der schönste Beweis aller Zeiten

Exkurs "Selbstlernen"

Ich frage ich mich anhand dieses exemplarischen, ja, besonders gut geeigneten Beweises, ob da ein "angeleitetes Selbstlernen" evozierbar wäre:

dass man als LehrerIn durch offene Aufgaben und "sokratisches" Fragen hilft und so bei den SchülerInnen immerhin die Fiktion von "Selbstentdecken" und auch - am Ende - einen gewissen Stolz auf eigene Leistungen erzeugt

"Ich bin genauso schlau wie Euklid - oder immerhin intelligent genug, ihm zu folgen."
Solchen Stolz auf eigene (und seien sie noch so "klein") eigene Leistungen gilt es wieder zu ermöglichen.
Ich halte es in der Tat für ein zentrales Problem der Pubertät (nicht erst heute), dass viele SchülerInnen (in einer zunehmend perfekten Welt) keine einzige Fähigkeit (kein Hobby/Spezialgebiet) haben, in der sie ihre ganz individuelle Erfüllung finden, aber auch zwar nicht "Weltspitze" sind (das werden die meisten von uns nie), so doch "Avantgarde" in ihrer Familie/ihrem Freundeskreis und - am allerwichtigsten - "Avantgarde ihrer selbst"; ein Gebiet, in dem man sich an sie als Fachfrau/-mann wendet.
Wie wichtig das ist, gilt es auch in der Schule immer wieder zu betonen - oder besser: nicht beschämend einzufordern, sondern anzuerkennen. Wohlgemerkt: auch bei Hobbies. Jemand muss nicht gut in der Schule oder gar Mathematik sein (und doch ist es vermutlich leider tödlich für´s Selbstbewusstsein - und also eben auch eine menschliche [Ab-]Wertung -, wenn jemand in allen Fächern jahrelang schlecht steht). Sondern wir werden auch einen Blick dafür behalten müssen (soweit wir es überhaupt erfahren), dass jemand z.B. ganz hervorragender Tänzer oder - wie letzten einer meiner Schüler - (Sport-)Waffenspezialist ist. Es wäre vermehrt darauf zu achten, wie SchülerInnen diese sonstigen Fähigkeiten in den Unterricht einbringen ("die Mathematik der Gewehrläufe") und auf diese Art dort Erfolgserlebnisse haben könnten.

Mehr kann "selbstlernend" nicht erreicht oder zumindest nicht automatisiert werden, aber das ist doch schon sehr viel: dass jemand etwa im stolzen Nachvollzug eines mathematischen Satzes Befriedigung für sich selbst empfindet.

Den Stolz auf eigene Fähigkeiten kann man durchaus auch in Mathematik "päppeln":

• indem man z.B., wenn die Schülerin G. selbstständig einen mathematischen Satz perfekt formuliert, ihn nicht fachterminologisch korrekt, sondern "G.s Satz" nennt, d.h. die mathematische Aussage emotional an eine Person bindet;

• indem man kollektiven Stolz erzeugt:

  • sei´s auf G. ["ein Mitglied unserer Klasse!"],

  • sei´s auf kollektive Entdeckungen ["wir alle zusammen waren genauso schlau wie Euklid"]: oft ist ja z.B. das Zusammenspiel verschiedener SchülerInnen bemerkenswert: F. stellt andauernd scheinbar dumme, in Wirklichkeit ins Mark der Mathematik führende Fragen, A. kommt überhaupt erst dadurch andauernd auf gute Antworten - so dass es beide zu würdigen gilt.

• für eigene Nach-Forschungen, zu denen die SchülerInnen "geködert" werden sollen und zu denen sie sich dann "ehrenhalber" verpflichten, verwendet ich das Symbol eines Detektivs .

Mir ist dabei durchaus der Regelfall wichtig: dass SchülerInnen sich mit (m)einem vorgegebenen Text (und ein Beweis ist nunmal in der Regel ein Text) auseinandersetzen. Nur hat der Text eben nicht geschlossen (ein Frontalvortrag), sondern möglichst offen zu sein.

Für die  Hilfen wurde bewusst der Titel gewählt: 

• "erste Hilfe" signalisiert eine gewisse Bescheidenheit:

• es wird erst gar nicht der sowieso aussichtslose Versuch gemacht bzw. vorgeheuchelt, alle Schwierigkeiten aufzufangen bzw. vorzuplanen (was ja auch hieße, Schülerverhalten als komplett absehbar [dumm] darzustellen);

• andere Hilfen (z.B. durch MitschülerInnen), aber auch andere Lösungswege bleiben möglich;

• die Hilfen sind teilweise offen (und bei Aufträgen gibt es manchmal nicht mal eine wirkliche Antwort/Lösung),

• sie werden oftmals nicht (auf Anhieb) vollständig gegeben, sondern wenn überhaupt, so muss man sukzessive von einer zur nächsten weiter klicken (wenn man dann überhaupt noch weitere Hilfe braucht);

dass das Weiter-Symbol dabei oftmals unten aus dem Fenster rutscht und daher nur über Scrollen des Hilfefensters erreichbar ist, hat dabei den Vorteil, dass die SchülerInnen nicht sofort zur Maximalhilfe klicken können; zudem bauen die verschiedenen Hilfeschritte oft aufeinander auf, so dass ein direktes Weiterklicken auch gar nicht sinnvoll ist (immer aber ist die Möglichkeit vorgesehen, vorzeitig aus der Hilfe auszusteigen, falls man keine weitere mehr braucht);

für wünschenswert hielte ich es auch, was hier (noch) nicht verwirklicht ist: dass SchülerInnen zwischen verschiedenen Hilfestufen zu ihren individuellen Problemen wählen könnten; dazu müsste deren Inhalt aber vorweg klar statt hinter einem Einheitssymbol verborgen sein, also z.B.

• nur der Hinweis, dass eine binomische Formel gebraucht wird,

• nur die allgemeine binomische Formel,

• evtl. nochmals die Herleitung der binomischen Formel,

• binomische Formel mit einem Einsetzungsbeispiel,

• binomische Formel mit der Einsetzung, die gerade benötigt wird.

Da aber begännen die Probleme überhaupt erst: die SchülerInnen müssten ja überhaupt erst wissen, d.h. eingrenzen können, wo genau eigentlich ihre Probleme liegen (statt - wie so oft - nur sagen zu können: "ich verstehe gar nichts mehr, ich weiß nichtmal, wo ich anfangen soll"). 

Solche Selbsthilfe bei der Problemeingrenzung (vgl. auch das "kreative Dummheitsprinzip" in "Die Entdeckung verschiedener Zahlenarten")

• scheint mir zentrales Desiderat vieler Überlegungen zum "Selbstlernen" zu sein,

• fiele wohl in den aufzuarbeitenden Themenbereich "(das) Lernen (überhaupt erst) lernen",

• scheint mir kaum in html-Texten zu initialisieren, weil diese prinzipiell nicht auf individuelle Schülerprobleme hin maßgeschneidert sein können:

• sowieso kann eine individuelle Hilfe bei unvorhersehbaren Schwierigkeiten nur im konkreten Unterrichtsgeschehen gegeben werden

(da aber muss sie ja gar nicht - wie üblich - sofort von der Lehrkraft gegeben werden [die "sowieso" alles weiß], sondern ihr "Genie" bestünde gerade darin, Probleme ans Kollektiv weiter zu geben; d.h. auch: Probleme nicht sofort zu lösen/erschlagen, sondern als Chance zu nutzen, dass alle sich mit ihnen auseinandersetzen und aus ihnen lernen:

denn üblicherweise zeigt das Problem eines Einzelnen ja nur, was viele noch nicht verstanden haben bzw. wo überhaupt die allgemeinen [von der Lehrkraft nicht vorausgesehenen bzw. voraussehbaren] Verständnisprobleme liegen).

Keine Frage: es gibt verschiedenste, je nach Zeit und Anlass geeignete Methoden: mal ist ein Lehrervortrag angesagt, mal fragend-entwickelnder Unterricht, mal mehr oder minder selbstständiges Lernen (in Anwesenheit des Lehrers oder ohne). Solche Abwechslung (die zudem spannender ist als eine methodische Monokultur) ist ja auch wahrhaft nicht neu.

Das Selbstlernen will aber auch überhaupt erst langsam und stufenweise gelernt werden.

Es ist hier nicht Zeit und Ort, mir Gedanken über die durchaus wichtige Methodik zu machen, also z.B. darüber, ob und wie SchülerInnen meine Vorschläge alleine oder in Gruppenarbeit bearbeiten sollen.

Grundsätzlich würde ich bei "Aufträgen" aber immer die Gruppenarbeit bevorzugen, die ganze Phasen des Unterrichts (sogar ganze Unterrichtsstunden) beherrschen sollte. Dabei sollte meine Meinung nach die/der LehrerIn anwesend sein, um

1. mitzubekommen, ob die methodischen und didaktischen Vorüberlegungen sich als praktikabel erweisen,

2. gegebenenfalls zusätzliche Anregungen in den Unterricht einzubringen und Modifikationen vorzunehmen,

3. für Nachfragen zur Verfügung zu stehen,

4. gegebenenfalls fachliche oder motivatorische Impulse zu geben,

5. Probleme aus Einzelgruppen zu sammeln und zwischendurch ans Kollektiv weiterzureichen oder knapp im Kollektiv klarzustellen (damit SchülerInnen sich nicht evtl. völlig verlaufen oder sich Grundfalsches festsetzt):

also der prinzipiell nicht planbare und gleichzeitig doch wichtigste Teil des Lehrerberufs, die konkrete Begegnung mit SchülerInnen!

Dennoch muss es natürlich Ziel sein, dass die SchülerInnen auf die Dauer (spätestens bei Facharbeiten und "später im wirklichen Leben") zunehmend selbstständig, also ohne "Überwachung" und jederzeit ansprechbareN Fachfrau/-mann (LehrerIn), an einen Sachverhalt drangehen können. Mir scheint nur, da muss sukzessive drauf vorbereitet werden, d.h. die Lehrkraft

• zieht sich nicht einfach nur zurück,

• sondern gibt Hilfen und Anregungen (anfangs klare, am besten gemeinsam erarbeitete Aufgaben bzw. "Perspektiven") für die "zurückgezogene" Phase, z.B.

• "was habe ich eigentlich vor?"

• "was mache ich, wenn ich nicht weiter komme?"

• "worauf muss ich achten?"

• erarbeitet mit den SchülerInnen Vorgehensweisen für die "zurückgezogene" Phase (vgl. "Lernen lernen"),

• kontrolliert (!) bzw. bespricht anfangs Zwischenergebnisse,

• steht regelmäßig für Rückfragen zur Verfügung ("Sprechstunden"),

• koordiniert am Ende das "Zusammenwerfen" der Ergebnisse.

Ganz unbedingt bin ich für die Erstellung eines spannenden, die Forschungswege dokumentierenden "Lerntagebuchs", und einige Aufträge in "4. Der Beweis der Irrationalität" laufen immerhin schon teilweise darauf hinaus. Das "Lerntagebuch" hat nicht nur den Vorteil, dass die SchülerInnen den Unterricht "dramatischer" und auch persönlicher erleben, sondern bietet auch die Möglichkeit, dass die Lehrkraft besser die Probleme selbstständiger Arbeitsphasen mitbekommt.

Ein interessanter Ansatz wäre es auch, in Klassen sukzessive ein ganz neues "Experten-" und "Hilfesystem" zu erzeugen:

• "Bevor Du die Lehrkraft fragst, versuche immer, anderweitig an Informationen und Hilfen zu kommen:

• über Bücher ...
• über KlassenkameradInnEN."

• "Wenn Du einer/einem MitschülerIn hilfst, zeige ihm nie, wie etwas geht, sondern versuche erst herauszufinden, wo seine Probleme und Denkfehler liegen. Gib ihm nicht die Lösung, sondern Aufgaben!"
• "Wenn Dir jemand etwas erklärt, so frage immer penetrant nach der Begründung. Das Beste, was Dir passieren kann, ist, dass der Erklärende auch unsicher wird und nachdenken muss, also den Stoff nochmals für sich reflektiert."
• "Am besten lernt man noch immer nicht aus Richtigem, sondern aus Fehlern: warum ist da was schiefgelaufen?"
• "Es gibt keine dummen ´Kinderfragen´: wenn einE MitschülerIn eine Frage stellt, so hat sie/er meist guten Grund dazu und führt die Frage mitten ins mathematisch ´Eingemachte´."

Insbesondere letzteres darf natürlich nicht nur behauptet, sondern müsste immer wieder an konkreten Beispielen veranschaulicht werden.

Nur ganz selten genügt mein Vorschlag hier bisher einem der Zentralpunkte von "Selbstlernen", nämlich dass der Lernweg und die Auswahl frei sind

(ein immer heikler und oft auch verlogener Ansatz [die SchülerInnen haben dann oftmals nur die Wahl der Reihenfolge bzw. zwischen "Krebs & Cholera"], weil ja meist das mathematische Ziel glasklar ist). 

Ich will auch gar nicht voreilig entschuldigend behaupten, dass das bei einem Beweis prinzipiell gar nicht anders gehe.

Immerhin sei darauf hingewiesen, dass mein Vorschlag zumindest viele Exkurse andeutet, beispielsweise in die Mathematik- und Philosophiegeschichte, die nicht als lässlicher Luxus, sondern als integraler Bestandteil der Mathematik verstanden wird. Wenn da also z.B. bei der nun wahrhaft bedeutsamen Frage, ob und wo es eigentlich die tatsächlich gebe (nämlich nur im Kopf), kurz Platon erwähnt wird, so ist damit immerhin kurz ein Exkurs über Erkenntnistheorie (und vielleicht auch über neueste Gehirnforschung) angedeutet (auch schon in einer 9. Klasse!).

Zweifelsohne wäre es schön, wenn "Selbstlernen" (immer) auf bereits vorhandene Interessen von SchülerInnen eingehen, von ihnen ausgehen und auf ihnen aufbauen könnte, die Fragen also schon "selbst" gestellt statt nur suggeriert wären. Nur haben SchülerInnen von sich aus wohl kaum 2 1/2 Fragestellungen, die auch nur halbwegs mathematisch sind; und schon gar nicht solche (und so viele), dass sie zum jeweils gerade anliegenden (sachlogisch ja durchaus sinnvollen) Unterrichtsstoff passen. Kommt hinzu, dass die verschiedenen SchülerInnen auch völlig verschiedene, oftmals sogar unvereinbare, wenn nicht gar widersprüchliche Interessen haben werden. Ich vermute sowieso mal, dass die Interessen vieler SchülerInnen natur- bzw. altersgemäß ganz woanders liegen werden: "wie 'funktioniert' das andere Geschlecht, bin ich attraktiv genug, wann kommt die neue [meine Seele ausdrückende] Platte von XY heraus, wann ist die nächste Fete ...?" Man wird sich klar machen müssen, dass noch so bunt gemischte (allerdings durchaus anderweitig wichtige) "Anwendungsaufgaben" dieses Problem keineswegs beseitigen. Denn was interessieren die/den DurchschnittsschülerIn schon (auch ohne Mathematik) Aufgaben aus Verkehr & Politik & Finanzen &&& ?! Bzw. hinter denjenigen Fragen, die viele SchülerInnen tatsächlich haben, steckt reichlich wenig oder gar keine Mathematik.

Das bereits vorliegende Interesse von SchülerInnen kann und darf also nicht letzter Maßstab sein (zumal eine Orientierung daran nachgerade schon eine Anbiederung wäre, die die SchülerInnen auch nicht wollen).

Schule ist ja eben auch dazu da, das Interessensspektrum der SchülerInnen zu erweitern

(was ja - wie derzeit noch meistens im Unterricht - keine Legitimation ist, die vorhandenen Interessen weitgehend zu ignorieren [man ist nunmal erwachsen und bekommt viele Schülerinteressen deshalb nicht mehr mit] oder gar indirekt abzuwerten: "Schule ist wichtig und der Tanzkurs peripher"). 

"Interesse wecken" kann z.B. heißen, u.a. anhand der durch eine innermathematische Dramaturgie innermathematisches (also im eigentlichen Sinne mathematisches) Interesse zu wecken.

Oder ein anderes Beispiel: SchülerInnen werden vermutlich nicht von sich aus ein (heißes) Interesse an ägyptischen Pyramiden mitbringen ("was interessieren mich irgendwelche Steinhaufen mitten in der Wüste?!"). Dennoch steckt - so behaupte ich mal - hinter diesen Pyramiden genug "Mystik" (also eben nicht "Anwendbarkeit", sondern glatt das Gegenteil, nämlich Fremdheit) und Grandiosität, um mittels ihrer zu üben.

Ein Stoff verliert oftmals für SchülerInnen schon allein dadurch an Wert, dass er Schulstoff wird (also das Leben aus ihm rausgesaugt wird?). Weshalb ich z.B. SchülerInnen immer warne, im Fach Deutsch ihr Lieblingsbuch als Unterrichtsstoff vorzuschlagen (auch wenn es dann nicht "zerfetzt", also negativ bzw.als "trivial" bewertet, sondern "nur" analysiert wird; was [zumindest aus der Sicht von SchülerInnen] aber oftmals dasselbe ist). Bzw. die SchülerInnen spüren durchaus, dass auch die beste Anwendungsaufgabe - sobald sie eben im Mathematikunterricht durchgenommen wird - letztlich nur Vorwand für Mathematik ist, dass also am Ende immer nur Mathematik rauskommt bzw. rauszukommen hat ("das [mathematische] Blut ist rausgesaugt, es bleiben nur die abgenagten Knochen zurück").

(Wobei es ja durchaus erheblich offenere Aufgaben gibt, die zwar auch, aber eben nicht nur mit Mathematik gelöst werden können [pars pro toto kurzfristige Gewinnmaximierung/langfristige Kundenbindung, also auch langfristige Gewinnmaximierung]. Oder Aufgaben [z.B. Einstellungen innerhalb der Bevölkerung], in denen überhaupt erst die Mathematisierung Thema ist [wie sie funktioniert, aber auch, inwieweit - in welchen Grenzen, mit welcher Aussagekraft - sie überhaupt hilfreich ist].
Man wird sich klar machen müssen, dass solche Aufgaben zu finden und auszuarbeiten eine enorme Arbeit ist - und umfassendes Interesse der Lehrkraft weit über den Tellerrand der Mathematik hinaus voraussetzt. Woraus wohl folgt: das geht bei der derzeitigen Arbeitsüberlastung nur ganz selten [ist auch nicht immer sinnvoll], sollte allerdings dennoch häufiger versucht werden.)

Da finde ich es manchmal ehrlicher, mit offenen Karten zu spielen, keinerlei außermathematisches Interesse vorzuheucheln und in aller Deutlichkeit zu sagen:

bei der geht es (glücklicherweise!) wirklich nur um Mathematik!

(Genauso ehrlich ist es, nicht

• "non scholae sed vitae discimus" zu sagen, sondern:
• "wir machen das alles nur, damit ihr die nächste Klausur, das nächste Zeugnis bzw. das Abitur besteht" und
• "der Gag der Irrationalität von besteht ja gerade darin, dass sie nirgends anwendbar ist";

das "Lernen fürs Leben" kann, wenn überhaupt, nur untergründig laufen [und müsste sich sehr viel mehr auf mathematische Strukturen und Denkweisen statt Fakten und Rezepte beziehen], weil es sonst "Opium des Volkes", also billige Vertröstung auf ein weit entferntes "Jenseits"  ist.)

Natürlich ist zu vermitteln, wie bedeutsam Mathematik heutzutage allüberall (und doch bestens versteckt) in Technik und Gesellschaft ist. Ich befürchte aber, dass viele SchülerInnen Versuche, das zu zeigen, nur als Selbstbeweihräucherung bzw. fadenscheinige Legitimation der MathematikerInnen empfinden werden

(die sie tatsächlich oftmals auch sind: LehrerInnen zweifeln ja gerne am Sinn ihrer Aufgabe: eben auch, weil er prinzipiell so schwierig zu "evaluieren" ist, man nämlich nicht die Gehirne der SchülerInnen aufmeißeln kann, um nachzusehen, ob etwas "angekommen" [selbst "konstruiert" worden] ist. Und deshalb entwickeln gerade MathematiklehrerInnen gerne einen "freie-Wirtschafts-Komplex": "ich muss die SchülerInnen auf die Widrigkeiten der außerschulischen Wirklichkeit vorbereiten, kann also gar nicht hart [und mathematisch 'objektiv'] genug sein." Und das ist derzeit ja wohl auch Absicht: weshalb sonst wird Mathematik in der letzten Zeit vom "Haupt-" zum "Kernfach" befördert?!).

Im übrigen bin ich der Meinung, dass SchülerInnen (neue) Medien nicht nur rezeptiv nutzen (hier nur in html-Form, also nicht mit echten Programmen), sondern auch mittels ihrer produzieren sollten. Z.B. bei den Interviews und Quellenstudien zu Pythagoras (in 4.) wäre es also durchaus denkbar, dass die Ergebnisse auch im Internet veröffentlicht würden.