abschneiden ( - ) und / oder zusammensetzen (+) 

  Man könnte auch hochtrabend von "Analyse" und "Synthese" sprechen, nur dass ich "schneiden" und "zusammensetzen" wortwörtlich als manuelle Tätigkeiten verstehe.

Als Lehrer ist man sich ja zu nichts zu schade:

während der Fußballweltmeisterschaft 2010

nehme ich doch nicht die ausgelutschte Standard-Aufgabe

"ein oben offener Quader mit einem Liter Inhalt soll minimale Oberfläche haben"

durch, sondern ein Extremwertproblem anhand von

:

das ist

(morgen aber schon wieder Schnee von gestern) 

Aber Spaß beiseite:

ich akzeptiere die Schachtel nicht einfach in ihrem "So-Sein", um sofort mit dem im engeren Sinne mathematischen Teil loszulegen

(bei welcher Quadrat- und Rechteckgröße hat sie bei einem vorgegebenen Volumen [= Randbedingung] eine minimale Oberfläche [= Zielfunktion]?),

sondern mich interessiert zu allererst

          (und mit solchen Fragen möchte ich die SchülerInnen doch "im Rahmen der Möglichkeiten" anstecken),

(ob sich aufgrund dieses Reizes auch die Extremwertaufgabe als reizvoll darstellt, sei mal dahingestellt).

Nun habe ich ja sowieso ein Faible für raffiniert konstruierte und schöne Verpackungen

(vgl. etwa

aber bleiben wir konkret bei

.

Zweifelsohne war es das Ziel, anlässlich der Fußballweltmeisterschaft auf möglichst einfache Weise, d.h. aus ebener Pappe bzw. Pappstücken annähernd die Form eines zu erreichen. Die für einen Standard-Fußball typischen (schwarzen) Fünfecke sind zwar nur auf die Schachtel aufgedruckt, also keine konstruktiven Elemente, aber die Schachtel ist eben doch halbwegs "rund"

(unten allerdings abgeflacht, damit man sie aufstellen und stapeln kann).

Wenn man den fußballartigen Deckel abhebt, sieht man als eigentlichen Behälter folgende "Schale":

(also dasselbe Konstruktionsprinzip wie bei   )

Diese "Schale"

(auch durch das Gewicht der innenliegenden Gummibärchen)

"blütenartig" öffnet.

Die Fruchtgummis müssen allein in dieser "Schale" Platz finden, d.h. die gesamte obere "Hälfte" der Schachtel ist eigentlich eine Mogelpackung

(aber wohl nicht, um den Kunden zu betrügen, sondern unvermeidlich aufgrund des Fußball-Konstruktionsprinzips):

Laut Bodenbeschriftung sind in der "Schale" 375 g Fruchtgummis

(in verschiedene kleine Tüten verpackt).

Da frage ich mich natürlich sofort: warum die (auf den ersten Blick) so "krumme" Zahl 375?

Nun sind (nicht nur) bei Haribo viele Packungen 375 g schwer

(vgl. oder ).

Nun ist "375" so krumm ja doch nicht, wie man schnell beim Multiplizieren merkt:

Bzw. in "375 g" lebt anscheinend noch die früher übliche Maßeinheit "3/4 Pfund" weiter

(wobei solche klein gestückelten Maßeinheiten aus Zeiten stammen, in denen man sich nur kleine Mengen leisten konnte).

Es ist aber aus mehreren Gründen unklar, welches Volumen 375 g Fruchtgummis einnehmen:

  1. , weil verschiedene enthaltene Sorten auch verschiedene Gewichte haben können,

  2. , weil es immer Zwischenräume zwischen den einzelnen Fruchtgummis gibt,

  3. , weil die verschiedenen Fruchtgummisorte - wie bereits gesagt - in Einzeltüten verpackt sind, zwischen denen es wiederum Zwischenräume gibt.

Wenn man aber all die enthaltenen Fruchtgummitüten in einen Messbecher gibt, so zeigt sich, dass 375 g

(nochmals: inkl. aller unvermeidlichen Zwischenräume)

fast genau 1 l Volumen haben

(tatsächlich hat dieser untere Teil der Schachtel aber - wie sich etwa durch Füllen mit Sand ergibt - ein Volumen von ca. 1,8 Litern!).

Dieser eine Liter muss nun

(wie schon gesagt)

allein in die untere "Hälfte" der Schachtel

  ,

also in  die zusammengeklappte "Schale"

,

die umgedreht so aussieht

passen.

Das macht das Extremwert-Problem natürlich erheblich einfacher, da wir die obere und allemal kompliziertere "Hälfte" der Schachtel, also

,

gar nicht mehr mit berücksichtigen müssen.

Die Extremwertberechnung setzt aber eine Volumenberechnung der Schachtel voraus, und da ergaben sich bei der Behandlung im Unterricht doch ganz erhebliche Probleme, die

Eben dieses "Anschauungsproblem" soll hier mein eigentliches Thema sein - und auf das Extremwertproblem komme ich am Ende zurück.

Obwohl also

(wie oben gezeigt)

 das Extremwertproblem sich nur auf die untere "Hälfte"

bezieht, sei im Hinblick auf die Anschaulichkeit doch die ganze Schachtel

betrachtet.

Auffällig an der Schachtel

(abgesehen vom "Fußballkonstruktionsprinzip")

sind vor allem zwei Dinge:

  1. , dass sie nicht gleichmäßig "rund", sondern eher "elliptisch" ist, was daran liegt, dass sie teilweise aus Quadraten, teilweise aus (längeren) Rechtecken besteht:

Da stellt sich doch die Frage, warum von Haribo nicht die ideale "runde", sondern die "elliptische" Form gewählt wurde

(soweit diese Frage ohne Kontakt zur Firma Haribo überhaupt beantwortbar ist).

Ein Grund für die "ellipstische" Funktion mag sein, dass der Schriftzug oben auf der Schachtel, also "HARIBO FOOTBALL", in lesbarer Größe nur in ein Rechteck statt ein Quadrat passt.

Könnte es aber auch mathematische Gründe für die "elliptische" Form geben, was insbesondere heißt: könnte die Extremwertuntersuchung eine Antwort geben? 

  1. sind insbesondere die "dreieckigen" Ausschnitte an der Schachtel oben interessant:

Dabei sind die Seitenwände dieses ausgeschnittenen Tetraeders nicht waagerecht und senkrecht, sondern

Warum?

Nun spielen bei der Entwicklung solcher Verpackungen ja keineswegs nur (wenn überhaupt) mathematische, sondern beispielsweise auch ästhetische und Praktikabilitätsgründe eine Rolle.

So lässt sich z.B. vermuten, dass die Seiten "eingedellt" sind, weil man dadurch die Schachtel besser im Griff hat: sie rutscht einem, wenn man dort anfasst, nicht so leicht aus den Händen.

Den "eigentlichen" Grund, weshalb die Ecken so "eingedellt" sind, erkennt man aber, wenn man sich die ebenso raffinierte wie letztlich erstaunlich einfache "Bauweise" der Schachtel ansieht:

:

Die Schachtel besteht letztlich nur aus einem langgestreckten Rechteck samt aufgesetzten Deckeln.

Und die dreieckigen Ausschnitte ergeben sich daraus ganz logisch als

(So eine Schachtel ist wie ein Gedicht oder Film: sie fallen nicht fertig vom Himmel, sondern da muss überhaupt erst jemand "drauf kommen" - und für die Schachtel muss eine spezielle Maschine entwickelt werden, die sie zuschneidet, an einer Kante zusammenklebt und zusammenbaut.)

Die sich also letztlich so einfach ergebenden, aber schwierig zu berechnenden dreieckigen Aussparungen seien nun aber im Hinblick auf SchülerInnen vereinfacht, indem wir dort waage- und senkrechte Seiten einziehen:

Unsere vereinfachte Schachtel sieht damit so aus:

Hier sind dann auch schon gleichlange Strecken mit jeweils derselben Farbe dargestellt.

Die Zwei(!)dimensionale Oberfläche der Schachtel

(und das ist ein erster wichtiger Tipp!)

besteht also aus nur drei verschiedenen und sehr einfachen Elementen:

Nun schreit "rechtwinkliges Dreieck" nach dem Satz des Pythagoras, und damit ergibt sich:

    z2 + z2  = x2

            2z2    = x2 | : 2

               z2    =  x2 | : 2

               z2    =   | √   

              z     =        

Damit haben wir uns zwar

(wie oft in solchen auf den ersten Blick einfachen Fällen, nämlich z.B. auch bei )

die unschöne eingehandelt

(und die - was alles noch doppelt schwierig macht - auch noch im Nenner!),

dafür aber immerhin die Anzahl der Variablen auf zwei (nur noch x und y) verringert. Die ganze scheinbar komplizierte Schachtel ist also aus nur zwei Strecken (eben x und y) zusammengesetzt.

Noch kurz zur : wir rechnen sie natürlich nicht aus, d.h. ermitteln nicht mittels Taschenrechner einen immer nur ungefähren Wert

(z.B. 1,4142: ein Fehler, der sich bei jeder nachfolgenden Rechnung verschlimmern könnte),

sondern schleppen die  unverändert in der Hoffnung mit, dass sie irgendwann doch wieder quadriert wird und dann die simple 2 rauskommt. Dieses Mitschleppen sollte uns nicht schwer fallen, denn ist letztlich nur eine ganz normale Zahl wie beispielsweise auch 7.

Kommen wir damit zum eigentlichen Thema dieses Aufsatzes, nämlich der Volumenberechnung von

.

Spätestens hier muss nun eine glasklare Unterscheidung vorgenommen werden:

Wir unterscheiden zwischen zwei verschiedenen Schachteln:
  1. der konkreten, wenn auch an den Ecken vereinfachten Haribo-Schachtel

mit ihren vorgegebenen, festen Werten x = 7 cm und y = 9 cm.

Um ihr Volumen herauszufinden, brauchen wir aber nicht mal die konkreten Seitenmaße und auch keine großartige Körperzerlegung, sondern es reicht, die Schachtel beispielsweise mit Sand vollzugießen, und man erhält dann ein Volumen von fast genau 2,5 l.

  1. eine "allgemeine" Schachtel der Form
,

die

  • nach demselben Konstruktionsprinzip wie die Haribo-Schachtel konstruiert ist,

  • ebenfalls ein Volumen von 2,5 l hat,

bei der wir aber noch nicht die Seitenlängen x und y kennen.

Bei dieser "allgemeinen" Schachtel soll am Ende mittels Extremwertberechnung herausgefunden werden, für welche x und y sie

  • das vorgegebene Volumen von 2,5 l hat,

  • ihre Oberfläche minimal ist.

D.h. erst ganz am Ende erfahren wir (hoffentlich!), für welche konkreten x und y das der Fall ist. Bis dahin müssen wir x und y als Unbekannte mitschleppen.

Der zentrale Unterschied zwischen der ersten und zweiten Schachtel ist also:

  • bei der ersten, konkreten Schachtel könnten wir im Prinzip aus den konkreten Seitenlängen 7 cm und 9 cm das Volumen (2,5 l) berechnen, d.h.

    • anfangs sind die          Seitenlängen 7 cm und 9 cm bekannt,

    • später wird daraus das Volumen             (2,5 l)           abgeleitet,

  • bei der zweiten, "allgemeinen" Schachtel ist es genau umgekehrt:

    • anfangs ist das                                                          Volumen          (2,5 l)  bekannt,

    • später werden daraus die konkreten Werte für die Seitenlängen x und y hergeleitet.

Dazu ist es in diesem zweiten Fall der "allgemeinen" Schachtel aber nötig, die (noch unbekannten) Seitenlängen x und y mit dem vorgegebenen Volumen von 2,5 l in Verbindung zu bringen, und dazu wiederum sind die Überlegungen unten nötig, wie man das Volumen der zweiten, "allgemeinen" Schachtel durch Zerschneiden und Zusammensetzen ermitteln kann.

Ein weiteres Problem bei der zweiten, "allgemeinen" Schachtel ist, dass wir, um überhaupt eine grundlegende Vorstellung von ihr zu bekommen, eine Planskizze brauchen, die der Einfachheit halber von der konkreten Schachtel abgekupfert ist, also dieselben Maße hat:

Das geschieht nur, um daran zu erinnern, dass die zweite, "allgemeine" Schachtel nach demselben Konstruktionsprinzip gebaut sein soll wie die erste, konkrete Haribo-Original-Schachtel. Aber wir dürfen natürlich bei der zweiten, "allgemeinen" Schachtel nicht mit konkreten Werten rechnen

(insbesondere nicht mit denen der Haribo-Original-Schachtel),

sondern ganz am Ende der Rechnung kann sich ergeben, dass x und y länger oder auch kürzer als bei der Haribo-Original-Schachtel sind.

Mittels der zweiten, "allgemeinen" Schachtel entwickeln wir unten eine Idealschachtel

(mit einem Volumen von 2,5 l, aber einer kleinsten Oberfläche).

Und diese Idealschachtel soll dann am Ende mit der ersten, konkreten Haribo-Originalschachtel verglichen werden, um herauszufinden, ob letztere

  • tatsächlich Idealmaße hat und

  • vielleicht deswegen nicht "rund", sondern "elliptisch" ist.

Wenn man's genau nimmt, ist's sogar noch komplizierter: die zweite, "allgemeine" Schachtel ist überhaupt keine Schachtel (Singular), sondern eine riesige, ja sogar unendliche Menge von Schachteln (Plural): sämtliche Schachteln, bei denen die Kombination von x und y ein Volumen von 2,5 l ergibt.

So ist es beispielsweise denkbar, dass

  • x immer größer und also

(damit das Volumen konstant 2,5 l bleibt)

y immer kleiner wird, d.h. dass die Quadratseiten x so lange größer werden

(und damit die Schachtel immer höher wird), 

bis y = 0 wird und das Mittelteil der Schachtel  völlig fehlt:

  • x immer kleiner und also

(damit das Volumen konstant 2,5 l bleibt)

y immer größer , d.h. dass die Schachtel immer flacher, dafür aber länger und somit erst sarg- und dann zunehmend stangenförmig wird:

(So ganz nebenbei haben wir schon anschaulich herausgefunden, dass x und y sich "reziprok" zueinander verhalten: je größer [kleiner] das eine, um so kleiner [größer] das andere. Solch anschauliches Vorwissen lässt sich aber später schön mit den rechnerischen Ergebnissen vergleichen.)

Und unter all diesen unendlich vielen "allgemeinen" Schachteln (Plural) suchen wir mittels Extremwertberechnung die eine (Singular) Idealschachtel.

(Es sei doch kurz angemerkt, dass die Überlegungen hier in dem Kasten ebenso unerlässlich wie - für SchülerInnen - gehörig kompliziert sind!) 

Die Berechnung des Volumens von fällt SchülerInneN aus verschiedenen guten Gründen sehr schwer:

  1. sehen sie vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr, d.h. in der komplizierten Schachtel (sozusagen dem Molekül) nicht die einfachen Grundbausteine (Atome) - und geben dann oftmals sofort auf;

  2. kennen sie nicht das "newton-leibnizsche Rettungsverfahren" bzw. sehen sie keinen Grund, sich auf sowas Umständliches "einzulassen":

  1. "ich kann nicht A. [z.B. Krummes oder eben ]",

  2. "dafür kann ich aber immerhin B. [z.B. Gerades oder einfache Körper wie Kuben oder Prismen]",

  3. "auf dem Umweg über B. erreiche ich dann doch noch A.]";

  1. bleibt der Körper im üblichen Schulunterricht arg abstrakt selbst dann, wenn man nicht nur eine zweidimensionale Projektion an die Tafel zeichnet, sondern tatsächlich eine Schachtel  mitbringt:

  1. , weil man aus Kostengründen nicht für jedeN SchülerIn oder auch nur jede Schülergruppe eine Schachtel mitbringen kann; weil also die einzig vorhandene Schachtel

  1. wegen einer speziellen Eigenschaft der Schachtel selbst, nämlich dass sie hohl ist: wenn man diese Schachtel in einfachere dreidimensionale Körper zerschneidet (s.u.), fehlen deren Außenwände bzw. muss man sie sich eben wieder "nur" vorstellen, was vielen SchülerInneN enorm schwer fällt.

Schön wäre also eine massive (dann eben nicht mehr) Schachtel, in der die Schnitte wirklich sichtbar, ja be-greifbar würden.

Nun gibt es zwei Wege, an eine solche massive "Schachtel" zu kommen:

  1. : einen relativ einfachen massiven Quader, der die Schachtel umfasst

 

und schneide dann alles ab, was über die Schachtel hinausgeht. Das Volumen der Schachtel ist dann

minus

  1. statt des Hohlkörpers einen gleichgroßen massiven Körper, was z.B. dadurch möglich ist, dass man den Hohlkörper vollgießt.

Und eben dieses "Vollgießen"

(wobei natürlich hinterher ein fester und dennoch leicht schneidbarer Körper herauskommen soll)

ist am einfachsten mit Kuchenteig möglich

(was zudem den Vorteil hat, dass man den Kuchen hinterher genüsslich mit den SchülerInneN aufessen kann).

Wir backen also zwei Kuchen, nämlich

  1. einen in Quaderform,

  2. einen in Form der Fußballschachtel

(vgl. Bild ).

Zu A., also dem quaderförmigen Kuchen :

 
Ich habe immer gedacht, es sei Michelangelo gewesen, der (als erster) gesagt hat, er

(welch schöne Demut!)

befreie nur die Figuren aus dem Stein, die sowieso schon darin seien:

(Und in der Tat hat er ja sogar, wie das Band quer über die Stirn der Pieta zeigt, die Maserungen der Steine in seine Skulpturen integriert:

)
Nun aber lese ich in einer (ziemlich freien) Kinderausgabe der griechischen Sagen:

"Unter Daidalos' Händen verwandelten sich Marmorblöcke in wunderbare Statuen: in Götter, Menschen, Blumen und Tiere.
Die Athener liebten und bewunderten ihn: »Du kannst Steine zum Leben erwecken!«, riefen sie ihm zu.
»Oh nein! Nein! Ich enthülle nur das, was die Götter in den Marmorblöcken versteckt haben«, antwortete Daidalos. »In jedem Stein, in jedem Marmorblock steckt etwas Lebendiges. Was es ist, weiß ich, wenn ich den Lauf der Steinadern sehe. Dann brauche ich Hammer und Meißel, um es herauszuholen.«" 

Zu allererst schneiden wir von dem kubischen Kuchen an den Ecken vier Prismen mit dreieckiger Grundfläche ab:

Als Nächstes schneiden wir Körper oben an den Kanten entlang ab:

Zur genaueren Betrachtung sei da mal der vordere Körper "herausvergrößert":

Diese Körper bestehen also aus einem Prisma mit dreieckigen Grundseiten, an das zwei Pyramiden mit dreieckigen Grundseiten angesetzt sind.

Spätestens hier zeigt sich, dass in der zweidimensionalen Projektion oder allemal dann, wenn man sich den Kubus nur vorstellt, für SchülerInnen weitgehend unanschaulich bleibt, wie die abgeschnittenen Körper aussehen.

Beim tatsächlichen Abschneiden ist das allerdings kein Problem.

Allerdings gibt es sich bei diesem "Herausschälen" des "Fußballs" aus einem Quader ein viel grundsätzlicheres Problem: da man den "Fußball", auf den da hinzuarbeiten ist, ja noch nicht hat, ist es ungeheuer schwierig, quadratische Seiten herzustellen - oder gar Ecken der Breite abzuschneiden.

Und jetzt müssten nur noch die "dreieckigen Einbuchtungen" oben ringsum ausgeschnitten werden:

Zu B., also einem massiven Körper, der bereits die Form hat:

Diesen Kuchen zerschneiden wir nun so lange, bis die Einzelteile nur noch aus möglichst einfachen Körpern mit einfach zu berechnenden Volumina bestehen. Und aus diesen Einzelteilen können wir dann hinterher wieder den Gesamtkörper zusammensetzen und somit sein Volumen bestimmen.

Ein möglicher erster Schnitt besteht dann darin, Ober- und Unterteil des Körpers zu trennen:

  Oberteil    Unterteil 
       
  Dieses Oberteil wird nun weiter zerschnitten in die Körper  1 - 5:   Dieses Unterteil wird nun weiter zerschnitten in die Körper 1 - 9:
       
  Halten wir schon mal fest, was alle Körper 1 - 5 gemeinsam haben,
nämlich die Höhe z =    .
   Halten wir schon mal fest, was alle Körper 1 - 9 gemeinsam haben, nämlich die Höhe x . 
 

Kommen wir damit  zu den verschiedenen Teilkörpern:

  •  Die beiden Körper 1 und 2 bilden zusammen einen Quader mit der Länge y, der Breite und der Höhe :

V1/2 = y • •

  • Die beiden Körper 3 und 4 bilden zusammen einen Quader mit der Länge x, der Breite und der Höhe :

V3/4 = x • •

  • Der eine Körper 5 ist ein Quader mit der Länge y, der Breite x und der Höhe :

V3/4 = y • x •

 

Kommen wir damit  zu den verschiedenen Teilkörpern:

  • Die vier Körper 1 und 2 bilden zusammen zwei Quader mit der Länge , der Breite und der Höhe x :

V1/2/3/4 = 2• • • x
  • Die beiden Körper 5 und 6 bilden zusammen zwei Quader mit der Länge y , der Breite und der Höhe x :

V5/6 = 2• y • • x
  • Die beiden Körper 7 und 8 sind zwei Quader mit der Länge x , der Breite und der Höhe x :

V7/8 = 2• x • • x
  • Der eine Körper 8 ist ein Quader mit der Länge y , der Breite x und der Höhe x :

V9 =  y • x • x
 


(Halten wir kurz fest, dass wir alles auf besonders einfache Quader reduziert haben, deren Volumen sich sehr einfach als Länge mal Breite mal Höhe ergibt.)

Das gesamte Oberteil hat also das Volumen

VO =      V1/2        +         V3/4       +     V5        =
      = y • • + x • • + y • x •  

Das gesamte Unterteil hat also das Volumen

VU =      V1/2/3/4         +     V5/6           +      V7/8           +     V9     =
      = 2• • • x + 2• y • • x +  2• x • • x + y • x • x

 

Damit ist das "Abschneide- und Zusammensetz-Prinzip" gezeigt - und zu den langwierigen Termumformungen zwecks Extremwertbestimmungen habe ich keine Lust mehr.