Brüche als Kunst

"Kunst" in Brüchen: Symmetrie
Brüche in der Kunst: Bildkomposition
(kurze) Planung einer Unterrichtseinheit

"Kunst" in Brüchen: Symmetrie

Wann denn überhaupt braucht "man" anschauliche Vorstellungen von Brüchen?:

1. Da im (außermathematischen) Alltag sowieso nur einfachste Brüche (vom Halben bis etwa zum Sechstel) auftauchen, braucht man da auch nur davon 

(sowieso - also auch ohne Mathematikunterricht - jedem geläufige?)

Vorstellungen.

2. Innermathematisch sind anschauliche Vorstellungen von Brüchen hilfreich

1. ganz zu Beginn der Bruch(rechnungs)einheit, also eben noch vor allem Rechnen mit Brüchen,

2. zum anschaulichen Verständnis der grundsätzlichen Funktionsweise der

• Bruchaddition,

• Bruchsubtraktion,

• Bruchmultiplikation,

• aber nicht mehr der (letztlich heillos abstrakten) Bruchdivision?

3. nicht beim reihenweisen Rechnen von Bruchrechnungsaufgaben

(vgl. ),

4. beim Abschätzen der Größenordnung komplexerer Brüche

(also wenn sich nach langwierigen Rechnungen Brüche ergeben, die eben nicht mehr direkt anschaulich vorstellbar sind).

Was eigentlich heißt "anschauliche Vorstellung" bzw. einfach nur "Vorstellung"

(und zwar auch und gerade in der Mathematik)?

Doch letztlich wohl, dass man gar nicht mehr eines äußeren Gegenstandes (einer materiellen Bruchdarstellung) bedarf, sondern sich das "Gemeinte" allein im Kopf vor(s innere Auge)stellt und mit diesem "inneren Auge" an"schaut".

Da ist die Mathematik vielleicht "nur" ein besonderer Extremfall: 

MathematikerInnen brauchen eigentlich gar kein Handwerkszeug mehr, sondern "richtige" Mathematik wird allein im Kopf betrieben.

Oder genauer: MathematikerInnen brauchen Bleistift und Papier nur

1. für langwierige Rechnungen, die eh kein Mensch in allen Details im Kopf behalten kann, und da vor allem zur Dokumentation, um hinterher nochmals nachschlagen zu können.

(Die Rechengesetze müssen die MathematikerInnen aber auch im Kopf haben.

Rechengesetze [auch in der Bruchrechnung] werden - nach langer Übung - mit einem gewissen Automatismus, also weitgehend ohne anschauliche Vorstellung angewandt, und allemal sind lange Rechnungen unanschaulich: man über"schaut" [!] nicht mehr mit einem "Blick" [!] die Dynamik sämtlicher Wandlungen, sondern das Endergebnis "ergibt sich", was oftmals nur umso erstaunlicher ist.

Dennoch verbinde zumindest ich mit den meisten einzelnen Rechenregeln durchaus noch [!] eine Anschauung, beispielsweise mit Gleichungsumformungen das Bild einer Waage, die verzweifelt im Gleichgewicht gehalten werden muss.

"Noch"? Mir scheint eher, dass einE "gute" MathematikerIn nur deshalb so "gut" ist, weil ihm bzw. ihr das Handwerkszeug keineswegs abstrakt, sondern durchaus anschaulich geworden ist.)

2. etwa bei Planskizzen, um sich die Anschauung überhaupt erst in den Kopf zu "schaufeln".

Dabei haben solche "Planskizzen" eine durchaus bemerkenswerte Eigenschaft: sie müssen (können!) gar nicht exakt sein (z.B. genau rechtwinklig), sondern sehen oftmals - auch aus Zeitgründen - äußerst ungenau und schlampig aus: das Ungenaue, aber auch irrelevante (in der Zeichnung allemal vorhandene) Maße werden aber wieder im Kopf "wegradiert", bzw. umgekehrt wird relevante Exaktheit wieder im Kopf ergänzt 

(und existiert auch nur da: absolut rechtwinklige Dreiecke gibt es überhaupt nur im Kopf; oder genauer: natürlich sehen in unserer technisch perfekten Welt immer mehr Winkel genau rechtwinklig aus, aber die Differenzierung zwischen deren letztlicher Ungenauigkeit [etwa unter einem Elektronenmikroskop] und dem Ideal absoluter Rechtwinkligkeit findet wieder im Kopf statt).

Was also Planskizzen

(nicht zu verwechseln mit "Anwendungen"; vgl. "Anschauung statt Anwendung")

leisten

(nämlich Vorstellungen in den Kopf zu bringen),

soll im Folgenden für Brüche durch "Bruchplanskizzen" versucht werden

(wobei zu differenzieren wäre:

• welche Vorstellungen von Brüchen bringen SchülerInnen denn aus ihrem Alltagsleben schon mit, so dass man sie eben nicht mehr vermitteln muss, aber auf ihnen aufbauen kann? ... womit sich auch die viel zu selten gestellte Frage aufdrängt: welche bereits vorhandenen Vorstellungen zerstören wir LehrerInnen evtl. durch unnötige "Problematisierung"?

[Ein Musterbeispiel für solche Zerstörung durchaus bereits vorhandener Vorstellungen scheint mir die gesamte Kongruenzgeometrie zu sein.] 

• Welche Vorstellungen sind hingegen vermutlich noch nicht vorhanden und sollten deshalb neu vermittelt werden?

• Welche Vorstellungen brauchen SchülerInnen denn überhaupt, und seis rein innermathematisch? Oftmals wird nämlich in der Schulmathematik des Guten einfach zu viel getan [totale Stoff-, damit aber auch Gedächtnisüberfrachtung].)

Ein immer wieder brauchbarer 

(aber leider viel zu selten genutzter)

Ansatz ist es dabei, vorerst auf die eigenen (Lehrer-)Erfahrungen zurückzugreifen:

• man hat primär nunmal keine andere "Welt" als die eigene

(und dennoch beachte man, dass andere Menschen vielleicht zwar andere, wenn auch einem selbst vielleicht niemals zugängliche "Welt"-Zugänge haben; dass sie beispielsweise nicht - wie ich - weitgehend optisch, sondern z.B. begrifflich lernen [vgl. "jeder auf seine fa&ccdil;on"]),

• auch die Grundvorstellungen von LehrerInnen sind sehr einfach :-),

• man selbst hat ja auch mal "klein" angefangen;

• falls man sich daran aber nicht mehr erinnern kann:

  • wie sehen denn die eigenen Vorstellungen aus

  • bzw. wie macht man sie sich noch heute?

Es gibt zwei klassische Darstellungen von Brüchen, und zwar durch

1. "Tortendiagramme", also Kreise:

2. oder durch Rechtecke:

Beide Darstellungsweise sind offensichtlich so anschaulich, weil die Grundformen (eben Kreis bzw. Rechteck) so einfach sind. Beim Kreis erweist sich zudem (wie wir noch sehen werden) seine vielfache Symmetrie

(bzgl. aller Geraden durch den Mittelpunkt)

als enormer Vorteil.

Schon hier zeigt sich, dass jede der beiden Darstellungsweisen spezifische Vorteile hat, so dass sie keineswegs

(wie es oft unreflektiert geschieht)

beliebig durcheinander ersetzbar sind.

• So versagt die Kreisdarstellung weitgehend bei der Unterteilung in viele kleine Teile: wenn ich mir eine Einteilung in 26 Einzelteile vorstellen soll, so teile ich nicht (im Kopf) einen Kreis in 26 Teile, sondern stelle ich sozusagen 26 Bücher nebeneinander und baue dafür als Gesamteinheit einen rechteckigen Holzschuber:

Dabei ist allerdings bemerkenswert, dass ich hier schon "hintenrum" denke:

• ich gehe nicht von einem Modell aus, um überhaupt erst die Anzahl der Einzelteile herauszufinden

(das könnte ich bei der Rechteckform ebenso wie bei der Kreisform nur durch abzählen),

• sondern ich gehe von einer gerade benötigten Anzahl (im vorliegenden Fall 26) aus und erstelle mir daraus durch Hintereinanderlegen ein Rechteckmodell.

Der Vorteil der Rechteckdarstellung besteht also allemal darin, dass man - im Gegensatz zum (wie eine Uhr) eher "periodischen" Kreis - seitlich beliebig "anbauen" kann.

• Aus demselben Grund scheint mir die Rechtecksanordnung auch günstiger bei Brüchen, die größer als 1 sind, also z.B. ⁹/₇ :

Das Rechteckverfahren ist also vor allem dazu geeignet, sich leicht eine passende Grundmenge herzustellen: wenn ich Siebtel brauche

(beim Kreis teuflisch schwierig bis geradezu unmöglich; s.u.),

stelle ich beim Rechteckverfahren einfach sieben "Scheibchen" nebeneinander und kann daraus leicht alle Siebtel-Brüche  (eben auch größer als 1) kombinieren (im Beispiel eben ⁹/₇).

(Überhaupt scheint mir das ein oftmals - auch und gerade im Hinblick auf SchülerInnen - günstiger Ansatz zu sein: ich bastele mir die Grundmenge zweckentsprechend zusammen, statt von einer beliebigen auszugehen.)

Dennoch möchte ich im Folgenden aus zwei Gründen vorerst bei der Kreisdarstellung bleiben:

1. , weil zumindest ich mir sehr einfache Brüche doch immer in Kreisdarstellung vorstelle,

2. - und wohl mit 1. zusammenhängend -, weil an der Kreisdarstellung gewisse "künstlerische" Prinzipien besonders gut klar werden.

Von den allereinfachsten Brüchen habe ich intuitiv, also ohne jede Überlegungen Vorstellungen:

(Später genannte Eigenschaften wären auch schon hier erkennbar, sind aber noch nicht notwendig.)

Problematisch wirds aber bereits bei der Einteilung in fünf gleiche Teile

(was - nochmals gesagt - beim Rechteckverfahren keinerlei Problem ist: da stelle ich fünf Bücher nebeneinander und denke mir einen Schuber drum.)

Wenn es um mehr als eine grobe Vorstellung geht, kann ich mir diese Fünf-Teilung des Kreises bereits nur noch indirekt vorstellen, und zwar über ein Penta(=fünf)gramm:

Zweifelsohne ist die Fünf-Teilung damit ein Ausnahmefall - aber eben doch auch vielleicht das erste Beispiel, an dem etwas "Künstlerisches" an den Brüchen deutlich wird:

(vgl. die besondere Bedeutung des Pentagramms in der gesamten Kulturgeschichte und insbesondere auch schon bei Pythagoras )

Auch die Sechs-Teilung stelle ich mir nicht mehr direkt, sondern auf dem Umweg über die Drei-Teilung vor:

(ähnlich ergibt sich dann später die Acht-Teilung aus der Vier-Teilung.)

Daran scheint mir nun zweierlei bemerkenswert:

1. Ich "erweitere" bereits von Dritteln auf Sechstel, allerdings (ein wichtiger erster Schritt!) vorerst "nur" optisch.

2. Spätestens hier sieht man nun aber den zentralen Vorteil der Kreis- gegenüber der Rechteckdarstellung von Brüchen, nämlich die Symmetrie:

(... wobei hier nur eine mögliche, wenn auch - wie noch zu zeigen ist - wichtigste Symmetrieachse eingezeichnet ist.)

Natürlich gibt es solche eine Symmetrie auch beim Rechteckverfahren, aber man erkennt sie dort kaum.

In Analogie zur Herleitung der Fünf-Teilung mittels Pentagramm ist die Sechs-Teilung auch aus dem "Davidstern" zu gewinnen:

(Allerdings sind sowohl das Pentagramm als auch der Davidstern nur "ungefähre" Vorstellungsmuster, denn

• eine genaue Konstruktion des Pentagramms ist äußerst schwierig

[sie soll hier nicht vorgeführt werden]

und beginnt "umgekehrt", also mit einer Fünf-Teilung des Kreises, und daraus folgend wird erst das Pentragramm konstruiert;

• und auch der Davidstern ist im Grunde nicht Voraussetzung, sondern Folge der Sechs-Teilung des Kreises:

man teilt den Kreis durch sechsfaches Abtragen seines Radius auf dem Kreis [hat damit also schon die Sechs-Teilung] und verbindet dann erst zum Davidstern.)

Bei der Sieben-Teilung wird deutlich, dass diese Symmetrie geradezu zum

1. distinktiven (unterscheidenden) bzw.

2. konstruktiven

Prinzip wird.

Zu a.:

bei erkenne zumindest ich nicht mehr auf Anhieb, dass da sieben gleiche Teile vorliegen, sondern ich müsste bereits abzählen. Keine Schwierigkeit macht mir der schnelle Überblick aber, wenn der "Kuchen" günstig gedreht ist:

(... wobei ich die Symmetrieachse natürlich nur im Kopf ergänze.)

Da sehe ich sofort: drei "Kuchenteile" links, drei symmetrisch dazu rechts und einer unten in der Mitte:

zu b:

wenn ich nicht eine fertige Siebenteilung erkennen, sondern mir eine (im Kopf) konstruieren sollte, würde ich ebenfalls so vorgehen: von der Symmetrieachse ausgehend drei "Kuchenteile" links, drei symmetrisch dazu rechts und einer unten in der Mitte.

(... und z.B. bei der Neun-Teilung vier "Kuchenteile" links, vier rechts und einer unten in der Mitte.)

Es scheint mir nebenbei aus mehreren Gründen durchaus bemerkenswert, dass ich die ersten Vorstellungsschwierigkeiten ausgerechnet bei der Sieben-Teilung habe:

1. ist die Sieben-Teilung die erste, für die es meines Wissens keine mathematische Konstruktion gibt;

2. meine ich aber mal gelesen zu haben, dass die Siebenzahl auch die erste ist, die keineR mehr auf Anhieb, sondern jedeR nur auf dem Umweg über Unterteilung bzw. Symmetrie erfasst:

Wie bemerkenswert die Symmetrie bei der Kreisdarstellung von Brüchen ist, wird spätestens bei noch feineren Einteilungen deutlich:

Da sieht wohl niemand mehr auf Anhieb die Anzahl

(immerhin aber die Aufteilung in gleiche Teile!).

Und doch sehe ich anhand der (augenblicklich erkannten) vertikalen Symmetrieachse

sofort, dass eine gerade Anzahl vorliegt.

Und wenn ich dann doch abzählen sollte, so würde mir auch noch die (ebenfalls sofort erkannte) horizontale Symmetrieachse helfen:

Ich würde beispielsweise nur das obere rechte Viertel abzählen

(mehr noch: das sehe ich mit einem Blick, dass da sechs Einzelteile vorliegen),

und schon wäre ich bei insgesamt 4 • 6 = 24 Einzelteilen.

In der Kapitelüberschrift "»Kunst« in Brüchen" war »Kunst« mit Absicht in Anführungszeichen geschrieben worden. Denn es ist doch nur ein minimaler Ausschnitt bildender Kunst, der da eine Entsprechung in der Bruchrechnung hat.

Brüche in der Kunst: Bildkomposition

Im Folgenden seien nur einige wenige Beispiele gezeigt, bei denen "Brüche" in der Kunst (und Natur) auftauchen, und das auch nur bei der Bildkomposition: sämtliche anderen Aspekte bildender Kunst seien dabei übergangen, so dass auch hier wieder nur eine arg "abgenagte" Kunst (wenn sie überhaupt noch diesen Namen verdient) übrig bleibt.

• Konstruktionslinien in Gemälden:

• verschieden eingeteilte Triptychen wie z.B.

• goldener Schnitt (vgl. Der Mythos: Goldener Schnitt in Architektur und Kunst )

• (geht auch [manchmal fraglich] auf mathematische Hintergründe ein)
   

• 

• Schneeflocken

Eine unerschöpfliche Quelle ist da insbesondere .

Planung einer Unterrichtseinheit

Wohlgemerkt: die Planung steht bislang erst ganz am Anfang und ist noch rein theoretisch.

Beabsichtigt ist hier etwas wahrhaft Ungewöhnliches - bzw. eine regelrechte Mogelpackung:

Wenn überhaupt, so findet ein fächerübergreifender Unterricht zusammen mit dem Fach Deutsch statt, nämlich bei der

(leider allzu lange vernachlässigten)

"Bildbeschreibung".

Die "Mogelpackung" schließt allerdings zweierlei nicht aus:

1. , dass der Kunstlehrer die Unterrichtseinheit zusammen mit dem Mathelehrer plant

(und letzterer die spezifischen Bedürfnisse und Betrachtungsweisen der Mathematik einbringt),

2. , dass der Mathelehrer (ausnahmsweise) im Kunstunterricht auftaucht, wenn da (wieder: ausnahmsweise) mal schwierigere mathematische Probleme (z.B. beim goldenen Schnitt) auftauchen.

Die geplante Kunst-Unterrichtseinheit könnte (in einer sechsten Klasse) vor der Einführung der Brüche im Mathematikunterricht oder parallel dazu durchgeführt werden.

Die "Mogelpackung" würde auch darin bestehen, dass im gesamten Kunstunterricht (fast) nie von "Brüchen" die Rede wäre. Der Titel der Kunst-Unterrichtseinheit wäre dementsprechend auch nicht "Brüche als Kunst", "Brüche in der Kunst" oder gar "Querbeziehungen zwischen Mathematik und Kunst", sondern völlig unverdächtig (aber umso hinterhältiger?) und unmathematisch, dafür aber künstlerisch "Bildkomposition".

Solch eine Mogelpackung scheint mir aus zwei Gründen durchaus legitim:

1. braucht man ja in der gesamten Kunst-Unterrichtseinheit (fast) nie mathematische Termini,

2. ist "Bildkomposition" ja kein dem Kunstunterricht übergestülpter (letztlich mathematischer) Begriff, sondern ein ganz ureigenes Thema des Kunstunterrichts.

Es sei dennoch frischweg ein gewisser Egoismus eingestanden: der Mathematiklehrer "missbraucht" den Kunstlehrer als Zulieferer.

Man könnte sogar böse sagen: dem Kunstlehrer wird die "Drecksarbeit" der Veranschaulichung überlassen

(und der Mathelehrer nimmt dann später die "höheren" Techniken durch).

Das dürfte aber nicht so schlimm sein, da der Kunstlehrer

1. ja sowieso "Bildkomposition" als ureigenes künstlerisches Mittel durchnehmen muss,

2. seinerseits Interessantes einbringen wird, von dem wiederum der Mathelehrer keine Ahnung hat. Insbesondere wird der Kunstlehrer das beisteuern, was Kunst über ihren "Bruchrechnungsanteil" hinaus eigentlich ausmacht. Denkbar wäre es aber auch, dass dem Kunstlehrer Veranschaulichungsmöglichkeiten zur Verfügung stehen, derer sich der Mathelehrer noch gar nicht bewusst war.

Allemal wird beim Kunstunterricht noch in anderem Sinne geschnorrt:

Hier zeigt sich aber auch die Gefahr, dass sich der Kunstunterricht beim Kontakt mit dem Matheunterricht "infizieren" könnte. Was also auf keinen Fall passieren darf, ist ein Matheunterricht "in künstlerischem Gewand", was etwa dann der Fall wäre, wenn nun der Kunstlehrer eine reine Theorieeinheit über Bildkomposition abhalten bzw. die Kompositionselemente (Brüche) nur vorzeigen würde.

In der geplanten Kunst-Unterrichtseinheit wären zwei Phasen denkbar:

1. Analyse fertiger "großer Gemälde"

(oder auch von "künstlerischen" Fotos, Abbildungen aus der Natur, Firmenlogos, Werbung ...?)

... wobei man sich diese Analyse aber keineswegs so knochentrocken wie üblich vorstellen muss: die SchülerInnen knicken und zerschnibbeln Bilder, malen Linien, kleben buntes Transparentpapier drauf ...

2. Wo schon das Thema "Bildkomposition" ist: die SchülerInnen komponieren

(basierend auf ihren Entdeckungen aus 1.)

eigene Bilder:

Zwei Beispiele anhand von "Schneewittchen und die sieben Zwerge"

• ist Schneewittchen eine gleichberechtigte Partnerin der sieben Zwerge, also eine von acht (⁸/₈)?:

• steht Schneewittchen isoliert außerhalb der sieben Zwerge (⁸/₇)?:

Die "Bruchdarstellungen" soll also als sinnvolles künstlerisches Prinzip eingesetzt werden:

Vier Hochzeiten und ein Todesfall

Oder wie stellt man eine Familie mit drei Kindern dar

(die eigene Familie der SchülerInnen)?

Zwei geeignete Stukturierungsmittel wären

• die Rechteckdarstellung

• und die Kreisdarstellung (s.o.).

Denkbar wäre also Folgendes:

• die SchülerInnen erstellen aus Bildern zum selben Thema (z.B. Kuscheltiere, Pop-Trios ...) verschieden proportionierte (rechteckige) Triptychen;

• alle SchülerInnen erstellen (natürlich selbst!) dreigeteilte Holzscheiben

und überlegen nun, zu welchem Thema diese vorgegebene Grundstruktur passen könnte.

Allemal denkbar und wünschenswert wären auch "sinnvolle" Variationen:

• die drei Einzelteile zeigen nicht nur verschiedene Motive, sondern sind zusätzlich (zur deutlicheren Unterscheidung) auch mit verschiedenen Materialien bzw. in verschiedenen Techniken gestaltet;

• 

Die SchülerInnen legen also sozusagen Brüche als (Verständnis-)Raster über die optische und "Ideenwelt".