der -Satz
 der (umgekehrte) -Satz  ,
  und der      -Satz  
                 

Der unten genannte "Zweisatz" ist weitgehend (zumindest unter diesem Namen) unbekannt und der "Ein(s)satz" sowieso meine Erfindung.

Der "Dreisatz" hingegen ist eine der heiligen Kühe der (mathematischen) Schulbildung

(wie sonst nur die Prozentrechnung; dagegen verblasst sogar der Laien meist nur noch dem Namen nach bekannte "Satz des Pythagoras"):

wenn junge Leute beim Vorstellungsgespräch "nichtmal" den Dreisatz beherrschen, deutet sich damit ja gleich der Untergang des Abendlandes an

(vgl. ).

Dabei wird allerdings nie gefragt, warum Jugendliche den Dreisatz nicht beherrschen und ob er eigentlich wirklich so wichtig ist.

Wir werden aber unten noch sehen

(und das ist dann auch schon die Zentralthese dieses Textes!),

dass der "Zweisatz" zumindest innermathematisch viel wichtiger ist.


  "Als Folge der neoliberalen Moral und um gesellschaftlichen Leistungsanforderungen gerecht zu werden, setzen sich die Menschen einer Art alltäglichem Dreischritt aus: Erstens thematisieren sie sich permanent – sie prüfen sich also ständig selbst im Hinblick auf eigene Defizite, Schwächen, Verbesserungsmöglichkeiten. Zweitens optimieren sie sich permanent – sie bemühen sich also, sich zu verbessern und Defizite sowie Schwächen zu überwinden. Drittens wird es ihnen zur permanenten Aufgabe, sich darzustellen – und damit andere auf sich und die eigenen neuen und alten »Stärken« aufmerksam zu machen."
(Quelle: )

Erstmal zum berühmt-berüchtigten Dreisatz:

"Der Dreisatz [...] ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann."
(Quelle: ; farbige Hervorhebungen von mir, H.St.)

Daran interessiert mich zuerst der Satz "Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben."

  1. zeigt sich hier mal wieder, dass Wikipedia

(wie auch fast jedes herkömmliche Lexikon)

nur ein

(u.a. für Schüler)

scheinbar einfacher Zugang zu Themen ist: denn was eigentlich sind "Proportionalaufgaben" oder später im Text "Proportionalitäten"?: da wird doch nur das eine Unwissen durch ein anderes ersetzt: Wikipedia setzt immer schon ein solides Grundwissen voraus.

  1. : "Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz [...]" oder erstmal kurz "Der Dreisatz ist kein [...] Satz [...]"!?

Da stellt sich doch die Frage, was ein "Satz" eigentlich ist

(und weshalb der Dreisatz kein Satz ist):

Offensichtlich wird der Begriff "Satz" in mindestens zehn völlig unterschiedlichen Bedeutungen benutzt. Davon interessieren mich hier nur

    1. die Grundbedeutung ,
    1. die Bedeutung ,
    1. aus einem erst unten deutlich werdenden Grund die Bedeutung .

Zu a., also .

Der Dreisatz ist nun aber kein Satz in diesem üblichen Sinn einer sprachlichen Einheit, sondern wenn überhaupt, so bräuchte man viele Sätze, um ihn zu erklären (s.u.).

Zu b.: kommt mit "von allgemeiner [!] Bedeutung" dem mathematischen "Satz" am nächsten.

Ein Beispiel ist da der "Satz des Pythagoras"

(der im Gegensatz zum "Dreisatz" ein echter mathematischer Satz ist):

er besagt

(vereinfacht gesagt),

dass in ausnahmslos allen

(also unendlich vielen!)

rechtwinkligen Dreiecken (in der Ebene) für die Dreiecksseiten a, b und c die Gleichung a2 + b2 + c2 gilt.

Hier sei mal nicht diskutiert, was an diesem mathematischen Satz so "bedeutsam" im Sinne von "wichtig" ist, dass er jeder Schülergeneration aufs Neue eingebläut wird.

Sondern in ist zumindest im Hinblick auf die Mathematik

Hier nun aber eine "offiziellere" Definition des mathematischen Satzes:

"Ein Satz [...] ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen, Definitionen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann."
(Quelle: )

(Da muss man für Laien wohl noch ergänzen:

"Ein Axiom [...] ist ein Grundsatz [...] einer Wissenschaft [...], der innerhalb dieses Systems nicht [!] begründet oder deduktiv abgeleitet wird."
[Quelle: ]

Ein Axiom ist also auch in der Mathematik eine intuitiv klare Voraussetzung,

  • die aber selbst nicht bewiesen werden kann,
  • Ein berühmtes solches Axiom ist das Parallelenaxiom, das besagt, dass sich Parallelen niemals schneiden

    [was für Laien selbstverständlicher ist als für Mathematiker].)

    Abgesehen von den vorausgesetzten Axiomen ist die Mathematik aber die einzige Wissenschaft, die

    Man könnte auch sagen:

    Halten wir aber nochmals fest: "Der Dreisatz ist kein [!] mathematischer Satz, sondern [nur] ein Lösungsverfahren [...]."

    (... wobei ein "Lösungsverfahren" ein Rechenschema ist, das man nur [wie ein Computer] stumpf abspulen muss [s.u.], bzw. neudeutsch ein "Algorithmus").

    Warum aber wird der Dreisatz dann trotzdem als "Dreisatz" bezeichnet?

    Ich werde weiter unten vorschlagen, weshalb man ihn dennoch als "Satz" bezeichnen kann - aber wohl eher als "Zweisatz".

    Mit

    "Der Dreisatz [...] ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen."

    wird

    weil eben von drei bekannten Werten ausgegangen wird

    (und dann auf einen bislang unbekannten vierten Wert geschlossen wird).

    Ein Beispiel: "zwei Mercedes kosten 104 000 €. Wie viel kosten fünf Mercedes?"

    Bekannt sind da die drei Werte

    und gesucht ist ein vierter Wert, nämlich der Preis für fünf Mercedes.

    Die Werte lassen sich z.B. folgendermaßen in eine Tabelle übertragen:

    Das Rechenschema besteht nun darin,

    (wir gehen also - wie so oft in der Mathematik - einen Umweg, der allerdings alles viel einfacher macht als die kürzeste Verbindung:

    ).

    Dazu fügen wir erstmal in die Tabelle in der Mitte eine Zeile für den einen Mercedes ein

    und fragen uns erstmal, was ein Mercedes kostet.

    (Nebenbei: die 1 kommt immer in die Spalte, in der bereits zwei bekannte Werte stehen, im vorliegenden Fall also die grüne Spalte, in der schon die 2 und die 5 stehen.)

    Unsere Tabelle sieht jetzt doch wieder verkürzt also erstmal so aus:

    Nun teilt man links ebenso wie rechts durch 2

    (allgemein gesagt: man muss links und rechts immer exakt dasselbe tun):

    Damit ist schonmal klar: ein Mercedes kostet 52 000 €.

    Nun aber wieder die vollständige Tabelle:

    Um links von 1 auf 5 zu kommen, muss man mit 5 multiplizieren - und dasselbe also auch rechts:

    Damit ist der bislang unbekannte Preis von 5 Mercedes also berechnet, und er beträgt 260 000 €.

    Nochmals: wir haben also insgesamt

    Das aber geschah in zwei "Schritten", nämlich

      1. ,
      1. ,

    bzw. in zwei "Sätzen" mit der Bedeutung

     

    In diesem Sinn ist also das, was man üblicherweise als "Dreisatz" bezeichnet, eher ein "Zweisatz"


    Zwischendurch aber noch kurz zu den in der anfänglichen Wikipedia-Definition des Dreisatzes vorgenommenen anderen Markierungen:

    ("kurz", weil das nicht meine eigentlichen Themen hier sind.)

    Man kann mit dem Dreisatz Probleme [...] ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen.

    Und genau das ist vielleicht ein erster Grund, weshalb Schüler nach ihrer Schulzeit "nichtmal" den Dreisatz beherrschen: sie haben dann das Rechenschema längst vergessen - und nichts verstanden:

    "Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann."

    Man muss also die

    (hier nicht genauer erklärten)

    "Proportionalitäten" gründlich verstanden haben, um sich auch ohne das längst vergessene Rechenschema selbst helfen zu können. Und man muss wissen, wann keine Proportionalitäten vorliegen und somit der vielleicht durchaus noch erinnerte Dreisatz nicht anwendbar ist.


    Damit aber zurück zum vom mir so neu getauften "Zweisatz":

    er darf nicht mit dem "Zweisatz" verwechselt werden, der in der oben zitierten Wikipedia-Definition des "Dreisatzes" kurz erwähnt wird:

    "Eine (einfachere) Variante [des Dreisatzes] ist der Zweisatz."

    Glücklicherweise informiert Wikipedia aber zu allem - und also auch zum "Zweisatz"

    "Der Zweisatz [...] liefert ein Berechnungsverfahren für proportionale Wertepaare ausgehend vom Proportionalitätsfaktor (Grundwert). Der Begriff kommt daher, dass man dieses Proportionalitätsproblem typischerweise in zwei Sätzen [?] formuliert und löst.

    I. Das gegebene Grund-Verhältnis (entsprechender Wert für die Basiseinheit).
    II. Der entsprechende Wert für eine Vielfachheit der Grundmenge.

    Vor der Anwendung des Zweisatzes ist stets zu prüfen, ob die Voraussetzung einer proportionalen Zuordnung [...] gegeben ist.

    Zur Berechnung wird der Grundwert mit der Vielfachheit multipliziert."
    (Quelle: )

    Und nett, wie Wikipedia allezeit ist, liefert es auch gleich mehrere Beispiele, darunter

    Hier wird von der Grundeinheit 1 (Äpfel in kg) ausgegangen - und diese Grundeinheit 1 wird im Folgenden

    (wie auch oben beim Dreisatz)

     nicht mitgezählt. Des weiteren sind vorgegeben

    1. der Preis von einem kg Äpfel, der 2 € beträgt.
    2. die neue Kilozahl 3.

    Damit stellt sich die Frage: wie viel kosten 3 kg Äpfel?

    Also

    Und auch wohl wegen der zwei vorgegebenen Zahlen heißt der "Zweisatz"

    (in Analogie zum "Dreisatz", bei dem drei Zahlen vorgegeben waren, aus denen die vierte berechnet wurde)

    eben "Zweisatz".

    Das Wikipedia-Beispiel sieht in unserer von oben bekannten Einfärbung so aus:

    Wie oben beim Dreisatz müssen wir nun links und rechts mit derselben Zahl (hier 3) multiplizieren

    und erhalten dann das gesuchte Ergebnis, also 6 (Preis in € für 3 kg Äpfel).

    Im Gegensatz zum Dreisatz

    (in meiner Zählung Zweisatz)

    müssen wir dabei nur

    machen, weshalb


    Eigentlich ist die oben durchgerechnete Beispielaufgabe

    "Zwei Mercedes kosten 104 000 €. Wie viel kosten fünf Mercedes?"

    ja eine typisch schwachsinnige, an den Haaren herbeigezogene (Pseudo-)Anwendungs-Aufgabe:

    (Und nebenbei: welcher halbwegs intelligente Mensch [außer beruflichen Vielfahrern] gibt denn 52 000 € für ein Auto aus?

    Einzige Ausnahme: Fußballgötter   , also kleine Jungs.)

    Nein,

    wird üblicherweise der Grundwert für ein Auto angegeben, also 52 000 €.

    Und falls dann jemand

    (z.B. für seine Firma)

    tatsächlich mal fünf Autos braucht, muss er nur in einem einzigen Schritt rechnen.

    Völlig unrealistisch ist also der Drei- bzw. Zweisatz

    (s.o.).

    Realistisch ist es hingegen, wenn da die Zeile wegfällt und der Zwei- bzw. Einsatz

    übrig bleibt.

    Das aber ist der zweite Grund, weshalb Schüler nach ihrer Schulzeit keinen Dreisatz mehr beherrschen: man braucht ihn nie im alltäglichen Leben!


    Und man braucht Dreisatz auch nicht in der Schulmathematik

    (über deren [Un-]Sinn und Weltabgewandtheit ich hier nicht diskutieren werde).

    Oder genauer: der Dreisatz

    (Wenn also die Schüler den Dreisatz Jahre später nach ihrer Schulzeit nicht mehr beherrschen, so mache man das nicht ihnen, sondern - wenn überhaupt - der Schule zum Vorwurf!)


    Ja, man braucht in der Schulmathematik nichtmal den Zwei- bzw. Einsatz, also beispielsweise

    Allerdings braucht man ihn in der umgekehrten Reihenfolge:

    In Worten:

    (Was nebenbei in diesem Sachzusammenhang wieder eine völlig unrealistische Aufgabe ist: welchem Käufer wird jemals der Preis von fünf Autos genannt, wenn er nur eines kaufen will?!)

    In

    muss man nun links und rechts

    und erhält damit

    Wenn fünf Mercedes 260 000 € kosten, kostet also ein Mercedes 52 000 €.


    Der Dreisatz ist in der Schule nur der Einstieg in die in den folgenden Schuljahren absolut zentrale Gleichungs- und Funktionenlehre.

    Und dazu fängt man eben mit den einfachsten Funktionen an, nämlich

    Da haben wir also wieder die „Proportionalität“, die sowohl im Dreisatz- als auch im Zweisatz-Artikel von Wikipedia auftauchte:

    sowohl der Dreisatz als auch der Zweisatz

    (in der üblichen, auch von Wikipedia benutzten Bedeutung, also nicht in meiner Zählung)

    ist nur auf proportionale Zuordnungen anwendbar.

    Die Aufgabe

    lautet aber in Gleichungsschreibweise

     5x = 260 000 €  .

    wobei x der anfangs noch unbekannte Preis für einen Mercedes ist.

    Um aber diesen Preis für einen Mercedes herauszufinden, müssen wir auch diese Gleichung auf beiden Seiten durch 5 dividieren (!):

    Und so interessiert in der Gleichungs- und Funktionenlehre  immer nur, was ein x ist. Vgl. dazu

      .

    Funktionen im Allgemeinen sind aber erheblich leistungsfähiger als der Einstiegs-Spezialfall des Dreisatzes bzw. der proportionalen Funktionen

    (vgl. nur etwa die zwar linearen, aber nichtproportionalen oder die quadratischen Funktionen).


    Wenn aber der Dreisatz überhaupt nur

    (in der 6. Klasse)

    der Einstieg in die ab da viel wichtigere Gleichungs- und Funktionenlehre ist, liegt damit auch der dritte Grund dafür vor, das Schüler Jahre später natürlich nicht mehr den Dreisatz beherrschen.

    Nun könnte man natürlich sagen, dass Otto Normalverbraucher