Mehrfachbrüche
oder
die Freuden  des Rechnens

  Natürlich ist hier nur ein Eyecatcher. Wenn das jemandem zu unsachlich, anzüglich oder einfach sexistisch ist, lese er doch mal   .

Als "reinen" Mathematiker

 (bzw. „nur“ Mathematiklehrer)

interessieren mich reichlich wenig 

  1. Anwendungen

 (vgl. Anschauung statt Anwendung ),

  1. Rechnungen.

In einer einzigen Beziehung bin ich wohl wirklich ein bedeutender Mathematiker: ich verrechne mich andauernd:

meine Schüler haben immer geschmunzelt, wenn ich mich schon wieder verrechnet hatte

(dafür stimmten meine Ergebnisse aber meistens so , weil ich gut in Überschlagsrechnungen bin; und meine Rechenfehler sind mir meistens immerhin aufgefallen, weil ich Verständnis für die Aufgaben hatte und damit geahnt habe, was [ungefähr] rauskommen musste).

Ich glaube aber nicht, dass meine Schüler jemals an meiner mathematischen Kompetenz

(soweit es die Schulmathematik betrifft)

gezweifelt haben, und so gesehen habe ich ihnen vielleicht doch etwas Wichtiges vermittelt, nämlich den Unterschied zwischen Mathematik und Rechnen 

(vgl. ). 

Nebenbei: ich hatte mal einen Schüler, der exzellent im Kopfrechnen, aber (gelinde gesagt) mäßig in Mathematik war. Wenn mal wieder eine Rechnung anstand, wurde er kurz aus seinem Tiefschlaf geweckt, lieferte er prompt das (immer korrekte) Rechenergebnis – und versank er sofort wieder im Tiefschlaf.

In der fünften Klasse nimmt man gerne mal Mehrfachbrüche

(also Brüche aus Brüchen)

wie z.B.

durch.

Solche Mehrfachbrüche kann man bis zum Exzess treiben. Vgl. etwa

(ein Mehrfachbruch, der sich – wie im Beispiel unten – zum simplen Bruch vereinfachen läßt),

(ein fast schon perfides Beispiel, weil da auch noch binomische Formeln in einen Mehrfachbruch gequirlt wurden;

überhaupt scheint mir zumindest auf den ersten Blick, dass beide Mehrfachbrüche nur geschaffen wurden, um Schüler zu quälen, aber keinen innermathematischen Erkenntnisgewinn [s.u.] ermöglichen).

Um den Umgang mit solchen Mehrfachbrüchen zu trainieren und fast schon zum Automatismus werden zu lassen, ist es manchmal ja sogar durchaus sinnvoll, einen ganzen Stapel solcher Mehrfachbrüche abzuarbeiten und immer kompliziertere Beispiele zu wählen.

Nun muss man ja manchmal übertreiben, aber es bleibt doch zu ergänzen, dass in der Schulmathematik bis zum Abitur nie wieder solch komplizierte Umgeheuer wie beispielsweise

auftauchen

(mal abgesehen von irgendwelcher Anwendungs- oder gar „Lebensnähe“).

Da wäre es aber doch schön, wenn das Hantieren mit Mehrfachbrüchen immerhin einen innermathematischen Erkenntnisgewinn

(der über das im Standardunterricht übliche pure Hantieren mit Mehrfachbrüchen hinausgeht)

erbrächte.

Ein Beispiel für solch einen innermathematischen Erkenntnisgewinn ist

(Dieses Beispiel stammt aber aus einem satirischen Text über die Mathematik in und ist da mit dem Kommentar versehen:

 „Wem erschließt sich auch schon die Bedeutung [dieses] Zeichenkonstrukts?“:

eine offensichtlich rhetorische Frage mit der indirekt mitgelieferten Antwort: „sowas erschließt sich niemandem oder zumindest keinem halbwegs normalen Menschen“, was wiederum impliziert: „wenn sich sowas trotzdem jemandem erschließt [nämlich Mathematikern], ist er eben nicht ganz normal, sondern ganz schön bescheuert“.

Der Gag ist nun aber, dass der Autor des Textes offensichtlich ziemliche Ahnung von Mathematik hat, der Text also selbstironisch ist.

Nebenbei:

erinnert mich doch sehr an ein


Mobile,

und es als Mobile zu bauen

[und später unten immer weitere Ebenen anzuhängen]

wäre durchaus didaktisch hilfreich.)

Nun würde ich aber den Bruch

„der Ordnung halber“ so schreiben:

Da kann man sich zu allererst wundern, warum auf der untersten Ebene immer umständlich 3+1 statt einfach das Ergebnis dieser einfachen Rechnung, also 4, steht – und lernt damit schon Wichtiges über die Mathematik:

  1. hätten es die Mathematiker (wenn irgend möglich) gern immer nach einer einzigen Regel: wenn vorher immer nur Dreien und Einsen standen, sollen jetzt nicht plötzlich Vieren auftauchen

(Ausnahme ist da allerdings sowieso in der obersten Zeile die 2, die vermutlich gewählt wurde, weil sie genau in der Mitte zwischen 1 und 3 liegt);

  1. : wenn man 4 statt 3+1 schreiben würde, könnte man unten keine weiteren Ebenen (s.u.) hinzufügen.

Es lohnt sich also, ab und zu NICHT ZU RECHNEN!

Nun würde ich allerdings mit Schülern nicht gleich mit dem 5-Ebenen-Bruch

,

sondern mit dem 2-Ebenen-Bruch

anfangen: dieser läßt sich zu  vereinfachen.

Nächster Schritt wäre dann der 3-Ebenen-Bruch

,

der sich zu 2 vereinfachen läßt.

(Nebenbei: hier lernen die Schüler wieder etwas durchaus Wichtiges: man vereinfacht diese Brüche immer

Viel wichtiger ist aber, was jenseits der schnöden Rechnung liegt: einige Schüler werden an diesem 3-Ebenen-Bruch vielleicht schon das Konstruktionsprinzip und damit die Fortsetzung zum 4-Ebenen-Bruch erkennen:

(... und dann wohl auch die Fortsetzung mit immer weiteren, also potentiell unendlich [!] vielen Ebenen: eine für Fünftklässler im Standard-Matheunterricht niemals vorkommende Erkenntnis, die ich aber durchaus für möglich halte

[und sich beispielsweise durch die Analogien


Sierpinski-Dreieck

und

illustrieren ließe:

ist es nicht phantastisch?: indem der menschliche Geist eine Ahnung von der Unendlichkeit bekommt

,

transzendiert er alle realen Möglichkeiten. Und Fünftklässler mögen Schwierigkeiten mit der Standard-Schulmathematik haben, aber blöd sind sie nicht.)

Wenn man nun

eben doch rechnerisch vereinfacht, ergibt sich wieder wie schon beim 2-Ebenen-Bruch.

Da könnte man auf die Idee zu einer weiteren Verallgemeinerung kommen:

"Verallgemeinerung" (und zwar für unendlich viele Mehrfachbrüche) heißt aber, dass man
(auch weil man es nach drei oder vier ziemlich gleichen, also langweiligen Rechnungen langsam satt hat)

das Rechnen verläßt, das somit nur Startrampe für "richtige" Mathematik war:

Zwecks Überprüfung der soeben aufgestellten Vermutung könnte man die Schüler immerhin noch

bzw.

vereinfachen lassen.

Und in der Tat ergibt sich der Vermutung entsprechend

Wahrscheinlich kommen Fünftklässler nicht von selbst drauf, was der Grund für diese abwechselnden Wiederholungen ist, aber da kann man ja als Lehrer ein wenig nachhelfen:

man vergleiche mal Brüche mit demselben Ergebnis, also

.

Da kommt beim 3-Ebenen-Bruch zusätzlich zum 1-Ebene-Bruch unten der Bruch

hinzu, der sich zu 1 vereinfachen läßt:

Somit ist der 3-Ebenen-Bruch letztlich dasselbe wie der 1-Ebene-Bruch, läßt er sich also ebenfalls zu 2 vereinfachen.

.

Da kommen beim 4-Ebenen-Bruch zusätzlich zum 2-Ebenen-Bruch unten zweimal die Brüche

hinzu, die sich aber wieder beide zu 1 vereinfachen lassen:

Somit ist der 4-Ebenen-Bruch letztlich dasselbe wie der 2-Ebenen-Bruch, läßt er sich also ebenfalls zu vereinfachen.

(Und schon haben die Schüler wieder eine wichtige mathematische Tätigkeit gelernt:

[und zwei täuschend ähnliche Dinge in Wirklichkeit oft sehr unterschiedlich];

[auch für gestandene Mathematiker]

sehr Kompliziertes sich oftmals glücklicherweise enorm vereinfachen läßt: z.B. ist der 1000-Ebenen-Bruch letztlich dasselbe wie der 2-Ebenen-Bruch, also .)

Was Fünft(!)klässler hier so nebenbei implizit lernen, ist nichts Geringeres als das eminent wichtige und staunenswert genial-einfache mathematische Beweisverfahren der (hochtrabend gesagt) „vollständigen Induktion“

(hier allerdings für jeden zweiten Bruch),

das leider nichtmal viele Oberstufenschüler kennenlernen:

(Die „vollständige Induktion“ läßt sich Fünftklässlern auch so illustrieren:

"Welle" wohl deshalb, weil

[immer gerade dann, wenn man nacheinander bei ihnen ankommt].

Zu einer einzigen Zeit sehen sie also etwa so aus:

  )

Wenn man den Mehrfachbruch

immer weiter nach unten fortsetzt, ergibt sich also abwechselnd immer wieder abwechselnd und 2.

Nun gibt es aber unendlich lange sogenannte „Kettenbrüche“ der Form

,

also z.B.


(in Leonard Eulers "De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendon" von 1767)

die

(mehr oder minder schnell gegen diesen einen Wert „konvergieren“).

Besonders interessante Beispiele sind da

In beiden Fällen passiert etwas Erstaunliches:

sowohl als auch sind aber sogenannte „irrationale“ Zahlen, d.h.

(weshalb mir - wenn schon, denn schon - die Dezimaldarstellungen und   am liebsten sind).

Aber immerhin kann man sowohl als auch durch einen immer länger werdenden Mehrfachbruch beliebig nah annähern.

(Da man aber nicht unendlich lange rechnen kann [und will], wird man sie nie exakt erreichen: und es gibt auch keine andere Möglichkeit, sie exakt zu erreichen!)

Allemal bemerkenswert ist auch, dass man und durch

(aber da scheiden sich wohl die Geister)

damit schöne (!) Mehrfachbrüche

annähern kann.

(Nebenbei: es läßt sich sehr wohl auch schon Fünftklässlern vermitteln, wie eine auf Anhieb scheinbar unmögliche irrationale Zahl aussehen könnte. Z.B. so: 1,0 100 1000 10000 ... Allerdings sind und nach dem Komma nicht so trotz allem regelmäßig, sondern völlig chaotisch. Um so bemerkenswerter ist es, dass sie überhaupt durch so relativ einfache Mehrfachbrüche annäherbar sind.)

Im Hinblick auf eine 5. Klasse ist es unerheblich, dass die Zahlen und   den Schüler noch nichts „sagen“.

(Vielleicht kennen die Schüler aber schon die Redewendung , die für ein laxes „so ungefähr“ steht..

Dabei ist „so ungefähr“ eine schöne Umschreibung für den nie völlig genauen Annäherungsprozess, um den es bei Kettenbrüche geht.

Nebenbei: läßt sich auch abkürzen zu • d und ist somit eine schöne Eselsbrücke für den Kreisumfang.)

Aber warum nicht ab und zu in die Zukunft der Schulmathematik schauen

(was im Standardunterricht, in dem man nur in der Gegenwart oder Vergangenheit lebt, fast nie geschieht)?:

Der Lehrer kann ja immerhin schonmal erwähnen, dass und   in der späteren Schulzeit nochmal wichtig werden

(und in welchen Zusammenhängen das passiert).

Die Schüler können aber allemal zunehmend längere Mehrfachbrüche jeweils vereinfachen und dabei den Annäherungsprozess beobachten:

(Dabei könnte auch schon für Fünftklässler von Interesse sein, wie sich die Brüche , , und auseinander ergeben, nämlich

was auch eine Art "vollständige Induktion" ist

und eine Menge BruchRECHNUNG erspart)

Was die Fünftklässler bei dieser Annäherung aber lernen, ist nichts Geringeres als der

(nur noch nicht so benannte)

„Limes“!

(Nebenbei: es gibt eine Internetseite, auf der man sich

[die einem also die stumpfe Rechenarbeit abnimmt],

[wobei mich ja doch mal der Algorithmus interessieren würde, mit dem diese Umwandlung vorgenommen wird]:

)

All das habe ich aber nur ausgeführt, um zu zeigen, dass hinter der auf den ersten Blick bloß stumpfen Berechnung (Vereinfachung) von Mehrfachbrüchen à la

durchaus interessante

(und schon für Fünftklässler erreichbare)

mathematische Erkenntnisse lauern.

Mein eigentliches Thema hier ist es aber, dass die in Augen eines Mathelehrers

(oder zumindest meinen Augen)

idiotische Vereinfachung langer Mehrfachbrüche in den Augen vieler Fünftklässler durchaus spannend ist, dass viele von ihnen also sehr wohl gerne RECHNEN.

Ein Beispiel: als ich mit Fünftklässlern mal Mehrfachbrüche durchgenommen habe, hat sich einer der Schüler

(ohne Anregung durch mich)

ein ganzes Wochenende hingesetzt und einen gigantischen Mehrfachbruch

(z.B. aus 50 Ebenen)

vereinfacht. Er hat dann alle Vereinfachungs-Zwischenschritte nebeneinander geklebt und ist mit der sich so ergebenden Papierschlange montags morgens stolz wie Oskar im Matheunterricht aufgetaucht. Wir haben

(ganz wichtig!)

die Papierschlange dann an die Wände des Klassenraums geklebt, wobei sich gezeigt hat, dass sie tatsächlich einmal ganz um den Klassenraum reichte:

was für ein Erfolgserlebnis nicht nur für den einen Schüler, sondern auch für seine Klassenkameraden!

(Wo im üblichen Matheunterricht hat ein Schüler jemals solch ein mit Händen fassbares Erfolgserlebnis?!)

Ich habe soeben gesagt, in den Augen eines Mathelehrers

(oder genauer: in meinen Augen)

sei die ellenlange Vereinfachung eines gigantischen Mehrfachbruchs nurmehr „idiotisch“, womit dann auch Fünftklässler, die sowas gerne machen, (noch) nur kleine Idioten sind, die schnellstmöglich zur einzig wahren Lehre, nämlich der „eigentlichen“ Mathematik; bekehrt bzw. umerzogen werden müssen:



(Quelle: ;
besonders schnuckelig finde ich dabei das mathematische [!] Koordinatensystem mit dem Bekehrungs-Graphen!)

So verächtlich habe ich über Schüler ja nie gedacht

(und wenn, dann nur kurz über jene Schüler-Spezies, die reflexartig „können wir nicht endlich zu Aufgaben [also zum Rechnen] zurückkehren?“ krähte, sobald ich mal interessanteren bzw. anspruchsvollen Unterricht machen wollte).

Bzw. gerade das Erlebnis mit dem soeben genannten Schüler, der einen Megabruch vereinfacht hatte, hat mich

(vor über 20 Jahren)

stutzig und dann aufmerksam gemacht:

es gibt viele, vor allem jüngere Schüler, die durchaus gerne RECHNEN.

Warum?:

  1. , weil gerade jüngere Schüler oftmals eine Vorliebe für Geheimsprachen und –schriften haben und Zahlen und Rechenregeln für sie auch eine Art Geheimsprache/-schrift sind
    2.

(und die Lehre von der Verschlüsselung [„Kryptographie“], also den Geheimsprachen und –schriften, ist ja in der Tat ein Teilgebiet der Mathematik – und wäre allemal ein lohnendes Thema für den Matheunterricht: ).

  1. , weil das Rechnen eine „sichere Bank“ ist: da muss man nur (???)
    2.

(was natürlich schnarchlangweilig ist, aber es gibt ja Leute, die völlig unempfindlich gegen Langeweile sind, weil diese ihrem Naturell entgegenkommt),

(Es ist wie im Fach Deutsch: wenn Schüler in einer Klassenarbeit ein Gedicht „analysieren“ sollen, fangen sie immer mit dem Strophenbau, Reimschema und Versmaß an

[sie tun das dem Lehrer zuliebe, aber nicht etwa, weil sie selbst sowas für bedeutsam halten].

Meist bleibt es bei der puren Feststellung solcher „Stilelemente“

[z.B. „das ist eine Metapher [wenn man gerade Metaphern durchgenommen hat, ist alles Metapher] und sie verbildlicht ganz ungemein“],

aber es wird kaum je gefragt, was die konkreten Stilelemente im Text leisten.

Solch eine reine Feststellung von Fakten hat immerhin den Vorteil,

[in Wirklichkeit halten die meisten Schüler nämlich sämtliche Gedichte für absolut weltfremd und „totale Scheiße“ – was sie natürlich nicht laut sagen dürfen, weshalb sie, wenn man sie nach ihrer Meinung fragt, oft schreiben: „ich finde das Gedicht »ganz gut«“].)

Viele (auch Mathelehrer) werden es kaum glauben, aber man kann auch (sogar!) in der Mathematik selbstständig denken!

  1. , weil das Rechnen, das für mich langweilig ist, für viele Leute
    2.

(und zwar auch bzw. gerade Nichtmathematiker)

ein Mittel gegen Langeweile

 und eine Art der Meditation und Erholung ist

(Für mich ist sowas hingegen derart schwachsinnig, dass ich höchstens

      1. einen Sudoku-Generator ein Sudoku erstellen und
        2.
      1. dieses vom sinnigerweise gleich mitgelieferten Sudoku-Solver lösen lassen würde.
        2.

Aber das ist wohl eher mein Problem: ich bin einfach auf dem Spiele- und Knobelauge blind: würde mich zu Tode langweilen.

Nebenbei: an Sudokus wird  vielleicht exemplarisch der Unterschied zwischen Laien und Mathematikern klar:

  1. , weil das immer gleiche Rechnen nach einigen ersten Gehversuchen fast automatisch funktioniert und am Ende oftmals zu etwas sehr Einfachem, also einem Erfolgserlebnis führt.
    2.

Dieser Automatismus des Rechnens ist ja durchaus faszinierend: manchmal hat man sogar das Gefühl, dass die Mathematik ein selbstständiges Wesen

ist, das auch ohne uns

(und inzwischen ja auch in Computern)

funktioniert.

Besonders faszinierend ist es aber, dass die Mathematik

(bzw. ihre Rechenregeln)

manchmal schlauer zu sein scheint als man selbst: sie führt nach langer Rechnungen oftmals zu sehr einfachen Ergebnissen, über die man nur staunen kann, weil man selbst überhaupt nicht mehr einen Überblick darüber hat, wie dieses einfache Ergebnis sukzessive zustande gekommen ist.

(Es lohnt sich aber allemal, in einem Rückblick nochmal anzuschauen, wie sich beispielsweise eine Zahl [das Endergebnis] durch all die Rechnungen geschlängelt hat.)

Lange Rechnungen, die am Ende in einem lauten

 

zu einem sehr einfachen und aussagekräftigen Ergebnis führen, sind wie ein Zauberer, der urplötzlich ein Kaninchen aus seinem Zylinder zieht:

"[...] wenn du vor achtzigtausend [...] kreischenden Rock'n'Roll-Fans stehst, die darauf warten, dass du den Zauberstab schwingst und eine tolle Show ablieferst. Dass du was aus deinem Zylinder ziehst, aus dem Nichts hervorzauberst, ihnen Sachen zeigst, die nicht von dieser Welt sind [...]"
(Bruce Springsteen)

Überhaupt scheint wir, das eine Menge genialer mathematischer Erkenntnisse nicht durch einen spontanen Geistesblitz zustande gekommen sind, sondern weil da jemand ewig rumgerechnet /-probiert hat und nach dem hundertsten Versuch urplötzlich etwas Erstaunliches herauskam

(und erst als das Genie herausfand, weshalb sowas Einfaches herauskam, hatte es sein ).