.Die Richtlinien deuten an, dass es wenig sinnvoll ist, nach einem methodisch veränderten Unterricht weiterhin konventionelle Klausuren schreiben zu lassen:
"Orientierungswissen [über zentrale Ideen und fachliche Zusammenhänge; S. 28] sollte auch Gegenstand von Leistungsüberprüfungen (Klausuren) sein. Fragestellungen hierzu werden in der Regel die Darstellung von Zusammenhängen erfordern."
(S. 36)
"Es ist nicht sinnvoll, neue Inhalte und Methoden [nicht nur] für den Computereinsatz zu entwickeln und bei den Leistungsüberprüfungen alles beim Alten zu lassen."
(S. 48)
Damit deutet sich aber auch schon an, dass die Vergleichbarkeit mit nach konventioneller Methodik unterrichteten Kursen problematisch wird.
Der Abschied von konventionellen Klausuren kann durchaus schwer fallen:
sind die "neuen" Klausuren evtl. nicht mehr so einfach (wahr/falsch) und schnell zu korrigieren
(und LehrerInnen ersticken ja auch bisher schon unter Klausurenbergen),
ist Mathematik spätestens dann, wenn es um die Darstellung von Zusammenhängen geht (s. Lehrplan) nicht mehr so (grausam?) "objektiv" (auch bisher sowieso nur ein Mythos), sondern nähert sich Geisteswissenschaften.
Neue Methoden und neue Klausuren müssen passgenau aufeinander bezogen werden. Dafür soll im folgenden ein Beispiel entwickelt werden, das allerdings aus der Mittelstufe stammt (weil ich in Mathematik partout keine Oberstufenkurse bekomme).
Unbedingt wichtig für die Passgenauigkeit sind
die Art des Vorunterrichts,
der "allgemeine" Kenntnisstand der SchülerInnen im Hinblick auf Klausuren,
die "Poly-Multi-Klausur",
Überlegungen zur Notengebung.
zu 1.: die Art des Vorunterrichts
Vorweg: Es soll hier nicht diskutiert werden, ob und inwieweit der im Folgenden dargestellte Vorunterricht das Prädikat "selbstlernend" verdient, sondern nur, inwieweit veränderter Vorunterricht und neuartige Klausur zueinander passen.
Neu oder zumindest doch ungewöhnlich an diesem Unterricht ist vor allem die Betonung des "Orientierungswissens". Selbstlernansätze liegen in häufiger Gruppenarbeit vor. Der Computer wird "nur" als Mindmappingtool sowie zur Visualisierung von Funktionsgraphen eingesetzt.
Ziele des Unterrichts sind:
wie üblich Rechenfertigkeit, die keineswegs vernachlässigt werden soll,
gleichzeitig aber auch breites Übersichtswissen/Strukturmathematik. Z.B.
wie ganz grundsätzlich sehen Funktionsgraphen aus (und immer: warum?) bzw. als Spezialfall z.B. die Graphen kubischer Funktionen?
Standardherangehensweisen: wie viele Schnittpunkte mit der y-Achse und Nullstellen können Funktionen aus bestimmten Funktionsklassen haben?
"Dummheitsprinzip": kann man z.B. eine Funktion 3. Grades auf eine 2. Grades reduzieren (die man schon lösen kann)?
algebraische und geometrische Überlegungen sind fest aneinander gekoppelt (wobei ein CAS bzw. Funktionenplotter sehr hilfreich sein kann);
verschiedene Lösungswege und wann sie nahe liegen;
durchgehendes Thema des Unterrichts ist, wie man nicht bloß fertige Aufgaben ausrechnet (z.B. Gleichung → Nullstellen), sondern auch umgekehrt überhaupt erst zu klaren und aussagekräftigen Aufgaben kommt (Nullstellen → Gleichung).
Dadurch wird erheblich klarer, wieso (aus welchen algebraischen Gründen) sich welche graphischen Effekte ergeben.
Zwar hat das "umgekehrte" Vorgehen
den Nachteil, dass man oftmals bereits bekannte Lösungen nochmals ausrechnet (was langweilig sein kann),
aber auch den Vorteil, dass SchülerInnen eine Selbstkontrollmöglichkeit haben, aber auch sehen, das schöne (leichte) Aufgaben nicht vom Himmel fallen, sondern herstellbar sind. Letzteres kann den Effekt haben, dass sie sich vermehrt als "Herr(inn)en ihres eigenen [mathematischen] Geschicks" empfinden:
"ich konsumiere nicht mehr nur Aufgaben, sondern [er-]stelle sie mir selbst";
"ich werde doch wohl noch eine Aufgabe lösen können, die ich mir selbst gestellt habe".
Kommt hinzu, dass die SchülerInnen Spaß daran entwickeln, sich Aufgaben auf ein bestimmte Ziel hin zu entwickeln
(z.B. ein spezielles Aussehen des Funktionsgraphen).
Verändert ist auch die Arbeitsweise im Vorunterricht:
die SchülerInnen führen im Unterricht permanent ein (rein fachliches) "Lerntagebuch",
dieses Lerntagebuch wird immer wieder ergänzt und in eine neue sinnvolle Reihenfolge/Hierarchie gebracht, wobei insbesondere Allgemeines und Spezielles herausgearbeitet und gegeneinander gestellt sowie Querverbindungen hergestellt werden
(hier ist der Einsatz eines Mindmappingtools sehr hilfreich).
zu 2.: der "allgemeine" Kenntnisstand der SchülerInnen im Hinblick auf Klausuren
Auch wenn die direkt vorher liegende Unterrichtsphase gut die neue Klausurart vorbereitet hat, kann man den SchülerInneN doch aus mehreren Gründen nicht völlig neuartige Klausuren "antun":
sind die SchülerInnen nun mal konventionelle Klausuren gewohnt und wären durch völlig neuartige Klausuren nur irritiert,
behält die konventionelle Aufgabenmethodik ja durchaus ihren Wert,
brauchen insbesondere leistungsschwächere SchülerInnen einen Leitfaden, also klassische Aufgaben (tue erst dies, dann das; löse, forme um usw.).
Erfahrungsgemäß sind SchülerInnen keineswegs auf Anhieb glücklich mit neuartigem Unterricht und insbesondere neuartigen Klausuren: Weil nicht mehr alles so klar vorgegeben ist, "bocken" sie und wollen gerne die alten, sicheren Methoden wieder haben. Man muss sie also probeweise mal zu ihrem neuen "Glück" zwingen, aber auch absehbare Ängste frühzeitig auffangen.
In der unten vorgeschlagenen Klausur umrahmen aus diesem Grund bewusst die konventionellen Aufgaben die neuartige Aufgabe, denn ein Rahmen gibt Sicherheit.
zu 3.: die "Poly-Multi-Klausur"
Den Namen "Poly-Multi-Klausur" hat eine Schülerin für diese Klausurart geprägt.
Im Folgenden geht es "nur" um die Wiederentdeckung des guten alten "mathematischen Aufsatzes", der in letzter Zeit auch und gerade im Zusammenhang mit neuen Medien wieder diskutiert wird; vgl. z.B. .
Der Aufgabenzettel:
| Vorbemerkung:
Teil A: Pflicht
Teil B: Kür
Teil C: weiterführende Aufgaben
|
Teil A und C sollen hier nicht weiter erläutert werden, weil sie die "klassischen" Teile sind.
Für den Teil B dürfen die SchülerInnen einen vorbereiteten Stichwortzettel mitbringen, denn gerade bei solch einer offenen Aufgabenstellung kann man ja Dinge schlichtweg vergessen, die man aber durchaus beherrscht (passives/aktives Wissen).
Mit diesem Stichwortzettel gehen zweifelsohne (mehr als sonst auch schon) Vorleistungen aus der Zeit vor der Klausur in die Klausurnote ein. Es ist zudem kein Versehen, sondern durchaus Absicht, dass die SchülerInnen diesen Stichwortzettel vorher in Gruppen erstellen. Dennoch trägt natürlich jedeR SchülerIn die Verantwortung für ihre/seinen Zettel.
Damit diese Stichwortzettel aber nicht schon alles enthalten, was in der Klausur abgeprüft werden soll, dürfen sie - wie der Name schon sagt - nur Stichworte, nicht aber
Merksätze,
Formeln/Gleichungen,
Graphen
enthalten (auch nicht in verbalisierter Form).
Der Stichwortzettel ist zwecks Kontrolle mit der Klausur abzugeben. Denkbar wäre es auch, ihn am Tag vor der Klausur einzusammeln und auf Einhaltung o.g. Kriterien zu überprüfen.
zu 4.: Überlegungen zur Notengebung
Neue Probleme ergeben sich natürlich bei der Bewertung von Teil B, weil die Kriterien erheblich vielfältiger als in einer konventionellen Klausur sind:
sachliche Richtigkeit,
Systematik und Hierarchie,
Überblick,
Ordnung (auch Anordnung im Heft, optische Gestaltung),
Verständlichkeit,
korrekte Fachsprache.
Die SchülerInnen erleben in solch einer Klausur ein Problem, das sie auf diese Art eher in Deutscharbeiten haben (womit ein Schüler auch prompt verglich): "ich hätte noch so viel sagen können, aber leider blieb mir keine Zeit mehr" (was etwas ganz anderes ist als in konventionellen Mathematikarbeiten, wenn man zu gewissen Aufgaben einfach nicht mehr gekommen ist).
(Dennoch haben in der Klausur einige SchülerInnen ihre Hefte vor Ende der offiziellen Arbeitszeit abgegeben.)
Zusätzlich zu o.g. Kriterien ist also auch die begründete exemplarische Auswahl Bewertungskriterium, woraus dringend folgt, dass sie auch schon im Vorunterricht geübt worden sein muss. D.h. die o.g. Arbeitsanweisung "in sinnvoller Reihenfolge" muss im Vorunterricht mit Inhalt gefüllt worden sein.
In einer solchen Klausur, wie sie oben dargestellt wurde, gibt es nicht mehr eine allgemeingültige Punktewertung (die auch in den üblichen Klausuren nur in Grenzen objektiv ist!), sondern es muss individuell gewertet werden, und zwar schon allein deshalb, weil der eine Schüler dieses, die andere Schülerin jenes Thema in den Vordergrund stellt.
D.h. aber eben gerade nicht, dass sämtliche Vergleichskriterien abhanden kommen. Es besteht eben beispielsweise durchaus ein Unterschied zwischen
der reinen Kenntnis der p/q-Formel für quadratische Funktionen,
der Fähigkeit, sie auch anzuwenden (p und q richtig einzusetzen) und auszuführen (x 1 und x 2 korrekt zu erhalten),
dem reinen Wissen um die Bedeutung der Diskriminante (wenn D > 0, dann ...),
dem Wissen, warum sich etwas (erst mal nur algebraisch) an der Diskriminante entscheidet,
dem Wissen, was die Diskriminante über das Aussehen des Graphen besagt,
der allgemeinen Herleitung der p/q-Formel.
Weil solch eine Klausur, wie sie oben vorgeschlagen wurde, ein Experiment ist, muss sie entsprechend vorsichtig und wohlwollend zensiert werden. Das liegt auch daran, dass bei solch einem Experiment die Maßstäbe teilweise erst am Ergebnis gewonnen und variiert werden müssen.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Das heißt keineswegs, dass nun in einem solchen Experiment gute Noten verschenkt bzw. schlechte Noten ausgespart werden. Ob jemand zumindest Grundlagen (nicht) begriffen und (nicht) geübt hat, bleibt auch in der vorliegenden Klausurart überdeutlich.
Um die Ergebnisse kurz zusammenzufassen:
Die tatsächlich geschriebene Klausur zeigt im Aufsatzteil, dass die allermeisten SchülerInnen ein großes, wenn auch teilweise unsortiertes Wissen haben.
Einige wenige SchülerInnen wissen die Chance, die sich insbesondere aus dem Stichwortzettel ergibt, überhaupt nicht zu nutzen.
Andere richten ein einziges zwar weitgehend richtiges, aber völlig unsortiertes und unübersichtliches Tohuwabohu an.
Einige wenige Arbeiten ragen auf verschiedene Weisen heraus:
(fast) komplette Darstellung aller möglichen Fälle,
sehr übersichtliche Darstellung (z.B. Durchnummerierung, Absätze, aber auch Farben ...),
klare Differenzierung (beispielsweise der Nullstellenzahl) bei gleichzeitig immer erkennbarem Überblick,
Darstellung jeder allgemeinen Erkenntnis an einem Beispiel (konkrete Funktionsgleichung und Graph),
instruktive konkrete Beispiele,
theoretisch-deduktives Vorgehen.
Einziger Fehler bei ausnahmslos allen SchülerInnen (obwohl auch nichtstetige Funktionsgraphen behandelt worden waren): angeblich haben alle Funktionen einen Schnittpunkt mit der y-Achse.
Nur darf man sich über diesen Fehler kaum wundern, wenn (in einer 9. oder 10. Klasse fast naturgemäß) nicht-stetige Funktionen nur äußerst sporadisch und dann fast als graphische Kuriosa behandelt wurden.
Gewisse "Einbrüche" gibt es bei (wenigen) SchülerInnen, die sonst relativ leistungsstark in Mathematik sind. Ihr Metier ist wohl weniger die Ausformulierung von Zusammenhängen als vielmehr das möglichst konkrete "Knacken" von Problemen (Aufgabe 5 oben).
Umgekehrt fällt auf, dass gewisse SchülerInnen notenmäßig aufsteigen, die sonst vor allem zu Rechenfehlern neigen.
(Denn das wird man ja auch mal fragen müssen [und ist mir mal erst nachträglich an einer speziellen Mathematikarbeit aufgefallen]: Ist es eigentlich zu vertreten [oder nicht vielmehr einfach nur fast schon bösartig nachtragend], dass SchülerInnen manchmal zwar durchaus den neuen Stoff beherrschen, aber an ewig alten Fehlern scheitern - und deshalb "rein rechnerisch" doch wieder nur ein "mangelhaft" bekommen?
Was ja nicht heißt, die Beherrschung zurückliegenden Stoffs [also auch grundlegende Rechenfertigkeiten] gar nicht mehr werten zu wollen.
Man wird sich, soweit man beim ewigen Korrigieren überhaupt Zeit dazu hat, immer wieder ermahnen müssen, Klassenarbeiten individuell und umfassend statt nur in Aufgabenreihenfolge zu betrachten.)
Insgesamt ähneln einander weitgehend
Leistungen im konventionellen und im Aufsatzteil,
derzeitige und frühere Leistungen.
Die Form des Stichwortzettels spiegelt sich insofern in der Klausur wider, als sinnvolle Vorsortierungen natürlich übernommen werden. Wenig Einfluss auf die Leistung in der Klausur hat hingegen anscheinend der reine Umfang des Stichwortzettels.
Es ist eine Banalität, dass nach verändertem ("selbstlernendem") Unterricht auch veränderte Klausuren zu folgen haben. Und doch sagt sich das so einfach - und ist es sowieso kaum möglich, wenn man spätestens in der Klausur doch wieder nicht von der (richtig-/falsch-)Ergebnisorientierung abgeht.
Dabei gäbe es durchaus andere, auch textorientiertere Wege
(wobei ich unter Text mehr verstehe als die ja durchaus noch übliche und auch gar nicht zu verachtende Konstruktionsbeschreibung):
als simpelstes Mittel: Lückentexte,
Darstellung eines im Unterricht erarbeiteten Zusammenhangs in einer "Mindmap"
(z.B. s.u.: "Möglichkeiten bei kubischen Funktionen"),
Darstellung nur der grundsätzlichen Probleme einer Aufgabe
(und eben noch nicht der Lösung),
Darstellung der Überlegungen zu einem Lösungsweg
(d.h. dann auch: großzügige Benotung, wenn jemand entscheidende Strukturen entdeckt oder interessante Zugänge entwickelt, auch wenn er zu keinem Ergebnis kommt),
Verbesserung gegebener Texte,
Korrektur falscher Rechnungen inkl. (u.a. verbaler) Begründung;
"mathematischer Aufsatz" (s.o.)
Meiner Meinung nach sollten in Klausuren in der Tat sehr viel mehr Gedankengänge angerissen als komplette Aufgaben gerechnet werden, also z.B.
"Es liegt eine ganzrationale Funktion 3. Grades vor,
deren Graph s-förmig ist,
die mindestens eine Nullstelle hat und höchstens drei Nullstellen haben kann
(die man z.B. mit der Polynomendivision herausbekommen kann),die ein Maximum und ein Minimum haben kann
(welche man mittels f ´(x) berechnet und mittels f ´´ (x) bestätigt;
Sonderfälle: Berühr- und Sattelpunkte);die einen Wendepunkt haben muss
(wieder inkl. Andeutung des Rechenwegs)..."
Es reicht doch, dass SchülerInnen an einem Beispiel zeigen, dass sie sowas auch rechnen können.
Keine Frage: sowas muss langfristig im Unterricht vorher geübt worden, d.h. die Kriterien für einen "guten" Text müssen deutlich gemacht worden sein!
Vgl. auch 
eine weitere Klausur zu Funktionen.