der schönste Beweis aller Zeiten

B) Vorgeschichte und Hintergründe des Beweises

b) die Entdeckung verschiedener Zahlenarten

Vorab: Erklärung, was ein "brainstorming" eigentlich ist:

Brainstorming, Kreativitätstechnik, die mittels freier Assoziation und unkritisierter Äußerungen in einer Gruppe zu neuen Lösungen gelangt. Hierbei wird ein zu lösendes Problem in den Mittelpunkt der Gruppenaufmerksamkeit gestellt. Jeder Teilnehmer assoziiert neue, ungewöhnliche Ideen in Anschluss an die Vorschläge der Vordenker und -redner. Jegliche Kritik oder Wertung ist während dieses Vorganges verboten. Spontaneität, Intuition und Kreativität werden hierdurch gesteigert, wobei die Menge der Lösungsvorschläge beachtlich sein kann. Durch diese Methode werden neue Einsichten, Perspektiven und Lösungswege gefunden. Nach Abschluss des Brainstormings werden die Vorschläge analysiert und bewertet. Brainstorming wird neben systematisch und analytisch vorgehenden Problemlösungs- und Ideenfindungstechniken vor allem in der Wirtschaft und der Forschung angewendet.

Verfasst von: Uwe Kraus; zitiert nach: Microsoft Encarta

brainstorming: Probelauf	Schreibt in einer Gruppe erst einzeln und dann zusammen auf, was Euch zu folgenden Themen einfällt: Warum fliegen bei Toastern die Toasts eigentlich immer oben raus? Bei 24 macht´s Peng! Gnulf.
brainstorming: Ernstfall	Sammelt und notiert erst einzeln und dann zusammen ALLES, was Euch zu Zahlen einfällt. Sortiert im Anschluss Eure Ergebnisse! Stellt Euch dabei vor, ihr könntet eine Zeitreise machen und in vergangenen Zeiten Detektive sein, die die mathematischen Täter überführen und die mathematische Tat rekonstruieren!

Die Menschheit hat sehr lange gebraucht, um alle Zahlen zu entdecken und sie zu sortieren, und erst im Nachhinein haben wir das Glück, sie vollständig zur Verfügung zu haben.

Aus einem Wörterbuch, in dem die Herkunft und Entstehung von Wörtern erklärt wird, erfährt man:

Zahl: Das altgermanische Substantiv stammt wahrscheinlich vom indogermanischen Wort für "spalten, kerben, schnitzen, behauen" "Zahl" würde also eigentlich "Eingekerbtes, Einschnitt" bedeuten. Man pflegte früher Merkstriche auf Holz einzukerben. Die sogenannten Kerbhölzer (zum Zählen, Abrechnen usw.) waren noch im Mittelalter gebräuchlich.

nach: Duden Herkunftswörterbuch

Bemerkenswert ist auch die Ähnlichkeit der Wörter "Zahl" und "zählen": ursprünglich haben die Menschen wohl Dinge abgezählt und zur Erinnerung immer eine Kerbe in ein Holzstück gemacht

englische Kerbhölzer aus dem 13. Jahrhundert n. Chr.

oder ihre Finger benutzt (10 Finger, deshalb Zehnersystem?).

(Nebenbei: hierher stammt auch unser umgangssprachlicher Ausdruck "etwas auf dem Kerbholz haben" = "eine böse Tat auf dem Gewissen/im Gedächtnis haben".)

Dabei ergab sich als erste Zahlenmenge ganz natürlich die Menge

= {1; 2; 3; 4 ...}

Weil diese Zahlen sich so einfach ergaben und so selbstverständlich waren, weil man aber auch noch gar nicht ahnen konnte, dass es auch andere Zahlen geben könnte, hat man diese Zahlen "natürliche Zahlen" genannt.

Und hier geschieht etwas sehr Wichtiges: alle anderen noch nicht entdeckten Zahlen erscheinen damit später als "un-natürlich", also beinahe pervers. Solch eine Verdammung von Unbekanntem wird sich, wie wir bald sehen werden, in der Geschichte öfter wiederholen und gehört auch zur Mathematik.

(Und nicht nur in der Mathematik: z.B. in der Physik nannte man die denkbar kleinsten Teile irgendwann "Atome", was altgriechisch "unteilbar" bedeutet - bis man dann irgendwann feststellte, dass auch sie noch teilbar sind bzw. aus Einzelteilen [Protonen, Neutronen, Elektronen und noch kleiner] bestehen.)

Wenn man die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl einträgt, folgen sie im Abstand von 1 und bleibt der Zwischenraum völlig leer, also eine Art Vakuum.

Irgendwann haben vermutlich die Inder noch die Zahl Null dazu erfunden. So unscheinbar diese Null erscheint, so genial ist sie doch gleichzeitig. Wo vorher keiner drauf gekommen ist, wofür keiner eine Notwendigkeit sah: man führte eine Zahl für nichts ein. 

Mit dieser Null ist erstmals ein sogenanntes Stellenwertsystem möglich, d.h. die Größe einer Zahl ergibt sich daraus, wo eine Ziffer steht:

• 102 ist nur eine Kurzschreibweise für 1 100 + 0 10 + 2 1,

• 102 ist nicht dasselbe wie 12.

(Und damit war dann nebenbei auch der wichtige Unterschied zwischen Zahl und Ziffer entdeckt: z.B. die Zahl 102 besteht aus den Ziffern 1 und 0 und 2.)

Dieses Stellensystem - das wird unten noch wichtig - ist ungeheuer praktisch. Man stelle sich nur mal vor, wie die armen Griechen und Römer rechnen mussten:

Im Stellenwertsystem kann man vor allem systematisch mit Einzelziffern rechnen, im griechisch-römischen System hingegen muss man immer die Gesamtzahlen überblicken.

Mit der Erfindung der Null lag es nahe, sie der Menge der natürlichen Zahlen hinzuzufügen:

    = {   1; 2; 3; 4 ...}

₀ = {0; 1; 2; 3; 4 ...}

Wichtig: weil wir die Null nur hinzu gefügt haben, umfasst die Menge ₀ die Menge . Man sagt auch: ist Teilmenge von ₀ . Jedes Element aus (z.B. 3) ist auch Element aus ₀ , aber umgekehrt ist nicht jedes Element aus ₀ (nämlich 0) auch Element aus .

Schon bald mögen sich die ersten Probleme mit den natürlichen Zahlen ergeben haben:

5 - 3 = 2

3 - 5 = ?

Denkbar wäre z.B. folgendes:

• es ist + 3 ⁰ Celsius und die Temperatur fällt um 5 ⁰ Celsius;

•  ich habe 3 DM und gebe 5 DM aus (indem ich bei einem Freund 2 DM Schulden mache).

Es lag daher nahe, die negativen Zahlen hinzu zu nehmen und damit die ganzen Zahlen zu definieren.

Insbesondere konnte folgendes passieren:

3 - 3 = ?

Es erwies sich jetzt endlich als sinnvoll, auch die Null einzubeziehen, und somit ergab sich 

= { ... -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ...}

        = {0; 1; -1; 2; -2; 3; -3 ...}

Wichtig: weil wir die negativen Zahlen nur hinzu gefügt haben, umfasst die Menge die Menge ₀. Man sagt auch: ₀ ist Teilmenge von . Jedes Element aus ₀ (z.B. 3) ist auch Element aus , aber umgekehrt ist nicht jedes Element aus (nämlich z.B. -3) auch Element aus ₀ .

Spätestens hier wird deutlich, dass wir bereits bekannte Zahlbereiche immer nur erweitern, weshalb man auch von "Zahlbereicherweiterung" spricht: es werden immer nur neue Zahlen zu den schon bekannten Zahlen hinzu gefügt.

Und wir werden noch sehen, wie wichtig das ist: wir brauchen dazu kaum neue Rechenregeln, sondern die alten gelten weiter. Anders gesagt: man muss eigentlich nur mit natürlichen Zahlen rechnen können. Ja, sogar die besten MathematikerInnen sind völlig unfähig, mit etwas anderem zu rechnen.

Um auf den Zahlenstrahl zurückzukommen: die Zahlen aus erweitern ihn jetzt auch unendlich nach links ins Negative, aber auch für die ganzen Zahlen gilt: sie folgen im Abstand von 1, und der Zwischenraum bleibt weiterhin völlig leer, also eine Art Vakuum.

Mit der Bezeichnung "ganze Zahlen" deutet sich aber schon an, dass es auch "nicht-ganze", also "gebrochene" Zahlen geben könnte. 

Deren Entstehung könnte man sich folgendermaßen vorstellen:

• 6 : 3 = 2
  ich verteile 6 Kuchen an 3 Leute. Kein Problem: jeder erhält 2 Kuchen;

• 3 : 6 = ?
  Was aber passiert, wenn ich umgekehrt 3 Kuchen an 6 Leute verteile?
  Nun, ich kann die Kuchen nicht mehr ganz lassen, sondern muss sie "zerbrechen".

Somit war es nötig, die Menge der "gebrochenen" bzw. "rationalen" Zahlen aufzustellen:

die Menge enthält alle Zahlen, die man als BRUCH aus zwei GANZEN Zahlen darstellen kann.

Die Mengenschreibweise dafür ist leider nicht mehr so einfach und übersichtlich:

=

In Worten: ist die Menge aller Zahlen , wobei p Element aus und q Element aus ist.

Der Buchstabe stammt dabei vermutlich von "Quotient", worunter man den Bruch aus zwei ganzen Zahlen versteht.

Sehr wichtig: q darf nur aus , nicht aber aus ₀ sein, denn 

	das Teilen durch Null ist die GRÖSSTE MATHEMATISCHE KATASTROPHE!
	Warum eigentlich?

Hier wird also nochmals klar, warum man manchmal und ein anderes Mal ₀ benutzt.

An diesen rationalen Zahlen ist nun so einiges bemerkenswert:

• es sind wieder nur neue Zahlen zu den bereits bekannten Zahlen hinzu gefügt worden, d.h. die Menge umfasst die Menge. Man sagt auch: ist Teilmenge von . 
  Hier ist das nur auf Anhieb gar nicht mehr so leicht sichtbar. Man mache sich also klar: jedes Element aus (z.B. -3) ist auch Element aus (denn -3 = ), aber umgekehrt ist nicht jedes Element aus (nämlich z.B. ) auch Element aus (denn  ist keine ganze Zahl);

• um auf den Zahlenstrahl zurückzukommen: die Zahlen aus folgen aufeinander nicht mehr im Abstand von 1, sondern die Zwischenräume scheinen nun völlig ausgefüllt zu sein; es sieht so aus, als wenn man die Zahlen aus auf dem Zahlenstrahl mit einem durchgehenden Strich zeichnen kann;
  die Vermutung liegt also nahe, dass wir damit nun endlich alle denkbaren und möglichen Zahlen haben; 
  vermutlich deshalb hat man sie auch "rationale", also "vernünftige" Zahlen genannt; falls nun jemand kommen und sagen würde, es gäbe noch andere Zahlen, konnten die eigentlich nur noch "un-vernünftig", also Schwachsinn sein;

•  es lässt sich zeigen:

jede Zahl aus ist gleichermaßen entweder als Bruch aus ganzen Zahlen oder in Dezimal(stellenwert)schreibweise als hinter dem Komma endliche  oder periodische Zahl schreibbar. (Deshalb nennt man die "Dezimalzahlen" manchmal auch "Dezimalbrüche".)

z.B.

• = 0,5

• = 0,3333333333333333333...

Anders als bei natürlichen oder ganzen Zahlen ist die Schreibweise von Zahlen aus also nicht mehr eindeutig, sondern es gibt verschiedene (sogar unendlich viele), äußerlich teilweise sehr unähnliche Schreibweisen für ein und dieselbe Zahl, z.B. 

= = 0,5

Man könnte also sagen: die rationalen Zahlen verkleiden sich gerne, bleiben aber letztlich immer dieselben.

• mit Brüchen kann man überhaupt nicht rechnen, bzw. die Bruchrechenregeln sind überhaupt nur dazu da, das Rechnen mit Brüchen auf das Rechnen mit natürlichen Zahlen zurückzuführen. Z.B. . Bei wird also sowohl im Zähler (bei 2 5) als auch im Nenner (bei 3 7) nur noch mit natürlichen Zahlen gerechnet ;

Hier wird etwas für die gesamte Mathematik Wichtiges deutlich, das insbesondere die wirklichen mathematischen Genies beherzigt haben und wodurch sie oftmals überhaupt erst auf genial neue Gedanken gekommen sind: das "mathematische Faulheitsprinzip": man drückt sich stinkfaul vor jeder zusätzlichen Arbeit und führt neue Dinge (hier Bruchrechenregeln) nur dann ein, wenn sie mehr Arbeit sparen als schaffen; Von diesem "Faulheitsprinzip" berichtet nebenbei schon - wie ich erst jetzt erfahre - Albert Einstein: "[...] die Kunst der Faulheitsrechnung. Was man nicht kennt, das nennt man x, behandelt es so, als ob der Zusammenhang [Gleichungen] bekannt wäre, schreibt diesen Zusammenhang hin und bestimmt dass x dann hinterher." Oder vgl. auch die Äußerung des berühmten Physikers Ernst Mach (1838-1916) "So seltsam es klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkbarbeit." das kreative "mathematische Dummheitsprinzip": weil man ganz genau weiß, wie dumm man ist, versucht man komplizierte und neue bzw. unbekannte Dinge (hier Brüche) immer auf einfache und bereits bekannte (hier natürliche Zahlen) zurück zu führen. Wichtig dabei ist: man resigniert nicht vor einer neuen Schwierigkeit, sondern weiß sich zu helfen.

• dasselbe gilt beim Rechnen mit Dezimalzahlen; vgl.