oder
mathematischer
big bang
und big crunch 
der Winkel zwischen zwei Vektoren
oder
mathematischer
big bang und big crunch
Da das, was ich hier zeigen möchte, allüberall in der Mathematik wichtig ist, ist das Beispiel, an dem ich es zeige, beliebig. Also sei die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren das Beispiel.
Dabei sei das Thema nicht "wie kommt man »drauf«?", und ebenso wenig sei darauf eingegangen, wozu man sowas "braucht". Des weiteren seien all die Vorarbeiten nicht erwähnt, die zur unten folgenden Rechnung nötig sind
(also z.B. die Herleitung des Skalarprodukts).
Sondern mich interessiert allein der Rechenweg, der zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren hinführt:
big bang
| "Die
Luzerner Fasnacht ist der grösste jährlich stattfindende Anlass der Stadt Luzern und der Zentralschweiz. Sie ist - nach der Basler Fasnacht - die zweitgrösste Fasnacht der Schweiz. [...] Der
»Urknall«, eine sehr laute Detonation, die in der ganzen Stadt zu hören ist, gibt den Guuggenmusigen und allen Fasnächtlern das lange ersehnte Signal zum Ausbruch der Fasnacht." (Quelle:  )"Der Urknall [= big bang] ist nach dem Standardmodell der Kosmologie der Beginn des Universums. [...] Der Urknall bezeichnet keine »Explosion« in einem bestehenden Raum, sondern die gemeinsame Entstehung von Materie, Raum und Zeit aus einer ursprünglichen Singularität." (Quelle: ) |
Gegeben seien die beiden Vektoren 
und 
:
Da rechnen wir auf Vorrat erstmal einige Standardwerte aus:
=
13 bzw. kurz 
•
= 13 ,
also eine noch relativ einfache, weil kleine natürliche Zahl;
, also a = 
bzw. kurz a = 
,
also eine doch schon ziemlich unangenehme (irrationale) Zahl;
, also b = 
bzw. kurz b = 
,
also wieder eine ziemlich unangenehme (irrationale) Zahl
(und nebenbei: für a und b ergeben sich die Wurzeln zweier verschiedener Primzahlen, was man als besonders unangenehm empfinden könnte;
vor allem aber: und 
, sondern als "richtige" MathematikerInnen vertrauen wir darauf, dass sich die Wurzeln irgendwann in der weiteren Rechnung von selbst "wegquadrieren" ).
Im nächsten Schritt betrachten wir den Projektionsvektor 
, der sich ergibt, wenn man senkrecht auf projiziert:
Wir wollen nun die Länge 
des Vektors bestimmen. Dazu benutzen wir zwei "Tricks":
und somit auch zu
senkrechten Vektor
zu finden, nämlich
.
Diesen Vektor 
zeichnen wir nun zusätzlich ein:
Hier gilt es kurz innezuhalten, um nicht auf allzu Suggestives hineinzufallen:
und 
haben, weil sie senkrecht zu und
sind, dieselbe Farbe und sehen auch fast gleich lang aus - und dürfen doch nicht miteinander verwechselt werden: wenn man genauer hinsieht, ist
ein wenig länger als
, und außerdem haben die beiden Vektoren
und
entgegengesetzte Orientierungen. Es lässt sich also höchstens sagen, dass
ein Vielfaches von
ist, also = x •
(* wobei x negativ ist und sein Betrag ein bisschen größer als 1: es lohnt sich zur Kontrolle späterer Rechenergebnisse immer, vorher zu überlegen, was überhaupt rauskommen kann/muss);
und
haben
dieselbe Orientierung, aber ist ein wenig kürzer als
. Also ist ein
Vielfaches von
, d.h. = y •
(** wobei y positiv ist und ein bisschen kleiner als 1).
einen "Standardtrick" an, versuchen nämlich, einen "geschlossenen Vektorzug" zu finden, der (fast) alle wichtigen Vorgaben enthält. "geschlossen" heißt dabei, dass wir einmal im "Kreis" gehen bzw. mehrere Vektoren so aufaddieren, dass ihre Summe den Nullvektor
ergibt: den Nullvektor, weil mit Nullen besonders einfach zu rechnen ist. Im vorliegenden Fall sieht der "geschlossene Vektorzug" so aus: 
Auch hier lohnt es sich wieder, genau hinzuschauen:
"(fast) alle"
wichtigen Vorgaben enthalten sollte. "fast", weil wir vorerst
nicht mit berücksichtigen;
in
umgekehrter Richtung gehen, weshalb der zugehörige Vektor gestrichelt - - - dargestellt ist;insgesamt erhalten wir also
= + -
In diese Gleichung setzen wir nun alles Bekannte ein:
= 
+ x • - y •
Halten wir kurz inne: somit ist der soeben noch vermisste Vektor
nun doch wieder aufgetaucht, d.h. nun enthält unsere Gleichung tatsächlich alle relevanten Informationen.
Wenn wir nun auch für und
konkrete Vektoren einsetzen, erhalten wir
= + x • 
- y • 
,
und das ist äquivalent mit dem Gleichungssystem
.
Wir sparen uns alle Zwischenschritte - und erhalten
x = 
, y = 
.
An diesen scheinbar wieder scheußlichen Ergebnissen ist Einiges bemerkenswert:
ist ein im Weiteren überflüssiges Zwischenergebnis; wir brauchen im Folgenden tatsächlich nur y =
; taucht • = 13 kennen, begegnet waren;und in der Tat: wenn wir die Länge des Vektors berechnen und = y •
gilt, so ist offensichtlich = •
a = •
= 
oder kurz = , d.h. wir erhalten (vorerst) ein noch scheußlicheres Ergebnis.
big crunch zum Ersten
| "Der Big Crunch bezeichnet ein mögliches zeitliches Ende des Universums als Gegenstück zum Urknall, wobei das Universum immer kleiner wird bis es schließlich ganz verschwindet." (Quelle: ) |
Nun rechnen wir spaßeshalber a • = •
= 13 oder kurz a • = 13 .
Daran ist nun wieder zweierlei bemerkenswert:
nun doch (wie erwartet) raus, • = 13 = a •
oder kurz|
|
Nach einer gigantischen Rechnung (big bang) rauscht also urplötzlich alles in einem big crunch auf eine ganz simple Gleichung zusammen.
Und etwa so, wie man von einem zu Beginn des big bang sehr schnellen, "inflationären" Wachstum redet, könnte man hier von einem "inflationären", d.h. rasend schnellen big crunch reden.
Genau das aber ist für weite Teile der Mathematik weit über das vorliegende Beispiel hinaus typisch: dass sich nach gigantischen Rechen-Vorarbeiten (big bang) urplötzlich ein ganz simples Ergebnis einstellt (big crunch).
Schauen wir uns aber • = a •
nochmal genauer an:
, die im Ursprung beginnen und auf der Geraden g enden, werfen denselben Projektionsvektor auf und bilden somit mit
dasselbe Skalarprodukt • : 
das bedeutet insbesondere:
und
ist eindeutig ihr Skalarprodukt
• zuordbar, • sehr (unendlich!) viele Vektoren
; • , wird das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren und
berechnet, betreiben wir also Vektorgeometrie;
, wird dasselbe Skalarprodukt nur aus
Längen, also elementargeometrisch berechnet:es ist also mal wieder, als wenn ein und derselbe Zusammenhang in zwei unterschiedlichen Sprachen ausgedrückt wird
(vgl. 
)
Bzw. um im astronomischen Bildbereich zu bleiben, sprechen wir von einem
Wurmloch 
| "Der Name Wurmloch stammt von der Analogie mit einem Wurm, der sich durch einen Apfel hindurchfrisst. Er verbindet also zwei Seiten desselben Raumes (der Oberfläche) durch einen Tunnel. [...] Science Fiction, die sich im Rahmen der Wissenschaft bewegen will, nutzt gerne Wurmlöcher, um [Zeit- und Raum-]Reisen im Weltraum zu beschleunigen." (Quelle: ) |
In unserem Fall springen wir also nach Lust und Laune von der Vektor- in die Elementargeometrie und zurück:
Um nun endlich den Winkel
zwischen den beiden Vektoren und ins Spiel zu bringen, überlegen wir uns, wo wir früher bereits Winkel berechnet haben: Hier wollen wir den zweiten, also trigonometrischen Zugang nutzen - und springen somit aus der Vektor- in die Elementargeometrie, was auch heißt: aus der vektorgeometrischen Zeichnung
wird durch simples Weglassen aller Vektor-Pfeilspitzen die elementargeometrische Zeichnung
In dem rechtwinkligen (!) Dreieck gilt nun
oder kurz
und wenn man das nach auflöst, ergibt sich
.
Dieses wiederum eingesetzt in
• = a •
ergibt
• = a •
, |
und somit nach wiederum langer Rechnung (big bang) ein schnuckelig kurzes Ergebnis, also
big crunch zum Zweiten
Weil wir nun aber in der Gleichung
• = a •
• = 13 ,,allesamt bereits kennen, ergibt sich
13 = •
•
cos() .
) bzw. , die sich somit berechnen lassen: cos() = 
Hier quadrieren sich die Wurzeln nun nicht mehr raus
(und dennoch lohnt es sich, die Wurzel-Kurzschreibweise bis hier mitzuschleppen, statt andauernd mit dezimalen Näherungswerten und somit vielleicht immer schlimmer werdenden Fehlern zu rechnen),
und deshalb bemühen wir erstmals einen Näherungswert, nämlich
cos() ≈ 0,5854
Und daraus ergibt sich als Winkel zwischen den beiden Vektoren und
≈ 540
"Was lernen wir draus [= aus alledem]?":