die SCHWIERIGKEIT liegt oftmals in der banalen EINFACHHEIT

oder: minimale Perspektivwechsel

Licht: Welle oder Teilchen?
Ist ein Zebra weiß auf schwarzem Grund oder schwarz auf weißem Grund?
Ist ein Glas halb voll oder halb leer?

Das Schwierige an der Mathematik ist oftmals paradoxerweise ihre Einfachheit.

Ein Beispiel:

selbstverständlich sind

  1. ein Punkt P liegt auf der Geraden g

und

  1. die Gerade g geht durch den Punkt P

identische Aussagen.

Das ist derart banal, dass man kaum mehr die (minimal) verschiedenen Perspektiven (auf denselben Gegenstand) sieht.

Im 1. Fall ist die Gerade g zentral: auf ihr

Im 2. Fall ist der Punkt P zentral: durch ihn

Merkwürdigerweise ist in den beiden Sätzen 1. und 2. also das jeweils später Genannte wichtiger (inm der Mathematik vorgegeben) und das jeweils zu Anfang genannt unwichtiger (in der Mathematik gesucht).

In der Mathematik:

Der 1. Fall ist sinnvoll, wenn man feststellen will, ob und wo ein Punkt P auf einer vorgegebenen Geraden g liegt,

der 2. Fall ist sinnvoll, wenn man eine Gerade g durch einen vorgegebenen Punkt P sucht bzw. konstruieren möchte.

Und das sind mathematisch zwei völlig unterschiedliche Aufgabentypen bzw. Ansätze.

Vielen SchülerInneN fällt aber der Sprung vom einen zum anderen Fall enorm schwer, und zwar eben, weil beide so banal gleich sind.

Und das Problem besteht darin, dass die MathematikerInnen es ausgerechnet bei scheinbar banalen Feinheiten so übergenau nehmen (müssen).

Weitere, teilweise schon kompliziertere Beispiele:

  1.  

Geometrie Algebra
Ein Punkt P (a | b ) liegt genau dann auf der Geraden g ...  
  ... wenn seine Koordinaten a und b die Funktionsgleichung von f erfüllen.
  1. Mathematiker denken wegen fatal um die Ecke:

Während beispielsweise jeder Normalsterbliche das für Punktsymmetrie hält

 

,

denkt einE MathematikerIn

(sobald es um Funktionen geht, also im Koordinatensystem)

so:

.

  1. 1/2 und 0,5 sind dieselbe Zahl nur in verschiedener Schreibweise

(und das ist keineswegs banal, sondern banal wäre es vielmehr, wenn 1/2 = 0,2 bzw. 1/5 = 0,5 gälte)

  1.  
Wenn Arno 3 cm größer als Berta ist

a - 3 = b

  
  dann ist Berta 3 cm kleiner als Arno

b + 3 = a

... ein schönes Beispiel dafür, wie im Einfachsten massenhaft Stolperfallen verborgen sein können - und zwar vielleicht sogar mehr als im Schwierigen, weil

  • man beim (scheinbar) Einfachen unaufmerksamer ist,

  • aber auch insbesondere die Grundlagen schwierig sind.

  1. ()2 = 2 :

... wie auch 5. ein schönes Beispiel dafür, dass ein Sachverhalt eineN MathematikerIn überhaupt nicht wundert

( war ja überhaupt erst dadurch definiert worden, dass ()2 = 2 gilt),

während SchülerInnen oftmals zwischen Wurzel-Ziehen und Quadrieren keinerlei Zusammenhang sehen

(da und (  )2 so völlig verschieden aussehen).
  1.  
Die Steigung f ' (a) eines Graphen f im Punkt P (a | b ) ist (überhaupt erst) definiert als die Steigung m der Tangente t dort,

(und diese Tangente wiederum erst als Grenzwert der Sekanten)

  
  ... also hat t die Steigung m = f ' (a).