Bruchrechenregeln veranschaulichen

Thema hier sind die (nur!) drei Regeln, nach denen jeweils zwei Brüche addiert / subtrahiert, multipliziert oder durcheinander dividiert werden

(wobei das Erweitern und Kürzen von Brüchen vorausgesetzt wird):

Da frage ich mich

1. , in welcher Unterrichtsphase eine anschauliche Vermittlung hilfreich sein kann, also

1. bei der Herleitung der Bruchrechenregeln (wie kommt man überhaupt zu den Regeln?) und / oder
2. bei ihrer Anwendung (wenn die Bruchrechenregeln also schon fertig vorliegen?);

2. , wie genau Veranschaulichungen in den beiden Phasen aussehen sollten.

Zu 1., also der Herleitung der Bruchrechenregeln

Es gibt meiner Meinung nach auch Grenzen der Anschaulichkeit. So sollten die Schüler

• zumindest die Bruchaddition (und -subtraktion) auch anschaulich verstehen: ,

• aber nicht die Bruchmultiplikation und schon gar nicht die Bruchdivision.

• zur Bruchmultiplikation:

• bedeutet " von "

(oder - was dasselbe ist - " von ");

• von

(wir teilen also nicht [wie unten bei der Bruchdivision] den ganzen Kuchen in 8 gleich große Teile):

• wir teilen nun in 8 gleich große Teile ,

Insgesamt also: von = .

weil Mathematiker es ja immer penetrant exakt haben wollen, stellt sich die Frage: wie schafft man es, in die exakt gleich großen  8 „Tortenstücke“ zu zerlegen? Das gelingt nämlich nur, wenn man den ganzen Kuchen in 32stel zerlegt und davon 9 nimmt: .

Womit sich die Frage stellt, woher da denn plötzlich die neuen Zahlen 32 und 9 kommen, von denen in der Anfangsaufgabe " • = ? bzw. von = ?" überhaupt nicht die Rede war. Durch Rumprobieren kommt man dann allerdings vielleicht doch auf die Idee:

• Produkt der beiden Zähler: 3 • 3 = 9,

• Produkt der beiden Nenner: 4 • 8 = 32,

• also ,

• womit sich für die Bruchmultiplikation die allgemeine Regel ergibt.

(Nebenbei: schwierig wird es schon,  wenn der erste Bruch beispielsweise ist, da die Konstruktion eines Fünfecks so  aussieht.)

• statt des runden Kuchens
• einen rechteckigen Kuchen auf einem Backblech bzw. abstrahiert 
  wählen:
  • wir beginnen mit dem Bruch :
    • wir teilen den Kuchen horizontal im 4 gleich große Streifen ,

• von denen wir 3 Streifen nehmen: ;
• nun zum Bruch :
  • wir teilen vertikal in 8 gleich große Streifen ,
  • von denen wir 3 Streifen nehmen: ;
  • dieses Endergebnis besteht aus 3 • 3 = 9 Quadraten, das Anfangsrechteck hingegen aus 4 • 8 = 32 Quadraten;
  • daraus folgt = • bzw. vom Anfangskuchen (!) ,
  • also .

• wenn der erste Bruch den Nenner a
• und der zweite Bruch den Nenner b hat,
• wählt man einen rechteckigen Kuchen der Breite a und der Länge b.

• zur Bruchdivision:

: bedeutet "wie oft passt in ?" (nicht zu verwechseln mit "wie oft passt in ?")

(vgl. 8 : 2 bedeutet "wie oft passt die 2 in die 8?", nämlich 4 mal; aber die 8 passt mal in die 2 , was doch arg unanschaulich ist: wie soll ein Elefant in eine Maus passen?; und doch passt ein Teil des Elefanten exakt in die Maus: ).

• wir teilen einen runden Kuchen in 4 gleich große Teile ,
  
• von denen wir 3 Teile nehmen: ;
• nun teilen wir den Anfangskuchen

(also nicht [wie oben bei der Bruchmultiplikation] den -Kuchen !)

in 8 gleich große Teile

• und nehmen davon 3 Teile, also z.B. oder .

• Es folgt = , d.h.

• passt zwei Mal in ,
  
• also : = 2.

Das ist ein schön einfaches Ergebnis, für das allerdings künstlich gesorgt wurde:

• die Zähler 3 und 3 der beiden Brüche und sind gleich,
• der Nenner 8 von ist doppelt so groß wie der Nenner 4 von ,
• also ist der Bruch halb so groß wie der Bruch ,
• also passt der Bruch zwei Mal in den Bruch ,
• also gilt : = 2 .

Das ist aber keine anschauliche Herleitung mehr

(und sie funktioniert sowieso nur so einfach, wenn [wie hier] entweder die Zähler oder aber die Nenner der beiden Brüche identisch sind).

Zudem hat die anschauliche Herleitung = , also von : = 2 , einen (ersten) entscheidenden Nachteil:

es bleibt unklar, dass und warum man

• statt der Division :
• auch die von oben bekannte und sehr einfach Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs durchführen kann und dasselbe Ergebnis erhält:

.

Oder kurz

.

Der entscheidende Nachteil der Kuchendarstellungen von Brüchen ist aber, das sie immer nur für konkrete Brüche

(z.B. und )

funktionieren und somit für jede neue Bruchauswahl neu durchgeführt werden müssten

(was z.B. bei   und enorm aufwändig wäre).

• die Schüler nicht bloß

(wie oft üblich)

mit stumpfer Rechen- und Rezept-„Mathematik“ abzuspeisen  ,

• sondern mit ihnen (nach) zu entdecken, „wie man drauf kommt“ und warum ein allgemeines Rezept funktioniert.

Selbst wenn diese Herleitungen in späteren Schuljahren

(oder dem späteren Leben der Schüler)

nie wieder benötigt werden, haben sie oftmals ihre Existenzberechtigung, denn sie sind

• „Denkgymnastik“
• und überhaupt erst die eigentliche Mathematik.

Die oben vorgeführten Veranschaulichungen von Bruchrechenregeln halte ich aber nurmehr für kontraproduktiv, da

• durch die Kuchen-Analogie die Anwendung der Bruchrechen„rezepte“ keineswegs vereinfacht
• und somit Zeit vergeudet wird, die besser der nunmal dringend benötigten Rechenroutine zugute käme.

(Allerdings sind die Bruchrechenregeln im selben Augenblick, in dem man die sie sicher (innermathematisch) anwenden kann, mathematisch uninteressant und nur noch Handwerkszeug.)

Besonders wichtig wird dieses Handwerkszeug im weiteren Schulverlauf bei (Funktions-) Gleichungen, die enorm wichtig bis ins Abitur wie überhaupt in der gesamten Mathematik sind.

Ein ganz simples Beispiel zur oben behandelten Bruchdivision : = 2 :

Da wird stumpf ein Bruchrechengesetz angewandt und denkt keiner mehr an und und wie sie sich zueinander verhalten.

Was also an der Bruchrechnung ist innerhalb der (Schul-)Mathematik wichtig?

1. eine fundierte Einführung der rationalen Zahlen
2. die sichere Anwendung der Bruchrechenregeln insbesondere beim späteren Lösen von Gleichungen, aber
3. nicht die Herleitung der Bruchrechenregeln.

Zu a.: es muss klar werden

(und das scheint mir in Schulen oftmals doch zu kurz zu kommen)

dass der Zahlenstrahl durch die massenhaften rationalen Zahlen zwischen den natürlichen Zahlen .    wird, so dass man die Vermutung aufstellen kann

(oder stillschweigend unterstellt),

dass er dadurch "stetig" voll ist, es also keine Lücken mehr gibt

(vgl. ).

Und da sollte im Unterricht  schon der Wegweiser   zur ersten nicht-rationalen Zahl aufgestellt

(vgl. )

oder sogar bereits eine nicht-rationale konstruiert werden, also z.B. 0, 1 2 1 22 1 222 1 2222 ...

Zu 3., also der Herleitung der Bruchrechenregeln z.B. mittels : = 2 :

ich habe oben mit viel Mühe "Kuchen"-Veranschaulichungen dargestellt, um gerade damit zu zeigen, dass sich die Mühe kaum lohnt.

Zu 2., also der Anwendung der (vorher hergeleiteten?) Bruchrechengesetze

Vorweg: eines meiner Standardmittel für Veranschaulichungen sind Alltagsdinge wie z.B. oben   und .

Zwar wurden diese Kuchen oben schnell zu und abstrahiert, aber sie sind bei den nachfolgenden Überlegungen doch hoffentlich doch im Hinterkopf geblieben: die Alltagsdinge und -vorgänge sind also

• Veranschaulichungen

• aber keine echten außermathematischen Anwendungen: z.B. von = ist eine Überlegung, die wohl niemals beim realen Kuchen-Verteilen stattfindet.

Im Folgenden geht es nun aber

• nicht mehr darum, z.B. die Bruchrechenregel herzuleiten,

• sondern darum, sie für verschiedenste Zahlen a, b, c und d anzuwenden.

Um diese Anwendung zu trainieren, wähle ich hier

(wie auch gerne bei Funktionen)

zwei weitere Metaphern:

• Maschinen , die mit beliebigen Eingaben immer dasselbe durchführen

(z.B. verdoppelt die Funktion f: y = 2 • x jedes eingegebene x ),

• Kartons (im folgenden Geschenkboxen), in die jede beliebige Zahl eingegeben werden kann, deren Inhalt also letztlich egal (unsichtbar) ist.

Kommen wir damit also zur Veranschaulichung der (bereits hergeleiteten) Bruchrechenregeln :

• die einfachste Bruchrechnung, nämlich die Bruchmultiplikation :

Als Gleichung aus Standbildern: =,

also z.B.

oder

.

• die Bruchaddition (und analog die Bruchsubtraktion) :

Normalerweise ist die (schriftliche) Addition einfacher als die (schriftliche) Multiplikation. Anders aber bei der Bruchrechnung:

um Brüche überhaupt addieren zu können, müssen sie

Als Gleichung aus Standbildern: =

, Fehlerquelle: bei der Bruchaddition

• sondern müssen
  • die Zähler addiert werden,
  • nicht aber die Nenner, die nur einmal "beibehalten" werden:

• die Bruchdivision :

Als Gleichung aus Standbildern:

Am Beispiel der Bruchdivisonsmaschine wird der Vorteil solcher "Filmchen" deutlich: die Bruchrechenregel ist da

• eine Tätigkeit (der Maschine) bzw. ein "stetiger" Prozess,

• statt eines "diskreten" Sprungs wie in .

Besser als die hier benutzten „Filmchen“ sind normalerweise echte kleine Maschinen,

• an denen die Schüler drehen und schieben können,
• die im Gegensatz zu medialen Umsetzungen jederzeit im Unterricht zur Verfügung stehen.

Ein Beispiel: die Bruchmultiplikation sähe als simple Lego-Maschine z.B. so aus:

(Am besten wäre es aber, wenn die Schüler solche Maschinen selbst bauen würden: beim Bauen würden sie die Bruchrechengesetze besser verstehen.)

Der Vorteil solch einer echten Maschine ist, dass da

• nicht nur die Maschine etwas tut,

• sondern die Schüler selbst etwas tun.

Diese erste Umsetzung als Maschine hat aber im Vergleich mit den Nachteil, dass

• der Multiplikationspunkt nicht langsam in die beiden Multiplikationspunkte aufgespaltet wird

• und die anfänglichen Bruchstriche nicht zu einem einzigen Bruchstrich zusammenwachsen.

Mit einer komplizierteren Mechanik könnte man an der Maschine auch diese Effekte ergänzen, aber

• welcher Lehrer hat schon die passenden Lego-Teile und die Zeit, „eben mal kurz“ die nötige Mechanik zu ersinnen?,

• ich bin zu faul, die entsprechende Mechanik (auch für die anderen Bruchrechengesetze) zu entwickeln.