Heiner Stauff - anschauliche Mathematik

anschauliche Mathematik von ganz oben

"E. S., die derzeit die Oberstufe eines Gymnasiums besucht, hat für mich das Buch zur Probe gelesen. Ich hatte beim Schreiben den Anspruch, dass sie es verstehen müsste. Sie hat dann aber eher gefragt, wo denn die Mathematik im Buche sei - sie habe doch so viele Formeln erwartet! Ach, liebe Leute! Hat denn Mathematik nicht viel mehr mit Vorstellungen und Denken in Bildern zu tun? Das ist das Wertvolle. Sind Formeln denn nicht nur rigide Denkkrücken oder Verständigungsformen für Mathematiker, die sich so ihre inneren Bilder gegenseitig mitteilen? Was ist Mathematik? Die Idee? Oder der Beweis? Die Formel? Oder das Bild?"
(Quelle:

)

"Sie [= die Mathematik] ist eine Wissenschaft, die gehörig viel Vorstellungskraft erfordert."
(Sofja Kowalewskaja, russische Mathematikerin, * 1850 † 1891)

"[...] Penrose' wohl größtes Talent [...]: sein reges geometrisches Vorstellungsvermögen. [Der Mathematiker und Nobelpreisträger] Penrose denkt nicht in Zahlen und Formeln, sondern in Bildern, Räumen und Linien."
(Quelle:

)

"von ganz oben" bedeutet,

dass nicht nur mathematische Laien (u.a. Schüler) oder minder- bis mittelprächtige Mathematiker (u.a. Mathematiklehrer wie ich) der Anschauung bedürfen,

sondern auch mathematische Cracks bis hin zum Nobelpreisträger

(bzw. Fields-Medaillen-Träger; vgl. ),

Anschaulichkeit also essentiell für fast alle Mathematik ist.

Zumindest Laien wird das absurd erscheinen, gilt ihnen Mathematik doch als der Inbegriff der Abstraktion, also Un-Anschaulichkeit:

Nun ist das "fast" in "Anschaulichkeit [...] essentiell für fast alle Mathematik" natürlich eine schamlose Übertreibung:

ein Großteil der Mathematik funktioniert vermutlich weitgehend unanschaulich, und wahrhaft bedeutende Mathematiker

haben wohl ein riesiges Repertoire an Algorithmen zur Hand und sehen viele Querbezüge auch in andere mathematische Gebiete, deren Algorithmen hilfreich sein könnten,

können mit diesen Algorithmen besonders gut jonglieren , was ja auch eine Kunst für sich ist

(gerade weil Mathematiker oftmals ohne jede Anschauung "einfach" nur mit Algorithmen jonglieren, erscheinen ihnen ihre Entdeckungen oftmals gar nicht als eigenes Verdienst, sondern als Eingebung, Göttergabe oder Musenkuss, wenn nicht sogar als Produkt der personifizierten Mathematik:

"Wenn man aufnahmefähig und bescheiden ist, wird Dich die Mathematik bei der Hand nehmen. Wieder und wieder, wenn ich nicht wusste, wie ich weiter machen sollte, musste ich nur warten, bis [dies eintrat]. Sie hat mich einen unerwarteten Pfad entlang geführt, einen Pfad, der neue Einblicke eröffnete, einen Pfad, der in neues Terrain führte, in welchem man eine Operationsbasis einrichten konnte, von der aus man die Umgebung begutachten und zukünftige Fortschritte planen konnte."
[Paul Dirac; s.u.; man achte dabei auf die durchgehende anschauliche Metaphorik: Pfad [nicht Dirac ist der Pfad-Finder, sondern die Mathematik ist der Pfad-Führer], Einblicke, Terrain, Operationsbasis, Umgebung]).

Ich kann natürlich nicht

(mathematisch korrekt)

"fast alle" oder sogar "alle" Mathematiker

(weltweit also Abermillionen)

als Kronzeugen für meine These aufrufen, sondern ein einziger (Dirac) muss reichen

(und Ausnahmen bestätigen die Regel).

Ich glaube sogar

(ohne einen einzigen Beleg dafür zu haben),

dass erst wirklich "ganz oben" mitmischen kann, wer es schafft, sich Komplexestes zu veranschaulichen. Oder genauer: sich vermutlich nicht mehr das Ganze, aber doch einzelne Teile zu veranschaulichen: .

Allerdings besteht ein Nachteil der Veranschaulichung "ganz oben" darin, dass die avantgardistische Mathematik für Nicht-Eingeweihte völlig unverständlich ist, so dass im Folgenden

(wie auch in dem zitierten Buch

)

keine konkreten Veranschaulichungs-Beispiele gezeigt werden können.

Paul Dirac
(* 1902 † 1984)

Vorweg: die im Folgenden angeführten Zitate entstammen alle der Dirac-Biographie

von Graham Farmelo

(vgl. auch ;

hier soll uns aber nicht interessieren, dass Dirac wirklich ein äußerst seltsamer Mensch war).

Dirac war eigentlich kein Mathematiker, sondern Physiker, und deshalb hat er 1933 den Physik-Nobelpreis bekommen

(einen Mathematik-Nobelpreis gibt es nicht).

Und doch war Dirac letztlich fast mehr Mathematiker als Physiker:

vgl. nochmals das schon oben angeführte Zitat

Da ist nur von Mathematik, aber nicht von Physik die Rede.

Bei der Alternative hat sich Dirac immer
- für die "Queen" entschieden, also dafür, dass die Mathematik über allen Naturwissenschaften steht und die Anwendbarkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften nur eine schöne Dreingabe ist,
- und gegen den "Servant", dass also die Mathematik nur eine Hilfswissenschaft für die Naturwissenschaften (also auch die Physik) ist und somit unter diesen steht:

Wie kaum ein anderer Physiker hat Dirac immer die Schönheit der "reinen" Mathematik (vor aller Anwendung) beschworen:

"Er [= Dirac] ließ nun seinen Gefühlen freien Lauf, indem er das Prinzip der mathematischen Schönheit propagierte, welches besagt, dass Forscher auf der Suche nach den wahren mathematisch formulierten grundlegenden Gesetzen der Natur vor allem nach mathematischer Schönheit Ausschau halten sollten."
"[...] erklärte er [= Dirac], mathematische Schönheit sei eine private Angelegenheit für den Mathematiker, es sei »[eine Qualität, die] nicht definiert werden kann, ebenso wenig wie Schönheit in der Kunst definiert werden kann, die aber von Menschen, die sich mit Mathematik befassen, normalerweise ohne Schwierigkeiten unmittelbar anerkannt wird. Der Erfolg von Relativitätstheorie und Quantenmechanik illustriert den Wert des Prinzips der mathematischen Schönheit«, sagte Dirac. In beiden Fällen ist die in der neuen Theorie enthaltene Mathematik schöner als die Mathematik der vorhergehenden Theorie. [...] Daher drängte er die Theoretiker, die Schönheit zu ihrem wichtigsten Ratgeber zu machen, obwohl dieser Weg, neue Theorien zu finden, »bisher noch nicht erfolgreich beschritten worden ist."

Dabei ging Dirac sogar so weit, die mathematische Schönheit höher als Experimente, also die Messung an der Wirklichkeit, zu stellen:

"»Es ist wichtiger, in seinen Gleichungen Schönheit zu haben als Übereinstimmung mit dem Experiment.« Dirac legte seinen Lesern nahe, Gott sei ein höchst genialer Mathematiker . »Er hat das Universum nach tiefgründigen und feinsinnigen mathematischen Gesetzmäßigkeiten aufgebaut [...]«"
"Als Heisenberg vorsichtig bemerkte, dass Schönheit weniger wichtig als die Übereinstimmung mit dem Experiment sei - die allgemeine Ansicht -, brach Dirac eine Lanze für den Ästhetizismus und zwang Heisenberg in die Defensive: HEISENBERG: »Ich stimme ja zu, dass die Schönheit einer Gleichung ein sehr wichtiger Punkt ist, und die Schönheit einer Gleichung einem schon eine große Portion Vertrauen einflößen kann. Auf der anderen Seite muss man allerdings nachprüfen, ob sie passt oder nicht. Es ist nur dann Physik, wenn sie wirklich mit der Natur übereinstimmt. Das mag sich jedoch erst viel später herausstellen.«"
"Er [= Dirac] hatte einen fundamentalistischen Glauben an die Schönheit. Das musste Heisenberg erfahren, als er eine neue Theorie zur Teilchenphysik aufgestellt und Dirac gedrängt hatte, »spezifische Kritik« zu äußern. Daraufhin hatte Dirac nur mit dem Daumen nach unten gezeigt, weil die zugrunde liegende Gleichung »nicht genügende mathematische Schönheit« aufweisen würde."
"Diracs Pantheismus war ein ästhetischer Glaube: Beobachtungen der Natur auf der fundamentalsten Ebene sollten perfekt durch Theorien beschrieben werden, deren mathematische Schönheit ebenfalls perfekt ist. Wenn er eine Religion hatte, dann war es diese."
"In zwei Absätzen mit zusammen 350 Worten und ohne Gleichungen argumentierte er, der beste Weg, um Fortschritte zu erzielen, bestehe darin, nach immer mächtigeren mathematischen Grundlagen für fundamentale Theorien zu suchen, und nicht darin, existierende Theorien zu verbessern zu suchen oder sich vom Experiment inspirieren zu lassen. Er stellte sich die Zukunft der Physik als eine nie endende Kette von Revolutionen vor, die durch mathematische Intuition angetrieben werden und nicht durch opportunistische Reaktionen auf die neuesten Ankündigungen der Experimentatoren. Dies lief auf einen neuen Stil in der wissenschaftlichen Forschung hinaus: die Suche nach Gesetzen von immer größerer Allgemeingültigkeit - wie es Descartes, John Stuart Mill und andere empfohlen hatten - , indem man sich auf die mathematische Inspiration verlässt, um sie zu finden, und sich nicht hauptsächlich nach den Beobachtungen richtet."

In Übereinstimmung mit Heisenberg war Dirac der Meinung, dass die Welt der Quantentheorie nicht verständlich (und - s.u. - anschaulich) sei, wohl aber deren mathematische Beschreibung:

"Es ist gut möglich, dass diese Wandlungen [unserer fundamentalen Begriffe] so tiefgreifend sein werden, dass die Macht der menschlichen Intelligenz nicht ausreicht, um beim Versuch einer direkten Übersetzung der experimentellen Daten in mathematische Begriffe die notwendigen neuen Ideen zu finden. Die theoretisch arbeitenden Wissenschaftler werden daher auf einem mehr indirekten Weg vorgehen müssen. Die mächtigste Methode, um voranzukommen, die derzeit vorgeschlagen werden kann, besteht darin, das ganze Arsenal der reinen Mathematik bei dem Versuch einzusetzen, den mathematischen Formalismus, der die faktische Basis der theoretischen Physik bildet, zu perfektionieren und zu verallgemeinern, und nach jedem neuen abstrakten Erfolg zu versuchen, die neuen mathematischen Eigenschaften in der Form von physikalischen Objekten zu interpretieren. Seine Botschaft war eindeutig: Theoretiker sollten sich viel stärker auf die mathematischen Grundlagen ihres Fachs konzentrieren und - in Abkehr von einer jahrhundertelangen Tradition - viel weniger auf die neuesten Mitteilungen aus den Laboratorien. Kein Wunder, dass Dirac als »Theoretiker der Theoretiker« bekannt wurde."

(Nebenbei

Dirac war keineswegs der einzige Physiker, der der [mathematischen] Schönheit den Vorzug gab:

" [Hermann] Weyl hatte einmal gesagt: »In meiner Arbeit habe ich immer versucht, die Wahrheit mit dem Schönen zu verbinden, aber wenn ich zwischen Wahrheit und Schönheit zu wählen hatte, habe ich im Allgemeinen das Schöne gewählt.«

Es sei hier mal dahingestellt, ob die [mathematische] Schönheit in den Naturwissenschaften wirklich ein so guter Ratgeber ist.

"»Dirac sagte zu seinen Physikstudenten, sie sollten sich nicht so sehr um die Bedeutung physikalischer Gleichungen kümmern wie um ihre Schönheit. Dieser Rat ist aber nur für solche Physiker gut, deren Gefühl für rein mathematische Schönheit so stark ausgeprägt ist, dass sie ihm vertrauen und mit seiner Hilfe voranschreiten können. Es gab bisher nicht viele solcher Physiker - vielleicht nur einen einzigen, Dirac selbst.«"
[

Steven Weinberg]

"Obwohl er es nie öffentlich zugab, hatte der Wegweiser der Schönheit Dirac aber nicht nur auf einige reiche Weidegründe in der Forschung geführt, sondern auch in Wüsten, die keinerlei Früchte erbrachten. In seinen Vorträgen war er ein Botschafter der mathematischen Schönheit und stellte immer wieder die Triumphe der Theorien heraus, die diese Eigenschaft aufwiesen, erwähnte aber nicht die Jahre, in denen er vergeblich versucht hatte, eine auch die Gefühlswelt ansprechende Mathematik zur Beschreibung der Natur zu finden. Es fällt auf, dass er das Prinzip der mathematischen Schönheit erst mehrere Jahre, nachdem er seine besten Arbeiten geschrieben hatte, aufstellte, und es steht zu vermuten, dass einige Darstellungen seiner größten Entdeckungen - die üblicherweise als Erfolge dieser Art von Ästhetizismus gedeutet werden - Rückinterpretationen im Licht seines Glaubens an das Prinzip sind. In seinen wegweisenden Arbeiten über die Quantenmechanik sagt es nirgendwo explizit, dass Schönheit sein Leitstern gewesen sei; er erinnerte sich an ihren Wert erst in der Beschaulichkeit seiner weniger produktiven Jahre. Dirac machte erstmals in den späten 1940er-Jahren deutlich, dass er vom Prinzip der mathematischen Schönheit Gebrauch machte, als er die Renormalisierungstheorie der Photonen und Elektronen verwarf, weil sie zu hässlich sei. Es war ihm jedoch nicht möglich, sein Prinzip konstruktiv zur Bildung neuer Theorien einzusetzen. Man könnte daher argumentieren, dass Diracs Leidenschaft für Schönheit bis zu einem gewissen Grad destruktiv war, aber er kannte keinen anderen Weg."

Gell-Manns Vorlesungen erteilten Dirac eine Lektion: Die Bottom-up-Methode in der theoretischen Physik, also die Inspirationen aus experimentellen Beobachtungen abzuleiten, erwies sich als sehr viel ertragreicher als der Top-down-Ansatz, den Dirac praktizierte und predigte und der seine Anregungen aus schöner Mathematik schöpft. Dirac gab dies im privaten Gespräch zu, doch er hegte nicht die Absicht, seine Herangehensweise zu ändern."

Vgl. auch

Nach diesem langen Exkurs zur Schönheit der Mathematik nun zu unserem eigentlichen Thema, nämlich dem anschaulichen Denken Diracs in der Mathematik:

"Es war charakteristisch für Dirac, dass er sich mit bildlichen Darstellungen viel wohler fühlte als mit algebraischen Symbolen."
"Wie Heisenberg glaubte er, dass mentale Bilder von den kleinsten Teilchen der Materie zu Missverständen führen mussten. Solche Teilchen können nicht bildlich vergegenwärtigt werden, sie können auch nicht durch Größen wie Ort, Geschwindigkeit und Impuls beschrieben werden, die sich wie normale Zahlen verhalten. Die Lösung besteht darin, abstrakte mathematische Größen zu verwenden, die mit den gewohnten klassischen Größen korrespondieren: Es waren diese Beziehungen, die sich Dirac bildlich vorstellte, nicht die Teilchen, die durch sie beschrieben werden."
"Der Vorteil der Renormalisierung liegt darin, dass sie es gestattet, jede Erwähnung von nackten Energien in der Theorie zu vermeiden und sie durch Größen zu ersetzen, die nur von beobachtbaren Energien abhängen. Durch die Anwendung dieser Technik konnten die Theoretiker die Quantenelektrodynamik benutzen, um - bis zu einem beliebigen Genauigkeitsgrad - den Wert jeder beliebigen Größe zu berechnen, die die Experimentatoren zu messen wünschten. Dirac verabscheute diese Technik trotz ihres Erfolgs, zum Teil, weil er keine Möglichkeit sah, sich die Mathematik bildlich vorzustellen [...]"
"Er fühlte sich immer unbehaglich bei algebraischen Methoden in der Physik und bei mathematischen Prozessen, die er sich nicht bildlich vorstellen konnte."
"Es war charakteristisch für Dirac, dass er sich mit bildlichen Darstellungen viel wohler fühlte als mit algebraischen Symbolen."
"Wie Heisenberg glaubte er, dass mentale Bilder von den kleinsten Teilchen der Materie zu Missverständen führen mussten. Solche Teilchen können nicht bildlich vergegenwärtigt werden, sie können auch nicht durch Größen wie Ort, Geschwindigkeit und Impuls beschrieben werden, die sich wie normale Zahlen verhalten. Die Lösung besteht darin, abstrakte mathematische Größen zu verwenden, die mit den gewohnten klassischen Größen korrespondieren: Es waren diese Beziehungen, die sich Dirac bildlich vorstellte, nicht die Teilchen, die durch sie beschrieben werden."
"Der Vorteil der Renormalisierung liegt darin, dass sie es gestattet, jede Erwähnung von nackten Energien in der Theorie zu vermeiden und sie durch Größen zu ersetzen, die nur von beobachtbaren Energien abhängen. Durch die Anwendung dieser Technik konnten die Theoretiker die Quantenelektrodynamik benutzen, um - bis zu einem beliebigen Genauigkeitsgrad - den Wert jeder beliebigen Größe zu berechnen, die die Experimentatoren zu messen wünschten. Dirac verabscheute diese Technik trotz ihres Erfolgs, zum Teil, weil er keine Möglichkeit sah, sich die Mathematik bildlich vorzustellen [...]"
"Er fühlte sich immer unbehaglich bei algebraischen Methoden in der Physik und bei mathematischen Prozessen, die er sich nicht bildlich vorstellen konnte."

Es bleibt klarzustellen:

Es geht hier nicht um die Anwendung der Mathematik auf die (außermathematische) Wirklichkeit (Physik),
sondern um die Veranschaulichung der Mathematik durch die (außermathematische) Wirklichkeit:
die Wirklichkeit ist also nur Mittel zum Zweck der Veranschaulichung der Mathematik.

(Vgl. )

Vielleicht war Dirac so veranschaulichungsbegabt, weil er ursprünglich zum Ingenieur ausgebildet worden war

(erst in der Schule, dann in einer Hochschule für Ingenieure):

"Die Schule lehrte keine Naturwissenschaften, aber gab Unterricht in freiem Zeichnen und auch im technischen Zeichnen, ein Fach, das für Dirac später zur Grundlage für seine einzigartige Denkweise in der Wissenschaft wurde. [...] Technisches Zeichnen , das Ingenieure benützen, um dreidimensionale Objekte auf einem Stück flachen Papiers darzustellen, wird heutzutage nur an wenigen englischen Grundschulen und selten an weiterführenden Schulen unterrichtet. Es war jedoch am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts ein Pflichtfach für die Hälfte der Schüler: Für ein paar Stunden in jeder Woche wurde die Klasse zweigeteilt, die Mädchen wurden in Handarbeit unterwiesen, die Jungen im technischen Zeichnen. In diesen Unterrichtsstunden lernte Dirac, idealisierte Darstellungen verschiedener industrieller Produkte anzufertigen, indem er unter Ausschluss jeder perspektiven Verzerrung die Vorderansicht, Draufsicht und Seitenansicht zeichnete. Großbritannien war eines der letzten unten den reicheren europäischen Länder, die das technische Zeichnen in ihren Schulen einführten, und dies erst im Gefolge der »Great Exhibition« von 1851, die in Deutschland auch als Londoner Industrieausstellung bezeichnet wurde. Obwohl die Ausstellung ein großer populärer Erfolg war, erkannten die scharfsichtigsten unter den 6,2 Millionen Besuchern, dass sich die breite technische Bildung in Großbritannien substantiell verbessern musste, wenn das Land seine ökonomische Führungsrolle gegenüber der wachsenden Konkurrenz aus den USA und Deutschland beibehalten wollte. Die Regierung stimmte zu und gestattete der treibenden Kraft hinter der Weltausstellung, Sir Henry »King« Cole , den Lehrplan der englischen Schulen zu verändern, sodass die Jungen im technischen Zeichnen unterrichtet wurden und ihnen ein Verständnis für die Schönheit von industriellen Objekten sowie natürlichen Formen vermittelt werden konnte. [...] Sir Henry Coles Reform war von Dauer: Die von ihm und seinen Mitarbeitern herausgegebenen Leitlinien wurden in der Bishop-Road-Schule immer noch angewendet, als Dirac seine formale Ausbildung begann. Im Jahr 1909 fasste der Pädagoge F. H. Hayward die vorherrschende, dem zeitgenössischen Kunstunterricht zugrundeliegende Philosophie zusammen: »Zeichnen zielt auf die Wahrhaftigkeit des Entwurfs und des Ausdrucks, Liebe zur Schönheit, Leichtigkeit der Erfindung und Übung der Geschicklichkeit […]. Naturstudien und wissenschaftlicher Unterricht können ohne dies nicht weit vorankommen.« Hayward drängte darauf, dass die Schüler ihre zeichnerischen Fähigkeiten übten, indem sie akkurat sowohl natürliche als auch künstliche Objekte wiedergaben, inklusive Blumen, Insekten, Tische, Gartenlauben und Taschenmesser."
"[...] »die Jungen fertigen eine Anzahl von nützlichen Modellen an, wobei ihnen eine beträchtliche Wahlfreiheit eingeräumt wird; die Arbeit ist darauf ausgerichtet, sie in Selbstbewusstsein, Beobachtungsgabe und sorgfältigem Messen und Rechnen zu trainieren.« Die Bishop-Road-Schule wollte ihren Schülern die Fertigkeiten vermitteln, die sie zum Erlangen eines guten Berufs benötigten. Für Dirac jedoch bestand die wichtigste Konsequenz der praktischen Anleitung darin, dass sie ihm half, sein Denken über die Funktionsweise des Universums zu entwickeln. Während er an seinem Tisch in dem winzigen Bristol-Klassenzimmer saß und eine Abbildung eines einfachen hölzernen Objekts anfertigte, musste er geometrisch über die Beziehungen zwischen Punkten und Linien nachdenken, die in einer flachen Ebene liegen. In seinem Mathematikunterricht hatte er diese Art von Geometrie gelernt, die nach Euklid, dem antiken griechischen Mathematiker benannt ist, der sie entdeckt hat. So studierte Dirac Geometrie, indem er sowohl visuelle Abbildungen als auch abstrakte mathematische Symbole verwendete. Innerhalb eines Jahrzehnts würde er diesen geometrischen Ansatz von der konkreten technischen Anwendung auf die abstrakte theoretische Physik übertragen - von einer idealisierten, visuellen Darstellung eines hölzernen Füllfederhalterständers zu einer idealisierten, mathematischen Beschreibung des Atoms [...]."
"Was die Ausbildung an dieser Schule so besonders machte, war die hohe Qualität des Unterrichts in technischen Fähigkeiten, wie Mauern, Gipsen, Schuhherstellung, Metallbearbeitung und technisches Zeichnen. [...] In den Schullabors lernte Dirac, aus Metallstücken einfache Produkte herzustellen, eine Drehbank zu bedienen, zuzuschneiden und zu sägen und eine Schraube herzustellen. Etwas abseits vom Geklapper der Maschinen, den Ölpfützen und den herumliegenden Metallabfällen, vertiefte er sich in die Kunst des technischen Zeichnens. Dieser Unterricht baute auf den Einführungskursen an der Bishop-Road-Schule auf und zeigte Dirac, wie er kompliziertere Objekte entwerfen konnte, indem er seine Fähigkeit weiterentwickelte, sich diese aus verschiedenen Blickwinkeln vorzustellen. In den Unterrichtsstunden für »Geometrisches Zeichnen« betrachtete Dirac Zylinder und Kegel und übte, sich vorzustellen was geschah, wenn sie in unterschiedlichen Winkeln angeschnitten und dann noch aus verschiedenen Perspektiven betrachtet wurden. Er wurde auch angeleitet, sich Objekte geometrisch vorzustellen, die nicht statisch, sondern in Bewegung waren. So lernte er, wie man den genauen Bewegungsverlauf eines Punktes zeichnen kann, der sich zum Beispiel auf der Außenseite eines perfekten Kreises befindet, der entlang einer geraden Linie abgerollt wird - also beispielsweise wie ein Staubkorn außen auf einem Rad, das eine Straße entlang rollt. Für die Schüler, die zum ersten Mal diesen Formen begegneten - gekurvt, symmetrisch und oft verzwickt - stellten sie eine Quelle des Vergnügens dar. Man kann vielleicht annehmen, dass sich Dirac fragte, wie man diese Kurven mathematisch beschreiben kann. Seine Fachlehrer im technischen Zeichnen wären aber vermutlich nicht in der Lage gewesen, ihn darüber aufzuklären, da sie meist ehemalige Handwerker mit geringen oder gar keinen mathematischen Kenntnissen waren."

Könnte es also sein, dass paradoxerweise eine sehr praktische Ausbildung ("Mauern, Gipsen, Schuhherstellung, Metallbearbeitung und technisches Zeichnen" ... Lego ...) der Königsweg zur theoretischen Mathematik (nämlich bildlichen Vorstellungen von dieser Mathematik) ist?