der schönste Beweis aller Zeiten

3. Was einen schönen Beweis ausmacht

In einem konkreten Unterricht könnte dieser Teil evtl. nach dem Beweis der Irrationalität folgen. Denkbar wäre es aber auch, eine ganze Unterrichtseinheit zu "Beweisverfahren" durchzuführen (also sozusagen ein Meta-Thema zu wählen) und die verschiedenen miteinander zu vergleichen.

• Schönheit ist sicherlich auch hier Geschmackssache, d.h. dem einen gefällt dieser, dem anderen jener Beweis besser; bzw. dem einen ist dieses, dem anderen jenes u.g. Schönheitskriterium wichtiger;

• es gibt vielleicht keinen Einzelbeweis, der alle u.g. Schönheitskriterien erfüllt;

• manche der u.g. Schönheitskriterien widersprechen sogar einander

(z.B. ist der "geniale Kick" schwer mit "freundschaftlicher Suggestivität" vereinbar)

Viele mathematische Sachverhalte sind mehrfach bewiesen worden, aber oftmals hat sich (etwa in der Schulmathematik) nur ein Standardbeweis durchgesetzt. Mir scheint, das liegt daran, dass solch ein Standardbeweis besonders gut eins oder mehrere der folgenden Kriterien erfüllt:

Kriterium für die Schönheit eines Beweises ist

1. manchmal (in der Geometrie) wirklich seine optische Schönheit:

2. seine Überschaubarkeit, und zwar

• entweder, dass man jeden einzelnen Beweisschritt leicht verstehen kann (wie man auf ihn kommt),

• oder dass man am Ende (wie z.B. in obiger Grafik) die Gesamtfunktionsweise eines Beweises überschauen kann, dass der gesamte Beweis also in einem anschaulichen Eindruck aufgeht

(das ist in der Mathematik leider, aber auch typischerweise oft nicht der Fall: schon Schopenhauer [nicht grade der Dümmsten einer] hat viele mathematische Beweise als hinterhältig empfunden und sich dann reingelegt gefühlt, weil er wohl zwar noch jeden Einzelschritt verstanden hat, aber keine Chance hatte, den Gesamtbeweis zu überschauen.

Man kann aber auch umgekehrt genau an solcher "Hinterhältigkeit" seinen Spaß haben:

"Hobbes

(1588-1679)

war [...] begeistert davon, daß man eine Behauptung, deren Wahrheitsgehalt nicht offensichtlich war, durch eine [evtl. unübersichtlich lange] Reihe mathematischer Schritte beweisen konnte, indem man sie auf als wahr akzeptierte Behauptungen zurückführte."
(Hal Hellman)

MathematikerInneN [wenn sie ehrlich sind] geht das oftmals auch nicht besser als Schoppenhauer, aber sie gehen anders damit um:

unsere gesamte technisch-naturwissenschaftliche Kultur beruht darauf, dass wir Hilfsmittel und Sonden über die Sinne und den Verstand des Menschen hinaus geschaffen haben. Das nutzen wir tagtäglich, und da wäre es nur billig nostalgisch-sentimental, ja, nachgerade masochistisch, zur reinen Anschaulichkeit zurückkehren zu wollen.

Genauso aber funktionieren viele mathematische Beweise: sie führen über die Anschaulichkeit hinaus. Es ist, als wenn da die Mathematik automatisch arbeite und inneres Leben entwickele. Dadurch muss man sich aber nicht notwendig beschämt fühlen, sondern darüber kann man auch staunen und darauf kann man sogar stolz sein. Denn letztlich hat der Mensch all das selbst geschaffen und sich somit selbst übertroffen [nicht: überflüssig gemacht]. Schöner Anlass ist da aber der Nachweis der Irrationalität.

Es ist wie mit der Heliozentrik. Manchmal wird sie als Erniedrigung des Menschen empfunden, weil er aus dem Zentrum des Weltalls katapultiert wurde. Man kann´s aber auch umgekehrt sehen, und so haben es ihre Entdecker auch wahrgenommen: durch die Herrlichkeit des Modells wurde doch nur [der angeblich aus dem Weltall entfernte] Gott verehrt - und schließlich hatte all das der Mensch entdeckt, und zwar - was das Ganze nur noch großartiger macht -, obwohl er mit seinem Po auf der Erde klebt.

Wichtig ist halt nur, dass man sich bei genialen Entdeckungen nicht [als dumm] aus-, sondern als Mensch [!; "wir"] eingeschlossen bzw. sich als Teil des historisches Flusses und legitimer Erbe fühlt: wir haben die schier unglaubliche Chance, mit den Genies verschiedener, auch lang entfernter Zeiten zu sprechen [statt betriebsblind und kurzfristig in der Gegenwart rumzuirren], und sie sprechen sozusagen gleichberechtigt zu und durch uns.)

3. seine Kürze:

• in der Regel ist, was kurz ist, auch besser zu überschauen und zu verstehen (und zu merken)

(und doch besteht die Gefahr, dass ein Beweis allzu kurz [ausgeführt] ist; wer hat sich im Studium nicht darüber geärgert, sich aber auch dadurch gedemütigt gefühlt, dass da manchmal nur stand?: "daraus folgt trivialerweise ..." - nur folgte das für einen selbst keineswegs automatisch, sondern brauchte man zig Zeilen, um die angeblich so einfachen Zwischenschritte zu rekonstruieren: so dass der nur scheinbar kurze Beweis dann eben doch wieder ellenlang wurde)

• das ja eben ist oftmals der geniale Kick der Mathematik, wenn es sie nicht sogar (im Vergleich mit allen anderen Wissenschaften) ausmacht: dass etwas Ellenlanges (z.B. eine Behauptung für unendlich viele oder gar alle Fälle) überhaupt in wenigen Zeilen bewiesen werden kann.

4. das, was ich mal "freundschaftliche Suggestivität" nennen möchte: der Gedankengang des Beweises scheint sich von selbst zu ergeben, die Kommentierung ist so klar, dass man das Gefühl bekommt: "da hätte ich auch selbst drauf kommen können, ja, da bin ich durch unmerkliche Begleitung selbst drauf gekommen".

5. der "geniale Kick", also genau das Gegenteil von d.:

• "da wäre ich nie drauf gekommen - dass das so einfach ist"

• "hier schauen wir nun wirklich mal einem Genie bei der Arbeit zu".

Der "geniale Kick"

• kann die Raffung von sonst ewig Langem in einer Zeile sein (s. die Kürze in c.);

• bringt urplötzlich Dramatik in die ansonsten langweilige Rechnerei eines Beweises

(erst hinterher denkt man sich dann vielleicht: "Stop, was war das gerade?");

• wirkt manchmal auch im Sinne Schopenhauers (s.o.) nur beschämend;

• ist oftmals auch schon

6. der mathematische Fortschritt:

der scheinbar isolierte Einzelbeweis (bzw. eine bestimmte Beweisidee [der "geniale Kick"]) bezieht sich nicht nur auf einen (eben den gerade zu beweisenden) mathematischen Sachverhalt, sondern

• ist auf viele andere übertragbar

(weil da ein komplett neues Beweisverfahren, d.h. eine ganze Klasse von Beweisen entdeckt wurde)

• oder bringt Fortschritt in ein ganzes mathematisches Gebiet

(löst auf Anhieb viele analoge Probleme bzw. liefert einen neuen Grundstein, auf dem dann logisch aufgebaut werden kann),

wenn nicht gar die gesamte Mathematik.

7. dass da an einem Beweis grundlegende Denkweisen der gesamten Mathematik klar werden, der Beweis also exemplarische Mathematik in nuce ist

(so dass man fast sagen könnte: "wer diesen Beweis verstanden hat, hat auch verstanden, was [die gesamte] Mathematik überhaupt ist bzw. ausmacht").