ein vektorgeometrischer Rundlauf

oder
Mathematiker ticken anders

Die im Folgenden besprochene Aufgabe wird im üblichen Schulunterricht wegen des Stoff- und Klausurendrucks wohl (wenn überhaupt) nur in höchstens einer Schulstunde, also 45 Minuten, durchgenommen (!) werden können

(und wenn, dann nur der erste Teil mit p = , aber garantiert nicht die Verallgemeinerung im zweiten Teil).

Bei solch kurzer Behandlung ist aber natürlich nicht die Fülle der Ãœberlegungen möglich, die unten zur Lösung der Aufgabe aufgezeigt werden.

Die Folge ist, dass Schüler "sowas" im besten Fall für eine Klausur auswendig lernen - und direkt danach wieder vergessen.

(Planskizze eines beliebigen Parallelogramms, woran also

• nicht die konkreten Maße [Streckenlängen und Winkel] wichtig sind,
• sondern
  

• dass eben ein Parallelogramm vorliegt, also gegenüberliegende Seiten parallel sind,

• wie die Strecken d und  e  sich aus den Punkten des [beliebigen] Parallelogramms ergeben

[M als Mittelpunkt der Strecke a ],

• eigentlich banal, aber dennoch, wie wir unten sehen werden, von zentraler Bedeutung: dass die benachbarten Seiten a und b nicht auch noch parallel sind, weil sie dann überhaupt kein Parallelogramm aufspannen würden:
  

  ;

oder schon vektorgeometrisch gesagt: dass die beiden Vektoren und NICHT KOLLINEAR  sind.

Das ist so banal, dass ein Laie es vermutlich gar nicht bedenken würde, während Mathematiker es zum zentralen Argumentationselement machen [s.u.].

Und ebenso banal und doch mathematisch wichtig: dass keine der beiden Seiten a und b die Länge Null hat, wodurch ja ebenfalls kein Parallelogramm entstünde

... woran man mal wieder sieht, wie andersartig Mathematiker denken:

• Laien würden wohl sagen, dass

• Seiten  der Länge Null gar keine Seiten und
• Parallelogramme der Höhe   Null gar keine  Parallelogramme

sind,

• während für Mathematiker
• Seiten  der Länge Null nur Spezialfälle aller Seiten  und
  
• Parallelogramme der Höhe  Null nur Spezialfälle aller Parallelogramme

sind.

Ãœberhaupt differenzieren Mathematiker sehr genau bei dem, was  im Volksmund unterschiedslos "nichts" oder "kein" heißt: es kann

• "null" bedeuten, wenn z.B. eine Gleichung sehr wohl eine Lösung hat, aber eben die Zahl 0;
• "leere Menge" bzw. { } bedeuten, wenn z.B. eine Gleichung gar keine Lösung bzw. null Lösungen hat

                        [das bedeutet nebenbei nicht, dass Null eine Lösung ist, denn dann hätte die
                        Gleichung mit der Null ja doch eine Lösung];

• "Eins" bedeuten, wenn vor einer Variablen keine Zahl steht:   x = 1x,
• "mal" bedeuten, wenn zwischen zwei Termen kein Rechenzeichen steht: 3  x = 3•x.

                       [und um die Verwirrung vollständig zu machen: bei aus ganzen Zahlen und Brüchen
                       "gemischten Zahlen" wie z.B.  bedeutet der Leerraum hingegen ein +].)

, 

(im Schnittpunkt )

• einfach die Strecken ausmessen,
• ihre Verhältnisse ausrechnen, dann
• herausfinden, dass die Strecken d und e durch jeweils im Verhältnis 1 : 2 geteilt werden,
• und dann vermutlich sagen: "schön und gut, und in China ist ein Sack Reis umgefallen".

Einem Mathematiker reicht das alles allerdings nicht:

• unser Laie könnte
  • das Parallelogramm derart ungenau gezeichnet,
  • die Strecken derart ungenau gemessen,
  • derart ungenau oder sogar grob falsch gerechnet haben,

dass er sehr krumme Streckenverhältnisse, also nicht das einfache (und korrekte) Streckenverhältnis 1:2 gefunden hätte

(was ihm vermutlich herzhaft egal wäre);

• selbst wenn unser Laie sehr genau vorgegangen wäre und tatsächlich das Verhältnis 1: 2 gefunden hätte, könnte dies in Wirklichkeit nur ungefähr stimmen, das tatsächliche Verhältnis also z.B. 1:2,0001 sein

(einem Laien wäre solche Ungenauigkeit vermutlich wieder schnurzpiepegal, bzw. er empfände eine Genauigkeit auf vier Stellen hinter dem Komma wohl nur als Haarspalterei);

• zudem könnte es sein, dass das Verhältnis 1 : 2 nur bei dem Parallelogramm auftritt, das der Laie zufällig zeichnet, oder beim einzigen, das ihm vorgelegt wurde

                    (eben weil nur bei diesem das Verhältnis 1 : 2 auftritt);

bei anderen Parallelogrammen hingegen träten andere Streckenverhältnisse auf

(unser Laie könnte da sagen: "ich wollte, nein: sollte es ja eh nur für dieses eine Parallelogramm herauskriegen, und was interessieren mich alle = unendlich viele Parallelogramme dieser Welt?!"

Nebenbei: im Schulunterricht liegt es nahe, gar kein Parallelogramm vorzugeben, sondern die Schüler beliebige Parallelogramme zeichnen, ausmessen und dann die entsprechenden Streckenverhältnisse berechnen zu lassen: um so erstaunlicher ist es dann, dass immer dasselbe Verhältnis herauskommt!).

Anders gesagt: ein "richtiger" Mathematiker schätzt allemal Planskizzen und Zeichnungen als Veranschaulichungsmöglichkeiten: mit ihnen kommt man oftmals überhaupt erst auf Vermutungen.

Aber Mathematiker sind auch skeptisch gegenüber Zeichnungen, weil diese

1. selbst bei sorgfältiger Anfertigung nie ganz genau sein können,
2. sie immer nur einen Einzelfall darstellen können,
3. also, weil sie (allein) also grundsätzlich nicht für (allgemeine) Beweise geeignet sind.
   

Das heißt nun nicht, dass Mathematiker vollständig auf Zeichnungen (und damit Anschaulichkeit!) verzichten, sondern sie wenden einen "salomonischen" Trick an. Im vorliegenden Fal:

• obwohl wir etwas für alle Parallelogramme beweisen wollen, zeichnen wir nur ein einziges

  (alle [also unendlich viele!] Parallelogramme zu zeichnen, wäre auch arg viel Arbeit, und zudem wären viele davon mikroskopisch klein oder gigantisch groß;

  nebenbei: das gezeichnete Parallelogramm sollte keine "Somdermaße" haben, also z.B. nicht rechtwinlig [ein Quadrat oder Rechteck] sein, da unser Beweis sonst hinterher eventuell unbemerkt nur für solche Parallelogramme mit Sondermaßen gilt),

• bei diesem einzigen gezeichneten Parallelogramm nennen wir aber nie irgendwelchen konkreten Maße (Winkel, Seitenlängen), so dass mit ihm dennoch alle Parallelogramme gemeint sind

(aber auch Messungenauigkeiten irrelevant sind).

Wir machen zum allgemeinen Parallelogramm nur eine einzige weitere Vorgabe: halbiert die Seite a (in jedem Parallelogramm).

Es lohnt sich allemal, Aufgabenstellungen genau zu lesen:

1. nennen sie oftmals schon geeignete Hilfsmittel

(was bei der vorliegenden Aufgabe allerdings nicht der Fall ist; dafür ist aber natürlich der Unterrichtskontext ein Tipp:

• elementargeometrisch über Ähnlichkeiten und Strahlensätze?,
• mittels algebraischer Geradengleichungen?,
• mittels vektorgeometrischer Geradengleichungen?]);

2. geben Aufgabenstellungen oftmals schon Hinweise auf die gesuchten Lösungen:

da in der vorliegenden Aufgabenstellung von einem Verhältnis (Singular) die Rede ist, wird bereits vorweg unterstellt, dass

• der Schnittpunkt die Strecke d in demselben Verhältnis teilt wie die Strecke e, 
• also

,

was doch

(und das ja ist der eigentliche Witz der Aufgabe bzw. ihre einzige Existenzberechtigung!)

wegen der verschiedenen Definitionen von

• d [Verbindung der beiden Eckpunkte B und D des Parallelogramms] und
• e [Verbindung des Eckpunkts C mit einem Seitenmittelpunkt ]

keineswegs auf Anhieb selbstverständlich erscheint.

Wenn man die Aufgabe in Vektorgeometrie übersetzt, ergibt sich z.B.

Die beiden Vektorenn undd spannen also das Parallelogramm ABCD auf. Dadurch entsteht

1. der Diagonalenvektor von B nach D,
2. der Verbindungsvektor von C zum Mittelpunkt des Vektors .

  ,

Solche geschlossenen Vektorzüge müssen zwei Minimalbedingungen erfüllen: 

1. muss unser Weg durch gehen, weil überhaupt erst dieser Punkt die Strecken d und e in das gesuchte Verhältnis teilt,
2. müssen wir in abbiegen, weil nur so der laut 1. wichtige Punkt in unsere Gleichungen eingeht

:

,

1. beginnt er z.B. in A(hlen) und endet auch dort: ;

2. ist manchmal (z.B. beim "Orientierungslauf") nicht der komplette Weg vorgegeben, sondern nur

mindestens ein Zwischenziel (hier [endenhost]), und es bleibt den Läufern überlassen, auf welchen Wegen sie dort hin und von dort wieder nach A(hlen) zurück kommen

(z.B. mag es Läufer geben, die einen Umweg einer Steigung vorziehen);

3. bedeutet "Rundweg" keineswegs, dass die Laufstrecke im mathematischen Sinn rund, also exakt kreisförmig ist
   

(der Hallstädtersee ist alles andere als rund:  ),

sondern erstmal nur, dass  man nicht denselben Weg zurück läuft

(vektorgeometrisch gesagt [vgl. oben]: die Vektoren und sind NICHT KOLLINEAR, d.h. es wird tatsächlich ein Parallelogramm aufgespannt),

den man schon hin gelaufen ist, sondern z.B. in (endenhorst) abbiegt

(allerdings bedeutet "Rundlauf" wohl auch [und das ist eine topologische Aussage], dass der Weg sich nicht [wie etwa bei einer 8] selbst kreuzt; bzw. "Rundlauf" bedeutet "um etwas [z.B. einen See] drumherum").

Vorstellbar wäre, dass es in (endenhorst) einen Kontrollpunkt gibt, um sicherzustellen, dass alle Teilnehmer des Rundlaufs dort durchgekommen und nicht einfach in A(hlen) geblieben sind

(was nebenbei ein [wieder mal arg banaler] Fall ist, der unten noch hochinteressant wird).

Aus den Bedingungen a., b. und c. zusammen ergeben sich z.B. folgende Rundläufe:

(A)   + + + =

Alle Vektoren unseres gewählten Rundlaufs liegen auf den bereits bekannten Vektoren, , und und sind deshalb durch diese darstellbar:

(I)
(II)		Der Vektor ist ein Teil des Vektors . Da wir diesen Anteil noch nicht kennen, nennen wir ihn mal x und erhalten damit = x •
(III)		Der Vektor ist ein Teil des Vektors . Da wir diesen Anteil ebenfalls noch nicht kennen, nennen wir ihn mal y und erhalten damit = y •
(IV)		Da  - wie von Anfang an festgelegt - der Mittelpunkt der Seite ist, gilt   = - (Das Minus rührt daher, dass andersrum als zeigt.)

Bevor wir gleich nur noch rechnen, halten wir nochmal sehr deutlich fest, was die neu eingeführten Unbekannten x und y bedeuten

(wir werden unten darauf zurückkommen):

x ist der (noch unbekannte) Anteil von an
y ist der (noch unbekannte) Anteil von an

Wenn man all die soeben hergeleiteten Ergebnisse in unsere Gleichung

                (A)      +     + + =

einsetzt, erhält man

                                     (B)         +  x •   + y • -    =

(Spätestens hier ist wohl alle Anschauung am Parallelogramm futsch und liegt nur noch eine reine Rechnung vor. Genau das ist aber typisch für die Lösung aller Textaufgaben:

1. übersetzt man Textaufgaben in Mathematik,
2. rechnet man dann rein innermathematisch,
3. übersetzt man das innermathematische Ergebnis wieder zurück in die Textaufgaben.

Es ist also, als wenn man zwischendurch einige Zeit in die Mathematik abtaucht:

In der rein innermathematischen Zwischenphase geht es oftmals nicht mehr ums Verstehen, sondern "nur" darum, richtig und zielgerichtet [???] zu rechnen.

Nebenbei: man muss sich diese unbeabsichtigte Alliteration doch mal auf der Zunge zergehen lassen:

          RICHtig
zielgeRICHtet
          RECHnen)

Von entscheidender Bedeutung ist es nun aber, dass sämtliche in der Aufgabe auftauchenden Vektoren durch die beiden aufspannenden Vektoren   und  dargestellt werden, weil unsere Lösung zentral auf der Beziehung dieser beiden Basisvektoren [genauer: ihrer NICHT-KOLLINEARITÄT] beruht.

(Nebenbei: umständlichere Rundläufe führen letztlich alle zu derselben Gleichungen, da sich bei ihnen Umwege gegenseitig aufheben.)

In

               (B)        + x • + y • -    =
müssen also noch die beiden Vektoren und durch die beiden Vektoren   und  ausgedrückt werden:

		= - (Das Minus rührt daher, dass rückwärts gegangen wird, also nicht       wie unten von links nach rechts, sondern wie oben von rechts nach links.)
		= -   -

Wenn wir nun diese beiden Darstellungsformen für und in

       (B)          + x •              + y •                        -    =

einsetzen, erhalten wir

       (C)         + x • ( - ) + y • ( -   -  )  -    =

Damit ist etwas geschehen, was häufig in der Mathematik passiert:

• einerseits ist alles viel schwieriger geworden: die Gleichung (C) ist nicht nur viel länger, sondern mit den Klammern auch komplizierter als die Gleichung (B) ;
• andererseits ist die neue Gleichung (C)  in gewissem Sinne aber auch viel einfacher, weil in ihr

(was ja zwischenzeitlich unser Ziel war)

nur noch die zwei Basisvektoren und vorkommen. 

(Es ist in der Mathematik wie im "richtigen" Leben: man kann nicht alles auf einmal haben bzw. sich nicht immer nur die Rosinen rausklauben;

in der Mathematik hat man z.B. oftmals nur die Wahl:

• entweder fängt eine Rechnung mit einfachen Werten an und hat sie ein kompliziertes Ergebni
• oder umgekehrt.)

Eben war schon gesagt worden, dass die Klammern die Gleichung  (C) "schwierig" machen. Dann ist es nur folgerichtig, diese Klammern erstmal zu beseitigen:

(C)        + x • ( -      ) + y • ( -   -    )  -    =

     (D)        + x •   -  x •   - y •        -  y   -    =

Oben war so mir nichts, dir nichts von "zielgerichtetem" Rechnen im innermathematischen Zwischenteil gefaselt worden. Fragt sich nur, was jetzt unser Ziel sein soll.

Durch Additionen bzw. Subtraktionen sorgen wir nun dafür, dass alle Terme, in denen ein enthalten ist, auf die rechte Gleichungsseite kommen

(auf der linken Gleichungsseite also nur diejenigen Terme bleiben, die ein erhalten):
(D)      + x •- x • - y •- y- =    | -+  x •+ y •  
(E)               x •                        - y- =           -+  x •+ y •  

Nun kommt tatsächlich

• in allen Summanden auf der linken   Gleichungsseite ein und
• in allen Summanden auf der rechten Gleichungsseite ein

vor, was bedeutet:

1. ist alles in der Gleichung von den beiden Basisvektoren und abhängig,
2. können wir
   •  auf der linken Gleichungsseite ,
   • auf der rechten Gleichungsseite 
     

ausklammern:

              (E)        x • - y-                 =       -+  x •+ y •  

              (F)     ( x         - y     -        ) • =   ( -1  +  x        + y          ) •          

(Ein bisschen durchgeknallt ist es ja schon, dass wir erst [wohlgemerkt zwecks Vereinfachung!] Klammern beseitigt haben - und jetzt doch wieder welche hinzufügen.)

Diese Gleichung (F) ist zwar auch noch nicht sonderlich einfach, weist aber eine schöne (Fast-)Symmetrie auf:

Vor allem dürfen wir uns aber nicht durch die beiden noch immer scheußlichen Klammern täuschen lassen:

• auf der linken Gleichungsseite   steht nur ein Vielfaches von ,
• auf der rechten Gleichungsseite steht nur ein Vielfaches von
  
  (wobei uns vorerst noch gar nicht interessiert, das Wievielfache von und das Wievielfache von  da steht):
  

(G)

---

Nun überlegen wir, unter welchen Umständen ein Vielfaches von überhaupt gleich einem Vielfachen von sein kann.

Dabei müssen wir berücksichtigen, was wir schon anfangs überlegt hatten

(und dazu wieder kurz aus der reinen Mathematik auftauchen):

ein (echtes) Parallelogramm kommt überhaupt nur unter zwei Bedingungen zustande:

1. dürfen und keine Nullvektoren mit der Länge null sein,
2. dürfen  und nicht kollinear sein.
   

Zeichnen wir uns das noch einmal auf:

Nun stellen wir uns vor, Arno und Berta starten beide in A und

• Arno  geht ein Vielfaches von , also in Richtung von ,
• Berta geht ein Vielfaches von , also in Richtung von .
  

Wann treffen sie sich?

Otto Normalverbraucher würde da wohl antworten, dass Arno und Berta sich niemals treffen, weil sie ja in unterschiedliche Richtungen gehen.

Mathematiker hingegen antworten arg spitzfindig: Arno und Berta treffen sich sehr wohl, aber nur dann, wenn beide in A bleiben, wenn also

• Arno  null mal geht und
• Berta null mal geht.
  

Auf unser Parallelogramm-Problem übertragen heißt das:

        
ist nur möglich, wenn

• = 0
•                                                   und       = 0.
  

Wir haben also aus der einen Gleichung

(G)
die beiden Gleichungen

 (H) = 0  und   = 0

gewonnen und damit auf den ersten Blick alles nur doppelt so schwer gemacht, denn jetzt müssen wir ja zwei Gleichungen lösen. Dafür haben aber die beiden Gleichungen (H) einen enormen Vorteil: in ihnen kommen keine Vektoren mehr vor, d.h. mit den beiden Gleichungen (H) sind wir urplötzlich in der hundsgewöhnlichen Algebra der Mittelstufe gelandet

("nichts Neues unter der Sonne").

Zu lösen ist also das Gleichungssystem

		= 0
		= 0

Dass in diesem Gleichungssystem die beiden Basisvektoren und gar nicht mehr vorkommen, zeigt schon jetzt etwas wahrhaft Erstaunliches, was die Aufgabenstellung allerdings leider schon vorweggenommen hatte:

unsere Ergebnisse für x und y       (die wir ja noch nichtmal ausgerechnet haben) werden unabhängig von der Wahl der Basisvektoren und   und damit unabhängig von der Form des Parallelogramms, also für alle Parallelogramme gelten!!! Es ist sogar noch viel merkwürdiger: nur weil in (E)  noch alles von den beiden Basisvektoren und abhing, hängt jetzt nichts mehr von ihnen ab!!!

 

---

 

Unser Gleichungssystem nun ohne die beiden bei der weiteren Rechnung nur ablenkenden Farben grün und gelb:

		x - y - = 0
		-1 + x + y  = 0.     | +1 - y

		x - y - = 0    *
		x = 1 - y             **

		1 - y - y - = 0.   ** in * eingesetzt          | + y + y
		x = 1 - y

		= y+ y
		x = 1 - y

		= y • (1 + )
		x = 1 - y

		= y •          | :
		x = 1 - y

		= y
		x = 1 - y

		= y
		x = 1 -

		= y
		x =

Erstaunlich und vielleicht auch ein wenig ernüchternd ist es ja schon, dass nach all unseren ellenlangen Ãœberlegungen und Rechnungen jetzt einfach nur x = und y = herauskommen!

Und es wird sogar, wie wir gleich sehen werden, noch einfacher.

Ein typisches Problem bei Textaufgaben ist aber: nachdem man ellenlang in die reine Mathematik abgetaucht ist und dort sogar hübsche Ergebnisse erhalten hat, weiß man gar nicht mehr, was diese Ergebnisse im ursprünglichen Aufgabenzusammenhang bedeutet haben.

Erinnern wir uns daher jetzt, wo wir wieder aus der reinen Mathematik auftauchen

  ,

daran, was wir oben vorsorglich ganz besonders deutlich aufgeschrieben hatten:

x ist der Anteil von an
y ist der Anteil von an

Damit können wir nun festhalten:

•   ist  von ,
• ist von .

Nun war aber in der ursprünglichen Aufgabenstellung nach dem (= Singular!) Verhältnis gefragt, in dem die Strecken d bzw. e in geteilt werden

Um die Verhältnisse herauszubekommen, rechnen wir:

wenn  = •ist, ist        = •
wenn  = • ist, ist       = •

Daraus folgt:

• die Strecken und

(oder genauer: ihre Längen)

verhalten sich zueinander wie  : = 1 : 2,

•  die Strecken und

  (oder genauer: ihre Längen)

verhalten sich zueinander wie  : = 1 : 2.

Damit ist endlich (!) bewiesen, dass in allen Parallelogrammen die beiden Strecken d und e durch im selben Verhältnis (nämlich 1 : 2) geteilt werden.

Oder anders und einfacher gesagt:

ist doppelt so lang wie , ist doppelt so lang wie .

---

Fassen wir die groben Züge unseres Beweises zusammen:

• wir wählen ausgehend vom Eckpunkt A (dem Startpunkt der beiden Basisvektoren a und b) einen geschlossenen (also wieder in A endenden) Vektorzug, der in abbiegt;
• die Summe aller in diesem geschlossenen Vektorzug vorkommenden Vektoren ist 0;
• in dieser Summenformel drücken wir sämtliche Vektoren durch die beiden Basisvektoren a und b aus;
• in der so entstandenen neuen Summenformel sorgen wir dafür, dass alle Summanden mit a auf der linken und alle Summanden mit b auf der rechten Gleichungsseite stehen;
• wir klammern links a und rechts b aus;
• nun müssen beide Klammern 0 sein, wodurch ein Gleichungssystem entsteht;
• aus diesem Gleichungssystem können wir x und berechnen.

Dass sich in allen Parallelogrammen die Strecken d und e im selben Verhältnis schneiden, finde ich schon erstaunlich genug. Noch viel erstaunlicher finde ich aber:

wenn bei von a liegt, werden die Strecken d und e bei im Verhältnis 1:2 bzw geteilt!

Ist das purer Zufall - oder zieht sich dominant durch die ganze ellenlange Rechnung hindurch?

Andererseits würde mich Letzteres doch auch nicht ganz wundern, denn immerhin ist doch die zentrale Vorgabe der Aufgabe. Erstaunlich finde ich aber, dass es so unversehrt durch die Rechnungen rutscht, als wäre es imprägniert. 

Wenn sich aber so brachial durch alle Gleichungen durchschlängelt, würde das dann auch für funktionieren?: 

1. wenn bei von a liegt, werden dann die Strecken d und e bei im Verhältnis 1: 3 bzw. geteilt?

Und dann ergäbe sich für einen Mathematiker sofort ein ganzer Wasserfall von Fragen:

1. wenn bei    von a liegt, werden dann die Strecken d und e bei im Verhältnis 1:4 bzw.    geteilt?
2. wenn bei    von a liegt, werden dann die Strecken d und e bei im Verhältnis 1:n bzw.    geteilt?
3. wenn bei von a liegt, werden dann die Strecken d und e bei im Verhältnis m:n bzw. geteilt?
4. wenn bei p   von a liegt, werden dann die Strecken d und e bei im Verhältnis p geteilt?

   (... wobei vorerst 0 < p < 1; aber was mag es bedeuten, wenn p außerhalb diese Intervals liegt, und gilt dann auch die Vermutung, dass die Strecken d und e im Verhältnis p geteilt werden?)

Die Reihenfolge dieser Fragen muss man wohl erklären:

• wenn's laut a. für funktioniert, möchten Mathematiker es auch für größere Nenner, also für in b., in c.,   usw. wissen;

• "usw." bedeutet aber, ob es wie in d. für alle Brüche der Form gilt, also z.B. auch für ;
• als nächstes stellt sich dann die Frage, ob es nur für sogenannte "Stammbrüche", also mit dem Zähler 1 wie iin , gilt oder auch für Brüche mit anderem Zähler, also in e.;
• und dann folgt die endgültige Verallgemeinerung, die immer höchstes Ziel der Mathematiker ist: gilt der beschriebene Sachverhalt
  • nicht nur für Brüche, also  ,
  • sondern auch für alle (reellen), also auch irrationale Zahlen p wie in f.

(z.B. p = 0,707106781)?

Das alles hört sich nach einer Riesenarbeit an, da ja anscheinend für jeden Nachweis in b. bis f. jeweils ellenlange Rechnungen wie oben für nötig zu sein scheinen.

Kommt hinzu, dass in d. bis f. jeweils Beweise für unendlich viele Zahlen nötig wären, was ja fast ein Widerspruch in sich ist: wie will man in einem Beweis, der doch per se endlich sein muss, unendlich viele Fälle beweisen???

Falls wir tatsächlich all die Fragen b. bis e. beantworten wollen, wird's also Zeit, Abkürzungen zu finden.

Aber wo anfangen - wenn wir nicht stupide nacheinander c. bis e. abarbeiten wollen?

Es gäbe da verschiedene Ansätze:

1. wäre es natürlich naheliegend, erstmal die Frage b. zu beantworten, ob also auch der nach   nächstschwierigere Bruch sich durchsetzt:
   • wenn ja, machen wir sukzessive in unserer Liste mit c. bis f. weiter,
   • wenn nein, hören wir schleunigst auf, weil wir ja schon ein "tödliches" Gegenbeispiel gegen unsere allgemeine Vermutung gefunden haben;
2. von wegen "machen wir in unserer Liste weiter":
   • wenn wir sehr vorsichtig sind, denken wir: zwei Beispiele, also für und , sind ein bisschen mager, um darauf eine allgemeine Vermutung aufzubauen, sondern "alle guten Dinge sind drei" - und probieren's noch für  aus (vgl. c.);
   • wenn wir forsch bzw. faul sind, sparen wir uns den Fall und gehen gleich zu in d. oder gar    in e. oder sogar p in f. über.
     

Letzteres hieße, sich überhaupt nicht mit schnödem Kleinkram

abzugeben, sondern sich gleich an den Maximalbeweis zu setzen. Das könnte allerdings auch gefährlich sein: mal angenommen, es zeigt sich, dass sich nicht alle (reellen) Zahlen p unverändert durch alle Rechnungen durchziehen. Dann übersähe man eventuell, dass sich z.B. immerhin alle Stammbrüche unverändert durch sämtliche Rechnungen durchziehen.

(Ein hardcore-Maximal-Mathematiker würde da vielleicht sagen: was interessieren mich Behauptungen, die nicht absolut allgemein beweisbar sind?!

Dann dürfte ihn allerdings beispielsweise auch nicht der "Satz des Pythagoras" interessieren, da der ja auch "nur" für rechtwinklige Dreiecke, aber eben nicht für alle [auch nicht-rechtwinklige] Dreiecke gilt.)

Ich möchte hier allerdings einen anderen Weg gehen:

1. nochmals obige Rechnung für daraufhin untersuchen, wie sich da durch die Rechnungen windet,
2. dennoch ganz kurz mal auf den Fall eingehen, um einen Fehler zu vermeiden, der sich schnell beim Fall einstellen kann,
3. dann weiter den Bruch unverändert durch die Rechnung verfolgen, also z.B. 2 • nicht ausrechnen

(wobei natürlich 1 herauskäme; dieser 1 könnte man aber nicht mehr ansehen, wie sie aus entstanden ist).

4. ersetze ich am Ende alle vorkommenden erstmal durch und dann sofort durch die "Maximalforderung" p.

Fangen wir also nochmal mit

an:

• zuerst ergibt sich wie oben

a.

b. = x •

c. = y •

d. = -

• Außerdem muss für den geschlossenen Vektorzug natürlich wieder gelten:

(A)   + + + =

• Wenn wir nun a. bis d. darin einsetzen, ergibt sich wieder

(B)        + x • + y • -    =

• Wenn wir nun wieder alle Vektoren durch die Basisvektoren und ersetzen, erhalten wir wieder

e. = -

f. = -   - 

Genau an dieser Stelle wird's aber gefährlich, was man vielleicht erst sieht, wenn man (kurz) den Fall betrachtet:

schauen wir uns da mal genau an, wie dann durch und darstellbar ist:

Für den benötigten Vektor gilt: = -

Nun wollen wir aber doch alles durch und nicht etwa durch ausdrücken und müssen deshalb erstmal = 1 -   schreiben und damit:

= - (1 - )

Und entsprechend müssen wir beim Fall schreiben:

= - (1 - ) ,

womit sich für nun ergibt:

g. = -   -  ( 1- )

• f. und g. in  

     (B)        + x •                + y •                                             -    =

eingesetzt führt dann zu  

(C)        + x • (-   ) + y • (-   -         ( 1-          )) -    =  

• Jetzt beseitigen wir wie oben die Klammern: 

(C)        + x • (-    ) + y • (-   -       ( 1 -          )) -    =  

.                + x • - x •   ₊ y • (-   -       (-          ) -    =  

                  + x • - x •   ₊ y • (-   -        +         ) -    =  

  (D)       + x • - x •   _-.  y •    -  y •  +   y •      -    =  

• Nun sorgen wir wie oben dafür, dass alle Summanden, die enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung kommen

(D)       + x • - x •   _-.     y • -  y •  +y •      -    =   | - + x • + y •

oder enger zusammen geschrieben

(E)    x • -  y •  +  y •   -            =   - + x • + y •

• Da in allen Summanden links und in allen Summanden rechts vorkommt, klammern wir links   und rechts aus:

(F)  (  x        -  y          + y •         -        ) • =  (- 1   + x        + y          ) •  

• Daraus schließen wir wie oben:  (F) ist nur möglich, wenn

(G)     x        -  y          + y •         -      = 0     und - 1   + x        + y = 0

• Damit sind wir wieder bei einem Gleichungssystem: 

		x - y + y • -  = 0
		- 1 + x + y = 0  | + 1 - y

		x - y + y • -  = 0
		x = 1 - y

• Die Umformungen dieses Gleichungssystems seien hier nicht nochmals detailliert vorgerechnet, sondern ich behaupte einfach mal, dass dabei x = und  y = herauskommen. Und als Teilungsverhältnis  erhalten wir (urplötzlich wieder sehr einfach) 1 - .

• Wenn wir das all das nun doch mal vollständig ausrechnen, erhalten wir wie oben x =   und y = und damit das Teilungsverhältnis  1 : 2 bzw. .

So weit, so gut. Nur geht leider alles sofort schief, wenn wir statt nun  einsetzen: wir erhalten dann als Teilungsverhältnis  1 -  , und wenn wir das ausrechnen, ergibt sich  und nicht, wie oben in b. erwartet, .

Wir waren vor lauter Abstraktion wohl betriebsblind: dass nicht stimmen konnte, hätten wir doch schon an der Zeichnung

sehen können!

Mit dem Fall b. sind aber auch die Fälle c. bis f. hinfällig: was für eine verlorene Liebesmüh'! 

---

Aber wir wollen versuchen, aus den Trümmern unserer ursprünglichen Vermutungen doch noch was zu machen:

• ,

• "der Phönix steigt aus der Asche" :                 

immerhin hatten wir ja

•         für den Fall a., dass       bei a liegt,     das Teilungsverhältnis  

• und für den Fall b., dass       bei a liegt,     das Teilungsverhältnis  

erhalten und können daher die hoffentlich besseren Vermutungen aufstellen:

•               im Fall c. wenn also bei a liegt, ist das Teilungsverhältnis         ,

•              im Fall d. wenn also bei a liegt, ist das Teilungsverhältnis     

Mehr noch: wir können jetzt sogar den "Maximalfall" f. angehen, wenn also bei p • a liegt

(wobei p reel ist, also sogar eine irrationale Zahl sein kann).

Dazu ersetzen wir in 1 - den Bruch einfach durch p und erhalten das zugehörige Teilungsverhältnis  1 - p.

Halten wir also fest:

wenn im Parallelogramm bei p • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis 1 - p .

Wohlgemerkt: das ist jetzt nicht mehr eine Vermutung, sondern bewiesen!

Und damit können wir nun auch unsere soeben aufgestellten Vermutungen beweisen:

• im Fall c., wenn bei a liegt, ist das Teilungsverhältnis  1 - =  - = = ,

• im Fall d., wenn bei a liegt, ist das Teilungsverhältnis  1 - =  -  = .

---

"Ich hatte das Gefühl, durch die Oberfläche der atomaren Erscheinungen hindurch auf einen tief darunter liegenden Grund von merkwürdiger innerer Schönheit zu schauen, und es wurde mir fast schwindlig bei dem Gedanken, daß ich nun dieser Fülle von mathematischen Strukturen nachgehen sollte, die die Natur dort unten vor mir ausgebreitet hatte." (Werner Heisenberg)

Nun möchte ich aber Rechenwege so weit wie möglich verstehen, statt nur darauf zu vertrauen, dass die Rechnungen automatisch richtig sind, und ich möchte, wenn irgend möglich, auch verstehen, warum etwas schiefgelaufen ist.

Fangen wir gleich mit dem "Maximalfall" an: warum hat sich folgende Vermutung als falsch erwiesen?:

1. : wenn bei p • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis      p ,

und warum ist Folgendes richtig?:

2. : wenn bei p • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis 1 - p.

Zu A.:

der Fehler ist eingetreten, als durch ausgedrückt wurde: allgemein gesprochen, hatten wir die Gleichung = - p •   aufgestellt, aber es musste korrekt = - (1 - p ) heißen. Da wir anfangs aber mit p = gearbeitet hatten und in diesem (einzigen!) Fall tatsächlich 1 - = ist, war uns der kleine notwendige Schlenker 1 - p gar nicht aufgefallen.

Wir hatten also zu früh verallgemeinert:

• vom einzigen Fall, in dem 1 - p = p ist,
• auf alle Fälle (in denen      1 - p ≠ p ist).

Und doch war unsere falsche Vermutung f., also

1. : wenn bei p • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis       p

allzu schön und ist die richtige Feststellung

2. : wenn bei p • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis 1 - p.

nur noch halb so schön, weil sich da p in 1 - p verwandelt.

Aber das läßt sich immerhin ein wenig nachbessern:

c.: wenn von D aus gesehen bei (1- p ) • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis

• zwar nicht mehr das hübsch einfache                 p, aber
• immerhin doch das ein wenig kompliziertere 1- p

durch sämtliche Rechnungen durch.

Zu B.:

Der Versuch, anschaulich zu verstehen, wie sich p bzw. 1 - p durch sämtliche Rechnungen durchzieht, scheint mir  aber gescheitert: dazu sind die Rechnungen einfach (!) viel zu umständlich.

---

Es kann ebenso Nach- wie Vorteile haben, wenn man an einer Mathematikaufgabe sehr lange rumdoktort:

• einerseits wird man irgendwann eventuell betriebsblind und übersieht daher einfache (kurze, elegante, anschauliche), alternative oder gar überhaupt erst richtige Lösungswege,
• anderseits fügt sich alles vielleicht erst durch lange Beschäftigung mit einem Problem

(dann allerdings oft urplötzlich: )

zu einem Bild

,

und erst so im Nachhinein sieht man dann einfachere, schon früher vorhandene Möglichkeiten

(es ist, wie wenn man ein Buch / einen Film zum wiederholten Mal liest / anschaut und denkt: "diese frühzeitige Andeutung hätte ich beim ersten Lesen / Anschauen doch nicht überhören dürfen"):

erst spät habe ich die enorme Aussagekraft der so harmlos daherkommenden Gleichung

x = 1 - y     

erkannt, also jener Gleichung, die wir in den Gleichungssystemen oben die ganze Zeit unverändert mitgeschleppt hatten, um am Ende, nachdem wir y ausgerechnet hatten, aus diesem auch noch x ausrechnen zu können.

Erst jetzt wird mir klar: wenn wir herausfinden wollen, ob d und e durch im selben Verhältnis geteilt werden, könnte doch die Gleichung x = 1 - y der Schlüssel zum Verständnis sein, da diese Gleichung erstaunlich einfach

•       den  Anteil x von d
• mit dem Anteil y von e

verknüpft. 

Nun erinnert aber 1 - y fatal an 1 - p , also den "anderen Anteil" der Strecke a, wenn p der "eine Anteil" der Strecke a ist:

Als mir das

(nach obiger langer Beschäftigung mit dem Wechselspiel von p und1 - p )

klar wurde, blickte ich urplötzlich auf den "Grund" der Gleichung x = 1 - y und erkannte ich ohne jede weitere Rechnung, was ich im Folgenden allerdings nur mit einem Batzen weiterer Ãœberlegungen und Rechnungen klarmachen kann:

dass mit der Gleichung x = 1 - y nämlich schon ziemlich zu Beginn der Gleichungssystem-Umformungen klar war, was die Aufgabe schon von Anfang suggeriert hatte:

dass die beiden Strecken d und e durch   im selben Verhältnis geteilt werden.

Schauen wir uns dazu nochmals an, wie d und e durch durch geteilt werden:

• wenn   = x • d , dann ist = (1 - x ) • d und somit   = = ;
• wenn = y•• e , dann ist = (1 - y ) • e und somit = = .

Nun sehen die Ergebnisse und zwar schon sehr ähnlich aus, aber es fehlt noch der entscheidende "Kleber"  x = 1 - y .

Wenn wir damit für x in nun 1 - y einsetzen, erhalten wir

=   ,

und damit ist wie von Zauberhand = entstanden, und somit gilt = , womit bewiesen ist, dass die beiden Strecken d und e durch   im selben Verhältnis geteilt werden.

Nun könnte man denken: dann hätten wir uns ja die weiteren Umformungen der Gleichungssysteme sparen können. Aber Vorsicht!:

• wir haben aus  x = 1 - y "nur" folgern können, dass d und e durch   im selben Verhältnis geteilt werden,
• wissen aber damit noch nicht, in welchem Verhältnis sie geteilt werden.

(Das erinnert an sogenannte "Existenzbeweise": z.B.

• lässt sich zeigen, dass in der Primzahlreihe beliebig große Lücken existieren 

[z.B. eine Lücke von einer Millionen aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, von denen keine einzige eine Primzahl ist],

• aber leider weiß man nicht, wo solche eine Lücke vorkommt.

Solche Existenzbeweise finde ich aber doch wahrhaft erstaunlich: es ist, als würde man auf mittelalterliche Weise die Existenz Gottes beweisen, aber damit noch lange nicht wissen [und vielleicht auch nie erfahren], wo zum Teufel er sich versteckt hat.)

Immerhin ist klar: bei unserer Aufgabe steht und fällt alles mit "1 minus irgendwas", was von den Teilungsverhältnissen  herrührt (s.o.).

---

Ich hätte noch in anderer Hinsicht schlauer sein müssen:

wie bei mir üblich, habe ich für die Schüler ein Modell gebaut:

1. : Vorteil des Modells ist, dass man den Winkel zwischen den beiden das Parallelogramm aufspannenden Seiten bzw. Vektoren a und b bzw.  und verändern und damit die Frage anregen kann, ob das oben gesuchte Teilungsverhältnis unabhängig von der Form des Parallelogramms ist:

2. Schöner wäre es natürlich, wenn man auch noch die Länge der aufspannenden Seiten bzw. Vektoren verändern und dadurch besonders "unförmige" Parallelogramme erzeugen könnte.
3. Größter Nachteil des Modells ist es aber, dass ich der mechanischen Einfachheit halber nur zwei Lagemöglichkeiten für vorgesehen habe, nämlich bei  und  von a  bzw. :

Das sind aber, wenn es um den Allgemeinfall geht, viel zu wenig Möglichkeiten. Viel besser wäre es, wenn man auf a  bzw.kontinuierlich hin- und herschieben und dabei eindrücklich sehen könnte, wie sich mit

• auch d und e verändern,
• in eine bestimmte Richtung wandert,
• daraus folgt, wie sich die Teilungsverhältnisse (grob) entwickeln.

Kurz: ich hätte mein Grundprinzip der "bewegten Mathematik" viel ernster nehmen und konsequenter umsetzen müssen.

Das Modell ist also demnächst derart umzuarbeiten, dass kontinuierlich auf a  bzw. bewegt werden kann:

• je weiter also auf a  bzw. von A nach D wandert

  (das heißt im obigen Sprachgebrach: je größer p wird),

• desto weiter wandert auf d bzw. nach links oben und
• desto
  • kleiner wird und größer ,
  • kleiner wird und größer ,
• desto
  • kleiner wird das Teilungsverhältnis ,
  • kleiner wird das Teilungsverhältnis .

Interessant daran ist vor allem das "größer / kleiner" oder genauer:

je größer p, desto kleiner die Teilungsverhältnisse.

Allein durch Anschauung ist zwar noch nicht klar, wie genau sich die Teilungsverhältnisse in Abhängigkeit von p verändern, aber das hatten wir ja bereits oben berechnet:

wenn bei p • a liegt, teilt der Punkt die Strecken d und e im Verhältnis 1 - p

Erst jetzt wird (mir) dieses 1 minus irgendwas, das oben als so fundamental für den gesamten Lösungsweg aufgezeigt wurde, wirklich verständlich: es bedeutet

(wie mir - ich muss es zu meiner "Schande" gestehen - erst jetzt klar wird)

schlicht und einfach (ein wenig vereinfacht) "desto kleiner".

---

Nach all dem Gewimmel wird Karl Mustermann

(der allerdings gar nicht bis hier gelesen hat) 

vermutlich "Und was soll der Scheiß?!" fragen, was ja wohl eine rhetorische Frage mit den suggerierten Antworten ist:

1. ist es eben "Scheiß" und der
2. "soll" nichts, d.h. man kann mit ihm nichts "anfangen"

(was soll man mit Scheiße schon "anfangen"?!).

Falls Herr Mustermann allerdings unter "anfangen" eine Anwendung versteht, wird's problematisch:

1. ist mir keine praktische Anwendbarkeit der obigen Aufgabe bekannt,
2. hätte solch eine Anwendung, wenn es sie doch gäbe, vermutlich keinen "Sitz im Leben" des Herrn Mustermann, d.h. es wäre wohl keine Anwendung, die Herrn Mustermann in seinem eh weitgehend mathematikfreien Leben irgendwie helfen könnte.

Nun ist die rhetorische Frage "Und was soll der Scheiß?!" aber vielleicht schon falsch gestellt, denn was "soll" denn z.B. oder ? Mit beiden kann man doch auch "nichtmal einen Nagel in die Wand schlagen"!

(Bei der Mona Lisa

[deren Schönheit sich mir immer entzogen hat]

könnte man immerhin sagen, dass sie enorm viel Geld wert ist - womit wir beim stramm kapitalistischen Verwertungsinteresse wären.)

Wenn nun aber

(zumindest für mich)

keine Anwendung unserer Aufgabe absehbar ist: was dann interessiert oder gar fasziniert "die" Mathematiker an dieser Aufgabe

(oder ähnlichen Aufgaben)?

1. gibt es zwei Möglichkeiten:
   • angenommen mal, wir hätten anschaulich nachvollziehen können, wie sich p im Laufe der Rechnung in 1 - p verwandelt: dann wäre es doch immerhin erstaunlich, dass alle Parallelogramme das "ganz von alleine" können;
   • ich hatte allerdings oben gesagt:

   "Der Versuch, anschaulich zu verstehen, wie sich p bzw. 1 - p durch sämtliche Rechnungen durchzieht, scheint mir  aber gescheitert: dazu sind die Rechnungen einfach (!) viel zu umständlich."

   Dann scheinen die Parallelogramme, die das Verhältnis 1 - p herstellen, ja sogar noch schlauer als wir oder zumindest ich zu sein!

2. finde ich es nach wie vor verwunderlich, dass
   • überhaupt allgemeingültige Beweise möglich sind,
   • in der vorliegenden Aufgabe sämtliche Parallelogramme das Verhältnis 1 - p  herstellen.
3. ist es für mich ebenfalls höchst erstaunlich, dass sich in jedem Parallelogramm für das Teilungsverhältnis zwar nicht (wie erst vermutet) das höchst simple p , aber immerhin doch das "zweiteinfachste" Ergebnis 1 - p ergibt.
4. hat das Verfahren des "geschlossenen Vektorzugs" seine ganz eigene Eleganz:

5. freut mich die zentrale Rafinesse des Beweises: dass ausgerechnet aus der banalen Voraussetzung,
   • dass die beiden Basisvektoren   und  
     • nicht die Länge 0 haben und
     • nicht kollinear sind,
   • dass also überhaupt ein "echtes" Parallelogramm vorliegt,

(G)

 

(H) = 0  und   = 0

gefolgert werden kann und damit alles von der Vektorgeometrie in die simple Elementaralgebra "abrutscht"

(viel mehr als letztere können Mathematiker eh nicht).