Heiner Stauff - (Schul-)Mathematik in ihrer Kultur

die sieben Tragiken des armen Pythagoras

und sein großer Triumpf

... wobei ich nichtmal weiß

(und zu faul bin, es nachzuschlagen)

ob es überhaupt einen Plural von „Tragik“ gibt,

denn eine Tragik reicht ja wohl allemal.

An der Symbolik der Zahl 7 hätte Pythagoras bestimmt seine helle Freude gehabt.

: die vier Tragiken des Pythagoras:

besteht eine besondere Tragik des armen Pythagoras darin, dass er vielleicht nie gelebt hat

(oder zumindest nicht so, wie spätere Autoren es ihm zugeschrieben haben; von ihm selbst sind ja keine Werke erhalten, und deshalb kann man - wie bei Sokrates oder Jesus - so ziemlich alles in ihn hineininterpretieren).

Zumindest vermuten einige Autoren, dass die Person Pythagoras „nur“ ein Mythos ist.

Andererseits werden von den meisten Forschern doch einige Lebensdaten des Pythagoras als mehr oder weniger sicher gehandelt:

"Pythagoras von Samos (griechisch Πυθαγόρας; * um 570 v. Chr. auf Samos; † nach 510 v. Chr. in Metapont in der Basilicata) war ein antiker griechischer Philosoph (Vorsokratiker) und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung. Als Vierzigjähriger verließ er seine griechische Heimat und wanderte nach Süditalien aus. Dort gründete er eine Schule und betätigte sich auch politisch. Trotz intensiver Bemühungen der Forschung gehört er noch heute zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike. Manche Historiker zählen ihn zu den Pionieren der beginnenden griechischen Philosophie, Mathematik und Naturwissenschaft, andere meinen, er sei vorwiegend oder ausschließlich ein Verkünder religiöser Lehren gewesen. Möglicherweise konnte er diese Bereiche verbinden. Die nach ihm benannten Pythagoreer blieben auch nach seinem Tod kulturgeschichtlich bedeutsam."

(Quelle:

)

Aber selbst für den Fall, dass Pythagoras tatsächlich gelebt hat, streiten sich die Forscher gewaltig über das, was ich unten als seine (tatsächlichen oder vermeintlichen) besonderen Leistungen erwähnen werde:

: Insbesondere ist umstritten, ob das Berühmteste an Pythagoras

(falls er überhaupt gelebt hat),

nämlich der „Satz des Pythagoras“, überhaupt von ihm stammt:

"Weltbekannt ist sein Satz des Pythagoras, der auch in der modernen Mathematik noch gültig ist und angewandt wird. Er entdeckte die Formel a² + b² = c², mit der man die Kantenlängen rechtwinkliger Dreiecke berechnen kann, jedoch nicht als erster. Es gibt Beweise, dass diese Formel schon mehrere hundert Jahre vor Pythagoras im antiken Babylon verwendet wurde. Strittig ist, ob Pythagoras möglicherweise als erstem der Beweis für die Richtigkeit des Satzes gelungen ist."

(Quelle:

)

Da gilt es also zu unterscheiden:

anscheinend war Pythagoras nicht der Erste, der wusste, dass in rechtwinkligen (!) Dreiecken a² + b² = c² gilt;

unklar ist allerdings auch, ob er immerhin der Erste war, der das nicht nur wusste, sondern es auch beweisen konnte.

: wenn man Leute lange nach ihrer Schulzeit fragt, was ihnen zu „Pythagoras“ einfällt, kommen üblicherweise folgende Antworten:

"das war doch irgend so ein Scheiß in der Mathematik"

(und dann kommt in vielen Leuten ihre halbe Schulzeit wieder hoch);

einige
- können zwar noch die Gleichung a² + b² = c² runterrattern

(die sich wohl wegen des regelmäßig pulsierenden Rhythmus' einprägt: A-qua-drat-plus-B-qua-drat-gleich-C-qua-drat, also / _ _ _ / _ _ _ / _ _ ;

überhaupt hat die Gleichung a² + b² = c² ihren ästhetischen Reiz: sie ist besonders einfach und wegen der Quadrate an allen Seiten sehr gleichmäßig),

wissen aber nichts mehr über die Bedeutung dieser Formel bei (rechtwinkligen) Dreiecken;

einige erinnern sich vielleicht auch noch an das irgendwie ja auch ästhetische Bild

und damit daran, dass „Pythagoras“ irgendwas mit Dreiecken und Quadraten zu tun hat;

nur ganz wenige

(meist Naturwissenschaftler und Techniker, die die Formel tatsächlich noch ab und zu in ihrem Beruf brauchen)

kennen noch halbwegs die Bedeutung der Gleichung a² + b² = c²:

„damit kann man in rechtwinkligen [!] Dreiecken aus zwei Seiten die dritte berechnen“;

kaum einer

(außer Mathematikern)

bekommt aber die grandiose vollständige Bedeutung der Gleichung auf die Reihe:

ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig,

wenn für seine Seiten a, b und c die Gleichung a² + b² = c² gilt,

wobei das „genau dann“ zwei Richtungen

bedeutet:

wenn ein Dreieck rechtwinklig ist (und nur dann), dann gilt für seine Seiten die Gleichung a² + b² = c²,

umgekehrt: wenn für die Seiten eines Dreiecks die Gleichung a² + b² = c² gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig:

eine Tatsache, die

für ausnahmslos alle, also unendlich viele rechtwinklige (!) Dreiecke gilt,

aber

(wie wir unten sehen werden: leider)

nicht auch für sämtliche (viel mehr?) nicht-rechtwinkligen Dreiecke.

Damit ist

das rechtwinklige Dreieck unter allen Dreiecken

und der rechte Winkel unter allen Winkeln

der

Das wahrhaft Erstaunliche

(und einer der Ursprünge der eigentlichen Mathematik)

ist aber, dass vielleicht Pythagoras den Satz

„ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig,

wenn für seine Seiten a, b und c die Gleichung a² + b² = c² gilt“

für sämtliche, also unendlich viele rechtwinklige (!) Dreiecke bewiesen hat, also z.B. auch

für sehr lange, aber flache rechtwinklige (!) Dreiecke,

für klitzekleine und gigantisch große rechtwinklige (!) Dreieck

(also z.B. von der Erde zum Mond und zur Sonne und dann wieder zurück zur Erde, aber eben nur, wenn diese bei Halbmond rechtwinklig zueinander stehen),

für ausnahmslos alle jemals vor und nach Pythagoras

(also auch in ferner Zukunft)

gezeichneten oder tatsächlich materiell vorhandenen rechtwinkligen (!) Dreiecke,

aber auch für ausnahmslos alle weder vor noch nach Pythagoras jemals gezeichneten oder materiell vorhandenen rechtwinkligen (!) Dreiecke.

Wie macht Mathematik sowas geradezu Paradoxes?:

in endlicher Zeit (z.B. zehn Minuten)
etwas für unendlich viele Fälle beweisen?

(Keine andere Wissenschaft kann irgendwas beweisen

[da gibt es „nur“ mehr oder minder gesicherte Theorien]

und schon gar nicht in einem Abwasch für unendlich viele Fälle.)

Und Pythagoras war eben angeblich einer der Ersten, der einen Beweis für unendlich viele Fälle führen konnte!

Die Frage, was den Leuten zu Pythagoras einfällt, war von mir bewusst nicht genauer formuliert worden: ich hatte

weder direkt nach der Person Pythagoras

noch direkt nach dem Begriff „Pythagoras“

gefragt.

Wenn aber Leuten überhaupt etwas zu „Pythagoras“ einfällt, dann eben immer der Begriff „Pythagoras“ oder genauer der „Satz des Pythagoras“.

Das Einzige, was einigen wenigen Leuten zur Person Pythagoras einfällt, ist so etwa:

„War das nicht so ein oller Mathematiker im alten Griechenland [eben der mir dem ‚Satz des Pythagoras‘]?“

Eine weitere Tragik der Person Pythagoras besteht also darin, dass

sein Name zwar immerhin im Begriff „Pythagoras“ (oder genauer im Begriff „Satz des Pythagoras“) aufgegangen ist,

er selbst bzw. sein sonstiges Leben

(nochmals: wenn er überhaupt gelebt hat)

weitgehend vergessen ist.

Es ist wie mit

"Alois Alzheimer (* 14. Juni 1864 in Marktbreit; † 19. Dezember 1915 in Breslau) war ein deutscher Psychiater und Neuropathologe: Er beschrieb als erster eine Demenzerkrankung, die heute Alzheimer-Krankheit genannt wird."

(Quelle:

Alois Alzheimer könnte, wenn er noch leben würden, für sich den zweifelhaften Ruhm reklamieren, dass eine scheußliche Krankheit

(die er als erster beschrieben hat)

seinen Namen trägt

(dass also sein Name zu einem Begriff geworden ist).

Als Person ist er aber weitgehend vergessen, und vermutlich wissen sogar viele Ärzte nichts mehr von ihm

(also vielleicht nichtmal, dass hinter dem Begriff / der Krankheit "Alzheimer" eine reale Person steht / stand).

Es ist, als wenn die Krankheit „Alzheimer“ das einzige überbleibende Kind der Person Alois Alzheimer wäre: ein wahrhaft scheußliches Kind, eine Missgeburt

- und doch viel langlebiger als ihr Vater.

(Möchten Sie, verehrter Leser namens XY, dass Leute später sagen: “ich leide unter XY“?

Nebenbei: viele Schüler sagen aber: „ich leider unter [dem Satz des] Pythagoras“.)

Dass von der Person Pythagoras nur der Begriff „Satz des Pythagoras“ übrig geblieben ist, darf einen aber gar nicht wundern: im üblichen Mathematikunterricht

(ja, überhaupt in der Wissenschaft Mathematik)

kommen im besten Fall mal

ein Bild der Person Pythagoras vor

und die nackten Lebensdaten.

Aber selbst das Bild

(oder genauer: die auf ihm abgebildete Büste)

zeigt

nicht, wie Pythagoras

(schon wieder: falls er überhaupt gelebt hat)

wirklich ausgesehen hat,

sondern ist Jahrhunderte später entstanden, also freie Erfindung:

"Alle Ähnlichkeiten mit lebenden oder toten Personen sind rein zufällig."

Die Mathematik

(und damit auch der Mathematikunterricht in der Schule)

interessiert sich in der Regel reichlich wenig für die Personen, die sie erschaffen haben, und dementsprechend kann die Person Pythagoras noch von Glück reden, dass immerhin der „Satz des Pythagoras“ nach ihr benannt ist.

Ansonsten aber: wieso sollte die Person Pythagoras interessant sein, wenn

sie zwar vielleicht als erste den „Satz des Pythagoras“ bewiesen hat,

dieser aber (wenn auch unbewiesen) schon alle Zeit vor ihm gegolten hat

und unabhängig von ihm auch (dann endlich bewiesen) in alle Ewigkeit nach ihm gelten wird,

wenn er also längst mausetot und (als Person) vergessen ist (s. 7.)?!

Man könnte fast sagen, dass Pythagoras wie Mohammed ist: beide sind nicht Gott, sondern „nur“ dessen Propheten.

Kommt hinzu, dass, wenn nicht Pythagoras den "Satz des Pythagoras" entdeckt oder bewiesen hat, dieser Satz vermutlich früher oder später von einem anderen Mathematiker entdeckt und bewiesen worden wäre

(und in der Tat ist ja gar nicht klar, ob wirklich Pythagoras den Satz entdeckt oder bewiesen hat).

So bitter es klingt und vielleicht auch ist: die Personen sind in der Mathematik

(anders als in der Kunst!)

weitgehend austauschbar bzw. ersetzbar - also nebensächlich.

Nur den ganz Großen - wie eben z.B. Pythagoras - ist die Ehre vergönnt, dass mathematische Erkenntnisse nach ihnen benannt sind, und zwar genau dann, wenn solch eine Erkenntnisse ein echter Durchbruch war und manchmal sogar ein ganz neues mathematisches Teilgebiet eröffnet hat.

(Und so könnte Pythagoras dann eben doch [mit Ernst Bloch?] sagen: "wir meißeln unsere Namen in die Ewigkeit!")

In der Mathematik werden die Personen

aber nicht nur versehentlich vergessen,

sondern oftmals geradezu absichtlich ausgelöscht:

Das erste völlig unpersönliche Mathematikbuch

(und im hier gezeigten Sinne ein fatales Vorbild für spätere Zeiten)

ist

(auch schon aus der Antike).

Oder nehmen wir z.B. den

(heute allerdings zumindest unter Mathematikern eben doch noch bekannten)

überlebensgroßen Mathematiker

"Johann Carl Friedrich Gauß ([...] * 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als Princeps Mathematicorum („Fürst der Mathematiker; Erster unter den Mathematikern“)."
(Quelle: )

Gauß hat seine mathematischen Texte so lange poliert, bis aber auch wirklich gar keine Spuren des Entdeckungsprozesses (und damit eben der Person Gauß) mehr erkennbar waren: in solchen (typischen) mathematischen Texten spricht

nicht mehr eine Person

(und ist entsprechend auch das Wort „ich“ tabu, nämlich geradezu unwissenschaftlich),

sondern sozusagen Gott selbst

(worauf wir unten zurückkommen werden; nur was ist, wenn es keinen [mathematischen] Gott gibt?)

oder der mathematische "Weltgeist" oder der Geist der Mathematik oder

Graf Zahl / The Count

....

: oben war gesagt worden, dass durch den „Satz des Pythagoras"

der rechte Winkel unter allen Winkeln
und das rechtwinklige Dreieck unter allen Dreiecken

ausgezeichnet werde.

Man kann es aber auch mal als hässlichen Makel und als Tragik ansehen, dass der „Satz des Pythagoras“

leider nur für rechtwinklige Dreiecke,
nicht aber

auch für alle sonstigen, nicht-rechtwinkligen Dreiecke,
also ausnahmslos alle Dreiecke

gilt.

Und das

liegt nicht etwa daran, dass Pythagoras

(als einer der ersten Mathematiker und daher sozusagen als „Anfänger“)

einen Fehler gemacht oder nicht weit genug geschaut hat,

sondern eine Erweiterung des „Satzes des Pythagoras“ auf sämtliche

(eben auch nicht-rechtwinklige)

Dreiecke ist prinzipiell nicht möglich.

Nun lieben Mathematiker aber größtmögliche Allgemeingültigkeit

(z.B. ist in ausnahmslos allen [ebenen] Dreiecken

[also rechtwinkligen ebenso wie nicht-rechtwinkligen]

die Winkelsumme exakt 180⁰;

[= zwei rechte Winkel!];

und doch gibt es auch da eine „kleine“ Unschönheit:

in nicht-ebenen Dreiecken

[z.B. auf Kugeln und „Sattelflächen“]

ist die Winkelsumme eben doch nicht 180⁰).

So gesehen verletzt die Beschränkung des “Satzes des Pythagoras“ auf rechtwinklige Dreiecke dann eben doch das Schönheitsempfinden vieler Mathematiker.

Gegenüber dem vermutlich früheren Beweis, dass in allen, also auch nicht-rechtwinkligen (ebenen) Dreiecken die Winkelsumme 1800 ist, kann man den „Satz des Pythagoras“ mit seiner Beschränkung auf rechtwinklige Dreiecke dann doch als Rückschritt ansehen.

: eine weitere Tragik des Pythagoras ist, dass er

für eine seiner weniger wichtigen Leistungen, nämlich den „Satz des Pythagoras“,
nicht aber für seine viel größere Genietat berühmt geworden ist

(s.u. B.: der Triumpf des Pythagoras).

: eine letzte Tragik teilt Pythagoras mit vielen anderen

dieser Begriff "dead white men" war ursprünglich wohl mal als Kritik an einer einseitigen Überbetonung

seit langem toter, also (vermeintlich?) nicht mehr lebensnaher Personen,

der eurozentrischen, „white“ Perspektive,

von (Macho-)Männern

im kulturellen Kanon und damit auch in der schulischen Bildung gemeint.

(Z.B. musste der große Mathematiker David Hilbert um 1900 erstmal ein Machtwort sprechen, als die brilliante Mathematikerin Emmy Noether in Göttingen nicht als Professorin zugelassen werden sollte:

„Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt.“)

Inzwischen scheint sich der Begriff „dead white men“ aber gegen alle großen Geister der Vergangenheit zu richten

(so neu ist das allerdings nun auch wieder nicht),

und manchmal drängt sich mir der Eindruck auf, dass durch solche Großkotzigkeit nur das Mittelmaß seine Minderwertigkeitskomplexe zu überspielen versucht

(statt Größe neidlos und durchaus bewundernd anzuerkennen, ja als gemeinschaftliches kulturelles Erbe aufzufassen, auf das man vielleicht sogar stolz sein kann;

nunja, es fällt mir schwer, auf die Leistungen anderer Menschen stolz zu sein).

Das mit Abstand größte Tragik des Pythagoras

(falls er überhaupt jemals gelebt hat; vgl. 1.)

ist also, dass er mausetot ist

(aber das kann ihm jetzt auch egal sein).

Wir hingegen können den Triumph genießen, noch (!) unter den Lebenden zu weilen:

"Ich werde auf eure Gräber spucken."
(Boris Vian, der inzwischen allerdings längst auch zu den „dead white men“ gehört)

Wo aber Schatten ist, da ist auch Licht:

: der Triumph des Pythagoras:

abgesehen von einigen Philosophiehistorikern weiß wohl kaum jemand mehr, was die größte Leistung des Pythagoras war

(viel größer als die - so gesehen - eher nebensächliche Entdeckung des „Satzes des Pythagoras“):

vor allem in der Stilisierung durch Platon war Pythagoras der Erste, der geglaubt hat, dass Gott die Welt nach mathematischen Kriterien erschaffen hat:

Pythagoras hat damit eine Denktradition erschaffen, die spätere Genies vielleicht deutlicher auf den Punkt gebracht haben:

„Das wichtigste Ziel aller Untersuchungen über die Außenwelt sollte es sein, die rationale Ordnung zu entdecken, die ihr von Gott aufgeprägt worden ist und die er uns in der Sprache der Mathematik geoffenbart hat.“
(Johannes Kepler)

”Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“
(Galileo Galilei)

Soweit man weiß, war Pythagoras noch bei Weitem kein moderner Mathematiker und Naturwissenschaftler, sondern er scheint vielmehr aus seiner Erkenntnis „Alles ist Zahl“ eine aus heutiger Sicht arg esoterische, krude Religion gemacht zu haben

(was sich - da bin ich fassungslos - auf einem Nebengleis bis heute fortsetzt: das Internet wimmelt von spinnerten Leuten, die sich bei ihrer Zahlenmystik bis heute auf Pythagoras berufen; vgl. pars pro toto z.B. nur

Der SATZ “Alles ist Zahl“ DES PYTHAGORAS hat aber sogar den Tod Gottes überlebt und ist vielleicht überhaupt erst danach

(als eine Ersatzreligion?)

voll wirkungsmächtig geworden

(so sehr, dass meines Wissens Alfred North Whitehead behauptet hat, Pythagoras sei sogar wirkungsvoller als Jesus gewesen).

Die Erklärung "der" Welt durch Mathematik

(und der Glaube an die Berechenbarkeit der Welt)

hat seit der Frühneuzeit einen

(vielleicht sogar gefährlichen)

Siegeszug ohnegleichen angetreten!

Bester Beleg ist da, dass Mathematisierbarkeit regelrecht zum Kriterium von Wissenschaftlichkeit geworden ist.

Und neueste Musterbeispiele für den Mathematisierungswahn sind

der sich letztlich nur in Zahlen ausdrückende neue Vergleichbarkeits-, d.h. Objektivierungswahn in der Schulpolitik,
,

(wobei die "Big Data" letztlich nur aus [massenhaft] Zahlen bestehen und "Algorithmen" nur ein aufgemotzes Wort für [wenn auch extrem komplizierte] "Rechnungen" ist).

Der Glaube an die komplette Mathematisiertbarkeit der Welt ist aber oft nur ein Refugium der Phantasielosen, die heillos überfordert sind, wenn etwas nicht nach zweiwertiger Logik (wahr/falsch) und keine monokausale Logik (aus A folgt B) funktioniert.

Die viel größere Leistung des Pythagoras, nämlich die These, dass "alles Zahl" ist, gehört aber mindestens ebenso in den Schulunterricht wie der "Satz des Pythagoras"!

PS:
ich hatte oben aus dramaturgischen Gründen den „Satz des Pythagoras“ und damit die Leistung des Pythagoras ein wenig schlechtgeredet, weil der „Satz des Pythagoras“ nunmal leider nur für rechtwinklige Dreiecke gilt.

Jetzt aber seien die Triumpfe nachgeholt, die Pythagoras auch schon bei seinem „Satz des Pythagoras“ erlebt haben mag:

wie schon oben gesagt, hat Pythagoras seinen „Satz“ in endlicher Zeit für unendlich viele, nämlich ausnahmslos alle rechtwinkligen Dreiecke führen können.

Er war

nach dem von einem unbekannten Anderen geführten Beweis der Winkelsumme 180⁰in Dreiecken

und dem Beweis des „Satz des Thales“

vermutlich der Dritte, der solch einen allgemeinen Beweis führen konnte.

Heute wundert das wohl leider (!) kaum jemanden mehr, aber damals muss solch ein allgemeiner Beweis doch eingeschlagen haben wie eine Bombe!:

(Hier springt allerdings nicht Pythagoras,
sondern Archimedes aus der Badewanne.)

Da wurde der Mensch fast gottgleich zum Herrn über die Unendlichkeit

(was dann in der Frühneuzeit beispielsweise durch Newton und Leibniz weiter ausgebaut wurde)

und hätte Pythagoras allemal zu Recht das Triumpfgefühl und den Stolz des

empfinden können.

Und auf noch etwas Anderes hätte Pythagoras stolz sein können: dass er mit seinem „Satz“ zum zweiten Mal nach der Entdeckung der Dreiecks-Winkelsumme 180⁰ einen Zusammenhang zwischen

einerseits Geometrie (rechtwinkligen Dreiecken) und

andererseits Algebra (der Gleichung a² + b² = c² )

herstellen konnte, so dass die Wirklichkeit immer mehr mathematisch oder zumindest doch mathematisierbar zu sein schien.

Darin mag Pythagoras auch durch seine anderweitige Erkenntnis bestätigt worden sein, dass musikalische Harmonien auf simpler Bruchrechnung beruhen:

Kein Wunder, dass er von seiner Erkenntnis, die er zudem als göttliches Geschenk empfunden haben mag

(der Heureka-Moment entzieht sich nunmal meistens der rationalen Erklärung),

derart überwältigt war, dass er daraus prompt eine regelrechte Religion gebastelt hat.

PPS:
Wenn Mathematiker auf scheinbar unüberwindliche Hindernisse stoßen, haben sie zwei häufig angewandte Tricks:

: :

wenn uns also mal ein nicht-rechtwinkliges Dreieck begegnet,

auf das der „Satz des Pythagoras“ leider nicht anwendbar ist,

so teilen wir das Dreieck eben einfach durch die Höhe

,

wobei zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen,

auf die nun eben doch jeweils der „Satz des Pythagoraos“ angewandt werden kann

(aber durch die Unterteilung in zwei rechtwinklige Teildreiecke sind auch nicht alle sich bei Dreiecken stellenden Seiten-Aufgaben lösbar).

und im vorliegenden Fall dasselbe:

angesichts eines neuen Problems

(hier: nicht-rechtwinkliges Dreieck)

besinnt man sich auf das, was man bereits kann

(hier: rechtwinklige Dreiecke),

und geht einen kleinen Umweg

(hier: Aufteilung des nicht-rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke),

um auf diesem Umweg dann letztlich doch noch zum Ziel zu kommen.

PPPS:

nach dem Satz zur Winkelsumme 180⁰, mit dem die drei Winkel (www) eines Dreiecks in Beziehung zueinander gebracht werden, so dass man

zu zwei bekannten Winkeln

den dritten, anfangs noch unbekannten Winkel berechnen kann,

und nach dem Satz des Pythagoras, mit dem die drei Seiten (sss) eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung zueinander gebracht werden, so dass man

zu zwei bekannten Seiten

die dritte, anfangs noch unbekannte Seite berechnen kann,

fehlt nur noch eine Möglichkeit,

sowohl Seiten

als auch Winkel

eines Dreiecks miteinander in Beziehung zu bringen (also z.B. sws) und so z.B.

zu zwei bekannten Seiten

den von ihnen eingeschlossenen, anfangs noch unbekannten Winkel berechnen zu können.

Das ist mit der sogenannten “Trigonometrie“ (also Sinus, Cosinus ...) möglich - aber eben (anfangs) auch nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Aber das kann man mit denselben Tricks wie oben dann doch auf alle, also auch nicht-rechtwinklige Dreiecke erweitern (Sinus- und Cosinussatz).

PPPPS:
es gibt erstaunliche Parallelen (aber natürlich auch Unterschiede) zwischen dem Pythagoras- und dem Jesus-Mythos - sowie den Adepten der beiden:

(Quelle: )

Ansatzweise verständlich werden diese Parallelen zwischen dem früheren Pythagoras und dem späteren Jesus nur dann, wenn man

die Bibel

(bzw. genauer: das Neue Testament)

nicht als historisch singuläres „Wort Gottes“ ansieht,

sondern erkennt, dass die Evangelisten und insbesondere Paulus in einer helenistisch geprägten Welt lebten und sich dieser auch verständlich machen wollten.

Überhaupt war der damalige Orient eine Brutstätte sich gegenseitig beeinflussender Religionen, und wer auf sich hielt,

wurde jungfräulich geboren,

starb am Kreuz

und erlebte danach eine Wiederauferstehung

(... wobei es mir fern liegt, mich über solche damalige „Moden“ lustig zu machen: da wurden „nur“ in einer qualvollen Zeit die Eckpfeiler des menschlichen Lebens

[Geburt, Tod, ein Leben nach dem Tod?]

verhandelt).

PS:	ich hatte oben aus dramaturgischen Gründen den „Satz des Pythagoras“ und damit die Leistung des Pythagoras ein wenig schlechtgeredet, weil der „Satz des Pythagoras“ nunmal leider nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Jetzt aber seien die Triumpfe nachgeholt, die Pythagoras auch schon bei seinem „Satz des Pythagoras“ erlebt haben mag: wie schon oben gesagt, hat Pythagoras seinen „Satz“ in endlicher Zeit für unendlich viele, nämlich ausnahmslos alle rechtwinkligen Dreiecke führen können. Er war nach dem von einem unbekannten Anderen geführten Beweis der Winkelsumme 180⁰in Dreiecken und dem Beweis des „Satz des Thales“ vermutlich der Dritte, der solch einen allgemeinen Beweis führen konnte. Heute wundert das wohl leider (!) kaum jemanden mehr, aber damals muss solch ein allgemeiner Beweis doch eingeschlagen haben wie eine Bombe!: (Hier springt allerdings nicht Pythagoras, sondern Archimedes aus der Badewanne.) Da wurde der Mensch fast gottgleich zum Herrn über die Unendlichkeit (was dann in der Frühneuzeit beispielsweise durch Newton und Leibniz weiter ausgebaut wurde) und hätte Pythagoras allemal zu Recht das Triumpfgefühl und den Stolz des empfinden können. Und auf noch etwas Anderes hätte Pythagoras stolz sein können: dass er mit seinem „Satz“ zum zweiten Mal nach der Entdeckung der Dreiecks-Winkelsumme 180⁰ einen Zusammenhang zwischen einerseits Geometrie (rechtwinkligen Dreiecken) und andererseits Algebra (der Gleichung a² + b² = c² ) herstellen konnte, so dass die Wirklichkeit immer mehr mathematisch oder zumindest doch mathematisierbar zu sein schien. Darin mag Pythagoras auch durch seine anderweitige Erkenntnis bestätigt worden sein, dass musikalische Harmonien auf simpler Bruchrechnung beruhen: Kein Wunder, dass er von seiner Erkenntnis, die er zudem als göttliches Geschenk empfunden haben mag (der Heureka-Moment entzieht sich nunmal meistens der rationalen Erklärung), derart überwältigt war, dass er daraus prompt eine regelrechte Religion gebastelt hat.
PPS:	Wenn Mathematiker auf scheinbar unüberwindliche Hindernisse stoßen, haben sie zwei häufig angewandte Tricks: : : wenn uns also mal ein nicht-rechtwinkliges Dreieck begegnet, auf das der „Satz des Pythagoras“ leider nicht anwendbar ist, so teilen wir das Dreieck eben einfach durch die Höhe , wobei zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen, auf die nun eben doch jeweils der „Satz des Pythagoraos“ angewandt werden kann (aber durch die Unterteilung in zwei rechtwinklige Teildreiecke sind auch nicht alle sich bei Dreiecken stellenden Seiten-Aufgaben lösbar). und im vorliegenden Fall dasselbe: angesichts eines neuen Problems (hier: nicht-rechtwinkliges Dreieck) besinnt man sich auf das, was man bereits kann (hier: rechtwinklige Dreiecke), und geht einen kleinen Umweg (hier: Aufteilung des nicht-rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke), um auf diesem Umweg dann letztlich doch noch zum Ziel zu kommen.
PPPS:	nach dem Satz zur Winkelsumme 180⁰, mit dem die drei Winkel (www) eines Dreiecks in Beziehung zueinander gebracht werden, so dass man zu zwei bekannten Winkeln den dritten, anfangs noch unbekannten Winkel berechnen kann, und nach dem Satz des Pythagoras, mit dem die drei Seiten (sss) eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung zueinander gebracht werden, so dass man zu zwei bekannten Seiten die dritte, anfangs noch unbekannte Seite berechnen kann, fehlt nur noch eine Möglichkeit, sowohl Seiten als auch Winkel eines Dreiecks miteinander in Beziehung zu bringen (also z.B. sws) und so z.B. zu zwei bekannten Seiten den von ihnen eingeschlossenen, anfangs noch unbekannten Winkel berechnen zu können. Das ist mit der sogenannten “Trigonometrie“ (also Sinus, Cosinus ...) möglich - aber eben (anfangs) auch nur in rechtwinkligen Dreiecken. Aber das kann man mit denselben Tricks wie oben dann doch auf alle, also auch nicht-rechtwinklige Dreiecke erweitern (Sinus- und Cosinussatz).
PPPPS:	es gibt erstaunliche Parallelen (aber natürlich auch Unterschiede) zwischen dem Pythagoras- und dem Jesus-Mythos - sowie den Adepten der beiden: (Quelle: ) Ansatzweise verständlich werden diese Parallelen zwischen dem früheren Pythagoras und dem späteren Jesus nur dann, wenn man die Bibel (bzw. genauer: das Neue Testament) nicht als historisch singuläres „Wort Gottes“ ansieht, sondern erkennt, dass die Evangelisten und insbesondere Paulus in einer helenistisch geprägten Welt lebten und sich dieser auch verständlich machen wollten. Überhaupt war der damalige Orient eine Brutstätte sich gegenseitig beeinflussender Religionen, und wer auf sich hielt, wurde jungfräulich geboren, starb am Kreuz und erlebte danach eine Wiederauferstehung (... wobei es mir fern liegt, mich über solche damalige „Moden“ lustig zu machen: da wurden „nur“ in einer qualvollen Zeit die Eckpfeiler des menschlichen Lebens [Geburt, Tod, ein Leben nach dem Tod?] verhandelt).