der Nenner nennt, der Zähler zählt
(wie sollte es auch anders sein :-)

„Oben steht der Zähler,
unten steht der Nenner,
das weiß doch jeder Penner.“
(Das mag diskriminierend gegenüber Obdachlosen sein,
aber:

Christian Morgenstern:

Das ästhetische Wiesel

Ein Wiesel
saß auf einem Kiesel
inmitten Bachgeriesel.

Wißt ihr,
weshalb?

Das Mondkalb
verriet es mir
im Stillen:

Das raffinier-
te Tier
tat´s um des Reimes willen.)

In war gezeigt worden, warum es besonders günstig ist, dass

• einerseits die Zähler

• und andererseits die Nenner

zweier Brüche nebeneinander stehen (z.B. )

Typisch mathematisch daran ist das "besonders günstig": es musste nicht so sein bzw. wäre auch anders gegangen, aber es hat doch spezielle Vorteile.

Offen ist in hingegen geblieben, weshalb in einem Bruch

(mit ihren spezifische Funktionen)

• der Zähler oben und

• der Nenner unten

steht.

Nun könnte man in linguistischer Sprache antworten, dass das

1. "arbiträr",

2. aber danach "konventionell"

sei, d.h.:

1. war es völlig beliebig

(d.h. man hätte - genau umgekehrt wie heute üblich - den Zähler auch unten und den Nenner dann oben schreiben können),

aber nachdem man sich erstmal geeinigt hatte

(irgendjemand es so festgelegt hatte),

2. mussten sich alle verbindlich dran halten, um einander korrekt verstehen zu können.

Einzuschränken wäre allerdings, dass die Wahl anfangs nicht völlig frei ("arbiträr") war:

• um Verwechslungen zu vermeiden, durfte die neu gewählte Schreibweise nicht schon anderweitig vergeben sein

(bei Wörtern in der Umgangssprache ist das anders: da gibt es sogenannte "Teekesselschen", d.h. dass ein Wort mehrere Bedeutungen haben kann [vgl. etwa das "(Königs)Schloß" und das "(Tür)Schloss"];

• wenn man - wie in gezeigt - die Zähler bzw. die Nenner zweier Brüche nebeneinander haben will, kann man nicht mehr die Zähler rechts und die Nenner links schreiben.

Bleibt allerdings die Frage offen, ob auch die Festlegung

"Zähler stehen oben, Nenner stehen unten"

"besonders günstig" ist.

Ich frage das keineswegs aus historischem Interesse

(keine Ahnung, weshalb der erste Mathematiker, der Zähler nach oben und Nenner nach unten gesetzt hat, das getan hat),

sondern einzig und allein aus einem pädagogischen Grund. Es kann nämlich keine Frage bestehen, dass SchülerInnen oftmals Zähler und Nenner in ihren spezifischen Funktionen verwechseln und also beispielsweise fälschlich meinen, dass und dasselbe sind.

Da könnte jemand natürlich sofort einwerfen:

• "So blöd kann man doch gar nicht sein, sogar solch einfache

(von mir vielleicht tatsächlich zu einfach gewählt)

Brüche durcheinander zu werfen. Denn es ist doch allemal ein Riesenunterschied, ob

• zwei Kuchen an drei Personen ( )

• oder drei Kuchen an zwei Personen  ( )

verteilt werden. Mehr noch: es ist endgültig Hopfen und Malz verloren, wenn jemand nicht sieht, dass

• kleiner als 1 und

• größer als 1

ist."

• "So blöd ist die PISA-Jugend allemal!"

Mir ist solch reaktionär-überhebliches Geläster natürlich viel zu billig, sondern ich frage mich vielmehr

(wenn´s denn überhaupt so oft vorkommt ),

Ein erster guter Tipp ist - wie so oft - die Alltagssprache, die mit "zwei Drittel" übersetzt, wobei

• "zwei" ein (kleingeschriebenes) Zahlwort,

• "Drittel" hingegen ein (großgeschriebenes) Substantiv, also eine Art "Gegenstand" ist.

Der substantivische Charakter von "Drittel" wird auch dadurch deutlich, dass "Drittel" offensichtlich von "Drei-Teil" stammt

(und entsprechend "Viertel" von "Vier-Teil" ...;

nebenbei: da schiene es fast günstiger, nicht von "Nenner", sondern von "Teiler" zu sprechen).

Mit all dem wird schon angedeutet, dass der Nenner wichtiger ist.

Ein zweiter guter Tipp besteht darin, sich anzuschauen, wie man herstellt:

• erst zersäbelt man einen Kuchen in drei gleichgroße Teile:

• und dann nimmt man zwei von diesem Teilen:

D.h. man fängt mit dem Nenner an!

Wenn nun der "Nenner" jemand ist, der etwas "be-nennt", so könnte man sagen:

Nun lesen wir aber üblicherweise

1. von links nach rechts (vgl.   )

2. bzw. von oben nach unten.

Also sollte man im 2. Fall doch denken, dass

(genau umgekehrt wie heute üblich)

der wichtigere Nenner oben steht.

Zur Klärung dieses Problems schauen wir uns aber mal die einfachste und grundlegendste Bruchrechenregel, nämlich die der Bruchaddition, an:

1. zwei bereits gleichnamige Brüche (also mit demselben Nenner) werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält;

2. zwei noch nicht gleichnamige Brüche (also mit unterschiedlichen Nennern) müssen erst gleichnamig gemacht werden (denselben Nenner erhalten) - und dann siehe 1.

Auch hier stehen eindeutig die Nenner im Vordergrund - und sind die Zähler wenn nicht egal, so doch zweitrangig.

Man könnte auch

(als Tipp an SchülerInnen)

sagen:

"Achte bei der Bruchaddition zu allererst auf die Nenner."

(Nebenbei: bei der Bruchsubtraktion steht´s genauso, während bei der Bruchmultiplikation und -division die Zähler und Nenner "gleichrangig" sind.
Hinweise zur Schreibweise sind also nur von der Bruchaddition und -subtraktion zu erwarten.)

Auch hier bestätigt sich also wieder, dass die Nenner wichtiger sind

- und scheinbar nochmals, dass sie nach oben gehören.

Aber wenn man genauer auf die Bruchaddition "hört", erhält man eben doch einen Tipp, warum der Nenner unten steht:

Andere Zugänge zur Bruchrechnung

(vgl. )

scheinen aber nahezulegen, dass manchmal doch der Zähler wichtiger ist als der Nenner:

kann ja auch bedeuten: man verteilt zwei Kuchen an drei Leute, d.h. man beginnt mit dem Zähler 2:

1. Es sind als Vorgabe zwei Kuchen vorhanden

(z.B. vom Vortag übrig geblieben),

und als

2. zufällig drei Leute vorbeikommen, werden die zwei Kuchen halt an diese drei Leute verteilt und erhält jeder Kuchen.

Nun muss man aber nur ein wenig an der Geschichte drehen, und schon funktioniert´s mit der Dominanz des Nenners wieder:

1. Ich habe (als Vorgabe) zwei Leute eingeladen (mit mir zusammen sind´s also drei) und überlege nun, wieviel jeder essen wird:

"ein Kuchen ist zu wenig, da dann jeder nur bekommen wird; also

2. backe ich doch besser zwei Kuchen."

Üblicherweise wird man also von der Anzahl der Leute (Nenner!)

(und deren zu erwartendem Hunger)

ausgehen und dementsprechend die Anzahl der Kuchen (Zähler) backen.

Das Reste-Essen ist nicht die Regel, sondern die Ausnahme.

Es könnte reizvoll sein, SchülerInnen

1. zu "jemandem, der nennt" ,

2. bzw. "jemandem, der zählt" ,

zu ernennen, und im ersten Durchgang hat immer zuerst der "Nenner" das Sagen.

Denkbar wäre es auch, immer nur einen "Nenner", aber mehrere "Zähler" in einer Schülergruppe zu haben.

(also z.B. ¹/₃, ²/₃, ³/₃ ...;

und erst sehr viel später spielt man das Spielchen auch umgekehrt, also mit einem "Zähler" und mehreren "Nennern", und beobachtet, was dann passiert, nämlich z.B. ²/₃, ²/₄, ²/₅ ...)