Heiner Stauff - anschauliche Mathematik

wie ich + rechne

Noch mehr als die fertigen Lösungen und Beweise interessiert mich, wie Mathematiker auf diese Lösungen und Beweise gekommen sind

(in welchen Erkenntnisschritten, nach welchen Rechenfehlern & Irrwegen, durch welche Anregungen, mittels welcher Gedankenexperimente & inneren Bilder & Analogien, mit welchen Frustrationen & Glücksgefühlen, nach welchen Ablenkungen ...).

Leider wird aber dieser "Weg zum Ziel" in der gängigen Mathematik immer systematisch getilgt, ja geleugnet - und bleibt etwa in Büchern nur die nackte, möglichst kurze Lösung bzw. nur der abgenagte Beweis über.
Dafür gibt es natürlich gute Gründe:

handelt die Mathematik wie keine andere Wissenschaft

(außer vielleicht - allerdings auf ganz andere Art - der Theologie und der Philosophie)

von ewigen Wahrheiten

(weshalb sie der Inbegriff von Wissenschaft, ja, vielleicht sogar die einzige echte Wissenschaft ist - und deshalb zum fatalen Maßstab aller anderen Wissenschaften hochgepuscht wird)!

Und da scheint das Individuum, das ihnen auf die Schliche gekommen ist

(also "nur" Entdecker, nicht [wie etwa ein Schriftsteller] Erfinder war)

nebensächlich, ja (welch ein Masochismus!:) nichtig

(nur die Giganten [wie etwa Pythagoras] werden durch die Benennung eines Beweises nach ihnen geehrt; und oftmals nichtmal das: z.B. ist und bleibt "Fermats letzter Satz" nach seinem "Vermuter" [eben Fermat, der ja auch ein Gigant war] benannt, nicht aber nach seinem "Beweiser" Andrew Wiles).

ist in einem Mathematikbuch z.B. zum Thema "Einführung in die Funktionentheorie" vor lauter mathematischen Sätzen auch gar kein Platz für Abschweifungen über die Entdeckungswege.

weiß man oftmals einfach nicht mehr, wie Mathematiker auf ihre Erkenntnisse gekommen sind, ja, sogar den Entdeckern selbst bleibt das oftmals schleierhaft

("irgendwann hat es »einfach« [also überraschend-unerklärbar] Klick gemacht und war es plötzlich da", was viele Mathematiker als einen ebenso unerwarteten wie unverdienten Musenkuss oder einfach Zu-Fall empfunden haben; und einigen mag es sogar vorgekommen sein, als wenn die Mathematik ein Eigenleben führt und sie, die unwürdigen Diener der Mathematik, nur [wie Mohammed] als Sprachrohr benutzt hat). Ich finde dieses systematische völlige Eliminierung der Entdeckungswege dennoch bitter schade, und zwar insbesondere aus pädagogischen Gründen:

wie soll denn ein Anfänger Mut und Durchhaltevermögen entwickeln, wenn ihn die fertige, "unmenschliche" Mathematik wie ein Betonklotz erschlägt und er bei soviel Raffinesse das Gefühl haben muss, unrettbar dumm zu sein?!

wie soll er erfahren, dass viele gestandene Mathematiker genauso dumm waren wie er selbst, aber mit dieser sich selbst offen eingestandenen Dummheit kreativ umgehen konnten?!

wie soll er erfahren, was Mathematiker antreibt und weshalb sie am Spiel (!) der Mathematik erstaunlicherweise Spaß haben und die Mathematik sogar als schön empfinden?!

Für einige wenige (Anfänger) mag sich die Raffinesse und Eleganz mathematischer Beweise von selbst (also in ihrer abgenagten Form) erschließen, aber die Mehrheit braucht da doch menschlichere Wege!
Überhaupt halte ich es für fatal, wenn in Schulen

nach wie vor meistens

(vor allem durch die stringent lineare Stoffabfolge)

nur Fakten & Rezepte (auswendig-)gelernt werden,

nicht aber die mathematische Denk- und Vorgehensweisen

(also das, "was die [mathematische] Welt im Innersten zusammenhält"). Sowas züchtet im besten Fall das unverstandene Abspulen von Rezepten, die natürlich direkt nach dem "point of no return", also den Klassenarbeiten, umgehend wieder vergessen werden.

Überhaupt scheint mir ohne die übergreifenden Denk- und Verfahrensweisen der Kleber zwischen den unendlich vielen Fakten & Rezepten zu fehlen: ohne diesen Kleber zerbröselt den Schülern die Mathematik, weshalb sie unendlich viele Einzelfakten lernen müssen - und sie alsbald wieder vergessen.

Mich interessieren auch die meist aus guten Gründen begangen Fehler: oftmals steckt hinter ihnen nämlich eine im Sinne der Mathematik falsche, im Vorstellungsgebäude der Schüler aber durchaus logische Vorgehensweise

(und nur, wenn man die als Lehrer von sich selbst kennt bzw. überhaupt erkennt, kann man sie mit den [Einzel-]Schülern gemeinsam angehen, d.h. bei A abholen und zu B hingeleiten).

Vermutlich kann ich auf meine, mir nunmal eigene "mathematische Art"

(also mal ganz abgesehen von meiner "persönlichen Art") nicht alle Schüler gleichermaßen erreichen

(sondern da muss ich mir andere Zugangsweisen anlesen und sie den "andersdenkenden" Schülern anbieten). Aber ich glaube dennoch, dass ich ein besonderes Gespür dafür habe, wie Schüler denken - und dass ca. 90 % der Schüler meine visuell-haptische Denkweise

(also anschauliche Mathematik mit Modellen)

helfen könnte.

Da es aus o.g. Gründen fast unmöglich ist, an die Erkenntniswege anderer Mathematiker zu kommen, bleibe nur ich selbst als "Forschungsobjekt"

(und überhaupt würde es mich freuen, wenn die Schüler mich

weniger als "Wisser" und
mehr als

[wie sie bzw. mit ihnen zusammen]

immer noch neugierigen "Entdecker" wahrnehmen würden).

Es ist wie im Deutschunterricht: da Schriftsteller nie "dran" schreiben, was sie uns mit ihren Texten "sagen" wollten

(vermutlich doch wohl genau das, was in den Texten steht!),

was also ihre "Absicht" war und was sie sich "dabei", also beim Schreibprozess, gedacht haben, ist es ab und zu sehr wohltuend, einen Schriftsteller im Klassenraum zu haben, also Texte der Schüler oder des Lehrers

(bei mir immer unter dem Pseudonym Wilhelm [= mein Vater] Hauff)

durchzunehmen.

Ein eigenes Bespiel kann da gar nicht einfach genug sein, damit nicht allzu viele ablenkende Denkstationen gleichzeitig betrachtet werden müssen, und deshalb stelle ich hier den Anlass für diesen Aufsatz vor:

als Ober(!)stufenschüler "mal wieder nicht mal" + im Kopf rechnen konnten, ich aber längst mit der Rechnung fertig war, fiel mir urplötzlich auf

(und ich hoffe, dass man das [wie das Behalten von Träumen] trainieren kann),

wie ich da (rasend schnell) gerechnet hatte - nämlich überhaupt nicht!

Zumindest habe ich nicht klassisch + = gerechnet

(wofür auch gar keine Zeit gewesen wäre),

und ich habe auch nicht

rausbekommen, sondern (wenn überhaupt) 1

Es ist wohl eine Lehrer-Berufskrankheit:

wenn man ein Hammer ist, besteht die ganze Welt aus Nägeln,
wenn man ein Lehrer (oder Schüler!) ist, besteht die ganze Welt aus -Stunden

(der üblichen Stundenlänge an Schulen):

Dabei ist

für mich gar keine (abstrakte) Zahl mehr, sondern eine geometrische Figur, nämlich

oder

wie man nach China kommt:
,

und

ist nur noch der abstrakte Name für diese Figur. Man hätte die Figur genauso gut auch "Schnörz" nennen können, da in ihr ja weder eine 3 noch eine 4 vorkommt, ich mir also nicht vorstelle:

Da die Unterrichtsstunden

zwar alle gleich, nämlich Stunde lang sind,
aber zu völlig unterschiedlichen Zeiten beginnen und ( Stunde später) enden,

ist mir die Lage der -Figur auf dem Ziffernblatt egal, sind also z.B. und und sind für mich dasselbe

(vgl.:

zwei [?] Vektoren, die sich

nicht in Richtung, Orientierung und Länge,
sondern nur in ihrer Lage

unterscheiden, sind identisch, also ein Vektor;

ein Auto,

das ich 5 m weiter schiebe,

ist und bleibt dasselbe Auto).

Das Ziffernblatt

(das Koordinanten- bzw. Bezugssystem)

kann ich also hier schon weglassen:

Auch

denke ich zeitlich

(z.B., weil der -stündige Unterricht erst nach einer -stündigen Mittagspause weitergeht)

oder genauer doch wieder räumlich, diesmal aber

nicht als Figur ,
sondern als (hochtrabend gesagt) Punktspiegelung: egal, wie die -Figur auch liegt, Stunde später ist reflexartig genau "gegenüber" vom Endpunkt der Stunde:

Damit ergibt sich aber eine unschöne und auch ungünstige Überlappung: nochmals eine halbe Stunde später bedeutet ja nicht, dass man wieder in der ursprünglichen

Stunde landet

(so gesehen ist das ein Nachteil der zyklischen Uhr, solange wir nur den Minutenzeiger betrachten;

eine Uhr, die auch das lineare Voranschreiten der Zeit zeigen würde, könnte spiralförmig aussehen, und auf ihr ergäbe sich

Bemerkenswert ist aber, dass ich

nie mit Zahlen gerechnet habe,
sondern nur

die Figur für und
die Figur für kenne,

diese beiden Figuren hintereinander lege,
daraus folgende eine Gesamtfigur erhalte.

Diese Gesamtfigur würde mir als Ergebnis reichen

(ich weiß also schon zu Beginn der 6. Stunde, wann [genauer: wo auf der Uhr] die 7. Stunde [und zwar nach einer halbstündigen Mittagspause] beginnen wird:

oder geradeaus und dann links ),

aber wenn ich unbedingt doch ein Rechenergebnis angeben muss, so muss ich "mühsam" in 1

Stunde umrechnen

(wohlgemerkt: dabei besteht die ganze Stunde für mich nicht aus vier Vierteln

[und somit ergibt sich für mich auch nicht das Gesamtergebnis ],

sondern interessiert mich das Viertel nur bei dem, was über die ganze Stunde hinausgeht).

Was ich hier lang und breit erklärt habe, läuft in mir natürlich in Wirklichkeit in Bruchteilen einer Sekunde ab.

Mein hier gezeigtes "Rezept" funktioniert nur für simpelste Rechnungen (Addition, Subtraktion) mit besonders einfachen Brüchen, also in nur ganz wenigen Fällen.
Aber

um das "Prinzipielle" klar zu machen, sollte man komplizierte Zahlen tunlichst vermeiden, da sie nur eine zusätzliche Schwierigkeit hinein bringen würden,
in komplizierteren Fällen hilft eh keine Anschauung mehr, sondern nur die abstrakte Anwendung von Bruchrechengesetzen.

Irgendwo habe ich mal gelesen, "gemischte Zahlen" wie 1

(womit 1 + gemeint ist)

gäbe es nur in Deutschland

(jeder "Ausländer" würde darunter 1 • = verstehen, wie man ja auch z.B. unter 3x die Multiplikation 3 • x versteht).

Arme "Ausländer"!
Wir Deutschen erlauben uns also den Luxus bzw. die zusätzliche Erschwernis, für ein und dieselbe Zahl je nach Kontext drei völlig unterschiedliche Schreibweisen zu kultivieren:

= 1,25