damit Schüler Überblick über die (Schul-)Mathematik bekommen

Ein zentrales Problem im Mathematikunterricht besteht darin, dass

• die Schulmathematik implizit durchaus weitgehend logisch aufgebaut ist, nämlich die meisten Unterrichtsstoffe Zukünftiges

(zumindest in der Schulmathematik)

vorbereiten,

• diese Propädeutik aber fast nie explizit wird, so dass die Schüler nicht verstehen, wozu eine derzeitige Erkenntnis zukünftig (innermathematisch) gebraucht wird.

(... wobei ein Verweis auf eine innerschulisch-innermathematische Zukunft à la "das braucht ihr in fünf Jahren im Abitur" für viele Schüler auch nicht gerade tröstlich ist.

Nebenbei: es gibt durchaus auch mathematische Unterrichtsstoffe, die im Mathematikunterricht nie wieder gebraucht werden

[oftmals schon gar nicht im "richtigen" Leben],

und die sind sicherlich die allerersten Kandidaten für ein großes Ausmisten der Schulmathematik

[insbesondere nach blödsinnigen Verkürzung der Schulzeit auf G8]

in Analogie zu .

Beispiele dafür, dass Unterrichtsstoffe nie wieder in der Schule gebraucht werden, sind

• die bei Arbeitgebern in Vorstellungsgesprächen ach so beliebten Themen Dreisatz und Prozentrechnung, die üblicherweise in der 7. Klasse durchgenommen werden; da darf es einen nicht wundern, dass die Schüler diese beiden Themen Jahre später in Vorstellungsgesprächen natürlich nicht mehr beherrschen

• in der 5. Klasse andere Zahlensysteme als das 10er-System, also z.B. das 2er- bzw. Binär- oder das 12er-System,

• die Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken in der 7. Klasse,
• eingekleidete und völlig um die Ecke gedachte Textaufgaben wie etwa  

• versteht man z.B. das allzu alltägliche 10er-System besser oder gar überhaupt erst wirklich, wenn man auch andere Zahlensysteme durchschaut hat?

• Oder sollten

[und das glaube ich eher]

Lehrer froh sein, wenn die Schüler das 10er-System halbwegs automatisiert benutzen können, und es keineswegs dadurch überproblematisieren, dass man junge Schüler kognitiv völlig überfordernde andere Zahlensysteme durchnimmt?)

Ein Beispiel für die weitgehende implizite Ordnung der Schulmathematik ist die p-q-Formel für quadratische Funktionen, die üblicherweise in der 9. Klasse durchgenommen wird

(nebenbei: das Wort "durchgenommen" erinnert mich immer an "durchgekaut" und an "Durchfall"):

• um die p-q-Formel herleiten zu können, braucht man die erste binomische Formel

(und ich behaupte sogar

[hier ohne Begründung],

dass man die binomischen Formeln überhaupt nur braucht, um die p-q-Formel herzuleiten);

• da aber eine gleichzeitige Erarbeitung der ersten binomischen Formel und der p-q-Formel die Gefahr birgt, die Schüler völlig zu überfordern,
  • nimmt man erst in der 7. Klasse beim Oberthema "Termumformungen" die binomischen Formeln
  • und viel später in der 9. Klasse die p-q-Formel durch,
  • wodurch den Schülern in der 7. Klasse völlig unklar bleibt, wozu die binomischen Formeln eigentlich "gut" sind.

(Die häufige Frage der Schüler, wozu man "den ganzen Scheiß" denn eigentlich brauche

[und diese Frage ist natürlich rhetorisch gemeint, die implizite Antwort nämlich "zu nichts!"],

• nicht nur nach einer "lebensweltlichen" Anwendbarkeit

Ein zweites Beispiel:

wozu braucht man denn (innermathematisch) die quadratischen Funktionen

(und mit ihnen die p-q-Formel)?

Doch wohl, weil die quadratischen Funktionen die einfachsten "krummen" Funktionen und diese "krummen" Funktionen eines der zentralen Themen der Oberstufe sind

(vgl. Ableitung und Integration "krummer" Funktionen;

dabei sei hier mal dahingestellt, warum die "krummen" Funktionen in der Oberstufe so hochgehängt werden).

Insgesamt ergibt sich damit folgende "Dramaturgie":

• in der 7. Klasse werden die binomischen Formeln durchgenommen, weil man in der 9. Klasse die p-q-Formel braucht,
• in der 9. Klasse führt man die quadratischen Funktionen und damit die p-q-Formel ein, weil die quadratischen Funktionen die einfachsten Beispiele für "krumme" Funktionen sind, welche
• in der Oberstufe (ab der 10. Klasse) so eminent wichtig werden.

Solche arg langfristigen Perspektiven haben fatale Folgen:

1. muss den Schülern der 7. bzw. 9. Klasse alles mathematische Unterfangen wie ein Stochern im Nebel vorkommen: sie lernen Dinge für eine weit entfernte und zudem noch völlig unklare Zukunft

(... womit hier - nochmals gesagt - keine "lebensweltliche" Zukunft gemeint ist, sondern nur eine innermathematische Zukunft, und die auch nur bis zum Abitur: am Tag danach können die meisten Schüler eh die gesamte Mathematik vergessen);

2. ist es dann wohl ein verständlicher, wenn nicht sogar unvermeidbarer Effekt, dass die Schüler
   

• in der 9. Klasse die binomischen Formeln aus der 7. Klasse und
• in der Oberstufe die p-q-Formel aus der 9. Klasse

längst wieder vergessen haben

(nur schlechte Lehrer halten dann die Schüler für dumm).

Als Lehrer muss man also

(was ja durchaus frustrierend ist)

in der 9. Klasse bzw. in der Oberstufe wieder bei Null bzw. Adam & Eva anfangen

(manchmal frage ich dann die Schüler, bei welcher Pfeife sie denn vorher Mathematik gelernt haben

[dass so wenig hängen geblieben ist];

ich frage das allerdings nur dann, wenn ich selbst diese Pfeife war).

Da könnte man sagen, dass alles Lernen und also auch das der Mathematik nunmal nur in einem "Spiralcurriculum" funktioniert, also durch (variierte) Wiederholung in mehr oder minder regelmäßigen Abständen

(in der Hoffnung, dass sukzessiv immer mehr hängen bleibt und dann eben doch langsam zusammenwächst, was zusammengehört).

Das Spiralcurriculum wird schon allein an den Inhaltsverzeichnissen vieler Mathe-Schulbücher deutlich

(wobei man diese Inhaltsverzeichnisse

[und das ist - neben methodischen Überlegungen - die letzte verbliebene Lehrerfreiheit]

natürlich auch in ganz anderer Reihenfolge abarbeiten kann):

da wird dann

• nicht etwa z.B. ein Halbjahr Geometrie und danach ein Halbjahr Algebra vorgeschlagen,
• sondern beide Oberthemen wechseln einander immer wieder ab, was dazu führt, dass die Schüler

(solange Geometrie und Algebra noch weitgehend getrennte Gebiete sind)

andauernd abrupt scheinbar völlig neue Themen durchnehmen.

Statt in einem ewigen Spiralcurriculum bzw. einer Endlosschleife gefangen zu bleiben

,

könnte man drei unterschiedliche Konsequenzen ziehen:

1. die allzu langfristig aufgebaute Stofflogik endgültig aufgeben, weil sie aussichtslos ist

(weil Schüler im besten Fall nur Rechenrezepte abspulen können, aber nichts verstanden haben):

wie dann eine Alternative aussehen könnte, sei hier mal dahingestellt;

2. zueinander gehörende Stoffe auch in zeitlicher Nähe unterrichten

(z.B. in einem einzigen Schuljahr

• binomische Formeln,
• p-q-Formel,
• "krumme" Funktionen und als einfachstes Beispiel dafür quadratische Funktionen,
• Ableitung und Integration quadratischer Funktionen;

dieses Alles-zusammen-Durchnehmen ist aber zeitlich kaum möglich, zumal für die p-q-Formel auch noch die Wurzel benötigt wird);

3. die jeweiligen Stoffe schon zumindest ansatzweise von Anfang an in jene Zusammenhänge stellen, in denen sie später wichtig werden und teilweise sogar überhaupt erst ihren Sinn finden.

Ich bleibe bei dieser dritten Alternative, weil sie mir

• einerseits dringend geboten,
• andererseits die realistischste zu sein scheint.

Ich hatte anderweitig schon ein "Wissensnetz" in der Form vorgeschlagen, dass

• an der Decke des Klassenraums ein echtes Netz aufgehängt und
• in dieses am Schuljahrsanfang die wichtigsten

(schon kurz erklärten)

Begriffe des Schulbuch-Inhaltsverzeichnisses gehängt werden, so dass die Schüler von Anfang an die Perspektiven des kommenden Schuljahrs kennen;

• dieses Netz wird nun im Laufe des Schuljahrs sukzessiv
  • mit Details gefüllt,
  • variiert und umgeordnet,
  • mit wortwörtlich "roten Fäden" versehen;
• dabei wird immer wieder vor- und zurückgeschaut

("wo kommen wir her, wo wollen [sollen] wir hin?"),

und

• zum Schuljahrsende kann man sogar stolz darauf sein, welch langen Weg man zurückgelegt hat.

Zumindest theoretisch wäre es doch schön, wenn dieses Netz sogar

• vorherige Schuljahre und
• ansatzweise kommende Schuljahre

mit umfassen würde:

warum sollen Schüler nicht immerhin schon ahnen, wohin ihr jetziger Weg sie in den nächsten Jahren führen wird?

Dabei muss die Zukunft keineswegs nur aus arg abstrakten und vor allem unverständlichen Begriffen

(z.B. "ableiten" oder gar "differenzieren")

bestehen.

Ein Beispiel: wenn man in der 9. Klasse quadratische Funktionen inkl. der p-q-Formel durchnimmt, sollte man

• zurückschauen, um die quadratischen (ersten "krummen") Funktionen gründlich von den linearen Funktionen abzusetzen,
• durchaus schon aktiv nach vorne schauen, indem man einen Stoff einbezieht, der üblicherweise erst in der Oberstufe "dran" ist, nämlich sogenannte "Kurvendiskussionen":

was

• Nullstellen,
• Schnittpunkte mit der y-Achse,
• Minima und Maxima,
• steigende und fallende Kurvenabschnitte,
• Links- und Rechtskurven,
• Wendepunkte

sind, kann ein 9.-Klässler durchaus schon anhand einer fiktiven

Bergwanderung

erfassen, und dann kann man eben sagen:

• die Nullstellen quadratische Funktionen berechnen wir schon jetzt

(mit Hilfe der p-q-Formel),

• zur Berechnung der weiteren Eigenarten quadratischer Funktionen kommen wir dann in anderthalb Jahren.

Mehr noch:

• warum sollen Schüler der 9. Klasse nicht schon darüber staunen, dass eine quadratische Funktion
  • zwar in jedem Punkt eine eindeutige Steigung hat,
  • aber in jedem Punkt eine andere?
• warum sollen Schüler, die in der 9. Klasse von linearen zu quadratischen Funktionen übergehen, nicht schon erfahren, dass die Ableitung quadratischer Funktionen später doch über eine Annäherung mittels simpler linearer Funktionen geschehen wird

(weil [alle!] Mathematiker zu blöd für Krummes sind, es aber genial über Lineares annähern - und damit zu erstaunlichen Folgen kommen)?

• warum sollen Schüler, die in der 9. Klasse auch die Kreisfläche erarbeiten, nicht erfahren, dass die Annäherung der Kreisfläche (von etwas "Krummem") durch Dreiecke (etwas "Gerades") der Königsweg sein wird, um in der Oberstufe die Fläche unter einer Parabel (etwas "Krummem") zu bestimmen (vgl. Integralrechnung)?

Und welcher Aha-Effekt, wenn die Schüler Jahre später merken: das hatten wir alles so ähnlich schon - und wird nun "nur" variiert und zur Vollendung gebracht!

Ein anderes Beispiel für Rück- und Vorblicke:

• in der 5. Klasse hatten wir die Winkelsumme in Dreiecken, die von drei Winkeln handelt: www;
• in der 9. Klasse beschäftigen wir uns mit der Satzgruppe des Pythagoras, die von drei Seiten handelt: sss;
• fehlt nur noch eine Mischform, die gleichzeitig von Winkeln und Seiten handelt: ssw; und diese Lücke füllt eben die Trigonometrie (ebenfalls in der 9. Klasse);
•  wer aber www, sss und ssw beherrscht, ist geometrisch fit für die Oberstufe - und kann stolz darauf sein.

Genauso könnte man sagen: wer

• die Bruchrechnung,
• Termumformungen,
•  das Lösen linearer und quadratischer Gleichungen

(inkl. p-q-Formel und Wurzeln),

• die Anfangsgründe der Exponential- und trigonometrischen Funktionen

beherrscht und überhaupt ein grundlegendes Verständnis von Funktionen hat, ist algebraisch "reif" für die Oberstufe.

Wo sonst kann ein Schüler mal stolz auf

• erreichte fachliche Inhalte
• statt bloß auf die inhaltsleere Versetzung in die nächste Klassenstufe

sein?

Mir ist daher geradezu danach, am Ende der Mittelstufe spezielle mathematische Zeugnisse auszustellen, auf denen

• nicht schnöde Schulnoten nur für die Mathematikleistungen in der 9. Klasse stehen

(als wäre vorher nichts gewesen),

• sondern all die in langen Jahren gemeisterten Teilstoffe erwähnt werden, die zum Übergang in die mathematische Oberstufe berechtigen.

Ein anderes Mittel der Rück- und Vorschau wäre beispielsweise

(pars pro toto über das irrwitzige Konzept der Null und ihre ungeheure Bedeutung an allen Ecken und Enden der Schulmathematik:

   ).