als man selbst ist.

(... was doch prima fürs [auch kollektive] Selbstbewusstsein der SchülerInnen wäre).

 Der gute Lehrer ist dann wohl jener, der ein Problem auf den Prüfstand stellen kann.

"Prüfstand" darf dabei aber nicht bedeuten, dass der Schülervorschlag unter Generalverdacht gerät

("der Vorschlag ist - weil von einem Schüler - sowieso falsch"),

sondern es müsste eine offene Forschungssituation entstehen, so dass erst ganz am Ende klar würde, ob der Schülervorschlag falsch (oder ungenau) oder aber korrekt war.

Und am besten errichtet nicht der Lehrer allein den Prüfstand

(bei einem falschen Schülervorschlag oftmals ja doch sehr wohl wissend, worin der Denkfehler des Schülers bestand; also den Prüfstand gleich so organisierend, dass er allzu strigent auf eine Widerlegung des Schülervorschlags hinausläuft),

sondern wird mit den SchülerInneN gemeinsam überlegt, wie man den Schülervorschlag überprüfen könnte.

Viel gefährlicher, als dass der Lehrer "auch" nicht weiß, ob ein Schülervorschlag richtig oder falsch ist, ist es vielleicht sogar, dass er das sofort erkennt:

• er würgt einen zwar falschen, aber eventuell doch "gar nicht so dummen" Schülervorschlag sofort ab - und nimmt damit dem Einzelschüler wie auch der ganzen Klasse die Chance, aus Fehlern zu lernen,
• er akzeptiert etwas umgehend als in der Tat richtig, ohne dass die ganze Klasse eine Chance hatte, das zu verstehen. 

Im vorliegenden Pyramiden-Basiswinkel-Fall wusste ich allerdings auf Anhieb, dass das Ergebnis falsch war, und zwar

• nicht, weil der Schüler "das" noch gar nicht können konnte

(§ 1: Der Lehrer hat immer Recht.
 § 2: Sollte der Lehrer einmal nicht Recht haben,
        tritt automatisch § 1 in Kraft.)

(also Gegen- zu Ankathete)