von Berlin nach New York
oder
die Geometrie der Erde

vgl.

(Quelle: ) „Tautologie (von altgriechisch ταὐτό = τὸ αὐτό to autó ‚dasselbe‘ sowie λόγος lógos ‚Sprechen, Rede‘ )bezeichnet in der Stilistik und Rhetorik eine rhetorische Figur, bei der mit einer inhaltlichen Wiederholung, sprich einer semantischen Redundanz, gearbeitet wird. [...] Ein verwandter Begriff ist Pleonasmus. Die Ausdrücke „Tautologie“ und „Pleonasmus“ werden teils synonym, teils in unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Die Abgrenzung hängt weitgehend von terminologischen Entscheidungen ab und ist dem jeweiligen Zusammenhang (Kontext) zu entnehmen.“ (Quelle:  ) „Ein Pleonasmus (griechisch πλεονασμóς pleonasmós „Überfluss, Übertreibung, Vergrößerung [in der Erzählung]“) ist eine rhetorische Figur, sie ist gekennzeichnet durch Wortreichtum ohne Informationsgewinn. Ein Pleonasmus liegt vor, wenn innerhalb einer Wortgruppe eine bestimmte Bedeutung mehrfach auf unterschiedliche Weise (oft mit verschiedenen Wortarten, etwa Adjektiv/Substantiv) zum Ausdruck gebracht wird oder wenn Ausdrucksmittel verwendet werden, die keine zusätzlichen Informationen beisteuern. Diese Figur kann somit auf semantischer Ebene redundant sein, jedoch die Wirkung einer Aussage steuern.“ (Quelle: )

„Die Geometrie (altgriechisch γεωμετρία [...] ‚Erdmaß‘, ‚Erdmessung‘, ‚Landmessung‘) ist ein Teilgebiet der Mathematik.“
(Quelle: )

(Papyrus Rhind)

„Durch die alljährlich sich wiederholende Nilschwemme und die dadurch verursachte Verwischung der Feldbegrenzungen durch den abgelagerten Nilschlamm sowie den Zwang zur Neueinteilung der Felder nach Ablaufen der Flut waren die alten Ägypter zur Vermeidung endloser Bodeneigentums- und Bodennutzungsstreitigkeiten darauf angewiesen, planimetrische Berechnungen der Flächeninhalte von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen zu entwickeln.“

(Quelle:   )

„Unter Planimetrie versteht man allgemein [...] Problemstellungen der ebenen Geometrie [...].“

[Quelle: ],

Schade finde ich es aber ja doch, dass die ursprüngliche Bedeutung des Worts „Geometrie“ weitgehend verblasst, also meistens gar nicht mehr bekannt ist bzw. erkannt wird

(vgl. „verblasste Metaphern“:

„Je nach Gebräuchlichkeit [...] lassen sich Metaphern unterscheiden in neuartige metaphorische Ausdrücke, die teilweise als kühn empfunden werden, klischeehafte Metaphern (z. B. das Feuer der Liebe), deren metaphorischer Status trotz der häufigen Verwendung noch spürbar ist, sowie verblasste Metaphern, deren metaphorischer Ursprung nicht mehr präsent ist (beispielsweise wird Leitfaden kaum noch mit Ariadne assoziiert).“

[Quelle: ]).

Zumindest wird in Schulen

• die urspüngliche Bedeutung „Geometrie = Erdvermessung“ höchstens mal kurz erwähnt

(obwohl doch die Verbindung GEOmetrie/GEOgraphie so nahe liegt),

• leider nie die Geometrie der Erde im Mathematikunterricht behandelt.

Die „sphärische Geometrie“ ist also längst kein (fakultativer) Unterrichtsinhalt mehr:

„Die sphärische Geometrie, auch Kugelgeometrie oder Geometrie auf der Kugel, befasst sich mit Punkten und Punktmengen auf der Kugel. Motiviert ist sie ursprünglich durch geometrische Betrachtungen auf der Erdkugel (vgl. Kartografie) und der Himmelssphäre (vgl. Astrometrie). [...]

Die sphärische Geometrie unterscheidet sich in einigen Punkten stark von der ebenen euklidischen Geometrie. Sie besitzt keine Parallelen, da sich zwei Großkreise, das Analogon der Geraden auf der Kugel, stets schneiden. Viele aus der euklidischen Geometrie bekannte Sätze, wie die 180°-Winkelsumme im Dreieck oder der Satz des Pythagoras, haben auf der Kugel keine Gültigkeit.“

(Quelle: )

... wobei „sphärische Geometrie“ im Grunde auch doppelt gemoppelt ist, da die Erde [= Geo] ja nunmal Sphären- = Kugelform hat.

(... wobei eine Sphäre allerdings, genau genommen, nur die äußere Haut bzw. Oberfläche einer Kugel ist:

eine Kugel ist also ein dreidimensionaler Körper, eine Sphäre hingegen eine zweidimensionale [und doch im Dreidimensionalen gebogene] Fläche.)

Weil die Geometrie der Erde bzw. einer Kugel im üblichen Mathematikunterricht an Schulen nicht (mehr) vorkommt, lernen die Schüler aber fast nur die antike (euklidische) und niemals auch nur ansatzweise die moderne Geometrie kennen

... und nur eiserne Gesetze wie die Winkelsumme 180° in Dreiecken und den Satz des Pythagoras.

Schüler haben aber ein Recht auf die (soweit vorhanden undhalbwegs verständlich)  geradezu befreienden Ausnahmen von diesen wunderschönen, ohne Ausnahmen aber doch allzu rechthaberischen Regeln.

---

Es ließe sich trefflich streiten, ob die in der sphärischen Geometrie nötigen komplizierten Rechnungen (vgl. etwa ) in der Schule überhaupt machbar und wünschenswert sind.

Mir geht es aber im Folgenden auch gar nicht um solche Rechnungen, sondern „nur“ um erste anschauliche Erkundungen der Erdgestalt.

---

Es gab und gibt auch immer beste Gründe, nicht von Berlin nach New York, sondern umgekehrt von New York nach Berlin zu fliegen:

Im Folgenden werden wir uns lange mit einem Flug von Berlin nach New York, also der Verbindung zwischen zwei echten Metropolen beschäftigen.

Wir fliegen also

• nicht im Kuhdorf Frankfurt a.M. ab, diesem Möchtegern-Mainhattan mit seinen lächerlichen und potthässlichen Bankentürmen,
• sondern von , wozu wir allerdings mal kurz Chuck Norris  bemühen müssen:

In „Googe Maps“ kann man sich die Luftlinien-Entfernung zwischen zwei Orten und die Luftlinie zwischen ihnen anzeigen lassen. Z.B. für Berlin / New York ergibt sich

,

also merkwürdigerweise keine Gerade (Strecke), sondern eine krumme (?) Linie.

(Hier sei mal davon abgesehen, dass das Flugzeug

• in Berlin erstmal auf Reiseflughöhe steigen muss,
• lange Zeit etwa 10 km über der Erdoberfläche fliegt,
• in New York wieder von der Reiseflughöhe auf den Erdboden kommen muss.

Das sind im Vergleich mit der Erdgröße alles minimale Effekte

[auf einen 30-cm-Globus umgerechnet etwa ein halber Millimeter - und etwa genauso hoch ist da der Mount Everest und genauso tief der unterseeische Marianengraben],

so dass wir der Einfachheit halber so tun können, als wenn das Flugzeug auf der Erdoberfläche „rumkrabbelt“ wie eine Fliege auf einer Billardkugel

[wobei die Fliege vielleicht nichtmal bemerkt, dass sie auf einer Kugel rumläuft, sondern meint, sich in einer Ebene zu bewegen: genau so, wie wir Menschen die Erde in der Regel als flach wahrnehmen: ].

Ich habe mehrfach im Unterricht den „advocatus diaboli“ gespielt und

• erst behauptet, die Erde sei eine flache Scheibe und drehe sich nicht

[sondern der komplette Kosmos drehe sich brav um die Erde],

• dann gefragt, ob mir jemand das Gegenteil beweisen könne,
• was niemals ein Schüler konnte.)

Noch deutlicher ist der Effekt bei einem Flug von Berlin nach Hawaii:

(Merkwürdig daran ist schon allein, dass die angezeigte Flugroute nichtmal ein hübsch regelmäßiger Kreis ist, sondern eine Art Parabel zu sein scheint.)

Wenn also ein Flugzeug von Berlin nach Hawaii die Strecke

fliegt, dann

• nicht

(wie man erwarten sollte!?)

brav immer nach (Süd-)Westen

• sondern offensichtlich (?) einen Riesenumweg, indem es
• von Berlin aus erstmal nach Norden (!) startet,
• über den Nordpol (also "den Arsch der Welt") fliegt
• und danach in Richtung Süden (!) nach Hawaii.

Ein Normalsterblicher wird da doch wohl denken: „geht‘s noch umständlicher?“

(Nebenbei: stutzig an der Landkarte

könnte einen immerhin machen, dass da Grönland größer als die gesamten USA ist. Aber da könnte man ja auch denken: naja, dafür gibt‘s in Grönland aber auch nur massenhaft Gegend [Eis], ist da also der Hund [bzw. Eisbär] verfroren.

Oder um Grönland mal mit Afrika zu vergleichen: in verschiedenen Kartenprojektionen [s.u.] ergeben sich extrem unterschiedliche Größenverhältnisse

[aber auch völlig unterschiedliche Formen Grönlands]:

Nur die Gall-Peters-Projektion gibt da aber das korrekte Flächenverhältnis Grönland/Afrika wieder.)

Woher aber rührt eigentlich unsere Erwartung, dass ein Flugzeug für den kürzesten Weg von Berlin nach Hawaii nach Westen fliegen sollte?

1. liegt es vielleicht an der historischen Entwicklung:

• Columbus entdeckte Amerika auf seiner Fahrt nach Westen,
• der (nord-)amerikanische Kontinent wurde von den Europäern (mit Ausnahmen) sukzessive von Ost nach West erobert:   ,
• Hawaii ist nicht nur der letzte (50.) Staat, der Mitglied der USA wurde, sondern auch der westlichste Staat der USA.

2. liegt es an der Darstellung von Globen, also

bzw.

(wenn wir hier die [nicht erklärte] Schrägstellung der Erde weglassen)

:

die Erde dreht sich nunmal um die durch Nord- und Südpol gehende Erdachse.

Pure Willkür (?) ist es hingegen, dass man sich irgendwann geeinigt hat, alle Landkarten und damit auch Globen zu „norden“, also den Nordpol nach oben zu legen.

(Vor der Einigung auf die Nordung gab es durchaus Landkarten, die nicht „genordet“, sondern z.B. „geostet“ waren, bei denen also der Osten oben lag:

[Ebstorfer Weltkarte, entstanden vermutlich ca. 1300 n. Chr.])

Da aber nunmal alle heutigen Globen genordet sind, sind sie nur in Ost-West-Richtung oder umgekehrt drehbar

- und halten wir deshalb wohl aus purer Gewohnheit bei langen Strecken die Ost-West-Richtung für die einzig „richtige“ und kürzeste.

Mal angenommen aber mal,

• die Erde hätte einen Ost- und einen Westpol,
• die Erdachse ginge also durch diese beiden Pole,
• die Erde würde sich um diese Ost-West-Erdachse drehen,
• man hätte sich auf eine „Ostung“ von Landkarten und Globen geeinigt, also den Osten nach oben gelegt
• und somit wäre ein Globus nur in Nord-Süd-Richtung bzw. umgekehrt drehbar:

Vielleicht würden wir dann bei langen Strecken nur die Nord-Süd-Richtung als einzig „richtig“ und kürzest empfinden - und bei einem Flug von Berlin nach Hawaii über den derzeitigen Nordpol fliegen wollen!

(Nebenbei: ich bin mir trotzdem gar nicht so sicher, ob die „Nordung“ von Landkarten und Globen wirklich absolut willkürlich bzw. zufällig war: war diese Nordung vielleicht doch dadurch bedingt, dass

• alle Menschen

[soweit sie von der Kugelform der Erde wissen]

meinen, sie selbst seien oben

[die „Antipoden“ = Menschen auf der anderen Seite des Globus ("down under") stünden hingegen „falschrum“ - und müssten doch eigentlich von der Erde nach unten runterfallen oder zumindest einen Blutstau im Kopf bekommen: ],

• die Europäer aber
• lange Zeit wissenschaftlich den Ton angaben,
• eurozentrisch die ganze Welt kolonialisierten
  
• und nunmal im Norden lebten?)

3. könnte es sein, dass wir schlichtweg alle Reisen über die eisbedeckten und somit lausig kalten Pole für arg unwirtlich halten

(nicht bedenkend, dass das in Flugzeugen unerheblich ist; und nebenbei: über dem Atlantik abzustürzen ist auch nicht viel angenehmer als über dem Nordpol)?

• wegen des üblicherweise kleinen Fusses eines Globus ist es naheliegend, diesen auf einen Tisch zu stellen , und wenn wir uns dann davor setzen, sehen wir den Globus von der Äquatorebene aus und verbleiben wir auch die ganze Zeit in dieser gewohnten Äquatorebene;

• vermutlich werden wir zwecks erster Orientierung den Globus dann erstmal so drehen, dass wir Deutschland und dort insbesondere Berlin direkt vor uns haben:

• durch die Konstruktion des Globus (Drehbarkeit um die Erdachse) und weil der Mensch an sich ja faul ist (ungern aufsteht), bleibt uns jetzt nur, den Globus in Ost-West-Richtung oder umgekehrt um seine Achse zu drehen:

drehen wohl die meisten Menschen den Globus nach rechts bzw. in östliche Richtung

,

so dass sukzessive die westlichen Gebiete

• Berlin verschwindet schon langsam an der Erdperipherie, Hawaii ist aber noch immer nicht sichbar,

• Berlin ist längst aus dem Blickwinkel verschwunden, dafür ist aber Hawaii inzwischen aufgetaucht.

← ← 

)

(wenn wir also von dem Stuhl vor dem Tisch, auf dem der Globus steht, aufstehen: Veranschaulichung ist bei mir eben oftmals "offenen Auges tun").

(Es gibt solche durchsichtigen Globen auch in der Form von Wasserbällen [für den Unterricht!] zu kaufen: )

• Berlin liegt auf der Vorderseite: ,

• Hawaii liegt auf der Rückseite: ,

• Zusammen ergibt sich dann: .

,

in dem Temperaturen bis ca. 3000 (!!!) Grad herrschen. Bei ihrem Weg durch den oberen Erdmantel durchquert die kürzeste Verbindung „plastisches“ Gestein, also zähflüssige Lava bzw. Magma:

Solch eine gerade, unterirdische Verbindung würde also zu einigen Problemen führen:

1. ist es technisch und finanziell utopisch, einen derart langen Tunnel zu bauen 

(der längste derzeit existierende Tunnel der Welt, der Gotthard-Basistunnel, ist schlappe 57 km lang

[und hat 10 Milliarden € gekostet];

kommt hinzu, dass man für andere Städteverbindungen noch massenhaft andere Tunnel brauchen würde),

2. würde bei 3000 Grad jedes Bohrgerät und Baumaterial (Beton) schmilzen

(aber selbst wenn ein solcher Tunnel möglich wäre, würden doch die Flugzeuge in ihm schmilzen),

3. bräuchte man z.B. für einen Jumbo Jet mit einer Flügelspannweite von 60 m einen gigantisch breiten Tunnel

und dann auch noch Platz für den Gegenverkehr.

Da bleiben wir doch lieber auf „dem Boden der Tatsachen“ bzw. über statt unter der Erde, handeln uns damit aber nunmal unvermeidbar die kompliziertere, „nicht-euklidische“ Kugelgeometrie ein!

Es gibt eine erstaunlich einfache

(wohl auf einem Globus, nicht aber auf der riesigen Erde praktikable)

Methode, den kürzesten oberirdischen Weg von Berlin nach New York herauszufinden:

• man nehme zwei riesige Nägel ,
• schlage mit dem Hammer Gottes den einen Nagel in Berlin und den anderen in New York ein

• und spanne zwischen beiden Nägeln ein gigantische Version von

(wobei wir mal davon absehen, dass das Gummiband im Atlantik untergehen würde, was allerdings im Vergleich mit der Erdgröße auch nur ein minimaler Effekt wäre):

Das Gummiband ist dabei sozusagen schlauer als wir, findet nämlich „von selbst“ die kürzeste (oberirdische) Verbindung.

Eine andere, nagel- und hammerfreie Methode, diese kürzeste Verbindung zu finden, funktioniert so: man nehme ein geschlossenes Gummiband mit einem Radius, der ein bisschen kleiner als der der Erde (bzw. des Globus‘) ist, und lege dieses Gummiband derart komplett um die Erde (den Globus) herum, dass es u.a. durch Berlin und New York geht:

Dann ist der (kürzere) Gummiabschnitt zwischen Berlin und New York ebenfalls die kürzeste (oberirdische) Verbindung zwischen diesen beiden Orten.

(so dass es durch Berlin und New York geht):

• das Gummiband rutscht immer wieder seitlich von der glatten Globusoberfläche ab

(etwa so, wie bei einem dicken Mann der Gürtel immer unter den Bauch rutscht: ),

weil es sich ganz relaxed zu entspannen, d.h. auf seine kürzeste Ausdehnung zu verkürzen versucht;

• erst wenn man das Gummiband auf den größtmöglichen Kreis ("Großkreis") auf der Globusoberfläche schiebt

(der durch Berlin und New York geht),

rutscht es nicht mehr vom Globus ab.

Da passiert also etwas merkwürdig Widersprüchliches:

• der größtmögliche Kreis auf der Erd- bzw. Globusoberfläche
• führt zur kleinstmöglichen = kürzesten Entfernung zwischen Berlin und New York.

Wenn wir jetzt die Erde bzw. den Globus noch am Goßkreis durch Berlin und New York durchschneiden

(man sollte das im Unterricht anhand eines Globus´ oder z.B. einer Orange wirklich mal tun!),

erhalten wir als Schnittfläche eine Kreisscheibe , deren Rand der Großkreis ist. Und diese Kreisscheibe geht durch den Erd- bzw. Globusmittelpunkt!:

(Auch solch ein Schrägschnitt ist gar nicht so einfach. Es ergibt sich aber ein ganz einfacher Schnitt, wenn wir Berlin und New York nach oben legen:

)

Bei solch einem Schnitt  wird die Erde / der Globus / die Orange in zwei Halbkugeln geteilt

,

• nur diesmal nicht entlang des Äquators

(viele Globen sind am Äquator aus zwei Halbkugeln zusammengesetzt: ),

• sondern entlang eines anderen, schräg zum Äquator verlaufenden und diesen in zwei Punkten schneidenden Großkreises:

(... mit einer Ausnahme: der Äquator ist ja selbst auch schon ein Großkreis).

Es gibt

• unendlich viele Großkreise um die Erde (einen Globus)

• und zu je zwei Oberflächenpunkten (z.B. Berlin und New York) immer genau einen durch beide gehenden Großkreis:

Auf der Kugeloberfläche ergibt sich eine markant andere Geometrie als in der Ebene. Insbesondere gelten auf der Kugel

(wie oben schon angedeutet)

zwei eiserne Gesetze der Ebenengeometrie nicht mehr: auf der Kugeloberfläche

1. haben nicht mehr alle Dreiecke dieselbe Winkelsumme, und zwar 180⁰, sondern sie haben

Zu 1., also der Winkelsumme:

,

• im Punkt B drehen wir uns um 90⁰ nach Norden und gehen ein Viertel des Erdumfangs nach Norden bis zum Nordpol:

  ,

• am Nordpol drehen wir uns um 90⁰ und gehen ein Viertel des Erdumfangs nach Süden wieder zurück zum Punkt A:

,

• womit sich insgesamt folgendes Dreieck mit drei (!!!) rechten Winkeln ergibt:

,

Wenn wir uns aber am Nordpol nicht um 90⁰, sondern um 100⁰ drehen, ergibt sich

und somit eine andere Winkelsumme, nämlich 90⁰ + 90⁰ + 100⁰ = 280⁰.

Zu 2. also dem Satz des Pythagoras

nehmen wir uns nochmals vor. Von den drei rechten Winkeln des Dreiecks soll uns aber jetzt nur der obere am Nordpol interessieren: 

Da dieses Dreieck rechtwinklig ist, wenden wir auf es aus alter Gewohnheit kackendreist den Satz des Pythagoras an, also a² + b² = c².

Nun sind a, b und c allesamt gleich lang, nämlich ein Viertel des Erdumfangs.

Das aber ist offensichtlich Quatsch, woraus im Rückschluss folgt, dass wir den Satz des Pythagoras gar nicht auf ein (rechtwinkliges) Dreieck auf der (Erd-)Kugel anwenden durften, weil er da gar nicht gilt.

(Nunja, an kosmischen Dimensionen gemessen mag einem die Erde tatsächlich wie ein Punkt erscheinen

[
[die Erde vom Saturn aus gesehen].

bzw. wie ein Sandkorn in einer entlegenen Ecke des Universums; eine Erkenntnis, die in den Augen einiger Leute

[wie ich finde: völlig zu Unrecht!]

zu einer tiefen Kränkung der Menschheit geführt hat.)

Und es gibt auf der Kugel noch zwei andere, von der Ebenen abweichende Merkwürdigkeiten:

3. : wenn man auf einer Kugeloberfläche  immer "geradeaus" geht

(und einem Menschen mag das auf der Erde ja wirklich so vorkommen),

kommt man irgendwann an den Ausgangsort zurück und ist man eine geschlossene Linie, und zwar im Kreis gegangen. D.h. eine scheinbare Kugelgerade ist in Wirklichkeit ein Kreis.

4. :
   

• in der Ebene gilt:

• wenn man zu einer Geraden g zwei senkrechte Geraden h und i zeichnet

• sind diese beiden Geraden h und i parallel und schneiden sie sich daher nie.

• auf der Kugel gilt:

• wenn man zwei zum Äquator senkrechte Linien (Geraden / Kreise) h und i zeichnet

• sind diese (anfangs?) parallel und schneiden sie sich dennoch, und zwar

(was bei Geraden in der Ebene unmöglich ist)

sogar zwei Mal, nämlich im Nord- und Südpol:

Im Zeitalter des Zentrale-Prüfungen-Wahns und vollgestopfter (Kern-)Lehrpläne bleibt ja gar keine Zeit mehr für mathematische „Ausflüge“

(so dass es ja eigentlich verlorene Liebesmüh ist, hier auch nur ansatzweise über sphärische Geometrie im Unterricht nachzudenken).

Aber wenn man schon einen Ausflug in die Erdgeometrie wagt, ergibt sich sofort ein Problem:

es mag vielen Menschen (Schülern) erscheinen, dass die Mathematiker verlässlich immer einen hanebüchenen Ausweg finden:

"Als hanebüchen (auch hagebüchen, von mittelhochdeutsch: hagenbüechin) bezeichnet man im heutigen Deutsch Ideen oder Handlungen, um sie als abwegig, haarsträubend oder empörend zu bewerten.“
(Quelle: )

1. Beispiel: der Übergang von den reellen zu den komplexen Zahlen:

• wenn die Mathematiker den Zahlenstrahl endgültig mit den „reellen“ (= realen?), also „rationalen“ (= vernünftigen?) und „irrationalen“ (= unvernünftigen?!) Zahlen zugepflastert haben, also auf dem Zahlenstrahl keine einzige Lücke mehr und somit (scheinbar) nichts mehr zu tun bleibt, die Mathematiker also eigentlich in Rente gehen könnten,

• definieren sie sich „einfach mal so“ Zahlen in der Ebene, also u.a. auch neben dem Zahlenstrahl, und nennen sie diese neuen Zahlen fast schon entlarvend „imaginäre“ (= nicht in der Wirklichkeit, sondern nur in der Vorstellung existierende!) bzw. „komplexe“ (= komplizierte?) Zahlen

- und haben damit prompt ein neues Betätigungsfeld.

Solch ein Vorgehen erscheint wohl vielen heutigen Schülern / Laien als eskapistisch und willkürlich, ist aber auch so einigen Mathematikern zur „Erfindungszeit“ abstrus vorgekommen:

(Leopold Kronecker, Mathematiker, 1823 - 1891)

Man ahnt hier aber vielleicht schon die Verallgemeinerungssucht der Mathematiker: nach den Zahlen auf dem eindimensionalen Zahlenstrahl und in der zweidimensionalen Zahlenebene stünden nun eigentlich Zahlen im dreidimensionalen und danach im vierdimensionalen ... Raum an

(... wobei es einem Laien ein Rätsel bleiben wird, was ein vierdimensionaler Raum denn eigentlich sein soll; und doch hat Einstein eben diesen vierdimensionalen Raum in seiner Relativitätstheorie gebraucht).

2.  Beispiel ist unser eigentliches Thema hier, also der Übergang von der („euklidischen“) Ebenengeometrie zur („sphärischen“) Kugelgeometrie und noch ganz anderen „nicht-euklidischen“ Geometrien

(den Laien wird ja schon allein der Plural "GeometrieN" absurd vorkommen).

Eine weitere nicht-euklidische Geometrie ist die auf einer "Sattelfläche": . Dort ergibt sich, dass

• die Winkelsummen in Dreiecken immer kleiner als 180⁰ sind

(und verschieden sein können)

• und Parallelen auseinanderlaufen:

Vielleich schon die Kugelgeometrie, aber allemal die Sattelflächengeometrie mag Laien völlig willkürlich und esoterisch erscheinen: dann könnte man ja genauso gut auch eine Geometrie auf der Oberfläche eines so durchgeknallten Körpers wie

(Kleinsche Flasche)

oder

(um mal vom Pferd zur Kuh überzugehen, was ja nicht weit hergeholt ist)

auf

(„Ein typischer Kuhfladen hat einen Durchmesser von etwa 30 cm und wiegt nass bis zu zwei Kilogramm.
Ein Tier produziert acht bis zehn Fladen am Tag.“
[Quelle: ])

entwickeln!

Da ist es für Schüler / Laien vermutlich nur ein schwacher Trost, dass die Kugel- und die Sattelflächengeometrie in der (Astro-)Physik durchaus brauchbar sind:

(Quelle:  ;

was aber soll eigentlich ein Laie unter einer vierdimensionalen Kugel und unter einer Fläche, die ein dreidimensionaler Raum ist, verstehen?!
Mathematiker und Physiker können damit zwar wunderbar rechnen, es sich aber auch nicht vorstellen. Also [aus Laiensicht] was soll's?!)

Allerdings ist oben ja vielleicht doch halbwegs überzeugend gezeigt worden, dass die Kugel-/Erdgeometrie durchaus anwendungsrelevant und vielleicht auch ein wenig interessant ist:

ein Flugzeug, das von Berlin nach New York fliegt, kann gar nicht (unterirdisch) geradeaus, sondern muss auf einem Großkreis fliegen.

Bei großen Distanzen ist die Kugelgestalt der Erde also durchaus von Bedeutung. Aber auch schon bei kleineren Distanzen, also z.B. einem Flug von Frankfurt a.M. nach München, macht sie sich bemerkbar:

Einer der ersten, der die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen musste, war nebenbei der „Fürst der Mathematik“

Carl Friedrich Gauß
(1777 - 1855)

Auf diesem ehemaligen 10-Mark-Schein sind zwei seiner diversen Leistungen verewigt, nämlich

• vorne die „Gaußsche Glockenkurve“  , die eine große Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt,

• und hinten rechts unten eine Karte der von Gauß durchgeführten Vermessung des damaligen Königreichs Hannover:

(vgl. auch den [wie ich finde: grottenschlechten] seinerzeitigen Bestseller-Roman , in dem Gauß neben Alexander von Humboldt die Hauptfigur ist).

Um weit entfernte Punkte anpeilen zu können, bediente sich Gauß bei dieser Landvermessung hoch gelegener Punkte, und zwar u.a.

• des Brocken-Bergs im Harz ,

• der Ansgarikirche in Bremen.

Ein Problem bei dieser Landvermessung war, dass da

(wie bei allen Landkarten und Kartendarstellungen der Gesamt-Erde)

ein dreidimensionaler Kugelausschnitt auf einer zweidimensionalen Landkarte (Ebene) dargestellt werden sollte.

Das ist aber prinzipiell gar nicht vollständig exakt möglich, sondern man muss sich entscheiden, welche Eigenschaft einem wichtig ist, nämlich z.B.

1. "Flächentreue", d.h. dass alle Flächen maßstabgsgetreu dargestellt sind
   

(also z.B. - wie oben bereits gezeigt - Grönland nicht viel zu groß abgebildet wird),

2. "Winkeltreue", d.h. dass alle Winkel exakt abgebildet sind.
   

Es gibt aber keine Landkarten, die gleichzeitig flächen- und winkeltreu sind.

(Als bester Kompromiss zwischen Flächen- und Winkeltreue gilt heute oftmals die „Winkel-Tripel-Projektion“, die deshalb am häufigsten angewandt wird und somit unsere Sehgewohnheiten am meisten geprägt hat.)

Es kommt also drauf an, wofür man eine Landkarte braucht: wenn man z.B. von Berlin nach New York fliegt,

• kann es einem

(abgesehen vom benötigten Treibstoff)

egal sein, wie groß überflogene Flächen

(Länder, der Atlantik)

sind,

• sondern muss man den richtigen Winkel finden, um auch wirklich in New York und nicht weit südlich oder nördlich davon anzukommen.

Zu 1., also der Flächentreue:

hier hilft die "Gall-Peters-Projektion", also die Projektion der Erde auf einen teilweise "innenliegenden" Zylinder:

Eine damit entwickelte Karte der Erde sieht dann so aus:

• Vorteil: im Vergleich mit üblichen Karten wird deutlich, dass äquatornahe Regionen wie z.B. Afrika erheblich größer als das klitzekleine Europa sind
  

(womit vielleicht auch die Bedeutung Europas und der USA für die Welt ein wenig zurechtgerückt wird).

• Nachteil: Regionen nah an den Polen werden arg gestaucht.

Zu 2., also der Winkeltreue:

hier hilft die "Mercator-Projektion", also die Projektion der Erde auf einen umschließenden Zylinder:

Eine damit entwickelte Karte der Erde sieht dann so aus:

• Nachteil: polnahe Regionen wie z.B. Grönland und die Antarktis werden viel zu groß dargestellt - und äquatornahe Regionen wie z.B. Afrika viel zu klein.

Solche Projektionen sollte man anhand geeigneter Modelle aber wirklich mal mit Schülern durchführen!

---

Wie schon oben deutlich wurde, halte ich es für wichtig, dass Schüler immer auch (soweit vorhanden und nicht allzu komplizert) die Ausnahmen kennenlernen:

1. ist die Erde in Wirklichkeit
   

(sowieso mal abgesehen von Bergen und Tiefseegräben)

keine perfekte Kugel, sondern an den Polen minimal abgeplattet:

"Die Erdabplattung bezeichnet die geometrische Abplattung des Planeten Erde und damit ihre Abweichung von der Kugelform. Sie entsteht durch die Fliehkraft der Erdrotation, welche am Äquator am größten und an den Polen null ist. Dadurch nimmt der Meeresspiegel genähert die Form eines Rotationsellipsoids [einer leicht plattgedrückten Kugel] an [übertrieben dargestellt: ] , dessen Halbachsen (Radien) sich um 21,38 km unterscheiden [...]

Dies entspricht ungefähr 0,3 % des Erdradius und würde bei Berechnungen auf einer Kugelfläche merkliche Fehler verursachen.

Die Erde wäre ebenso stark abgeplattet, wenn sie keine Ozeane hätte. Denn das Material des Erdinnern ist etwas plastisch, sodass die Erde (wie auch andere Planeten im Sonnensystem) dieser Kraft im Laufe der Zeit nachgeben musste."

(Quelle:  )

(Nebenbei: die Erkundung der Erdgestalt ist auch historisch spannend. Vgl. etwa  .)

(Nebenbei: ich halte es auch für eine gute Übung des räumlichen Vorstellungsvermögens, wenn man einfache Dinge "im Kopf" rotieren läßt. So ergibt z.B.

• die Rotation eines Blatts Papier um seine Mittelachse den Zylinder

• und [schon schwieriger] die Rotation eines Blatts Papier um eine seiner Diagonalen den aus Kegelteilen zusammengesetzten Körper   .)

2. hagelt es jetzt noch ein bisschen arg viele Ausnahmen, wird alles ganz schrecklich kompliziert - und für einen Mathematiker, der in hübsch regelmäßige, abstrakte "Gegenstände" verliebt ist

(Geraden / Ebenen, Kreise / Kugeln),

ziemlich hässlich:

sehen wir mal von den arg zerklüfteten Landmassen der Erde ab und schauen wir uns nur die Weltmeere an.

Und bei diesen sehen wir auch noch

(ein bisschen arg viele Abstraktionen auf einmal:)

von allem Wellengang und den Gezeiten ab. Dann wird man doch wohl erwarten, dass die Meere

(weil sie flüssig sind und sich somit ausgleichen können)

überall gleich hoch (auf "Normal Null") liegen

(so dass die Wasseroberfläche ihrerseits eine Kugel bildet, die ein wenig größer als die [feste] Erdkugel ist).

Aber das ist merkwürdigerweise nicht der Fall:

(Quelle: ; vgl. auch )

Nun sind Wikipedia-Artikel allerdings für Laien (Schüler) oftmals wenig hilfreich, denn sie setzen häufig schon erhebliches fachliches Vorwissen voraus - und viel Fachchinesisch

(im vorliegenden Artikel z.B. "Schwerepotential";

nebenbei: weil Wikipedia-Artikel oftmals zu schwierig sind, empfehle ich Schülern immer, mit erheblich Einfacherem anzufangen, beim Thema "Goethe" also z.B. mit dem Buch

[wenn auch der Buchtitel arg anbiedernd-plakativ ist]).

Wenn wir uns den Wikipedia-Artikel vereinfachen, erhalten wir:

• die Anziehungskraft ist auf der Erde

(genauer: im gleichen Abstand vom Erdmittelpunkt)

nicht überall gleich groß,

• sondern variiert je nach Untergrund.

Das liegt aber wiederum daran, dass das schon oben gezeigte Erd-Aufbau-Schema

nur eine Näherung ist. Z.B. ist das Material des "Unteren Mantels" nicht überall gleichförmig und der "Innere Kern" nicht exakt kugelförmig.

Nehmen wir also mal an,

• die Erde wäre der Einfachheit halber doch wieder eine perfekte Kugel,
• es gäbe keine Landmassen, sondern die Erde wäre von komplett einer überall gleich dicken (hier arg übertrieben dargestellten) Wasserhülle überzogen:

•  Nun implantieren wir dem bislang völlig gleichmäßigen unteren Erdmantel zwei gleichgroße, aber unterschiedlich schwere Lagerstätten,
• die eine spaßeshalber aus leichter (geschmolzener) Butter ,
• die andere aus schwerem (bei den hohen Termperaturen zähflussigem) Eisen   :

Im selben Augenblick, in dem wir der vorher regelmäßig (symmetrisch) aufgebauten Erde zwei unterschiedliche Knubbel implantiert haben, verändern sich nun aber die Meere:

• beim Punkt A wird das Wasser wegen des leichteren Butterknubbels weniger angezogen,
• beim Punkt B wird das Wasser wegen des schwereren Eisenknubbels stärker angezogen,
• d.h. das Wasser fließt von A weg und zu B hin,
• so dass sich im Meeresspiegel
• bei A ein Wassertal
• und bei B ein Wasserberg bildet:

Diese Verlagerung des Wassers stoppt aber irgendwann, d.h. das Wasser

• verschwindet nicht vollständig bei A, so dass dort der nackte Meeresboden sichtbar wird,
• und türmt sich nicht vollständig bei B auf:

"Da nun Mose seine Hand reckte über das Meer,
ließ es der HERR hinwegfahren durch einen starken Ostwind die ganze Nacht
und machte das Meer trocken; und die Wasser teilten sich voneinander.
Und die Kinder Israel gingen hinein, mitten ins Meer auf dem Trockenen;
und das Wasser war ihnen für Mauern zur Rechten und zur Linken."

Die Verlagerung des Wasser stoppt vielmehr, sobald an allen Punkten der Meeresoberfläche dieselbe Schwerkraft herrscht, d.h. die Meeresoberfläche ist - um mit Wikipedia (s.o.) zu sprechen - eine "Fläche[...] gleichen Schwerepotentials".

Hinzu kommt: weil ein Lot im Punkt C durch die Eisenkugel mehr angezogen wird als durch den Butterknubbel,

• richtet es sich nicht auf den Erdmittelpunkt aus

 ,

• sondern ein bisschen in Richtung Eisenkugel, und zwar senkrecht zur Meeresoberfläche (zur Tangente dort):
  

Wohlgemerkt: duch den Butter- und den Eisenknubbel verändert sich

• (noch) nicht die Form der Erde

(von der wir der Einfachheit halber angenommen hatten, dass sie eine Kugel ist),

• sondern beult sich nur hier und da der Meeresspiegel aus.

Und wenn man das für die gesamte Erde misst

(wieder: noch ohne die Landmassen zu betrachten),

 ergibt sich stark übertrieben dargestellt folgender "Meeresspiegel-Geoid":

(Quelle: )

Nun wirken sich Unregelmäßigkeiten im Inneren der Erde (verschiedene Lagerstätten) aber eben doch

• nicht nur auf den Meeresspiegel,
• sondern auch auf ihre feste Oberfläche (Meeresboden, Landmassen) aus.

Solch eine (übertrieben dargestellte) -Gestalt der Erde ist nicht gerade schön, hat aber durchaus einige schöne praktische Folgen:

(Und nun hoffe ich, den Wikipedia-Artikel halbwegs richtig verstanden und erklärt zu haben - und bin ich gerne das Risiko eingegangen, ein bisschen arg vereinfacht und manchmal auch nicht die korrekte Fachsprache benutzt zu haben. Z.B. muss für Laien "gleiche[s] Schwerepotential[...]" durch "gleiche Schwerkraft" ersetzt werden.)

Summa summarum ist es eine der vornehmsten Aufgaben eines Lehrers,

• den Schülern Modelle zu vermitteln
• diese Modelle aber nicht als starr (tot) erscheinen zu lassen, sondern sie wieder zu "dekonstruieren", also zu zeigen, dass die Wissenschaft noch lange nicht fertig ist und die Welt spannend bleibt.

PS:	kaum habe ich diesen Essay beendet, da erscheint in „Spiegel online“ folgender Artikel: