Logarithmuslight

Nach meiner krankheitsbedingten Frühpensionierung war ich und habe ich deshalb seit ca. anderthalb Jahren keinen einzigen Mathematik-Essay mehr geschrieben.

finde ich nun aber derart bemerkenswert, dass ich

(nur ein einziges Mal!?)

rückfällig werde:

ich halte den Logarithmus

(oder genauer: die Denkweise des Logarithmus)

für einen der schwierigsten Schulstoffe überhaupt.

Aber langsam:

in der Schule sind u.a. folgende Aufgaben zu lösen:

1.  x² = 64 ,
2.  2^x = 64 .

So ähnlich beide Aufgaben auf den ersten Blick auch sind

(und gerade diese Ähnlichkeit sorgt für fatale Verwechslungen!),

so rabiat unterschiedlich ist doch, was hinter ihnen steckt - und wie sie zu lösen sind

(und auch die Lösungen).

Das Folgende ist nicht als (vollständige) Lerneinheit zur Wurzel und zum Logarithmus gedacht, sondern dient nur dazu, "kurz" die spezifischen Schwierigkeiten von Schülern mit beiden Begriffen herauszuarbeiten - und dann auf das o.g. Buch einzugehen.

die Wurzel

Die meisten Schüler ab etwa der 9. Klasse wissen durchaus, wie die Gleichung x² = 64 zu lösen ist: "das Gegenteil vom Quadrieren ist das Wurzelziehen", d.h. es ergibt sich

 x² =    64    |

 x   =

Nun tippen viele Schüler wohl in den Taschenrechner ein und erhalten das Ergebnis 8. Insgesamt ergibt sich auf diesem Weg also

 x² =     64     |

 x   =

 x   =    8

(Wir machen die Probe, indem wir in die Ausgangsgleichung x² = 64 für x die 8 eingeben, und es ergibt sich tatsächlich 8² = 8 • 8 = 64.)

Da muss man außer "das Gegenteil vom Quadrieren ist das Wurzelziehen" gar nichts verstanden haben - und genau solch stumpfes Anwenden einer Regel ist so fatal: die Lösung x = 8 ist nämlich nur halb richtig

(und somit auch halb falsch ),

weil im Laufe der Rechnung eine von zwei (!) Lösungen unter den Tisch gefallen ist. Und daran ist keineswegs der Taschenrechner schuld, der völlig korrekt = 8 gerechnet hat.

Sondern der Lösungsweg muss so aussehen:

          x² =        64     |

x  =

x  =      8

x =  +      8 oder x = - 8

Denn (-8)² = (-8)(-8) = (+) 64, d.h. das Quadrat von - 8 ist auch 64.

Man sollte sich als Lehrer immer fragen, warum (vermutlich) "die" Schüler gewisse

(und zwar meist immer wieder dieselben, einem altgedienten Lehrer bestens bekannten)

Schwierigkeiten haben, im vorliegenden Fall also systematisch die zweite Lösung - 8 übersehen:

1. wohl, weil diese zweite Lösung in der Gleichung x² = 64 schlichtweg unsichtbar ist.

(Viel einfacher ist das, wenn man geometrisch denkt: die Gleichung x² = 64 lässt sich zu x² - 64 = 0 umformen, und damit ist die gesuchte Lösung x

• keine Nullstelle haben:                                           
• eine Nullstelle haben:                                              
• wie im vorliegenden Fall zwei Nullstellen haben:   )

2. ist schon allein die sprachliche Ausdrucksweise "die gesuchten LösungEN x" problematisch:

• da ist von eventuell MEHREREN LösungEN die Rede, aber
• doch wieder nur von EINEM x.

Und überhaupt ist hier jede mögliche Ausdrucksweise falsch:

• wenn wir von EINER "Lösung" sprechen,
  • können dennoch MEHRERE LösungEN
  • oder kann auch GAR KEINE Lösung vorliegen;
• wenn wir von MEHREREN "LösungEN" sprechen,
  • kann dennoch nur EINE Lösung vorliegen
  • oder sogar GAR KEINE.

3. steht die Mathematik im Ruf, auf rechthaberische Weise zu jedem Problem eine Lösung

("auf jeden Pott 'nen Deckel")

zu haben, und zwar genau eine bzw. die "einzig wahre": ein Klischee, zu dem die Mathematik ja selbst beiträgt, indem sie "alles" auf Funktionen reduziert, bei denen jedem x genau ein (einziges) y zugeordnet wird.

Eben das passiert ja beim Begriff der Wurzel: die Gleichung x² = 64 hat ja die beiden Lösungen x = + 8 und x = - 8, und somit müsste die der 64 die beiden Werte + 8 und - 8 zuordnen:

Damit wäre aber die Wurzelzuordnung keine Funktion mehr - und sowas mögen die Mathematiker gar nicht. Also schmeißen sie die negative Lösung -8 weg und lassen beim Wurzelziehen nur die positive Lösung + 8 über

,

 womit sie dann doch eine Funktion haben.

Um nun aber dennoch beide Lösungen der Gleichung x² = 64 zu erhalten, müssen sie einen "schmutzigen" Trick anwenden, nämlich das "" vor der positiven , d.h. sie zaubern die soeben noch verloren gegangene - 8 mit diesem Trick dann doch wieder aus dem Hut.

4. zeigt sich in "die beiden Lösungen x = + 8 und x = - 8" wieder ein sprachliches Problem:

• da sind die beiden Werte + 8 und - 8, aber
• wir bezeichnen beide mit demselben (einen) Buchstaben x.

Eine Alternative wäre da die Schreibweise

          x²  =       64        |

x   =

x   =      8

x₁ = +      8 ; x₂ = - 8 :

eine, wie ich finde, unschöne Schreibweise, weil dabei das anfängliche x

(als man noch nicht weiß, dass die Anfangsgleichung x² = 64 zwei Lösungen hat)

am Ende in die beiden anderen Bezeichnungen x₁ und x₂ aufgespaltet wird, die nur noch entfernt an das ursprüngliche x erinnern.

Überhaupt ist der Begriff der Wurzel aber auch wirklich nicht einfach. Schauen wir uns dazu nochmals die Ausgangsgleichung x² = 64 an. Gesucht ist also eine (?) Zahl x, deren Quadrat 64 ist. Oder in Kurzschreibweise: x = bzw.

(wenn wir nun doch der Einfachheit halber das oben problematisierte "" weglassen):

x = :

ist diejenige (positive) Zahl, deren Quadrat 64 ist.

Man kann sich gar nicht klar genug machen, wie abstrakt diese Definition der Wurzel ist

(eine Abstraktheit, die vielleicht viele Schüler heillos überfordert):

• da wird nicht gesagt, was eine Sache "an sich" ist (hier 8),
• sondern nur, was herauskommt (hier 64), wenn man mit ihr etwas tut (sie nämlich quadriert).

Ein alltägliches Beispiel: angenommen, man sagt

• nicht mehr "Zutaten",
• sondern "was durch Umrühren ein Kuchenteig wird".

Wenn das nicht ist!:

es ist, als wenn die sprichwörtliche Katze bzw. Schlange sich in den eigenen Schwanz beißt:

Fragt sich nur, weshalb die Mathematiker sich sowas Umständliches antun - bzw. ob das eine Geheimsprache ist, die all die blöden Laien ausschließen soll.

Kommen wir zur Beantwortung diese Frage nochmals auf die Ausgangsgleichung x² = 64 zurück. Ich hatte oben unterstellt, dass der Durchschnittsschüler bei der Folgegleichung x = einen Taschenrechner anschmeißt und dann nichtmal staunt, dass der Rechner den hübsch einfachen Wert 8 ausspuckt.

Kommt hinzu, dass unser Durchschnittsschüler vermutlich das Taschenrechnerergebnis einfach "glaubt", statt am Ende sicherheitshalber die Probe zu machen

(d.h. 8 für das x in der Ausgangsgleichung x² = 64 einzusetzen und tatsächlich 8² = 64 zu erhalten).

Wenn ein Schüler diese Probe machen würde, könnte er feststellen, dass er spontan hätte "sehen" können, dass 8² = 64 ist

(wozu man allerdings die kleineren Quadratzahlen

auswendig kennen und sofort als Quadratzahlen erkennen können müsste).

Wer aber in der Gleichung x² = 64 der 64 sofort ansieht, dass sie eine Quadratzahl ist

(nämlich das Quadrat von 8 und damit auch von - 8),

braucht überhaupt keine Wurzel!

Schwieriger wird's schon z.B. bei x² = 361. Da werden wohl die Allerwenigsten auf Anhieb wissen, dass 361 eine Quadratzahl ist, nämlich 361 = 19², und dass somit x = 19 oder x = - 19. Denjenigen aber, die das nicht auf Anhieb sehen, bleibt, wenn sie die Lösungen von x² = 361 suchen, nur die Wurzel(!)taste auf dem Taschenrechner - wobei sie die Wurzel ja noch gar nicht genau verstanden haben müssen.

Wirklich kompliziert & interessant wird's aber überhaupt erst, wenn hinten keine Quadratzahl

(im vorliegenden Fall 64),

sondern eine Nicht-Quadratzahl, also z.B. 63 steht:

x² = 63

Hier kann niemand auf Anhieb sehen, welche Zahl(en) x die Gleichung erfüllen

(man weiß höchstens nur, dass die gesuchte [positive] Lösung irgendwo zwischen 7 und 8 liegt, da 7² = 49, also zu klein und 8² = 64, also zu groß ist).

Mit der Wurzel umgeformt ergibt sich aus der Anfangsgleichung x² = 63 die Folgegleichung x =

(wenn wir hier die negative Lösung x = - mal wieder weglassen).

Von der können wir aber nur eines zwar wieder arg umständlich, aber mit Gewissheit sagen:

ist diejenige (unbekannte) Zahl, deren Quadrat (exakt) 63 ist.

(Eine anschauliche Analogie wäre:

• ich kenne die Folge [Gelenkschmerzen, 63]),
• aber nicht die Ursache [x, also z.B. eine Entzündung].)

Nun kann man natürlich in den Taschenrechner eingeben, worauf er brav als Ergebnis z.B. 7,937253933 ausspuckt; oder für jemanden, der es noch genauer wissen will: 7,93725393319377177150484726091778.

Solch ein Ergebnis ist schon chaotisch genug, aber Quintessenz eines guten Mathematikunterrichts ist es zu zeigen, dass die korrekte Zahl eine "irrationale" Zahl ist, d.h. als Dezimalzahl hinter dem Komma unendlich weitergeht und nie periodisch wird

- dass man sie also niemals korrekt (vollständig) als Dezimalzahl aufschreiben kann!

Für eine technische Anwendung mag die nur auf zwei Stellen hinter dem Komma genaue Näherung x ≈ 7,93 ausreichen, aber Mathematiker ziehen aus

"[...] dass man sie [die ] [...] niemals korrekt (vollständig) als Dezimalzahl [bzw. dass man immer nur ungenaue Näherungen] aufschreiben kann"

eine rabiate und letztlich doch naheliegende Folgerung:

wenn man die sowieso niemals korrekt (ganz) als Dezimalzahl aufschreiben kann, verzichte man komplett auf solch eine Dezimalschreibweise

(und schalte auch niemals einen Taschenrechner an, da der ja sowieso nur höchst umständliche und zudem ungenaue Näherungen ausspucken kann.

Eine kleine Anekdote zwischendurch: auf dem Weg zur Arbeit fuhr vor einigen Jahren öfters ein Auto mit dem Kennzeichen vor mir her. Welchen Beruf hatte der Fahrer? Mathematiker war er sicherlich nicht, denn die Zahl ≈ 3,1415926535897932384626433832795 ist ebenfalls irrational, lässt sich also auch niemals [komplett] als Dezimalzahl aufschreiben, weshalb ein Mathematiker es sicherlich nicht mal ansatzweise [z.B. mit 3,141] versucht hätte. Also war der Fahrer vermutlich Physiker oder Techniker :-)

Wenn man also vollständig darauf verzichtet, die in Dezimalschreibweise aufzuschreiben

(weil das sowieso aussichtslos wäre),

bleibt nur zweierlei über:

2. die allemal praktische, aber oftmals auch tiefere Kenntnis abwürgende Kurzschreibweise .

Nun wissen wir zwar nicht, welche (Dezimal-)Zahl (genau) die ist, aber da es irgendeine Zahl ist, können wir mit ihr wie mit jeder anderen Zahl rechnen, also z.B. + = 2

(vgl.

[Hauptsache, es handelt sich immer um exakt dasselbe #$%]).

Ein besonderer Glücksfall

(der dennoch oftmals eintritt!)

liegt aber vor, wenn die irgendwann im Laufe von Rechnungen quadriert werden soll, denn dann wird das vorübergehend Schwierige doch plötzlich wieder ganz einfach: ( ) ² = 63

(Staunenswert ist es ja doch, dass

• die eine enorm komplizierte Dezimalzahl, nämlich 7,937253933...,

• ihr Quadrat aber die simple natürliche Zahl 63 ist!)

Dabei ist ( ) ² = 63 gar nicht so einfach nachzuvollziehen:

man quadriert diejenige Zahl, deren Quadrat 63 ist, und erhält dabei natürlich (???) 63.

Vgl.: wenn man die Zutaten verrührt, die verrührt einen Kuchenteig ergeben, dann erhält man einen Kuchenteig.

(Unten werden wir sehen, dass eine Analogie beim Logarithmus endgültig [?] gehirnausrenkend ist.

sind gewisse mathematische Stoffe, die traditionell in einer bestimmten Jahrgangsstufe behandelt werden, überhaupt altersgemäß?

Ein Beispiel: wenn in der 5. Klasse das Dezimalsystem durchgenommen wird, werden zum Vergleich und zur besseren Durchdringung des Dezimalsystems gerne auch Zahlensysteme zu einer anderen Basis, also beispielweise das Dual- und [etwa anhand einer Uhr] das Zwölfersystem durchgenommen. Die Absicht "zur besseren Durchdringung des Dezimalsystems" ist da allemal löblich, und doch scheinen mir diese anderen Zahlensysteme die Fünftklässler komplett kognitiv zu überfordern.

Außerdem kommen diese anderen Zahlensysteme in der gesamten restlichen Schulzeit nie wieder vor.)

Einige Leser dieses Essay werden sich vielleicht fragen, wieso ich ellenlang die Gleichung x² = 64 sowie die Wurzel behandle, mit der diese Gleichung gelöst wird, wo doch das eigentliche Thema dieses Essays der Logarithmus ist.

Aus einem ganz einfachen Grund

(lange Rede, kurzer Sinn):

weil ich die eine Zeile

"die ist diejenige (positive) Zahl, deren Quadrat 64 ist"

noch unten beim Logarithmus brauchen werde!

Logarithmus heavy

Es sei nochmals auf die fatale Ähnlichkeit der Gleichung 2^x = 64 mit der oben im Wurzel-Kapitel behandelten Gleichung x² = 64 hingewiesen: die Ähnlichkeit führt allzu leicht dazu, die jeweiligen Lösungswege (mit anderen Lösungen!) zu verwechseln oder gar zu meinen, die beiden Gleichungen seien identisch und hätten somit auch dieselben Lösungen.

(Wenn aus einem dicken Roman eine Seite rausgerissen ist, wird man den Roman wohl dennoch verstehen. Und wenn in einem Satz

In der Mathematik hingegen haben minimale Unterschiede wie z.B. der zwischen x² und 2^x maximale Konsequenzen, und deshalb kann man Schülern gar nicht deutlich genug machen, dass in der Mathematik ausnahmsweise Korinthenkacker-Genauigkeit unerlässlich ist.)

Schauen wir uns also den Unterschied zwischen x² = 64 und 2^x = 64 mal genau an:

1. in x² = 64 steht

• die Unbekannte x unten (in der Basis)      und
• die                      2 oben (im Exponenten),

2. in 2^x = 64 ist es umgekehrt, steht also

• die                      2 unten und
• die Unbekannte x oben.

Zu a.: bei x² = 64 suchen wir, wie oben ausführlich gezeigt,

Zu b.: bei 2^x = 16 hingegen suchen wir 

Dieser letzte Satz ist, so scheint mir, für viele Schüler eine enorme intellektuelle Zumutung

(aus der sich vermutlich großteils die oben bereits genannten Schwierigkeiten vieler Schüler mit dem Logarithmus ergeben).

Nun sei der Einfachheit halber und ohne Erklärung der Plural weggelassen:

Wenn wir zu diesem Satz wieder das Kuchenback-Äquivalent aufstellen, so ergibt sich:

man sagt

• nicht mehr "Knetmaschine",
• sondern "das Dingsbums (x), mit dem man die Zutaten (2) zu einem Kuchenteig (64) verrührt".

So umständlich all das ist, so wird dadurch vielleicht doch der Unterschied zwischen Wurzel und Logarithmus

(das Wort "Logarithmus" erkläre ich allerdings erst weiter unten)

deutlich:

• bei der Wurzel

• suchen wir die Zutaten (x),
• auf die ein bekanntes Verfahren (Potenzieren mit 2, Knetmaschine) angewandt wird,
• um ein bekanntes Ergebnis (64, Kuchenteig) zu erhalten,

• beim Logarithmus hingegen

• suchen wir das Verfahren ([Potenzieren mit] x, Knetmaschine),
• mit dem wir aus bekannten Zutaten (2)
• ein bekanntes Ergebnis (64, Kuchenteig) machen.

(Nebenbei: beide Begriffe beinhalten also ein Art "Dreisatz".)

Oben war mehrfach gesagt worden, dass die beiden so fatal ähnlichen Gleichungen x² = 64 und 2^x = 64 völlig unterschiedlich zu lösen sind

(und auch unterschiedliche Lösungen haben: im ersten Fall die "Zutaten", im zweiten Fall die "Knetmaschine").

Inzwischen zeigt sich aber gerade anhand der Kuchenback-Analogie, dass nicht nur die Gleichungen, sondern auch die Lösungswege ähnlich sind: in beiden Fällen wird arg um die Ecke gedacht

• nicht gesagt, was eine Sache ist (Zutaten, Knetmaschine),
• sondern gesagt, was herauskommt (Kuchenteig), wenn man etwas mit ihr macht:

in beiden Fällen wird eine "Sache" x erst durch eine Tätigkeit definiert, die mit ihr ausgeführt wird:

Wegen solcher Ähnlichkeit

• sowohl der Gleichungen x² = 64 und 2^x = 64
• als auch der Lösungsverfahren

ist es aber nach wie vor unverständlich, weshalb

(so meine Erfahrung)

die meisten Schüler mit dem Logarithmus viel größere Schwierigkeiten haben als mit der Wurzel.

Deshalb eine andere Analogie:

• zur Wurzel: ein Taschenrechner addiert (= Verfahren) zu x (= Zutat) eine 3 und erhält 5 (= Ergebnis). Da sieht jeder sofort, dass x = 2 ist;
• zum Logarithmus: ein Taschenrechner addiert (= das Verfahren x) zu 2 (= Zutat) eine 3 und erhält 5 (= Ergebnis). Gefragt ist nach dem Verfahren x, mit dem der Taschenrechner addiert, also nach den dazu in ihm ablaufenden elektronischen Prozessen.

... womit wir bei einem heutzutage geradezu typischen "Problem" sind

(das für viele Menschen eben gerade gar kein Problem darstellt):

wir verstehen

• sowohl die Eingabe in Computer (die Zutaten 2 und 3)
• als auch deren Ausgabe (das Ergebnis 5),
• aber nicht mehr den Prozess, der dabei im Computer abläuft.

(Die Behauptung, man brauche heutzutage im Leben massenhaft Mathematik, weil unsere technische Welt randvoll mit Mathematik sei, ist also höchst fraglich, weil Otto Normalverbraucher die technischen Geräte ja wunderbar benutzen kann, ohne im mindesten zu verstehen, was in ihnen vorgeht. Mehr noch: wenn man das Innere der Geräte [vollständig] verstehen müsste, um sie zu benutzen, könnte niemand sie mehr benutzen

[auch ein Ingenieur bei Apple versteht ein iPad nicht ganz].

Der Siegeszug der Computer ist also nur dadurch zu erklären, dass sie zwar randvoll mit Elektronik und Mathematik sind, der Laie von all dem aber keinerlei Ahnung haben muss.)

Solche Analogien können uns den entscheidenden Tipp zur Beantwortung der Frage geben, warum für die meisten Schülern die Wurzel relativ einfach, der Logarithmus hingegen sehr schwierig ist: es liegt daran, dass das Lösungsverfahren

• bei x² = 64 relativ einfach,
• bei 2^x = 64 hingegen sehr umständlich ist.

Schauen wir uns deshalb nochmals an, wie man die beiden Gleichungen durch schlichtes Probieren lösen könnte:

• zu x² = 64 :
  • wir setzen für x die 1 ein und erhalten 1² =  1 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 2 ein und erhalten 2² =  4 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 3 ein und erhalten 3² =  9 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 4 ein und erhalten 4² = 16 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 5 ein und erhalten 5² = 25 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 6 ein und erhalten 6² = 36 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 7 ein und erhalten 7² = 49 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 8 ein und erhalten 8²          = 64. Bingo!

Das Verfahren besteht hier also immer in derselben Tätigkeit, nämlich simplem Quadrieren.

• zu 2^x = 64 :
  • wir setzen für x die 1 ein und erhalten 2¹ =  2 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 2 ein und erhalten 2² =  4 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 3 ein und erhalten 2³ =  8 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 4 ein und erhalten 2⁴ =16 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 5 ein und erhalten 2⁵ = 32 ≠ 64
  • wir setzen für x die 6 ein und erhalten 2⁶         = 64. Bingo!

Das Verfahren besteht hier also

• nicht in simplem Quadrieren,
• sondern teilweise im Anwenden höherer Potenzen. Und das eben ist ein zentraler Grund, weshalb der Logarithmus für viele Schüler erheblich schwieriger ist.

Besonders deutlich wird der Unterschied zwischen x² und 2^x aber, wenn wir für x nicht eine natürliche Zahl, sondern z.B. 1,5 einsetzen:

• zu x² :

für x = 1,5 ergibt sich sehr einfach 1,5² = 1,5 • 1,5 = 2,25;

• zu 2^x  :

für x = 1,5 ergibt sich 2^1,5, und was soll das überhaupt bedeuten?: eine Zahl (hier 2) wird "1,5 mal mit sich selbst malgenommen"?!

(... wofür es allerdings durchaus eine [wenn auch sehr abstrakte] mathematische Lösung gibt.

Ich höre schon den Einwand, dass man natürlich auch z.B. x³ = 64 oder x⁴ = 64 usw. behandeln könnte, was auf die dritte, vierte usw. Wurzel hinausliefe, die auch nicht mehr so einfach sind. Dennoch müsste bei jeder dieser Einzelgleichungen jeweils immer dasselbe gemacht, nämlich z.B. mit 3 oder 4 potenziert werden. Und außerdem kommen die höheren Wurzeln im Schulunterricht - aus welchem Grund auch immer - kaum jemals vor.)

Auch für 2^x = 64 gibt es eine ganz einfache (???) Lösung: Mathematiker rechnen ja nicht gerne, aber es erweist sich doch immer wieder als hilfreich, zumindest die Potenzen von 2 bis 2¹⁰ auswendig zu kennen, also

        1  -  2  -  4  -  8  - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 - 1024
      2⁰ - 2¹ - 2² - 2³ - 2⁴ - 2⁵ - 2⁶ -   2⁷  -  2⁸  -   2⁹  -  2¹⁰                             

Ein erfahrener Mathematiker sieht also sofort, dass 6 die Lösung der Gleichung 2^x = 64 ist, und braucht dazu gar keinen Logarithmus.

Ich habe allerdings den Begriff "Logarithmus" zwar bisher schon mehrfach benutzt, aber noch nicht erklärt (definiert).

Schauen wir uns deshalb zur Gleichung 2^x = 64 nochmals den Satz an:

gesucht ist

Um nicht immer mit diesem ellenlangen und umständlichen Satz hantieren zu müssen, nennen wir diese gesuchte Zahl kurz und bündig

,

was

"der Logarithmus von 64 zur Basis 2"

ausgesprochen wird.

Insgesamt ergibt sich damit:

... und das ist doch arg verschwurbelt:

... wogegen - wenn überhaupt - vielleicht eine Eselsbrücke hilft:

Wir haben nun also zwei Gleichungen, die denselben Sachverhalt nur unterschiedlich ausdrücken:

1.    x = ,
2. 2^x                   = 64.

Wenn wir nun für das x in der zweiten Gleichung den Ausdruck aus der ersten einsetzen, erhalten wir 

                 = 64

Für einen geübten Mathematiker ist das eine Selbstverständlichkeit, für einen Laien ist es aber vermutlich keineswegs so einfach.

Nun ist es an = 64 ja immerhin erstaunlich, dass

• aus dem schwierigen linken Term
• die höchst simple 64 rechts wird.

Es ist, als wenn alles erst enorm aufgebläht wird, um dann urplötzlich wieder in sich zusammensacken; oder als wenn erst eine Nebelmaschine eingesetzt wird und dann urplötzlich wieder Klarheit herrscht.

Da wir inzwischen wissen, dass

•                 2⁶ = 64 ist, also
•                   6 die Zahl ist, mit der man 2 potenzieren muss, um 64 zu erhalten, also
• = 6 ist,

ergibt sich tatsächlich

        =

     = 2    ⁶     =

     =   64

bzw. kurz

         = 64.

Und dennoch muss man sich die Gleichung = 64 mal auf der Zunge zergehen lassen:

wenn man

• 2 mit derjenigen Zahl (6) potenziert, mit der man 2 potenzieren muss, um 64 zu erhalten,
• erhält man natürlich (???) 64.

Wenn das nicht eine schwindelerregende geistige Achterbahnfahrt ist:

Aber es gibt ja Leute, die geradezu scharf auf den Kick von (geistigen) Achterbahnen sind!

Vgl.: wenn man

• die Zutaten mit demjenigen Gerät (einer Knetmaschine) knetet, mit dem man einen Kuchenteig erhält,
• erhält man natürlich (???) einen Kuchenteig.

Komplizierter & interessanter wird's, wenn - wie oben bei der Wurzel - rechts nicht mehr 64, sondern 63 steht, also

2^x = 63.

Hier lässt sich nun keine natürliche Zahl x mehr finden, die die Gleichung löst. Wir wissen nur, dass die gesuchte Zahl zwischen 5 und 6 liegt, da 2⁵ = 32 zu klein und 2⁶ = 64 zu groß ist.

Gesucht ist x = log ₂ 63. Nun ließe sich zeigen, dass auch diese Zahl - wie die oben - irrational ist, also in Dezimalschreibweise weder endlich noch periodisch hinter dem Komma, so dass man sie in Dezimalschreibweise nie vollständig aufschreiben kann.

Auch hier ist die Nicht-Aufschreibbarkeit bester Grund, es erst gar nicht mit der Dezimalschreibweise zu versuchen, und deshalb bleibt wieder nur zweierlei: 

2. die allemal praktische, aber oftmals auch tiefere Kenntnis abwürgende Kurzschreibweise "log ₂ 63".

Logarithmus light

In grauer Vorzeit, als es noch keine Taschenrechner gab, lernten Schüler (wie ich) mehrere Logarithmengesetze, weil es mit diesen möglich war,

1. schwierige Potenzen auf einfache(re) Multiplikationen,
2. schwierige Multiplikationen auf einfache(re) Additionen,
3. schwierige Divisionen auf einfache(re) Subtraktionen zu reduzieren.

Heutzutage im Zeitalter der Taschenrechner braucht "man" - das sei nur kurz angedeutet - nur noch das Logarithmengesetz A., also log _a (b^c) = c • log _a b, um sogenannte Exponentialgleichungen lösen zu können.

Obwohl

"A. schwierige Potenzen auf einfache(re) Multiplikationen,

  B. schwierige Multiplikationen auf einfache(re) Additionen,

  C. schwierige Divisionen auf einfache(re) Subtraktionen zu reduzieren"

also teilweise Schnee von gestern sind, erinnern sie uns doch an etwas enorm Wichtiges:

1. , dass die Multiplikation eine abgekürzte Addition ist

(z.B. 4 • 5 = 5 + 5 + 5 + 5),

2. , dass die Potenz eine abgekürzte Addition ist

(z.B. 4³ = 4 • 4 • 4,

         4³ = 4 •        4 • 4         =

             = 4 • (      4 • 4       ) =

             = 4 • (4 + 4 + 4 + 4) =

             =       (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) =

             =                 16           +          16            +          16           +          16            =

                           .                                                64                                                          ).

Weil aber die Multiplikation eine abgekürzte Addition ist, ergeben sich durch die Multiplikation schnell große Zahlen.

Und weil Potenzen abgekürzte Multiplikationen und sogar rabiat abgekürzte Additionen sind, ergeben sich durch Potenzen schnell sehr, sehr große Zahlen. Der Vorteil der Kurzschreibweise a^b ist daher gleichzeitig auch ihr größter Nachteil: die Kurzschreibweise verbirgt fatalerweise die sich ergebenden sehr, sehr großen Zahlen.

Schauen wir uns nochmals das obige Probieren an:

• zu x² = 64 :
  • wir setzen für x die 1 ein und erhalten 1² =  1 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 2 ein und erhalten 2² =  4 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 3 ein und erhalten 3² =  9 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 4 ein und erhalten 4² = 16 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 5 ein und erhalten 5² = 25 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 6 ein und erhalten 6² = 36 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 7 ein und erhalten 7² = 49 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 8 ein und erhalten 8²          = 64. Bingo!

Das Verfahren besteht hier also immer in derselben Tätigkeit, nämlich simplem Quadrieren.

• zu 2^x = 64 :
  • wir setzen für x die 1 ein und erhalten 2¹ =  2 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 2 ein und erhalten 2² =  4 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 3 ein und erhalten 2³ =  8 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 4 ein und erhalten 2⁴ =16 ≠ 64,
  • wir setzen für x die 5 ein und erhalten 2⁵ = 32 ≠ 64
  • wir setzen für x die 6 ein und erhalten 2⁶         = 64. Bingo!

Das Verfahren besteht hier also

• nicht in simplem Quadrieren,
• sondern teilweise in höheren Potenzen.

Es hat sich also gezeigt, dass das Rechenverfahren bei 2^x schwieriger als bei x² ist. Dafür erreichen wir aber bei 2^x viel schneller die 64 als bei x² :

• bei x² erreichen wir die 64 erst     für x = 8,
• bei 2^x erreichen wir die 64 schon für x = 6.

Noch eindrücklicher ist das beispielsweise bei 1048576:

• x²  erreicht  1048576 erst     bei x = 1024, denn 1024² = 1048576,
• 2^x  errreicht 1048576 schon bei x =     20, denn  2²⁰     = 1048576.

x² wächst schon ziemlich schnell, aber 2^x wächst noch viel schneller, also rasend schnell.

Schauen wir uns nun die Umkehrungen an:

• zu 1024² = 1048576 ist       = 1024 die Umkehrung,
• zu 2²⁰      = 1048576 ist log ₂ 1048576 =      20 die Umkehrung.

Der Logarithmus macht aus sehr großen Zahlen (hier 1048576 ) also sehr viel kleinere Zahlen (hier 20 ) als die Wurzel (hier 1024 ).

(Nebenbei: so abstrakt der Logarithmus uns erscheinen mag, so intuitiv haben wir ihn merkwürdigerweise doch "drauf":

"Was der Mensch als Lautstärke empfindet, hängt von der Intensität bzw. dem Schalldruck des Schallereignisses ab. Je größer die Amplitude, desto lauter hören wir den Ton. Der Zusammenhang zwischen empfundener Lautstärke und Schalldruckamplitude ist jedoch nicht linear, sondern logarithmisch. [...] Erst die Verzehnfachung der  Schallquellen führt zu einer Verdoppelung des Lautstärkeempfindens."
[Quelle: ])

Der Logarithmus ist also ein besonders geeignetes Mittel, um

Man könnte allerdings auch sagen: der Logarithmus

• ist ein leider (unvermeidlich?) ziemlich kompliziertes Mittel,
• um sehr Großes wieder sehr klein (und damit einfach) zu machen.

"Sehr Großes wieder sehr klein (und damit einfach) zu machen" scheint mir aber die wichtigste Quintessenz des Logarithmus zu sein: eine Quintessenz, die im Schulunterricht kaum eine Rolle spielt - und die ich zwar kannte, die mir bislang allerdings noch nicht als besonders bedeutsam aufgefallen war

(wofür ich mich fast ein bisschen schäme: ich muss mit [Betriebs-]Blindheit geschlagen gewesen sein; nunja, in hab' ich's ja schon mal halb gewusst).

Alle hier bislang erwähnten streng mathematischen Eigenschaften des Logarithmus bis hin zum Merksatz

sind zweifelsohne auch wichtig

(und müssen eingepaukt werden!),

verstellen allerdings doch allzu schnell die Sicht auf eben die Quintessenz "sehr Großes sehr klein machen".

Aufgegangen ist mir diese Quintessenz erst anhand des im Folgenden zitierten Ausschnitts aus dem Buch

(ansonsten finde ich das Buch allerdings eher mäßig, weil es an vielen anderen Stellen sehr schlecht erklärt).;

Wenn der Logarithmus also bislang (oben) "heavy" war, so wird er jetzt wundersam "light":

"Angenommen, man sucht [in einem 1000seitigen Telefonbuch den Namen] »Stiller«. Dann schlägt man das Telefonbuch grob in der Mitte auf und findet: massenweise »Müller«. Also ist der gesuchte Name weiter rechts und man kann die gesamte linke Hälfte des Telefonbuchs nach einem Handgriff abhaken. [...] Jetzt nimmt man sich die rechte Hälfte mit ihren etwa 500 Seiten vor und schlägt sie wieder in der Mitte auf. Vielleicht ist man dann zufällig schon bei »S«, aber egal, wo man genau ist, die präzise Kenntnis des Alphabets erlaubt es einem zu ermitteln, ob man rechts oder links weitersuchen muss. Und schon hat man nur noch 250 Seiten zu durchsuchen. Nach fünf, sechs Handgriffen bleiben so von den 1000 Seiten nur ein Dutzend in der Hand. [...] Im Prinzip könnte man so weitermachen: In der Mitte nachsehen, und dann entscheiden, welche Hälfte wegkann und in welcher man weitersucht. Ist man auf der richtigen Seite angelangt, geht man genauso vor: In der Mitte des Blatts nachsehen und entscheiden, ob man die vordere oder die hintere Hälfte [des Blatts] weiter betrachten muss. Von den vielleicht 1000 Einträgen auf einer Seite hat man am Ende kaum ein Dutzend angesehen, bis man bei »Stiller« landet. Das Beste an dem Verfahren: Für ein doppelt so großes [2000seitiges] Telefonbuch braucht man nur einen Handgriff mehr.

[...]

Schauen wir uns das Telefonbuchprinzip etwas genauer an. Man nennt es Binäre Suche – Zweier-Suche –, weil man immer zwischen zwei Möglichkeiten entscheiden muss: links weitersuchen oder rechts weitersuchen. Das ist wie ein Baum, der durch die riesige Menge an Telefonbucheinträgen wächst. Der erste Schritt des Algorithmus – wenn wir das Telefonbuch zur Hand nehmen – ist der Stamm dieses Baums. Aus dem Stamm wachsen zwei dicke Äste. Die tiefste Astgabel entspricht unserer ersten Entscheidungsfrage: Steht die gesuchte Telefonnummer in der linke Hälfte oder in der rechten Hälfte? Je nachdem, wie die Antwort auf diese Frage lautet, entscheiden wir uns, entweder links oder rechts weiterzusuchen, also über den linken oder den rechten dicken Ast den Baum emporzusteigen. Auf jedem Ast, also für jede Entscheidung, ergibt sich erneut die Möglichkeit, rechts oder links weiterzusuchen: Jeder der beiden dicken Äste verzweigt sich in zwei dünnere Äste. Von denen gibt es dann schon vier. Und so geht es weiter. Aus Ästen wachsen dünnere Äste und schließlich Zweige, bis am Ende jeder dünnste Zweig zwei Blätter hat, eins links, eins rechts – unsere letzte Entscheidung. Auf jedem Blatt steht eine Telefonnummer. Es ist ein Entscheidungsbaum. Entscheidungsbäume sind immer gut, um sich einen Algorithmus vorzustellen. Die Suche mit dem Telefonbuchalgorithmus nach einem einzelnen Namen entspricht dem Weg vom Stamm zu dem einen Blatt, auf dem der Name steht. Der Baum als Ganzes enthält die Abläufe der binären Suchen nach allen Namen im Telefonbuch. Ein Entscheidungsbaum stellt alle Möglichkeiten dar, wie der Algorithmus verlaufen kann. Der Baum der binären Suche hat Abertausende Blätter. Trotzdem gelangen wir nach nur wenigen Verzweigungen vom Stamm aus bis zu dem Blatt, nach dem wir gesucht haben. In einem Telefonbuch mit einer Million Einträgen müssen wir an 20 Astgabeln rechts oder links gehen, 20-mal entscheiden, weiter vorne oder weiter hinten im Buch zu suchen, bis wir genau auf dem Blatt des gesuchten Eintrags ankommen. Bei einem Telefonbuch mit einer Milliarde Einträgen müssten wir 30 Astgabeln hochklettern. Mit 10 weiteren Astgabeln kann das Buch 1000-mal mehr Einträge haben. Die Anzahl der Verzweigungen, die man von Stamm zu Blatt durchläuft, wächst äußerst langsam im Verhältnis zur Dicke des Telefonbuchs. Darin liegt die Kraft der binären Suche. Mathematisch ausgedrückt ist die Anzahl der Verzweigungen vom Stamm bis zu einem Blatt der Logarithmus der Anzahl der Blätter. Genauer der Logarithmus zur Basis zwei – Basis zwei, weil sich jeder Ast in zwei dünnere Äste teilt. {Ich habe den Logarithmus in der Schule kennengelernt und in Ermangelung einer Anwendung schnell wieder vergessen. Für alle, denen es genauso geht: Logarithmus von irgendeiner Zahl zur Basis zwei ist die Antwort auf die Frage: Zwei hoch was ergibt diese Zahl?}

[...]

Es muss nicht immer der Logarithmus zur Basis zwei sein. Jeder kennt einen Entscheidungsbaum, bei dem jeweils zehn Zweige aus einem Ast sprießen: Was ist 1948 plus 2015?

[...]

Zuerst schreibt man die Zahlen untereinander, und dann kann es losgehen. Erster Schritt, um die Einser zusammenzuzählen, zweiter Schritt für die Zehner, dritter Schritt für die Hunderter und vierter Schritt für die Tausender. Wenn man Tausenderzahlen addiert, braucht man vier Schritte. Für Zehntausenderzahlen fünf Schritte, für Millionenbeträge bräuchte man sieben Schritte. [...] Die Zahlen werden rasant größer, aber die Anzahl der Schritte wächst nur langsam. Für einen Schritt mehr darf die Zahl gleich eine ganze Stelle mehr haben, also rund zehnmal größer sein. Die Anzahl der Rechenschritte beim Addieren liegt in der Größenordnung des Logarithmus der Zahlen, die wir addieren – des Logarithmus zur Basis Zehn, weil wir im Zehnersystem Zahlen schreiben. {Die einfachste Art, den Logarithmus einer Zahl zu nutzen, ist, sie zu schreiben. Um eine riesige Zahl zu schreiben, brauchen wir nur Logarithmus-von-riesig-viele Stellen. Ohne diesen Trick müsste man für die Fünf fünf Kringel malen, für die Tausend 1000 Kringel [...]}"