oder
"Navi"-Mathematik

„Grau is alle Theorie – entscheidend is auf'm Platz“.
(Adi Preißler)

Als im Jahr 2014 Uli Hoeneß wegen Steuerhinterziehung ("Peanuts") in den Knast musste, brach eine Welle der Häme über ihn herein.

Nun war er als

• langjähriger Chef des wie kein anderer deutscher Fußballverein bei all seinen Gegnern verhassten Clubs "Bayern München" ,
  

• allzu oft selbsternannter Gutmensch
  

natürlich ideale Zielscheibe des Hasses

(woraus man lernen kann: lasse niemals dein Gutsein und Moral raushängen: spätestens wenn du berühmt bist, wird garantiert irgendein Journalist

[mit Vorliebe des mainstream-Flagsschiffs "Spiegel"]

mehr oder minder große Verfehlungen in deiner Biografie ausgraben, und wenn du erstmal auf der Abschussliste des "Spiegels" stehst, hast du eh nicht mehr die geringste Chance, da alle anderen Medien das sowieso abschreiben).

Hoeneß' Strafe

(drei Jahre und sechs Monate)

mag angemessen gewesen sein, aber so tief kann ich doch wahrhaft nicht sinken, mich darüber zu freuen und ihm diese Strafe zu gönnen:

ich gönne niemandem eine Gefängnisstrafe, also beispielsweise auch nicht einem Mörder oder "Hitler persönlich".

(Was nicht heißt, dass ich irgendwas entschuldige oder bezweifle, dass in gewissen Fällen eine Gefängnisstrafe angebracht ist.)

Und ich unterscheide sowieso immer zwischen

• der Kritik einer Tendenz und
• der Kritik von Einzelmenschen.
  

Zwei Beispiele:

1. wird oftmals pauschal von allgegenwärtiger Korruption
   

(in Köln "Klüngel")

geredet, und da würde es mich doch wirklich mal freuen, wenn man sie einem Dutzend Großkopfeten endlich mal nachweisen und sie für Jahre in den Knast wandern lassen könnt

(ohne Gerichtsurteil haben sie nämlich als unschuldig zu gelten - und ist, da ich den deutschen Gerichten weitgehend vertraue, all die vermeintliche Korruption vielleicht eben doch nur ein Stammtischklischee).

Aber persönlich gönne ich keinem dieser Großkopfeten viele Jahre Knast, auch wenn er eindeutig schuldig wäre.

2. : selbstverständlich

• verabscheue ich all die gemeingefährlichen Nachmittagstalkshows bei "Privat"-Sendern,
• halte ich ihre Macher durchweg für Zyniker und
• verachte ich abgrundtief jede Zahnarztgattin, die sich am in solchen Sendungen vorgeführten
  

(oftmals von Schauspielern gespielten)

Proletariat aufgeilt

(sich ihren täglichen Schauder über fremde Welten runterholt und ihre eigene vermeintliche Intelligenz bestätigen lässt).

Aber ich wäre im Einzelfall dennoch immer vorsichtig mit meinem Urteil:

1. bei den Redakteuren: vielleicht hat solch ein Redakteur einfach keine andere Stelle finden können und wäre er ohne sie arbeitslos;

2. ist die klischeehafte Zahnarztgattin doch auch nur eine unterbeschäftigte arme Socke, die "tief in ihrem Innersten" vielleicht sogar allzu gut weiß, dass sie genauso dumm wie die in den Sendungen vorgeführten Grenzdebilen ist.
   

Im Rahmen der allgemeinen Häme über Hoeneß hat irgendjemand einen dann doch lustigen Witz gemacht:

,

wobei

• mit dem "Runden" natürlich Hoeneß mit seinem Vollmondgesicht und
• mit dem "Eckigen" eine Gefängniszelle
  

gemeint war.

Der Witz kam dabei natürlich durch das Wortspiel mit Sepp Herbergers tiefgründiger Fußballweisheit

"Das [!] Runde [= der Ball] muss ins Eckige [= das Tor]"

zustande, wobei dieser Satz wohl so viel bedeutet wie

"ein Fußballspiel kann [technisch] noch so schön sein, letztlich zählen nur die Tore".

"Der / das Runde muss ins Eckige" ist das glatte Gegenteil von

 ,

denn da passt umgekehrt das Eckige fast ins Runde.

Und überhaupt gemahnt "der / das Runde muss ins Eckige" genauso wie "das Eckige muss ins Runde" an die mathematische (unmögliche) Quadratur des Kreises.

(Und überhaupt geht's kaum gegensätzlicher als "rund / eckig", was seit altersher auch die Mathematik beschäftigt: klassische geometrische Komstruktionen sind nur mit Zirkel [rund] und Lineal [gerade und mit dem rechten Winkel zusammen eckig] erlaubt.)

Will (?) uns "der / das Runde muss ins Eckige" also sagen, dass da etwas (fast) Unmögliches passiert bzw. erwartet wird?: eher geht ein Kamel durch ein Nadelöhr als ein "Promi" ins Gefängnis.

Damit habe ich es in für mich typischer Manier mal wieder geschafft, die Mathematik in ihr kulturelles Umfeld einzubetten.

"Das Runde muss ins Eckige" (oder umgekehrt) ist eine herrliche Kurzfassung für

• die Flächen- und Umfangsberechnung von (banalerweise runden) Kreisen

• die Integration, also die Berechnung von Flächen unter krummen ("runden")

durch Um- und dann auch Einschreiben von Eckigem

(Drei- und Rechtecken).

Diese Flächenberechnungen mittels "Das Runde muss ins Eckige" sind aber ebenfalls nur "appetizer" für mein eigentliches Thema hier, nämlich "»Navi«-Mathematik".

Es geht mir dabei allerdings gar nicht um Flächenberechnungen (Integration), sondern ich schalte einen Gang runter zur "Ableitung" bzw. Steigung "runder" oder genauer krummer Funktionsgraphen.

Die Deutschen neigen dazu, ihre Großen durch Anhängen des kleinen Buchstabens "i" nahbar zu machen und zu verniedlichen

(vgl. etwa "Bori Becki & Steffi Grafi"),

und so hat sich eben auch "Navi" eingebürgert.

Fragt sich allerdings, wofür "Navi" eigentlich eine Abkürzung ist: für "Navigationsgerät", was doch eine erhebliche und damit sehr praktische Abkürzung wäre?

Was aber ist, wenn das eigenständige "Navigationsgerät" langsam zugunsten von "Navigationsprogrammen" auf Handys

(auch so eine i- bzw. y-Verniedlichung!)

verschwindet? Da schwant mir dann doch, dass "Navi"

(wie "Handy")

gar keine Abkürzung (mehr) ist, sondern ein eigenständiges Wort.

(Auch die besten) Mathematiker sind so herrlich blöd, dass sie beispielsweise

• ausnahmslos gar nicht direkt mit Kreisen und Krummem umgehen können, sondern
• immer den Umweg übers einfache Gerade bzw. Eckige gehen müssen.
  

Vgl. "Das Runde muss ins Eckige."

Das Navigationsprogramm auf meinem Tablet stellt in Wirklichkeit krumme

(im Mathematik-Jargon "differenzierbare", was für die "Durchfahrbarkeit" wichtig ist)

Straßen oftmals als Abfolge gerader Stücke dar:

Das hat zwei Gründe:

1. müsste das Navigationsprogramm für jede einzelne krumme Straße
   

(und dann alle krummen Straßen in Deutschland oder sogar Europa)

eigentlich unendlich viele Einzelpunkte speichern, was die Speicherkapazität sogar von Großcomputern übersteigen würde;

2. gibt es zwar Berechnungen
   

(z.B. für Splines oder Bezierkurven ),

um zu wenigen Punkten dennoch eine geschwungene Kurve zu berechnen und dann darzustellen, aber diese Berechnungen würden vermutlich arg auf die Rechenleistung gehen und damit das Navigationsprogramm (wortwörtlich:) gefährlich verlangsamen.

Die soeben genannten beiden Gründe dafür, dass in Wirklichkeit krumme Straßen als Abfolge gerader Stücke angezeigt werden, haben dabei erheblich unterschiedliche Qualitäten:

• im 2. Fall würde eine höhere Rechenleistung des Computers schnell Abhilfe schaffen, sodass wohl in naher Zukunft krumme Straßenverläufe auf allen Navis auch als krumm angezeigt werden,
  
• im 1. Fall ist das Problem grundsätzlicher Natur, so dass es auch durch zukünftige rasend schnelle Computer nicht wird behoben werden können.
  

Eine in Wirklichkeit krumme Straße wird also von Computern auch in Zukunft mittels einiger weniger Punkte abgespeichert werden, die dann allerdings schnell in krumme Strecken zurückberechnet und als solche angezeigt werden.

(Und schon haben wir anhand eines popeligen Navis wahrhaft Fundamentales über die Mathematik gelernt!)

Mein Navigationsprogramm hat nach einem Update eine neue Funktion:

links oben wird in einem grau-schwarzen Feld angezeigt,

• welche Richtgeschwindigkeit für eine bevorstehende Kurve vorgeschlagen wird (hier 100 km),
• wie weit diese Kurve noch entfernt ist (hier 313 m).
  

Diese neue Anzeige habe ich auf Serpentinenstrecken in Nordspanien sehr zu schätzen gelernt:

1. sind sehr enge Serpentinen- bzw. (welch hübsches Wort!:) "Haarnadelkurven" ja prinzipiell schlecht einsehbar,
2. gilt das insbesondere für Kurven auf Kuppen

(wo die Straßen ja direkt in den Abgrund bzw. ins Meer zu führen scheinen;

und überhaupt kann man mit einem Navi herrlich in die Zukunft [wie die Straße weitergehen wird] und um Ecken schauen: zwei der Gründe dafür, dass ich immer wieder bass erstaunt über die Fähigkeiten von Navis bin;

erstaunlich finde ich es nebenbei auch, dass ganz Europa auf eine CD passt).

Aber zurück zur Richtgeschwindigkeit: die ist natürlich zu unterscheiden von der erlaubten

(sowohl von Straßenschildern als auch vom Navi angezeigten)

Höchstgeschwindigkeit.

Ein Beispiel: angenommen, die Höchstgeschwindigkeit für eine 10 km lange Serpentinenstraße ist einmalig mit 90 km/h angegeben. Da wäre es natürlich selbstmörderisch, jede der engen Kurven tatsächlich mit dieser Höchst(!)geschwindigkeit zu durchfahren.

Wie aber macht ein Navi es, die Richtgeschwindigkeit für jede einzelne Kurve anzuzeigen

(wenn diese nicht - was ich schwer bezweifle - für jede Kurve in Europa zusätzlich abgespeichert ist)?

Nun habe ich zwar keine Ahnung, wie die Programmierer des Navis dieses Problem gelöst haben, aber gerade diese Unkenntnis erlaubt es mir ja, mir eine eigene Lösung des Problems auszudenken:

ich muss ja nur wissen, wo eine Kurve ihre größte (gefährlichste) Krümmung hat. Mathematisch gesprochen heißt das, dass

• die größte
• Änderung
• der Steigung

gesucht ist.

(Das muss für Laien dringend erklärt werden: insbesondere Serpentinenstrecken sind ja dreidimensional, weil sie sich nicht nur

• vorwärts und
• sondern auch nach oben [bergauf] oder unten [bergab] bewegen.
  

So langsam werden erhebliche Sprachprobleme deutlich:

1. eine Differenz zwischen Alltags- und mathematischer Sprache: 

• in der Alltagssprache wird eine Fahr"strecke" auch dann eben als "Strecke" bezeichnet, wenn sie krumm ist,
• eine "Serpentinenstrecke" ist also
  • in der Alltagssprache kein Problem,
• in der Mathematik aber eigentlich ein Widerspruch, denn eine Serpentine ist krumm, eine mathematische Strecke aber immer gerade.
  

[Im vorliegenden Fall ist das Sprachproblem noch gering, weil 

• klar ist, dass die unproblematische Alltagsbedeutung der "Serpentinenstrecke" gemeint ist,
• der Laie die mathematische Bedeutung von "Strecke" gar nicht kennt,
• der Mathematiker natürlich auch "Alltagsmensch" ist und souverän zwischen beiden Bedeutungen hin- und herspringen kann.
  

Gerade im Schulunterricht entstehen erhebliche Verständnisprobleme wohl dadurch, dass die Schüler und der Lehrer

(und das ist vermutlich am gefährlichsten: von beiden Seiten unbemerkt)

auf verschiedenen Sprachebenen reden.]

Im Folgenden sei der Einfachheit halber aber mal die dritte Dimension einer Kurvenfahrt, also das Auf und Ab, weggelassen, da unser "Richtgeschwindigkeitsproblem" ja auch bei Kurvenfahrten in der Ebene auftritt.

2. ist nun, da wir uns nur noch in der Ebene bewegen, in
   
        "• die größte
         • Änderung
         • der Steigung"

der Begriff der "Steigung" problematisch, da in der Ebene ja überhaupt keine Steigung mehr vorhanden ist bzw. die Steigung Null ist.

Da die dritte Dimension ja keine Rolle mehr spielt, betrachten wir eine Fahrstrecke nur noch von oben, so dass sie flach vor uns liegt. Anders gesagt: wir stellen den Navi von

3D

auf

2D

um

Nun legen wir durch Drehung die Fahrstrecke bzw. einen Ausschnitt davon noch im mathematischen Sinne als "Funktion" vor uns, also derart, dass sie von links nach rechts verläuft und weder senkrecht noch rückläufig

[mal von links nach rechts, mal von rechts nach links verlaufend] ist.

Aus

wird also

Nun haben wir wieder einen "Berg"

[von der Seite gesehen]

vor uns, und dessen Steigung [bzw. Gefälle] betrachten wir.)

Bei

"• die größte
 • Änderung
 • der Steigung"

denkt nun ein Mathematiker sofort:

• Steigung                                    ≈                        1. Ableitung,
• Änderung der Steigung            ≈                        2. Ableitung,
• größte Änderung der Steigung ≈ Nullstelle der 3. Ableitung

                                                                (dort ist ggf. ein Kandidat für ein Maximum der Krümmung)

Fragt sich nur, auf m>welche Funktion wir das anwenden sollen. Ursprünglich kennt ein Navi ja nur (s.o.) Einzelpunkte, , aus denen er überhaupt erst z.B. Bezierkurven/-funktionen berechnen könnte, die üblicherweise ersten, zweiten und vor allem dritten Grades sind.

Bei allen dreien ist nun aber unser soeben gefundenes Ableitungsverfahren aus hier nicht erklärten Gründen völlig witzlos.

Überhaupt ist es für die Richtgeschwindigkeitsfestlegung viel einfacher, die Anfangspunkte zu nutzen, ohne auf die zugehörigen, nachträglich berechneten Funktionen zurück zu greifen:

angenommen, von der Fahrstrecke sind die drei Punkte A, B und C gegeben, die mit den (geraden) Strecken a und b verbunden sind. Dabei entsteht zwischen den Strecken a und b der Winkel α:

Je kleiner nun α ist, desto enger ist die jeweilige Kurve - und desto geringer die Richtgeschwindigkeit.

Und so sollte sich zu jedem Winkel α eine geeignete Richtgeschwindigkeit festlegen lassen.

Am "Navi" ist auch noch anderes mathematisch interessant:

1. : auch die "Navis" werden immer leistungsfähiger, d.h. die Streckenberechnung und damit auch die Bildschirmanzeige wird immer schneller. Insbesondere bei älteren, also langsameren Navis kann man aber noch gut beobachten, wie die Streckendarstellung erfolgt: ein Navi merkt sich nicht jeden genauen Kurvenverlauf

(das ginge auch gar nicht, da jede Kurve aus unendlich vielen Punkten besteht),

sondern nur einige wenige Punkte auf der Kurve

(z.B. da, wo die Kurve ein bundesweites Raster schneidet):

Nun gilt es, aus den wenigen gespeicherten Punkten

wieder eine Kurve zu machen.

Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten:

• wenn die Punkte auf dem Graphen einer mathematischen Funktion

(z.B. einem Kreisausschnitt oder einer Parabel)

liegen

(was aber bei den meisten Straßen wohl kaum der Fall sein wird),

kann der Navi eben mal schnell den zugehörigen Funktionsgraphen berechnen

(um diesen anzuzeigen, wird er dann aber doch wieder in Geradenstücke [Strecken] zerlegt; s.u.).

• wenn die Punkte nicht auf dem Graphen einer mathematischen Funktion liegen, gibt es zwei Möglichkeiten:
  • Bezierkurven oder Splines: es werden Kurven berechnet, die durch die vorgegebenen Punkte gehen und gleichzeitig "rundlich" sind; solche Näherungsrechnungen erfordern aber erhebliche, zumindest bei alten Navis noch gar nicht vorhandene Rechenleistungen;
  • die Punkte werden der Einfachheit halber durch Geradenstücke (Strecken) verbunden, was man bei alten Navis noch sehr deutlich sehen kann:

Solche aus Geradenstücken zusammengekleisterten "Kurven" weisen dann oftmals in den Punkten Knicke auf, d.h. sie wirken unschön und sind - mathematisch gesprochen - nicht differenzierbar.

Aber à propos "differenzierbar": die Ableitung (Differenzierung) von Kurven wird in der Schulmathematik ja gerade über Annäherung durch Geraden hergeleitet!

Genau dasselbe Stückelungs-Prinzip wird auch im "richtigen Leben" benutzt, wenn kurvige Bürgersteige mit "geraden" Platten und Bordsteinen gepflastert werden:

2. Oben war schon angesprochen worden, dass man bei modernen Navis zwischen 2D und 3D hin- und herschalten kann.

Ich vermute mal, dass die Strassenkarten bei Navis

• in 2D gespeichert sind und
• daraus immer in 3D umgerechnet werden müssen.

Daran interessiert mich hier

• nicht das exakte mathematischen Umrechnungsverfahren

(das für die Schule viel zu schwierig wäre),

• sondern das geometrische "Prinzip"

(im Mathematikunterricht sollten viel öfter Dinge nur halb durchgenommen werden, also wohl die Grundideen, aber nicht die vollständigen Lösungsverfahren).

Dazu ist durchaus ein Experiment mit Schülern möglich:

• eine 2D-Karte wird auf einen Tisch gelegt und
• davor schräg eine Glasplatte aufgebaut.

Der Betrachter zeichnet nun auf der Glasplatte die Punkte ein, wo die Lichtstrahlen

• von Punkten der Karte
• zu seinem Auge

die Glasplatte schneiden.

Um einfache Effekte zu erkennen, ist es wohl ratsam, erstmal ganz einfache geometrische Figuren zuerforschen und dabei u.a. festzustellen, das Gerade Geraden bleiben, aber Winkel sich ändern und z.B. aus Kreise Ellipsen werden:

Das Verfahren erinnert an Albrecht Dürers Erforschung der Zentralperspektive:

(... womit ich zuguterletzt wieder bei der kulturellen "Implementation" der Mathematik bin)