Zuordnungen, Funktionen und Funktionenscharen

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, benutzte den Begriff "functio" als erster im heutigen mathematischen Sinne (vgl. )

vgl. auch

Einleitung  
Zuordnungen
Funktionen
Funktionenscharen

Sinusoïde

 

C'est fatigant dans les montées
C'est effrayant dans les descendres
Et les sommets ne donnent
Aussi bien que les creux,
Que l'idée de l'arrêt
,
La Notation du repos.

 


(Schnellübersetzung von Veronika Landwehr)

E. Guillevic, Euclidiennes

vgl. auch   Funktionen ... fühlen!

Es reicht allerdings auch ein ganz normales Schultreppengeländer, Hauptsache, es ist nicht neumodisch weitgehend stückweise linear mit einigen Knicken. Sondern man suche sich einen schön elegant geschwungenen, handschmeichlerischen "Handlauf" (!).

An das Schultreppengeländer lasse man die SchülerInnen nun mittels Tesakrepp alle Eigenschaften dranschreiben, also  "Wendepunkt", "Linkskurve" usw.

Probleme bzw. eher Herausforderungen können sich allerdings ergeben,

Es kann kein Zweifel bestehen, dass Funktionen einer der Zentralbegriffe nicht nur der Schul-, sondern auch der gesamten Mathematik sind.

Funktion [lat.], 1) allgemein: Aufgabe, Tätigkeit, Stellung (innerhalb eines größeren Ganzen).
2) Mathematik:
nach traditioneller Auffassung eine Zuordnungsvorschrift, die gewissen Zahlen x (den Argumenten) wieder Zahlen y= f(x) (die F.werte) zuordnet. Man bezeichnet x gewöhnl. als unabhängige, y als abhängige Variable (Veränderliche). F. mit reellen Werten x, y (reelle F.) lassen sich graph. durch eine Kurve im (x, y)-Koordinatensystem darstellen, die genau aus denjenigen Punkten (x, y) besteht, für die y= f(x) ist. Man unterscheidet ganzrationale F., f(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, die für n= 1 speziell die linearen F. enthalten, und rationale F. (Quotienten von ganzrationalen F.). Algebraische F. können auch Wurzeln enthalten, z. B. y= : sie sind allg. dadurch definiert, daß eine algebraische Gleichung zw. x und y besteht (algebraische Funktion), z. B. y4-x2-1 = 0. F., wie z. B. y= sin x, y= ex, y= ln x, für die keine algebraische Beziehung zw. y und x besteht, nennt man transzendente Funktionen. Außer den F. in einer Variablen gibt es die F. mehrerer Variablen, z. B. z= f(x, y) und u= f(x, y, z) bei 2 bzw. 3 unabhängigen Variablen, allg. u= f(x1, x2, ..., xn) bei n unabhängigen Variablen x1, x2, ..., xn. Daneben kennt man F., deren Werte nicht Zahlen, sondern z. B. Vektoren im Falle der Vektor-F. sind. Eine bes. Bedeutung haben die von der Funktionentheorie behandelten komplexwertigen F. eines komplexen Arguments z= x±iy (komplexe F.). Die traditionelle Vorstellung vom F.begriff ist unscharf und außerdem für heutige Zwecke auch nicht weit genug. Man geht daher heute von einer allgemeineren und präzisen Definition der F. aus, die an die Vorstellung des Graphen (der "Kurve") in der (x, y)-Ebene lose anknüpft: Es seien 2 nichtleere Mengen D und W gegeben (Definitionsbereich D, Wertebereich W). Eine Menge von Paaren f= (x, y) |x D, y W nennt man [Graph einer] F., wenn gilt: Zu jedem x D gibt es genau ein Paar (x, y) f.

© Meyers Lexikonverlag

Alle Klarheiten beseitigt?

Das ja eben ist das alte Leid nicht nur mit den Fach-, sondern auch mit den Universallexika, die doch eigentlich - sicherlich ausgehend von einer gewissen Grundbildung - eine erste Orientierung zu bislang Unbekanntem geben soll(t)en: um etwas zu verstehen, muss man schon alles verstanden haben.

Der Lexikonartikel ist - wenn überhaupt - nur dienlich als Verweis auf eingehendere Mathematikbücher. Aber da greife ein Laie doch besser gleich zu solchen Büchern.

Mir scheint, man hatte mal wieder Angst vor einer halbwegs anschaulichen, damit aber auch evtl. fachterminologisch unsauberen Einführung.


Also einfacher und anschaulicher:

 
  1. Im Folgenden wird der Anschaulichkeit zuliebe manchmal eine ungenaue mathematische Fachsprache benutzt.
    (Vgl. z.B. unten "Dortmund = Bochum + 20"):

"Im ganzen - haltet Euch an Worte!
Dann geht Ihr durch die sichre Pforte
Zum Tempel der Gewißheit ein.
[...]
Denn eben wo Begriffe fehlen,
Da stellt ein Wort zur rechten Zeit sich ein.
Mit Worten läßt sich trefflich streiten,
Mit Worten ein System bereiten,
An Worte läßt sich trefflich glauben,
Von einem Wort läßt sich kein Jota rauben.
(Goethe: Faust)

Es geht mir in der Tat um Anschaulichkeit notfalls auf Teufel komm raus, und da bin ich mir zu fast keinem Gag zu schade (vgl. unten Po und Busen und Propeller). Nur ist diese Anschaulichkeit keine Anbiederung und auch kein Selbstzweck, sondern dient dem mathematischen Grundlagenverständnis (also beispielsweise der "Erfahrung" der Stetigkeit und Differenzierbarkeit anhand geschwungener [Körper-]Kurven).

Wir brauchen sehr viel mehr Mut und (was oftmals dasselbe ist) Phantasie zur Anschaulichkeit und notfalls auch zum Gag. Nur darf der nicht als Gag stehen bleiben (vgl. den - per Hyperlink eingestellten - Kommentar zum Sinus und überhaupt zur Schönheit): auch Mathematik muss "erziehen".

  1. Insbesondere erlaube ich mir im Folgenden wieder meinen berühmt-berüchtigten assoziativen Stil, d.h. ich scheue mich nicht, sämtliche Erfahrungsbereiche einzusetzen, um von da aus Mathematik zu verstehen (vgl. "Anschauung statt Anwendung"). Aus dem assoziativen Vorgehen folgt, dass das Folgende in dieser Form nicht als fertiger Unterrichtsgang verstanden werden kann und deshalb auch wohl kaum (mehr) direkt für SchülerInnen geeignet ist: es ist ein brainstorming zu den Machbarkeiten.
  2. Gemeint ist im Folgenden etwa das Niveau einer 10. Klasse.
  3. MathematikerInnen beschäftigen sich teilweise auch mit Gegenbeispielen und Erweiterungen zu unten manchmal bewusst pointiert-ungenau Gesagtem.
 
Die meisten der im Folgenden gezeigten graphisch-anschaulichen Eigenschaften müssten natürlich auch rechnerisch durchdrungen bzw. bewiesen werden (was in der Mittelstufe ja auch schon teilweise geschehen ist). Aber ich vertraue darauf,
  • dass das (in einem zweiten Schritt) besser gelingt, wenn bereits eine Anschauung vorhanden ist;

  • dass also z.B. niemand Nullstellen berechnet, wo gar keine sind.

  1. MathematikerInnen interessieren sich

Die Mathematik interessiert sich also weniger für die "Dinge" (die nummeriert sie einfach mit Zahlen durch) als für ihre Beziehungen zueinander, also sozusagen für den

Bzw. die Einzel"dinge" interessieren oftmals nur insoweit, als sie sich zueinander verhalten

(Genauso könnte man sagen: ein Mensch wird erst definiert durch sein Verhältnis zur Umwelt und zu Mitmenschen, und ohne sie ist er nichts.)

Und da interessieren sich MathematikerInnen insbesondere für Beziehungen, die nach einer klaren Ordnung verlaufen

(vgl. unten Zuordnung, die "Regel" und die Zuordnungsvorschrift).

MathematikerInnen unterstellen also eine geordnete, klare Welt - statt einer willkürlich chaotischen

(wenn sie paradoxerweise sogar auch für den Zufall und das Chaos Modelle entwickelt haben).

Man könnte auch sagen:

Mathematik ist die Wissenschaft von den geordneten Beziehungen

Alles, was jenseits dieser geordneten Beziehungen liegt, interessiert MathematikerInnen nicht

(zumindest nicht solange sie Mathematik betreiben; aber vielleicht durchaus als Privatmenschen)

bzw. darüber können sie (als MathematikerInnen) nichts sagen.

(Einige MathematikerInnen mit Angst vor der Farbigkeit, aber auch Unvorhersehbarkeit der Welt [also Angst vor dem Leben!] leugnen dann aber einfach, dass es das Ungeordnete und Irrationale bzw. eine andere als die rein mathematische Logik [z.B. die Logik Bilder, Intensitäten und Assoziationen] überhaupt gibt.)

Ein Mittel, um Ordnung zu schaffen oder abzubilden, sind Zuordnungen und Funktionen.

  1. Elementen der Menge werden immer Elemente der Menge zugeordnet:
Menge der
durchnummerierten SchülerInnen einer Klasse
{1;2 ... 27}
(Definitionsmenge )
 

wird zugeordnet

Menge der Schuhgrößen
{37;38 ... 49}
(Wertemenge )
x |→ y
Schüler 1 |→ Schuhgröße 41
Schüler 2 |→ Schuhgröße 38
Schüler 3 |→ Schuhgröße 37
...    
  1. Man kann alles jedem zuordnen, also z.B.

aber

Mathematiker interessieren sich vor allem für Zuordnungen von Zahlen zu Zahlen.

(Selbstverständlich geht durch die Reduktion auf reine Zahlen viel verloren, ja wird Mathematik potentiell gemeingefährlich. Vgl. )

Dabei ist klar: Mathematik kann vieles behandeln, aber nicht alles. Z.B. kann Mathematik zwar erstaunlicherweise die Planetenbahnen und die Formen der Planeten (z.B. die Ringe des Saturn) erklären

(und nicht mal das können sie absolut exakt, sondern nur die gegenseitige Anziehung zweier Körper; für mehr als zwei Körper [geschweige denn für die Sonne, ihre neun Planeten und deren Monde] haben sie aber immerhin erstaunlich gute Annäherungen),

aber niemals ihre anrührende Schönheit.

Dennoch ist es erstaunlich, wie viel mathematisch erfassbar ist, nämlich z.B.

Ein "Tor" liegt dann vor, wenn der Ball zur richtigen Zeit (also weder vor noch nach dem Spiel) in der richtigen Position (im Netz) ist;

Zudem hat die Behandlung nackter Zahlen den entscheidenden Vorteil, dass Erkenntnisse auf viele Beispiele anwendbar und übertragbar sein können (worin der eigentliche Grund für den enormen Erfolg der Mathematik liegt). Z.B. kann die reine Zahlen-Zuordnung

erstens bedeuten:

zweitens:

drittens:

...

  1. Für die Elemente aus verwendet man üblicherweise die Variable x und für die Elemente aus üblicherweise die Variable y.
    x ist die Ausgangs- bzw. "freie" Variable, y die "abhängige" Variable, d.h. üblicherweise wird x frei gewählt und daraus das zu x passende y berechnet (und nicht umgekehrt):

x y

Von besonderem Interesse ist, wie sich y ändert, wenn man x vergrößert.

Z.B.:

Grafisch werden die x-Werte im Koordinatensystem immer auf der waagerechten x-Achse aufgetragen und die y-Werte immer auf der senkrechten y-Achse (vgl. auch ).

Die Betrachtung eines Funktionsgraphen findet immer für wachsende x statt, d.h. der Graph wird grundsätzlich

von links nach rechts
 

"gegangen" (und nie umgekehrt!).

(Deshalb ja auch zeigt der Pfeil an der x-Achse nur nach rechts, obwohl die x-Achse natürlich nach beiden Seiten ins Unendliche geht.)

Im vorliegenden Fall steigt der Berg also anfangs bis zur Spitze, weil mit dem wachsenden x auch das y wächst.

  1. MathematikerInnen beschäftigen sich insbesondere mit Zuordnungen von ganzen Intervallen aus   zu ganzen Intervallen (oftmals ganz ), was den Vorteil hat, dass in der grafischen Darstellung nicht nur Einzelpunkte, sondern viel anschaulichere durchgehende Linien zustande kommen:

Wenn kontinuierliche Intervalle vorliegen, ist es auch sinnvoll, vom Definitions- und Wertebereich zu sprechen

(wenn man aus dem Wort "Menge" noch eher eine Ansammlung von getrennten Einzeldingen [die Rosinen in einem Teig], aus dem Wort "Bereich" aber eine homogene Masse [den Teig]  heraus hört).

  1. MathematikerInnen mögen keine Zuordnungen, die völlig chaotisch oder zufällig verlaufen, denn mit ihnen lässt sich gar keine Mathematik betreiben.
    In diesem Sinne ist für sie z.B. die Zuordnung

Schüler | Schuhgröße

uninteressant, weil

berechnen lässt.

Sondern

Mathematiker lieben Zuordnungen, die in allen Fällen nach einer einzigen Regel verlaufen, mittels derer man zu jedem x sein zugehöriges y berechnen kann.

Ein Beispiel:

Weil sonntags nachmittags die Züge von Köln nach Kiel mit Bundeswehrsoldaten überfüllt sind, die wieder zu ihrer Einheit müssen, setzt die Bahn Zusatzzüge ein, also z.B. zusätzlich zum Zug X noch einen Zug Y, der immer 20 km vor dem Zug X fährt:

y = x + 20

wobei y der Ort des Zuges Y und x der Ort des Zuges x ist.

Geregelte Zuordnungen stellen
  • eine (!) allgemeine Regel auf,
  • einen (!) prinzipiellen Zusammenhang dar
    (der noch unabhängig vom Einzelfall ist bzw. für jeden der unendlich vielen möglichen Einzelfälle gilt).

Wichtig dabei ist, dass diese Regel immer gilt, egal, wo der Zug X sich gerade befindet:

Setzt man in die Zuordnung/Regel konkrete Werte ein, so erhält man
  • einen Spezialfall,
  • einen Punkt bzw.
  • ein Standbild.

Wenn man nun für x konkrete Orte einsetzt, so erhält man das jeweils zugehörige y :

(Eigentlich müßig zu ergänzen, dass hier schon erheblich abstrahiert, nämlich von - insbesondere bei Bahnhöfen eintretenden - Brems- und Beschleunigungsmanövern abgesehen wurde.)

Dennoch scheint es mir äußerst zweifelhaft, dass in der Schulmathematik immer nur fertige Funktionen durchgenommen werden, d.h. dass üblicherweise erst die Regel (Zuordnungsvorschrift bzw. Funktionsgleichung) feststeht und dann aus ihr automatisch der Graph folgt:

  1. sieht jede Anwendung ganz anders aus: beispielsweise steht am freien Fall ja nicht die Formel "s = 1/2gt2" dran, sondern diese Gleichung ist überhaupt erst zu finden
    (ja es ist nicht mal so selbstverständlich, dass die Natur sich überhaupt nach einer mathematischen Formel verhält).

Im Unterricht werden viel zu selten "Messpunkte" genommen, zu denen überhaupt erst eine (annähernde!) Gleichung zu finden ist

(vgl. etwa das Programm "CurveExpert").

Bzw. wenn überhaupt, so werden "Steckbriefaufgaben" behandelt, bei denen aus gewissen Eigenschaften (Punkten, Verhalten) auf die von Anfang an gemeinte und eindeutige Funktion zurück geschlossen werden muss.

  1. ist "in der freien Wildbahn" üblicherweise die Zukunft offen

(während in der Mathematik immer schon klar ist, wie es weitergeht: wenn z.B. der Graph von y = x2 jetzt noch fällt, wird er demnächst auch wieder steigen),

und im besten Fall deuten sich Trends an:

Es ist wie eine Bergwanderung im Nebel, bei der man nie verlässlich weiß, wie es weiter geht:

  1. Solche "Offenheit" scheint mir durchaus auch innermathematisch bedeutsam: wie sonst soll denn anschaulich klar werden, was beispielsweise ein Wendepunkt ist - nämlich ein Trendwechsel (und damit vielleicht wichtiger als solch kurzfristige Verheißungen bzw. Enttäuschungen wie Maxima und Minima).

  1. Die Grundform der Zuordnungsgleichung ist immer

y = ,

wobei das Kästchen für die Standardregel steht, mittels derer man zu jedem x sein zugehöriges y erhält. Man kann sich das Kästchen auch als eine Maschine vorstellen, die aus jedem x automatisch sein zugehöriges y macht:

x rein

  y raus

 Solch eine Funktionsmaschine ist

Um zu verdeutlichen, was da geschieht, wird ab spätestens hier

Ein Beispiel ist die (egal was)hoch 3-Maschine:

 

 

 

 

 

Ausgangsmaterial x

Maschine

  Fertigprodukt y

Diese (egal was)hoch 3-Maschine verarbeitet nun sämtliche reellen Zahlen in ihre zugehörigen y-Werte, also z.B. x = 5:

 

 

 

 

Und dann gibt es noch


Großmaschinen

wie z.B. y = , bei der mehrere Arbeitsschritte (Zahnräder) hintereinander liegen, um das x vielfach zu bearbeiten, bevor am Ende y rauskommt. Aber auch diese Maschinen machen mit allen x  stumpf dasselbe nach einer Regel.

Typische Regeln sind z.B.:

Prokrustes [...], in der griech. Mythologie ein riesenhafter Unhold, der Vorbeiziehende durch Abhacken bzw. Strecken ihrer Glieder in ein Bett einpaßt [...]
© Meyers Lexikonverlag ,

sind sie unterschiedlich groß, nachher nicht mehr:


 

womit eine linear-konstante Funktion vorläge, weil allen unterschiedlichen anfänglichen Körpergrößen x dieselbe spätere Länge y zugeordnet würde; man könnte auch sagen: konstante Funktionen sind die "ausgleichende Gerechtigkeit": "take it from the rich, give it to the poor")

  1. MathematikerInnen brauchen klare und eindeutige Verhältnisse und können schwer mit Unwägbarkeiten und Doppeldeutigkeiten leben. Für sie muss alles immer glasklar wahr oder falsch bzw. schwarz oder weiß sein.
    Dementsprechend mögen sie auch keine Zuordnungen, bei denen einem x aus mehrere y aus zugeordnet werden, also z.B. einem Kind mehrere Lieblingskuscheltiere oder einem Menschen zwei Eigenschaften (Haarfarbe und Schuhgröße).

(Solch eine Vielzahl von Eigenschaften lässt sich später durchaus mit sogenannten Vektoren erfassen.)

Unter der Voraussetzung, dass niemand zwei Schuhgrößen gleichzeitig hat, ist also die Zuordnung

Schüler | Schuhgröße

eindeutig

(wobei durchaus mehrere Schüler dieselbe Schuhgröße haben dürfen).

(Nebenbei: die Zuordnung Schüler |→ Schuhgröße kann man notfalls auch dann eindeutig machen, wenn einige SchülerInnen jeweils zwei verschieden große Füße und damit unterschiedliche Schuhgrößen haben. Dann grenzt man eben - ein typisches Verfahren - den Definitionsbereich auf diejenigen SchülerInnen ein, die jeweils gleichgroße Füße und damit eine Schuhgröße haben, d.h. man lässt die anderen SchülerInnen einfach probeweise weg.)

Die umgekehrte Zuordnung

Schuhgröße  |→ Schüler

ist aber üblicherweise nicht eindeutig, denn zu jeder Schuhgröße kann es mehrere Schüler mit dieser Schuhgröße geben

(man weiß insbesondere dann, wenn alle Schuhe gleich aussehen, nicht mehr, wem welche Schuhe gehören).

Zuordnungen, die auf dem gesamten Definitionsbereich eindeutig sind, nennt man auch "Funktionen".

"Ein Gerät funktioniert nicht, wenn etwa beim Betätigen einer Taste gar nichts oder nicht das Gewünschte geschieht, etwa die falsche Lampe aufleuchtet. Wir erwarten also wie bei einer Maschine auf eine bestimmte Eingabe eine eindeutig bestimmte Ausgabe, und damit ist dann schon etwas Typisches des Funktionsbegriffs angesprochen: die eindeutige Zuordnung."
(zitiert nach
)

Stellen wir uns also eine Funktion als ein Gerät vor, das eindeutige Ergebnisse liefert - also z.B. eine Fußgängerampel:

Sie kann (übereinander!) entweder nur rot oder nur grün, nie aber gleichzeitig rot und grün anzeigen

(eine Autoampel wäre hier eine schlechte Illustration wäre, weil sie gleichzeitig rot und gelb sein kann [kurz bevor es grün wird]).

Graphisch erkennt man Funktionen daran, dass

 

 

MathematikerInnen biegen sich "die Welt" notfalls solange zurecht, bis sie ihnen "in den Kram" passt. Wenn z.B. die Zahlen y gesucht werden, deren Quadrat 9 ist, also

y =   3   y2 =   3 2 = 9

y = (-3) y2 = (-3)2 = 9,

so gibt es offensichtlich zu dem einen 9  zwei y, nämlich y = 3 oder y = -3, und somit ergibt sich insgesamt als Graph

Hier liegt aber offensichtlich keine Funktion vor, weil zwei Punkte übereinander liegen. Deshalb lassen die MathematikerInnen einfach den unteren Ast des Graphen weg, und schon erhalten sie einen Funktionsgraphen:

Die Vereinfachung (Funktion) hat allerdings auch eine Erschwernis zur Folge: weil als Wurzel von  9 nur noch die positive Zahl 3 erlaubt ist, ist ab sofort immer eine Fallunterscheidung nötig, um dennoch beide Lösungen zu erfassen.

y2 = 9 y = + oder y = -

          y = +  3  oder y = -  3

          y =     3  oder y = -  3

Es gibt

beides Funktionen;

Den Funktionsgraphen einer (falls vorhanden) Umkehrfunktion kann man durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten erhalten. Z.B.

(ebenso y = x2 y = oder y = 2x y x )

  1. EXTREM WICHTIG:

Ein einzelner Punkt besteht immer aus zwei Koordinaten.

Geometrie Algebra
ein Punkt P (a | b) liegt genau dann auf dem Graphen der Funktion f wenn seine Koordinaten (Zahlen!) die Funktionsgleichung von f erfüllen:

b = f(a)

Dabei bedeutet "genau dann ... wenn", dass die geometrische und die algebraische Aussage immer gleichzeitig (nicht) gelten.

Beispiele:

Vgl. auch .

  1. zur Fachsprache:
f :  y =           f(x)
Funktionsname zur Unterscheidung von anderen Funktionen (also z.B. g oder h).
Der Doppelpunkt bedeutet hier nicht "geteilt durch", sondern "definiert als"
Funktionsterm
(vgl. oben: die Rechenmaschine, mit der man zu jedem x das zugehörige y errechnet)

Funktionsgleichung

Zuordnungsvorschrift: x |→ f(x)
                                        
= y

Diese ZuordnungsVORSCHRIFT entspricht der einen oben genannten Regel, die unterschiedslos auf sämtliche x angewandt wird. Es ist eine brutale Vorschrift, nach der sich alle x zu richten haben:


Wichtig dabei ist, dass in die Funktion

Ein Beispiel:

  1. wichtige Punkte:

Bei Funktionsgraphen gibt es einige Standardpunkte, die von besonderer Bedeutung sind, weil

  1. Nullpunkt
Schnittpunkte mit der x-Achse, d.h. y = 0

mehrere möglich

(die x-Werte, bei denen ein Nullpunkt vorliegt, nennt man auch Nullstellen.)

N ( ? | 0 )
  1.  
Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. x = 0

nur einer möglich, da sonst keine Funktion vorläge

Sy ( 0 | ? )
  1. Hoch- und Tiefpunkte, auch Maxima oder Minima bzw. bei quadratischen Funktionen auch Scheitelpunkte genannt
bei quadratischen Funktionen aus der Scheitelpunktsform ablesbar (s.u.)

y = a (x-b)2 + c
hat den Scheitelpunkt
        S( b |     c)

 
  1. Berührpunkte, in denen ein Graph die x-Achse berührt; Berührpunkte sind mehrfache Nullpunkte

(Es scheint mir - um es nur mal an diesem Beispiel zu erklären - ungeheuer wichtig, Mathematik mit Tätigkeiten [Hinsitzen] zu verbinden; vgl. auch ein entsprechendes Programm eines meiner Schüler:
)

 
  1. Sattelpunkte;
    sind ebenfalls mehrfache Nullpunkte, wenn sie auf der x-Achse liegen
 
  1. Wendepunkte, in denen eine Links- in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt

(wobei das Auto immer von links nach rechts fährt!
zur Übung ist es das Beste, die Kurve regelrecht "abzufahren", indem man das Blatt immer so dreht, dass man die Kurve vor sich hat)
Wendepunkte bedeuten einen wichtigen "Trendwechsel"
(z.B.: die Unternehmensgewinne nehmen zwar noch weiter zu, aber doch merklich langsamer; es gibt Anlass zur Sorge trotz vorerst steigender Gewinne)
  1. weitere Stützpunkte
bei quadratischen Funktionen der Form y = ax2

bei Exponentialfunktionen der Form y = b ax

 
  1. Bei Maxima und Minima ist noch ein wichtiger Unterschied zu beachten: 

Hier sind A, C und D lokale Maxima (in ihrer Umgebung die höchsten Punkte), während B absolutes Maximum ist (der höchste Punkt des gesamten [auf dem Bild sichtbaren] Gebirges).

(Vgl.

Hier sind A, B und C lokale Minima (in ihrer Umgebung die tiefsten Punkte), während D absolutes Minimum ist (der tiefste Punkt des gesamten [auf dem Bild sichtbaren] Gebirges).

Zudem liegt in D ein sogenanntes "Randextremum" vor: es bleibt unklar, ob das Gebirge rechts von D (außerhalb des Bildes)

  1.  

Besonders wichtig (und in Planskizzen immer deutlich herauszustellen) ist das prinzipielle Aussehen bestimmter Funktionenarten und damit

  • ihrer Entwicklung

  • und ihrer rechnerischen Lösungsmöglichkeiten.

Wer schon die Planskizze falsch zeichnet, wird auch falsche rechnerische Ergebnisse erhalten oder aber

  • richtige nicht erkennen

  • bzw. ihre Bedeutung nicht durchschauen.

Vgl. zum grundsätzlichen Verhalten verschiedener Funktionenarten auch 

Ein Beispiel ist das Verhalten des Funktionsgraphen von f: y = x3 im Koordinatenursprung:

Da sticht der Graph nicht schräg durch die x-Achse, sondern macht (von links und rechts) eine "weiche" Landung:

MathematikerInnen interessieren sich oftmals weniger für Einzelpunkte (Einzelfälle) als für den Gesamtverlauf eines Graphen (einer ganzen Serie).

Denn ein Einzelpunkt besagt reichlich wenig über die Entwicklung und könnte auf unterschiedlichsten Graphen liegen:

Bzw. Einzelpunkte sind daher oftmals nur insofern von Interesse, wie sie etwas über den Gesamtgraphen aussagen.

Solche Aussagen wie "Wende-", "Hoch-", "Berühr-" oder "Sattelpunkt" machen nur im Hinblick auf die Gesamtentwicklung eines Graphen, nicht aber im Hinblick auf einen Einzelpunkt Sinn.

(Vgl.: man kann alleine nicht Bester oder Schlechtester sein.

Einzige Ausnahmen sind da die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die auch solche bleiben würden, wenn der ganze sonstige Graph wegfiele.)

Z.B. besagt ein Maximum zwar, dass ein Höhepunkt erreicht ist, aber eben auch, dass es danach wieder bergab geht. Ein Maximum (z.B. von Unternehmensgewinnen) ist also weniger Anlass zur (verfrühten) Freude als vielmehr einer zur Sorge.
(Vgl. "die Hochzeit ist [angeblich] der schönste Tag im Leben einer Frau"; d.h. aber doch, dass es danach nur noch weniger gut, wenn nicht gar schlimmer werden kann.)

Die meisten typischen Eigenschaften und Möglichkeiten von Funktionen lassen sich sehr gut durch Unternehmensgewinne und -verluste veranschaulichen. Vgl. dazu das Programm "Funktionsverlauf" (das allerdings nur funktioniert, wenn auch die entsprechenden Bibliotheksdateien installiert sind; siehe 1,3 MB).
  1. Es gibt verschiedene Funktionenfamilien, die

Daraus folgt:

Bevor man mit einer Funktion losrechnet oder sie zeichnet, mache man sich grundsätzlich klar, zu welcher Funktionenfamilie sie gehört.

(Beispielsweise mache man sich vor jeder Rechnung immer klar, wie viele Nullstellen eine untersuchte Funktion denn überhaupt haben kann - damit man nicht zu viele oder zu wenig berechnet.)

Die Unterschiede zwischen den Funktionenfamilien betreffen erst mal das äußerliche Erscheinungsbild (seine Aussagekraft, aber auch seine Ästhetik)

(vgl. auch ),

Solche Grundeigenschaften sollten auch in Planskizzen immer deutlich werden

(weil man sonst ausgehend von der suggestiven Planskizze auch zu falschen rechnerischen Ergebnissen kommt: man rechnet nur, was man sieht).

Beispielsweise eine Parabel darf also nicht "zackelig" und unsymmetrisch "daherkommen".

Die wichtigsten Funktionenfamilien (jeweils mit besonderen Eigenschaften):

  1. ganzrationale Funktionen

y = axn + bxn-1 ... + c

(wichtig: das x steht in der Basis!)

Das Aussehen richtet sich weitgehend nach dem höchsten Exponenten.

Insbesondere gibt

Spezialfälle:

  1. höchster Exponent n = 1
    y
    = mx + c
     
  • lineare Funktionen, d.h. der Graph ist eine Gerade; m ist die Steigung und c der y-Achsenabschnitt:

 

 

 

 

 

 

 


 

  • für m > 0 steigend, für m < 0 fallend
  • Spezialfälle (für c = 0) der linearen Funktionen sind die proportionalen Funktionen, die zusätzlich durch den Ursprung gehen.
    (Nur) bei proportionalen Funktionen gilt: wenn man den x-Wert vervielfacht, wird der y-Wert genauso vervielfacht
    (vgl. wenn man dreimal so viele Bananen kauft, muss man auch dreimal so viel bezahlen)
  1. höchster Exponent n = 2 y = ax2 + bx + c
  • quadratische Funktionen, parabelförmig

Vgl.

  • all die parabelförmigen Brücken,
  •  sowie den Film  

(Nebenbei: es war ein wahrhaft genialer [genial einfacher] Gedanke Roger Angels, die Parabelform von Rotationskörpern und Teleskopspiegeln miteinander zu verbinden:

"Die [...] war der Einfall, sie [die Spiegel] im Inneren rotierender Öfen zu gießen. Der Effekt gleicht der Wirkung, die Sie erzielen, wenn sie die Suppe in einem Topf heftig umrühren. Das verflüssigte Glas schwappt zu den Rändern des Behälters, so daß sich in der Mitte eine Vertiefung bildet. [...] Da das Glas während des Abkühlens seine Rotation beibehält, ist die Parabel auch nach dem Erstarren des Glases noch vorhanden. Durch den Rotations-oder Schleuderguß fällt ein ganzer Abschnitt des Schleifprozesses fort. Angel schätzt, daß er sich dadurch zwei Jahre Arbeit an dem 8,4-MeterSpiegel erspart und 27 Tonnen Glas, die nicht herausgemeißelt werden müssen."
[zitiert nach Michael Lemmonick: Neue Welten im All]

Bleibt allerdings die Frage, warum sowohl Spiegel als auch Rotationskörper parabelförmig sind.)

 

  •  



  •  
  • "Kometen haben elliptische Umlaufbahnen. Die Perioden von ungefähr 200 Kometen sind berechnet worden. Eine Periode ist die Zeit, die sie benötigen, um einmal um die Sonne zu kreisen. Sie liegt zwischen 3,3 Jahren für den Encke’schen Kometen und 2 000 Jahren für den Donati’schen Kometen von 1858. Die Umlaufbahnen der meisten Kometen sind so groß, dass sie nicht von Parabeln zu unterscheiden sind. Dies sind offene Kurven, die die Kometen aus dem Sonnensystem hinausführen würden. Aber aus technischen Analysen leiten Astronomen die Annahme ab, dass auch diese großen Umlaufbahnen Ellipsen sind, und zwar sehr exzentrische, deren Umlaufzeiten bis zu 40 000 Jahren oder vielleicht noch viel länger sein können."
    (Microsoft Encarta Professional 2002)

  • für a = 1 liegt eine Normalparabel vor
  • für a > 0 nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten geöffnet
  • für 0 < |a| < 1 gestaucht
    (von oben bzw. unten zusammengedrückt

(da wird die Normalparabel also regelrecht in den Boden gestampft)
 

  • für 1 < |a| gestreckt
    (nach oben hoch- oder nach unten runtergezogen:

    ein wenig erinnert das an das mittelalterliche Folterinstrument namens Streckbett, in dem die Opfer länger gezogen wurden)

(die Koeffizient a vor der höchsten Potenz höhergradiger ganzrationaler Funktionen bewirkt dasselbe!)

  • Nullstellenberechnung durch
    • quadratische Ergänzung oder

    • (nach Normierung)
  • keine, eine oder zwei Nullstellen
  • Scheitelpunktsberechnung: quadratische Ergänzung zur Scheitelpunktsform:

y =                         a (x-d)2+ c
hat den Scheitelpunkt S( d  |   c)

  • Parabeln sind grundsätzlich achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse, die durch den Scheitelpunkt geht:
  1. höchster Exponent n = 3
  • kubische Funktionen
  • s-förmig:

  • mindestens eine, höchstens drei Nullstellen
  • Nullstellen (in der Schulmathematik) nur berechenbar, wenn mindestens eine bekannt; dann Polynomendivision, um die anderen zu finden
  • für a > 0 aus dem Negativen kommend und ins Positive gehend, für a < 0 umgekehrt;
  • Spezialfall: rein ungerade Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung
  • die Graphen von Funktionen dritten Grades sind grundsätzlich punkt- bzw. drehsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt:
  1. höchster Exponent n = 4
  • w-förmig:


(honi soit qui mal y pense)


(man könnte auch der Anschaulichkeit halber sagen: eine Pobacke hängt neben dem Hocker runter)
  • Nullstellenzahl: 0;1;2;3;4
  • Spezialfall: nur gerade Exponenten/biquadratisch:
    • achsensymmetrisch zur y-Achse
    • Nullstellen (soweit vorhanden) durch Substitution z = x2 ermittelbar
  1. höchster Exponent n gerade
  • im Prinzip parabelförmig (s.o.), evtl. mit Schlenkern in der Mitte
    (solche Funktionen gehören fast ins Kuriositätenkabinett eines mittelalterlichen Jahrmarkts: sie haben mehr als zwei "Pobacken";
    es gibt auch Funktionen ohne "Po-Ritze", nämlich z.B. die einfachsten:

)

  • evtl. keine Nullstelle, höchstens n Nullstellen
  1. höchster Exponent n ungerade
  • im Prinzip s-förmig (s.o.) mit Schlenkern in der Mitte
  • mindestens eine, höchtens n Nullstellen
  1. Wurzelfunktion

y =

(wichtig: das x steht unter der Wurzel)

 

(nach rechts geöffnete Parabel, nur oberer Ast)

  1. Hyperbelfunktion

y =

"Sie berühren sich [an allen Koordinatenachsen] im Unendlichen!" - "Wie romantisch!"
bzw. sie berühren sich eben gerade niemals
 

(wichtig: das x steht im Nenner)

"»Ach«, sagte die Maus, »die Welt wird enger mit jedem Tag. Zuerst war sie so breit, daß ich Angst hatte, ich lief weiter und war glücklich, daß ich endlich rechts und links in der Ferne Mauern sah, aber diese langen Mauern eilen so schnell aufeinander zu, daß ich schon im letzten Zimmer bin, und dort im Winkel steht die Falle, in die ich laufe.« – »Du mußt nur die Laufrichtung ändern«, sagte die Katze und fraß sie." (Franz Kafka)

  1. Exponentialfunktionen


(Wachstum der Erdbevölkerung;
Modell im Deutschen Museum, München)

vgl.

y = bax

(wichtig: das x steht im Exponenten)


auch hier gilt wieder: "Sie berühren sich [links] im Unendlichen!" - "Wie romantisch!"
bzw. sie berühren sich eben gerade niemals

(vgl. )

  1. Logarithmusfunktionen

y = logb x

  1. trigonometrische Funktionen
  • Sinusfunktion

Axe-Reklame: "Ach wie nett, du hast meinen Busen bemerkt."

(lat. sinus = Bucht, Busen; vgl.  )

 

  • Cosinusfunktion


     

    (die Sinus- und die Cosinusfunktion haben die Besonderheit, dass sie nach oben und unten beschränkt sind, also nie aus dem "Käfig" zwischen -1 und 1 heraus können:

    auf die Gefahr hin, fälschlich in den Verdacht zu geraten, sexistisch zu denken oder dem Jugendkult anzuhängen: so wie Parabeln schön geschwungen aussehen sollten, müssen auch Sinus- und Cosinusgraphen harmonisch fließen wie der Busen eines "knackigen" jungen Mädchens - und nicht wie der einer alten Frau:
    es liegt nicht an mir, dass "Sinus" nun mal "Busen" bedeutet, und Männer, die nur nach solchen [schönen!] äußerlichkeiten gehen, sollten vor allem mal an sich selbst herab sehen;
    vgl. auch )

  • Tangensfunktion

    an einigen Stellen nicht definiert; in deren Nähe jeweils asymptotisch gegen Parallelen zur y-Achse laufend
    (anders als bei kubischen Funktionen!)

  • Cotangensfunktion

    an einigen Stellen nicht definiert; in deren Nähe jeweils asymptotisch gegen Parallelen zur y-Achse laufend

  1. Funktionenscharen:
  "The Great Curve

 [...]
 The world moves on a womans hips
 The world moves and it swivels and bops
 The world moves on a womans hips
 The world moves and it bounces and hops
 [...]"
 (Talking heads)

Wie schon oben gesagt, beschäftigen sich MathematikerInnen ungern mit Einzelfällen, sondern suchen sie immer nach möglichst allgemeine Gesetzen, also z.B.

Mathematiker versuchen immer, "möglichst viele [am besten alle] Fliegen mit einer Klappe zu erschlagen".

(Es ist allemal bemerkenswert, dass die Mathematik als einzige Wissenschaft Aussagen für alle / unendlich viele Fälle machen kann - und dass die Beweise paradoxerweise oftmals dennoch sehr kurz sind.)

Meistens läuft das so, dass

Z.B. stellen MathematikerInnen irgendwann fest:

Also betrachten MathematikerInnen in ihrem Verallgemeinerungswahn ab sofort nicht mehr Einzelparabeln, sondern alle Parabeln mit Gleichungen der Form y = ax2.

Hinter der unscheinbaren Gleichung y = ax2 steckt also eine "Funktionenschar" aus unendlich vielen Parabeln

(wenn einem der geometrische Aspekt wichtiger ist, spricht man auch von "Kurvenscharen"):

(hier sind nur einige Parabeln für -10 < a < 10 mit Zwischenschritten von 0,1 eingezeichnet, weshalb noch seitlich schmale Streifen und oben und unten große Flächen leer bleiben)

Wenn man alle Graphen zur Gleichung y = ax2 einzeichnen würde, so würde das gesamte Koordinatensystem violett eingefärbt (außer der dann allerdings kaum mehr erkennbaren y-Achse).

Ein besonders schöner Effekt ergibt sich aber, wenn die einzelnen Funktionsgraphen einer Funktionenschar nacheinander erscheinen:

Das sieht dann so ähnlich aus wie eine sich öffnende oder schließende Blume:

Im Gegensatz zur (freien) Variablen x und der (abhängigen) Variablen y nennt man a auch "Formvariable".

Eine weitere Funktionenschar wäre z.B. y = ax3 :

(hier sind nur einige Funktionsgraphen für 0 < a < 10 mit Zwischenschritten von 0,1 eingezeichnet, weshalb noch große Flächen leer bleiben)

Wenn man auch hier wieder alle Graphen zur Gleichung y = ax3 einzeichnen würde, so würde ebenfalls das gesamte Koordinatensystem violett eingefärbt (außer der dann allerdings kaum mehr erkennbaren x- und der y-Achse).

Will man nun aus der Funktionenschar y = ax3 eine spezielle Einzelfunktion haben, so

Solche Funktionenscharen lassen sich dann auf übergreifende Gemeinsamkeiten hin untersuchen. Z.B. liegen - wie sich beweisen lässt - alle Minima der Funktionenschar y = a x3 - x2 auf der Parabel y = - x2 :

Und das ist doch allemal staunenswert:

An Funktionenscharen wird besser als an Einzelfunktionen deutlich, was an den jeweiligen Funktionenfamilien (s.o.) besonders auffällig ist bzw. was alle Mitglieder einer jeweiligen Familie gemeinsam haben und welche Eigenschaften solch eine Familie überhaupt ausmachen.

Zudem erinnert die Betrachtung von Funktionenscharen ans mathematische Fachgebiet der Topologie:

"Topologie, Zweig der Mathematik, in dem bestimmte Eigenschaften geometrischer Figuren untersucht werden. Das Wort Topologie wurde 1930 von dem Mathematiker Salomon Lefschetz geprägt. Gewöhnlich wird Topologie der Geometrie zugeordnet; sie befasst sich mit denjenigen Eigenschaften geometrischer Figuren im Raum, die sich nicht verändern, wenn der Raum in irgendeiner Art gekrümmt, verdreht, gedehnt oder verformt wird [...]. Die Geometrie beschäftigt sich mit Eigenschaften wie der absoluten Position [...], die Topologie dagegen nur mit Eigenschaften [...] wie der relativen Position und der allgemeinen Form."
(Microsoft Encarta Professional 2002)

Wie kann ich einen Funktionsgraphen verbiegen, ohne die Besonderheiten seiner Familie zu verlieren?

Funktionenscharen "in freier Wildbahn":

  1. (vgl. dazu den Film )

Bemerkenswerter als die Unterschiede zwischen den drei Ausflüssen scheint mir jeder Einzelausfluss, bei dem das auslaufende Wasser jeweils eine Funktionenschar (von Parabeln) bildet.

  1. die (Parabel-)Funktionenschar, die sich bei jedem Viereck(rasen)regner bildet, wenn er hin und her schwenkt.

Das wirklich Faszinierende an diesen Wasser-Funktionsscharen ist dabei für mich, dass da nicht verschiedene Funktionen aufeinander folgen, sondern eine einzige (immer derselbe Wasserstrahl) kontinuierlich verschiedene (unendlich viele!) Funktionen wird.

Besserwisserisch: es ist zwar immer derselbe Strahl, aber nicht dasselbe Wasser:

"Man steigt nicht zweimal in denselben Fluss."

Wundersam ist es aber doch allemal, dass ein Wasserteilchen, wenn es nur ein wenig weiter geflossen ist, bereits zu einer neuen Funktion gehört.

Die Wasserbeispiele passen also bestens in meine .

Nebenbei: der englische Begriff "function family" gefällt mir viel besser, weil's da so schön menschelt.

PS:

Unter den vielen Funktionsarten gibt es welche, die - oder genauer: deren Funktionsgraphen - (nicht nur) von MathematikerInneN als besonders schön empfunden werden (beispielsweise Parabeln oder Sinusfunktionen).
Und es gibt welche, die überhaupt erst - etwa im Vergleich mit einer langweiligen Gerade - den gewissen intellektuellen Kick vermitteln. Vgl. .

PPS: Als Hintergrundslektüre allemal empfehlenswert ist hier Horst Hischer: Zur Geschichte des Funktionsbegriffs
PPPS:

Ein nettes kleines Programm leider nur für neudeutsch "Organizer" bzw. "Handhelds" ist "iGraph": die einfachste Möglichkeit besteht darin, sich bestimmte Funktionsklassen

anzeigen zu lassen und dann Punkte zu verschieben

,

so dass man verschiedenste Möglichkeiten durchspielen kann.

Das Programm zeigt auch sehr schön, wie viele Punkte man zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen braucht, nämlich immer einen Punkt mehr als der Grad der Funktion ist (bei der Funktion vierten Grades in der letzten Abbildung also fünf Punkte).

Ähnliches leistet das Windows-Programm


(Download hier)