An
lässt sich exemplarisch schön unterscheiden, wann ein "Prinzip"
eine nette Dreingabe oder
eine "konstruktive Notwendigkeit" ist:
Zu 1.: es soll ein
Oloid
à la
gebaut werden. Das ist ganz einfach mit zwei alten Fahrradfelgen möglich, die zudem den Vorteil haben, dass die Löcher für die Verbindungs"fäden" schon vorhanden sind.
Fäden müssen es dabei nichtmal sein, sondern es gingen auch feste (!) Stangen.
Gummibänder haben aber allemal den Vorteil, dass man sie schön (einfach) gespannt kriegt. Aber Gummibänder sind hier eben nicht unvermeidlich.
Zu 2.: gebaut werden soll ein beweglicher Hyperboloid à la
Hier sind nun, solange der Hyperboloid immer gleich hoch bleiben soll, tatsächlich Gummibändern nötig!
Denkbar wäre allerdings auch eine
(mechanisch allerdings viel schwierigere)
Konstruktion aus festen Stangen, die aber nicht immer gleich hoch bliebe:
| Das Gummiband ist also eine Metapher für eine sich kontinuierlich verändernde Strecke! |
Oder genauer: in der mathematischen Vorstellung ist es eine Metapher, beim Modellbau ist es oftmals ein notwendiges konstruktives Element.
Ein anderes Beispiel für die Metapher Gummiband ist das "hyperbolische" Paraboloid:
Nun sind allerdings Oloide, Hyperboloide sowie hyperbolische Paraboloide zwar
(insbesondere in Bewegung; vgl. 
)
schön anzusehen, aber (leider) nicht gerade gängige Schulmathematik. Das "Prinzip Gummi" ist allerdings durchaus auch in der Schulmathematik hilfreich:
Beispiel:
der Thalessatz lässt sich sehr schön mit folgendem Modell illustrieren:
,
wobei sich der Punkt C kontinuierlich auf dem um M beweglichen Zeiger MC drehbar ist und sich somit sämtliche (unendlich viele) Zwischenzustände ergeben. Da sich
(eine durchaus wichtige Erkenntnis!)
der Umfang des Dreiecks ABC dabei kontinuierlich (!) verändert, muss es aus einem Gummiband bestehen.
Beispiel:
Beim Beweis des Kathetensatzes mittels
Scherung/Drehung/Scherung
verändern sich bei der ersten Scherung Form und Umfang des Quadrats/Parallelogramms, was mechanisch nur mit einem Gummiband möglich ist:
→ 
Beispiel:
In der Vektorgeometrie kann man sich bei Geraden der Form g: 
das Element 
als kontinuierliche Verlängerung des Richtungsvektors, also als Gummi vorstellen.
Bleibt zu ergänzen, dass Gummi
(nun nicht mehr in Form eines Bandes, sondern in Form eines Tuchs)
ein schönes Illustrationsobjekt für die Topologie ist, weshalb man sie manchmal auch ein wenig despektierlich "Gummituch-Geometrie" nennt:
... was durchaus etwas mit Einsteins Relativitätstheorie zu tun hat.
