Die Methode liegt im Detail: Überlegungen an einem Beispiel

	Vorüberlegungen
	Mittelsenkrechte und Umkreis
		vier Aufgabenvorschläge
			erster Aufgabenvorschlag
			zweiter "Altherren"-Aufgabenvorschlag
			dritter "Zelt"-Aufgabenvorschlag
			vierter Aufgabenvorschlag (vom Kreis aus gedacht)
		Vergleich zweiter/dritter Aufgabenvorschlag
			Überlegungen zum Einsatz von DGS (dynamischer Geometrie-Software)
		Entscheidung für den zweiten Aufgabenvorschlag
		Ausarbeitung einer Unterrichtseinheit zum zweiten Aufgabenvorschlag
			schon konkretere Vorüberlegungen
		lange Rede, kurzer Sinn:
			die konkrete "Während"-Bereitung

Vorüberlegungen

vgl. Abschied "von den "Großmethoden"

Wir kommen nicht um die mühsame Kleinarbeit herum, uns ab und zu mit einzelnen Unterrichtsmomenten

 zu beschäftigen, uns zwar insbesondere mit folgenden Details:

1. mit der Frage, warum welche Aufgabe gewählt wird und wie genau sie formuliert werden muss;

2. mit der Vor-, Während- und Nachbereitung einer Stunde,

wobei mich hier insbesondere die "Während-Bereitung" interessiert, also die Planung der einzelnen Schritte in einer Stunde (soweit sie voraussehbar sind).

Es reicht also beispielsweise nicht (ist noch lange keine Methode), den SchülerInnen eine "Partnerarbeit" (etwa vor einem Computer) zu verordnen und sie dann einfach vor sich hin "bosseln" zu lassen; sondern es ist zu überlegen, was sie dann tun sollen - und wann die Lehrkraft (oder das Programm?) welche Hilfe gibt bzw. ob überhaupt Hilfen gegeben werden.
Jede solche Entscheidung ist probeweise zu begründen bzw. methodisch zu reflektieren.
Oder wann wird der Rechner eingesetzt (und warum?) - und wann nicht?
"Während-Bereitung" heißt selbstverständlich nicht, dass der Unterricht minutiös vorgeplant ist und die SchülerInnen nur noch "Erfüllungsgehilfen" (Antwortmaschinen) sind. Aber auch und gerade die Freiheit muss vorbedacht werden, wenn sie nicht zur die SchülerInnen nur verunsichernden Beliebigkeit verkommen soll.

Ich wähle im Folgenden als Beispiel bewusst einen Standardstoff (und zwar zufällig aus der Mittelstufe), unterstelle dabei aber, dass viele der angestellten Überlegungen problemlos auf andere Bereiche (auch in der Oberstufe) übertragbar sind.

Mittelsenkrechte und Umkreis

Sicherlich wären auch Überlegungen anzustellen (was ich mir hier mal spare), warum Mittelsenkrechte und Umkreis überhaupt erarbeitet werden sollen, d.h. welchen inner- und außermathematischen "Nährwert" sie haben.

(Im Zeitalter der überbordenden und trotzdem noch weiter zunehmenden Stofffülle gehört unvoreingenommen jeder Einzelstoff auf den Prüfstand der [auch innermathematischen] Notwendigkeit! Vgl.   "Stoffbegrenzung tut not")

Getreu dem Vorhaben, möglichst viel selbst entdecken zu lassen, werden Mittelsenkrechte und Umkreis nicht vorher theoretisch erarbeitet und dann nur auf unten genannte Aufgaben "angewandt". Die bisher übliche fast grundsätzliche Anwendung nach der theoretischen Erfassung (wobei dann schon immer klar ist, was angewandt werden soll) scheint mir ja gerade zu den Problemen geführt zu haben, die sich in PISA gezeigt haben.

Die unten angedachten Aufgaben stehen also am Anfang aller Arbeit zum Thema und vielleicht auch ganz am Anfang einer (erneuten) geometrischen Unterrichtseinheit. Einzige Voraussetzungen sind (die Konstruierbarkeit von) Strecke, Gerade, rechter Winkel und Kreis.

Größter Ehrgeiz bei der Aufgabenerstellung ist es nun, sie so offen zu stellen, dass ansonsten

1. nichts vorgegeben wird, also noch alles zu entdecken bleibt;

2. unterschiedliche (auch außermathematische) Antwortmöglichkeiten vorliegen

(was letztlich natürlich eine Fiktion bleibt, da die Aufgabe nun mal im Mathematikunterricht läuft;
mehr noch: nach langjähriger Gewöhnung neigen SchülerInnen dazu, nur noch mathematisch [genauer: im jeweils gerade anstehenden Unterrichtsstoff] denken zu können - was ihnen erst wieder durch tatsächlich vielschichtige Aufgaben  auszutreiben ist).

Mit den u.a. nichtmathematischen Antwortmöglichkeiten stellt sich auch die Frage, inwieweit überhaupt bzw. insbesondere mathematische Ansätze hilfreich sein können.
(Auch hier sei wieder ein Bezug auf PISA erlaubt: die dort gestellten Aufgaben

• sind oftmals gar nicht bzw. nicht eindeutig mathematisch, sondern fragen beispielsweise auch nach tieferem Textverständnis
  (vorverweisend schon auf die zweite Aufgabe unten: mathematische "Gerechtigkeit" ist da nur eine unter vielen - und manchmal geradezu absurd);

• geben, falls sie mathematisch sind, in der Regel nicht die Lösungsrichtung vor.)

1. Aufgabenvorschlag:

Diesen Aufgabenvorschlag (samt internetfähigem Dynamik-Programm) habe ich durch puren Zufall im Internet gefunden (vgl. ):

Der Vorschlag ist so standardmäßig, dass es kaum noch standardmäßiger geht - was ja noch nicht an sich schlecht ist. Vor allem fällt aber doch auf, dass schon fast alles vorgegeben ist:

1. das zu behandelnde Dreieck (seine Koordinaten)
   (wobei unbedingt erwähnt sei, dass solch feste Vorgaben durchaus Sinn machen können: nämlich wenn es - aus welchem Grund auch immer - wichtig ist, dass sämtliche SchülerInnen am selben "Material" arbeiten;
   im vorliegenden Fall scheint mir das aber nur kontraproduktiv, da doch gezeigt [entdeckt?] werden soll [der "Gag" gerade darin liegt], dass das Verfahren für alle Dreiecke gilt);

2. insbesondere aber am Ende die (Um-)Kreisidee
   (die nebenbei auch schon durch die Anwesenheit des entsprechenden Buttons suggeriert wird, durch den wiederum ein sehr schwierig zu handhabender, wenn nicht gar widersinniger Kreis zustande kommt;
   mittels des Kreisbuttons - und das ist die entscheidende Vorgabe - kann dann nur noch bestätigt werden, dass ein Umkreis vorliegt).

Ich spare es mir aber ansonsten, diesen ersten Vorschlag noch genauer etwa im Hinblick darauf zu problematisieren, ob die mitgegebenen "Hilfen" sinnvoll sind.

Sondern ich verfahre pauschal: In diesem Aufgabenvorschlag werden

• sowohl die Möglichkeiten des Selbstentdeckens

• als auch die Möglichkeiten einer dynamischen Geometriesoftware

nicht genutzt, sondern durch zu enge Vorgaben systematisch vergeben.

Und ich erwähne den Vorschlag überhaupt nur, weil er zufälliger Anlass all meine folgenden Überlegungen war.

Ansonsten ist der Vorschlag schon jetzt endgültig aus der Konkurrenz ausgeschieden!

2. Aufgabenvorschlag:

Einige Anmerkungen:

1. Die Aufgabe mag auf den ersten Blick machohaft-sexistisch wirken, weil sie Frauen ausschließt und "Herrengespräche" (vgl. sexistische bzw. letztlich nur die "Herren" entlarvende "Herrenwitze") andeutet.

• Einerseits aber muss solch ein Treffen wahrhaft nicht auf solchem "Niveau" enden und ist die Reflexion von "Männlichkeit" unter Männern noch lange nicht sexistisch, sondern im Gegenteil ab und zu sogar wichtig.

(Arme Männer, die "nur" eine Frau bzw. FreundINNEN "haben"!)

Außerdem scheint mir, dass die Aufgabe eben gerade nicht die Frauen, sondern eher die dicklich werdende Männlichkeit "verhohnepipelt" (Julius Caesar: "Lasst dicke Männer um mich sein!").

(Die Aufgabe könnte sogar Anlass bieten, zumindest anfangs mit den SchülerInnen über solch außermathematische, geschlechtsspezifische Dimensionen zu reden, also nicht nur zu sagen, dass sich die Herren treffen, sondern auch genauer zu reflektieren, warum und wie sie es wohl tun werden.
Und nebenbei: Frauen treffen sich auch mal ganz gerne auf ein Frauengespräch, d.h. die Aufgabe ist problemlos umkehrbar.)

• Andererseits aber wurde die Aufgabe (und darum allein gehts mir) bewusst auf diesen entscheidenden Punkt hin konstruiert: wenn alle (männlichen) ehemaligen Klassenkameraden verheiratet sind, werden sie wohl kaum Lust haben, sich reihum bei ihnen zu Hause zu treffen (was ja auch eine "gerechte" Lösung wäre), eben weil die Frauen bei dem spezifischen Anlass "nichts zu suchen" haben.
  Es sollte also sozusagen ein "Fallstrick" eingebaut werden, um verschiedene mögliche Antworten gegeneinander abzuwägen - und einige auszuschließen.

2. kann die Aufgabe mit ihren dicklichen älteren Herren wohl kaum für sich in Anspruch nehmen, jugendnah zu sein (darauf wird zurückzukommen sein).

Bei Veranschaulichungsaufgaben ist auch nicht so sehr der direkte Lebensbezug als vielmehr die Vorstellbarkeit wichtig: es geht um räumliche Entfernungen, nicht um die Personen. Und deshalb können sich da ruhig ältere Herren statt Jugendliche treffen. Oder anders gesagt: die Aufgabe wird keinen Deut "lebensnaher", wenn man dasselbe Spiel mit Jugendlichen treibt. Mir scheint sogar: die permanent gesuchte Lebensnähe für Jugendliche ist oft nur Anbiederung, die die Jugendlichen sehr schnell durchschauen werden.

(Aufgaben dürfen wohl - statt angewandt - lustig, nicht aber anbiedernd sein. Also z.B.:

"Die Heiligen Drei Könige sind auch nicht mehr die Jüngsten. Wo sollte die auch ansonsten so hilfsbereite Maria mit Jesus niederzukommen geruhen, damit alle Drei Könige einen gleich langen Anmarsch haben?"

Weil diese Aufgabe erst gar nicht vorgibt, eine (meist nur "eingekleidete") Anwendung zu sein, ja weil sie eben solche Anwendung ironisiert, ist sie überhaupt erst glaubwürdig, nämlich nur das, was sie sein will: anschaulich.

Derselben liebevollen Ironisierung dienen - nebenbei gesagt - auch die "angeblichen" Lausbubenstreiche sowie das Feuerzangenbowle- und das "Durstiger-Mann"-Bild auf dem Aufgabenblatt beim "Altherren"-Beispiel, wobei es dahingestellt sei, ob die SchülerInnen den Film überhaupt kennen und damit die Anspielung verstehen. Beim "Durstigen Mann" müssen sie hingegen nur den "Bauchansatz" sehen sowie den Umstand, dass der Mann offensichtlich entsetzlich "transpiriert" und noch eine "long and winding road" vor sich hat.)

3. ist die Aufgabe auch keine echte "Anwendungsaufgabe" (aber eben auch nicht so simpel wie üblich eingekleidete Mathematik).
   Das Problem ist halt, dass es (wie wir auch beim dritten Aufgabenvorschlag sehen werden) im Alltag überhaupt keine (?) Anwendung der Mittelsenkrechten oder gar des Umkreises (was noch ein besonderes Problem werden wird!) gibt:

Selbst wenn das "Herrentreff"-Problem real sein mag, so ist es doch keineswegs seine mathematische Lösung: kein Mensch wird zwecks Auffindung eines Treffpunkts Mittelsenkrechte (auf eine Landkarte) zeichnen, sondern

• entweder intuitiv entscheiden ("Appelhülsen liegt etwa in der Mitte")
• oder aber nach ganz anderen Kriterien entscheiden
  ("von A, B und C aus ist D am besten erreichbar [z.B. über Autobahnen oder mit der Bahn]:
  • "realer" als die Luftlinienentfernung ist oftmals z.B. die Entfernung in Straßenkilometern;
  • "gerechter" als gleiche Entfernung kann z.B. gleicher Zeitaufwand sein, der unseren Herren bei ihrer sprichwörtlichen Faulheit vermutlich wichtiger sein wird.)

Die Aufgabe ist also - wie so oft - keine Anwendungs-, sondern "nur" eine Veranschaulichungsaufgabe.
(Man achte drauf: auch 99 % aller PISA-Aufgaben erfüllen auch "nur" letzteres, nicht ersteres Kriterium!)

Die einzige Frage, die hier also zählen soll, ist, ob die "Herrenaufgabe" für einen offenen Erkenntnisprozess geeignet ist - und wie genau sie zu diesem Zweck konstruiert ist.

1. fängt der Text mit "Ehemalige Klassenkameraden" sprachlich ungewohnt an: eigentlich erwartet man vorweg eine Zahlangabe wie z.B. "drei" oder "einige" oder "mehrere". Darauf wurde bewusst verzichtet, weil sowohl "einige" als auch "mehrere" immer ≥ 3 suggerieren, wir aber aus noch zu klärenden Gründen ≥ 2 brauchen (was ebenfalls eine feste Zahl wie z.B. "drei" ausschließt), denn.
   hinter dieser Offenheit steckt natürlich Absicht: dass nämlich folgende Unterschiede klar erkannt werden:

• bei zwei Herren braucht man nicht mal die Mittelsenkrechten (gibt es keinen Anlass, überhaupt auf sie zu "kommen"), sondern reicht der Streckenmittelpunkt;
• dennoch muss man mit zwei Herren anfangen, um das Problem für drei erledigen zu können
  (gerade dieser auf Anhieb nicht ersichtliche "Umweg" wird unten zu erheblichen methodischen Schwierigkeiten führen);
• bei drei Herren gibt es (fast) immer eine Lösungsmöglichkeit;
• bei vier und mehr Herren gibt es hingegen (fast) nie eine Lösungsmöglichkeit ("Gerechtigkeit").

2. wurde bewusst offen gelassen, ob die Klassenkameraden an unterschiedlichen Orten oder (zumindest einige von ihnen) am selben Ort

(z.B. nach wie vor dem ehemaligen Schulort, über dessen Tellerrand die behäbigen Herren ihr Leben lang nicht hinaus geschaut haben)

wohnen, woraus sich interessante unterschiedliche Konsequenzen im Hinblick auf die "Gerechtigkeit" in der abschließenden Aufgabenstellung ergeben.
Überhaupt wurde nicht gesagt, an welchen Orten NRWs die ehemaligen Schulkameraden wohnen. Es bleibt einer späteren Aufgabenstellung vorbehalten, z.B. folgendermaßen (und doch eben nur partiell) einzugrenzen:

• Ex-Klassenkamerad A wohnt in einem Ort, der mit A anfängt (Aachen, Arnsberg ...),
• Ex-Klassenkamerad B wohnt in einem Ort, der mit B anfängt (Bocholt, Bielefeld ...),
• Ex-Klassenkamerad C wohnt in einem Ort, der mit C anfängt (einzige Möglichkeit laut Karte ist da Coesfeld),
• Ex-Klassenkamerad D wohnt in einem Ort, der mit D anfängt (Dortmund, Detmold ...).

Das hat immerhin schon den Vorteil, dass sich unterschiedliche Dreiecke ergeben - und insbesondere solche mit völlig unterschiedlichen Formen und evtl. einem Treffpunkt, der erstaunlicherweise außerhalb NRWs liegt.

(Dennoch sollte die A-B-C-D-Zuordnung erst in einem zweiten Schritt erfolgen, damit die allemal interessante Möglichkeit, dass mehrere Herren im selben Ort wohnen, nicht voreilig ausgeschlossen bzw. nur noch künstlich rückholbar ist.)

Gerade das ist ja beabsichtigt:

• dass verschiedene SchülerInnen an völlig unterschiedlichen Dreiecken arbeiten und sich dennoch jeweils Lösungen ergeben; womit immerhin die Frage im Raum steht, ob das wirklich für alle Dreiecke gilt (Beweiswunsch);
• dass der Treffpunkt weit außerhalb NRWs liegen kann, was sowohl einen inner- als auch einen außermathematischen Zweck hat:
  • innermathematisch: der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten kann

(im gewichtigen Gegensatz zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden)

außerhalb des Dreiecks liegen;

• außermathematisch: der Schnittpunkt kann extrem weit außerhalb liegen

(die Klassenkameraden wohnen keine 100 m voneinander entfernt, aber der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt in Timbuktu),

d.h. die "geometrisch gerechte" Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist tatsächlich absurd.

Nebenbei wären hier noch Zweifel an oben gezeigter Karte von NRW anzumelden

(es war halt auf die Schnelle keine bessere mit möglichst vielen verschiedenen Städten auffindbar):

• die eingezeichneten Regierungsbezirke sind ebenso funktionslos (wenn nicht irritierend oder gar irreführend) wie die eingezeichnete Grenze zwischen dem Rheinland und Westfalen;
• einer Überlegung wert wäre es auch, ob die NRW-Karte trotz allem - z.B. schattiert -  auch Gebiete außerhalb NRWs zeigen sollte, so dass der Überraschungseffekt um so größer wäre, wenn unsere Herren, obwohl doch alle Deutsche (und sogar in einem fiktiv "konvexen" NRW), sich etwa in Holland treffen müssten.

3. wurden bewusst alle Worte vermieden, die schon in mathematische Richtung deuten, also z.B. "gleich weit entfernt" (auch "unnütze Bewegungen" lässt offen, ob damit die Zeit oder die Entfernung gemeint ist). Dementsprechend wird am Ende auch bewusst unmathematisch, nämlich nach Gerechtigkeit gefragt, die überhaupt erst zu füllen ist - und (auch innermathematisch!) durchaus unterschiedlich gefüllt werden kann

(eine innermathematishe Alternative zum Umkreismittelpunkt läge etwa dann vor, wenn

• zwei der drei Ex-Schüler aus derselben Stadt kämen
• oder wenn ihre drei Heimatstädte auf einer Geraden lägen, d.h.
  • der Umkreismittelpunkt nicht zustande käme
    [eine obligatorische Betrachtung bei der Erarbeitung der Mittelsenkrechten],
  • eine Minimierung der Entfernungssummen sinnvoller wäre
    [eine fakultative Betrachtung].)

3. Aufgabenvorschlag:

Als besonderes Problem wird es sich herausstellen, den (Um-)Kreis einzubringen - es sei denn, man gibt ihn von Anfang an mehr oder weniger "eingekleidet" etwa folgendermaßen vor:

4. Aufgabenvorschlag

In der Tat lässt sich daraus viel machen

(man muss ja von "gleich weit entfernt" erst wieder auf den Kreis zurück schließen).

Aber die Aufgabe hat doch auch drei entscheidende Nachteile:

1. ist - wie in der dritten Aufgabe - der entscheidende mathematische Hinweis (nämlich die Frage nach der Entfernung) schon gegeben;
   (noch der geringste Nachteil, weil er leicht dadurch zu beseitigen wäre, dass man "gleich weit entfernt" durch "bequem zu erreichen" ersetzen würde!?)

2. ist die Frage allzu suggestiv, d.h. werden SchülerInnen zu Erfüllungsgehilfen des Nachweises gemacht, dass es (natürlich!?) möglich ist, den Tisch wie o.g. zu stellen; woraus auch schon folgt:

3. und vor allem aber ist die eigentliche Dramatik futsch:

• beim (in allen anderen Aufgaben vorhandenen) Schluss "Dreieck → Kreis" ist es doch höchst erstaunlich, dass es tatsächlich zu jedem (noch so "unförmigen" oder riesengroßen/klitzekleinen) Dreieck einen genau passenden Umkreis gibt;

• der Umkehrschluss "Kreis → Dreieck" (wie er in der hier behandelten 4. Aufgabe vorliegt), dass man nämlich in einen vorgegebenen Kreis unterschiedlichste Dreiecke (mit den Ecken auf dem Kreis) legen kann, ist hingegen wenig erstaunlich bis geradezu banal.

... weshalb hiermit auch diese 4. Aufgabe umgehend aus der Konkurrenz ausscheidet!

Nach dem kleinen Exkurs zum 4. Aufgabenvorschlag seien nun die beiden einzig übrig gebliebenen Vorschläge, also der 2. ("Altherren")- und der 3. ("Zelt"), verglichen, wobei sich als markante Unterschiede zeigen:

1. ist die dritte Aufgabe (nur scheinbar) jugendgemäßer;

2. wird das mathematische Kriterium ("gleich weit") in der 3. Aufgabe schon vorgegeben
   (was sich allerdings im Sinne der zweiten Aufgabe nachbessern ließe);

3. kommt mit der Bewegung Charlys am Fluss entlang schon eine ganz andere, folgenreiche Dimension in die Aufgabe.

Zu 2.: Die enge Formulierung "gleich weit" scheint mir in doppeltem Sinne kontraproduktiv:

• andere (inner- oder außermathematische) Lösungswege werden prinzipiell ausgeschaltet und deshalb

• wird nicht so eindeutig die Absurdität einiger mathematisch durchaus richtiger Lösungen deutlich werden
  (es sei denn, der Tisch müsste bei einer bestimmten Zeltanordnung mitten im Fluss stehen; was allerdings für MathematikerInnen kein Problem ist: dann erfinden sie eben kurzerhand ein Floss hinzu;
  auf solche manchmal unvermeidbar [?] nachträgliche, aber eben auch ein wenig hinterhältige Ergänzungen wird unten zurückzukommen sein).

Zu 3.: Hier zeigt sich erstmals ein entscheidender Unterschied im Hinblick auf einen Computereinsatz
(DGS = Dynamische Geometrie-Systeme wie z.B. Cabri, Cinderella oder DynaGeo/Euklid):

• das Zeichnen von (wenigen) Einzelfällen mit der Hand ist allemal sinnvoller als der Einsatz eines Computers:

  • weil man doch erst mal dessen Handhabung lernen müsste;

  • weil das Zeichnen von Hand - und das ist ein entscheidendes Argument! - "handgreiflicher" ist;

• der Computereinsatz ist überhaupt erst sinnvoll (dann aber jedem Zeichnen per Hand überlegen), wenn Dynamisches (viele Fälle nacheinander) gezeigt werden, also der "Zugmodus" benutzt werden soll.

Und dennoch darf der Einsatz des Computers natürlich niemals Selbstzweck sein, sondern hängt er davon ab, was man zeigen bzw. erfahrbar machen will.

Um es an unseren beiden übriggebliebenen Aufgaben zu problematisieren:

Im 2. "Altherren"-Aufgabenvorschlag gibt es von der Aufgabenstellung her kaum einen Grund, zur Dynamik überzugehen, während diese im 3. "Zelt"-Aufgabenvorschlag schon mitgegeben ist.
(Natürlich ließe sich auch der 2. Aufgabenvorschlag dementsprechend nacharbeiten, indem z.B. einer der Herren andauernd [ein bisschen gewollt: entlang einer Gerade] umzieht.)

Wenn man nun aber die Dynamik aus gutem (mathematischem!) Grund nicht missen will, ist zu fragen, wann (und wie) sie sinnvollerweise einzubringen wäre:

• gibt man sie wie im 3. Beispiel vor,
• oder gibt es im 2. Beispiel eine Möglichkeit, sie nachträglich einzubringen, ja überhaupt erst sukzessive entdecken zu lassen
  (nebenbei: "entdecken lassen" hört sich wie ein "Widerspruch in sich" à la "jetzt sei doch endlich mal spontan" an)?

Zur Entscheidung dieser Frage ist genauer zu untersuchen, was mit einer DGS überhaupt machbar ist:

DGS sind in doppeltem Sinne dynamisch:

1. sind sie geometrisch dynamisch, d.h. die SchülerInnen können gegebene Figuren per (oftmals auch gegebenem) Zugmodus verändern;
   das ist insbesondere der Fall bei ganz "eng gestrickten" Programmen (wie z.B. den meisten in meiner "Bewegten Mathematik"), in denen schon (fast) alles vorgegeben ist:

• die Figur,
• bestimmte Zugrichtungen.

Sowas kann durchaus Sinn machen, um etwa die Blickrichtung der SchülerInnen zu fokussieren bzw. wenn ein spezielles Problem betrachtet werden soll.
Ersteres (die Fokussierung der Blickrichtung) ist allerdings meist auch der größte Nachteil solch "enger" Programme: sie geben allzu suggestiv vor, was eventuell erst entdeckt werden könnte.

Allemal so eng gestrickt ist o.g. erster Aufgabenvorschlag. Aber auch o.g. dritter "Zelt"-Aufgabenvorschlag enthält solch eine Eingrenzung: zwar können die SchülerInnen die Zelte und den Fluss legen, wohin  sie wollen, aber die Bewegung von Charlys Zelt soll auf einer Geraden erfolgen.

Auch für solch eine Beschränkung gibt es durchaus gute Gründe: vermutlich soll ja wohl erreicht werden, dass Charlys Zelt auch mal in einer Linie mit Arnos und Bertas Zelt liegt, was bei der vorgegebenen Bewegung auf einer Geraden (fast) garantiert irgendwann mal passiert.

Solch ein Vorgabe hat aber auch entscheidende Nachteile:

• alles ab dann Erkennbare gilt allzu suggestiv nur für den Spezialfall einer linearen Bewegung, die aber gerade nicht konstitutiv für das Problem ist (die Gerade ist nur Mittel, nicht Zweck);
• die Programmierung ist für SchülerInnen keineswegs einfach (beweglicher Punkt auf einer festen Geraden).

2. DGS erlauben den SchülerInnen Eigendynamik, d.h. weitgehende Freiheit in der Wahl sowohl der Figuren als auch der dynamischen Veränderungen (Richtungen).

Wie fast immer ist solch ein Vorteil aber nicht ohne potentielle Nachteile zu haben:

• absolute Beliebigkeit
  (die SchülerInnen spielen ohne Erkenntnisinteresse und -gewinn nur rum und verlaufen sich);
• die weitgehend freie Programmierbarkeit ist keineswegs einfach, sondern erfordert viel Übung - und macht überhaupt nur Sinn, wenn das DGS nicht bloß einmal, sondern systematisch und immer wieder eingesetzt wird.

Weitere Eigenschaften (hier immer im Hinblick auf das Mittelsenkrechten-/Umkreisproblem) von DGS sind:

1. sie erlauben in der Tat das "Selbstentdecken" allgemeiner Gesetze, also z.B.

"Ist ja irre, egal wie ich das Dreieck ziehe, es kommt [fast] immer ein Mittelsenkrechtenschnittpunkt und Umkreis zustande."

Aber man sollte doch auch kritisch fragen, ob damit ein Beweiswunsch erzeugt oder glatt im Gegenteil abgewürgt wird:

2. nämlich sind DGS oftmals allzu suggestiv:

"das sieht man doch, dass das immer funktioniert; wieso sollte man es denn dann noch beweisen?"

(Wobei man sich allerdings fragen kann, was einem wichtiger ist:

• die anschauliche Durchdringung des Problems
• oder der Beweis?

Und parallel:

• die Erkenntnis der Aussagekraft der Mittelsenkrechten
• oder der Umkreis, der "sowieso" [?] nur unmotivierbare und letztlich ästhetische Dreingabe ist?)

Nach all solchen Differenzierungen könnte man sagen:

"Wie mans auch macht, macht mans verkehrt, weshalb es schon wieder herzhaft egal ist, wie man einsteigt - und sich alle Differenzierungen selbst ad absurdum geführt haben, man sie sich also zukünftig sparen kann."

Und in der Tat ist es schon geradezu eine Banalität, dass man sich (fast) immer gleichzeitig Vor- und Nachteile einhandelt - weshalb Patentrezepte sowieso scheitern werden.

Dennoch möchte ich eine begründete Entscheidung treffen: ich würde den 2. "Altherren"-Aufgabenvorschlag (oder eine analoge Aufgabe dieser Art) vorziehen, weil er anfangs sehr viel offener ist als der 3. "Zelt"-Aufgabenvorschlag.

Wie immer bei

• zwar offenen,
• aber durchaus (oder gerade deswegen) wohlüberlegten

Aufgabenstellungen zieht das "leider" einen Rattenschwanz an Konsequenzen bzw. sogar Verkomplizierungen nach sich:

• Jetzt erst stellt sich in aller Radikalität die Frage, wie ihrerseits offene Hilfen aussehen könnten.
• Der Verdacht liegt nahe, dass, wer anfangs offen verfährt, im weiteren Verlauf um so drastischer (wenn auch unmerklich-suggestiv?) engführen muss:
  (Konkretisiert und zur Selbst"sensibilisierung" vorweg: muss nicht im 2. "Altherren"-Aufgabenvorschlag die Verallgemeinerung [und auch der eventuelle DGS-Einsatz] am Ende erheblich drastischer durchgesetzt [!] werden als im 3. "Zelt"-Aufgabenvorschlag, der ja schon von Anfang an in diese Richtung lenkt?)

Anders gesagt:

• offene Aufgabenstellungen sind weder für die SchülerInnen noch für die LehrerInnen einfacher;
• und schon gar nicht ermöglichen offene Aufgabenstellungen den Rückzug der Lehrkraft aus dem Unterricht ("jetzt macht mal selbst").

Ich ziehe den 2. "Áltherren"-Vorschlag auch deshalb dem 3. "Zelt"-Vorschlag vor, weil er mir ehrlicher zu sein scheint:

• da wird im 2. Vorschlag nicht (wie im 3. Vorschlag) vorgegeben oder zumindest suggeriert, es gäbe eine "natürliche" Anwendungsbegründung für permanente Umzüge
  ("eingekleidete" Mathematik),
• sondern die Frage nach dynamischen Veränderungen ist hinterher tatsächlich mathematisch begründet
  (was allerdings wieder zu enormen methodischen Problemen führen wird).

eine Unterrichtseinheit zum zweiten Aufgabenvorschlag

Im Folgenden können nur wenige und besonders markante Details betrachtet und dann auch nur ansatzweise ausgeführt werden.

Z.B. lasse ich einen durchaus wichtigen Punkt weg, nämlich die Binnendifferenzierung für verschieden leistungsstarke SchülerInnen.

Ich setze im Folgenden also mal - durchaus höchst fiktiv -  "Durchschnitts"-SchülerInnen und einen einheitlichen Leistungsstand sowie eine parallele Erkenntnisentwicklung voraus.

Das geschieht durchaus mit Absicht: ich möchte das Selbstlernen nicht - wie es allzu häufig geschieht - "hintenrum" über den Zufall reinmogeln - und damit alle sonstigen Bemühungen um Selbstlernen obsolet erscheinen lassen.

Ich will mich also nicht darauf verlassen, dass einige der leistungsstärkeren SchülerInnen "schon von sich aus" auf die Mittelsenkrechten sowie weitere Schritte bis hin zum Umkreis "kommen" werden - und es dann den "dümmeren" MitschülerInneN "verklickern".

(Bei aller höchst sinnvollen - und bisher viel zu selten initiierten - gegenseitigen Hilfe von SchülerInnen liegt da gleichzeitig eben doch die Gefahr nahe, dass "gute" SchülerInnen als höchst fraglicher Lehrerersatz benutzt, wenn nicht sogar "missbraucht" werden, weil da Verantwortlichkeiten weggeschoben werden.)

(Nun läßt sich allerdings der "Zufall" bzw. spezielles Vorwissen auch nicht ausschließen: es wären also auch Überlegungen anzustellen [was ich mir hier mal spare], wie man damit umgeht, wenn tatsächlich einige SchülerInnen alles sofort bzw. sehr schnell "sehen".)

Wir LehrerInnen verlassen uns allzu oft

(und leichtfertig bzw. durchaus vorhandene Möglichkeiten des Selbstentdeckens durch viele SchülerInnen vorweg abwürgend?)

darauf:

• entweder siehts jemand von selbst
• oder ich bringe es ein
• und nichts dazwischen.

Konsequenz aus solcher Unüberlegtheit ist oftmals eine fast panische Überraschung:

"Ach herrje, weil die SchülerInnen wider alles [allzu naive?] Erwarten nicht von selbst drauf kommen, muss ich es jetzt wohl doch selbst sagen."

Und dann stürzen innerhalb weniger Sekunden alle ach so guten methodischen Vorhaben wie ein Kartenhaus zusammen und herrscht prompt wieder der Lehrervortrag bzw. der "fragend-entwickelnde" Unterricht (wobei der Lehrervortrag ja durchaus sinnvoll sein kann; vgl. ).

Hier nun kommt zum Tragen, ob man sich - u.a.. nach langjähriger Lehrerfahrung - in typisches Schülervorgehen hinein denken kann. Ein Beispiel, das wir später nochmals brauchen, sei hier schon mal vorweggenommen:

Der Auftrag

"zeichne alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind"

hat - so üblich er ja ist - gewichtige Nachteile:

1. wird da das entscheidende (mathematische) Kriterium, nämlich "gleich weit" (Entfernung), schon vorgegeben;
2. wird damit die ursprüngliche Offenheit der "Altherren"-Aufgabe sofort zurückgenommen:
   es wäre ja überhaupt erst ein wichtiger Entdeckungsschritt, dass man

• immer mit dem einfachsten Fall (zwei Herren) anfängt, um in die Problematik "rein zu kommen", wichtige Schritte zu üben - und dann erst auf komplexere Fälle zu übertragen bzw. zu erweitern.
• für den nächst schwierigeren Fall (drei Herren) das Problem auf zweimal zwei Herren reduzieren muss, dabei aber (wie wir noch sehen werden) das Zweierproblem entscheidend umwandeln muss.

3. aber ist die Frage nach den Punkten (Plural!) schon irritierend bzw. falsch gestellt:

• irritierend, weil jedeR "Normalsterbliche" doch immer nur an den einen Punkt genau in der Mitte zwischen A und B denken würde - und dann ganz dumm dasteht, wenn er die weiteren geforderten Punkte nicht findet bzw. "sieht";
• "falsch", weil man zur Lösung des "Gerechtigkeitsproblems" bei zwei Personen auch gar keine anderen Punkte als eben den Streckenmittelpunkt braucht.

Die Frage nach den Punkten ist geradezu typisch, weil sie schon

1. vom erst später Benötigten ausgeht bzw. zurück gedacht ist;
2. zu früh typisch mathematisch ist (Mittelsenkrechte).

Uns LehrerInnen ist allzu viel allzu selbstverständlich. Schönstes Beispiel ist da eben die nur scheinbar ach so einfache Mittelsenkrechte: wir LehrerInnen "sehen" sie schon, wenn sie noch gar nicht da ist.

Solche Selbstverständlichkeit lässt sich aber herzhaft einfach aushebeln: Wenn man von der typischen Konstruktion mittels Zirkel ausgeht, ist es ja noch leicht verständlich, weshalb die Mittelsenkrechte durch die Mitte der Ausgangsstrecke geht, also Mittelsenkrechte heißt. Wieso aber ist die Gerade, die durch die typische Konstruktion entsteht, senkrecht zur Ausgangsstrecke, d.h. weshalb heißt sie eigentlich Mittelsenkrechte?

(Was nebenbei eine Frage ist, die im Unterricht fast nie [außer rein suggestiv] geklärt wird, womit das Kind "Mittelsenkrechte" sozusagen zwar eine Mutter, aber keinen Vater hat.)

Kurz sei noch überlegt, wie die Lehrkraft überhaupt bemerken kann, wann Hilfe angesagt ist. Und daraus folgt auch:

• wann nicht!
• welche spezifische und dem Einzelfall angemessene Hilfe?

(Nebenbei: das ist  bei Computerhilfen ein aufgrund prinzipieller technischer Beschränkungen noch erheblich größeres, wenn nicht gar schier unlösbares Problem - und eine ihrer größten Gefahren, die meiner Meinung nach

• viel zu wenig reflektiert
• bzw. allzu leichtfertig eingegangen werden.

Das entscheidende Problem bzw. - positiver formuliert - die enorme Herausforderung bei Computerhilfen ist, dass

• die SchülerInnen selbst und individuell ihre Hilfewege auswählen, also ihre Probleme schon einkreisen können müssen
  [wie fragt man das ab?],
• aber nicht schon Lösungen suggeriert werden sollten.)

Dabei sei hier mal davon abgesehen, dass sich SchülerInnen auch gegenseitig helfen können (und sollen!), was überhaupt erst mit  verschiedensten konkret überlegten Mitteln (z.B. Gruppenzusammensetzung, Meldeverfahren) zu initiieren bzw. "institutionalisieren" wäre; vgl. dazu z.B. "sokratisches Fragen".

Für die Lehrerhilfe gibt es unterschiedlichste, je nach Situation sinnvolle und dementsprechend zu planende Verfahren:

1. "aktive" Lehrrolle: direkte Nachfrage durch die Lehrkraft
   (wobei eine der dümmsten Fragen "hast du alles verstanden?" ist; besser lässt man sich Fragen stellen oder den "Stand der Forschung" vorführen);
   diese Nachfrage kann sich an einzelne SchülerInnen, Gruppen oder - in einer Sammlungsphase - an die ganze Klasse richten;
   die "aktive" Lehrrolle hat evtl. den Nachteil, dass die Lehrkraft fragt, ohne dass Probleme vorliegen - und daher eher Kontrolle als Hilfe vorliegt;
2. "passive" Lehrerrolle: ein zu präzisierendes Verfahren, in dem sich die SchülerInnen bei der Lehrkraft melden können
   (woraufhin letztere die SchülerInnen noch immer an MitschülerInnen zurückverweisen kann);
   die "passive" Lehrrolle hat evtl. den Nachteil, dass gerade stillere SchülerInnen sich nicht zu fragen trauen und die Lehrkraft somit bestimmte Probleme vielleicht gar nicht mitbekommt;
3. Selbstkontrolle der SchülerInnen (neudeutsch "Selbstevaluation"), allerdings (noch) nicht über erbrachte Leistungen (Lösungen), sondern über den Erkenntnisstand. Denkbar wären da beispielsweise Notizen sowohl über bereits stattgefundene Erkenntnisse als auch über noch vorhandene Probleme.
   Solche Notizen ("brainstorming"?) müssten allerdings ausdrücklich (auch und gerade im Hinblick auf mathematische Fragestellungen) erarbeitet werden. Z.B. wären - u.a. anhand der vorliegenden Aufgabe - typische Herangehensweisen an neue Aufgaben und Probleme mit ihnen zu erarbeiten.
   Denkbar wären hier auch möglichst offene und dennoch strukturierte Fragebögen, also z.B. "was hältst du für gerecht?" oder "wo liegen eigentlich mathematische Informationen vor?"
   Zudem wäre zu überlegen, was denn dann mit den Notizen passieren soll: was haben SchülerInnen davon, wenn sie sich ihren Erkenntnisstand aufgeschrieben haben und mit niemandem darüber in Austausch treten können?!

Allemal sinnvoller als Fragen und Erklärungen (Vorwegnahmen) sind Aufträge, die eine "Forschungsrichtung" zeigen ("versuch doch mal folgendes").

Aber das sind alles Fragen, die hier zwar mal dringend angeschnitten werden mussten, deren Beantwortung aber den vorliegenden Platz doch bei weitem sprengen würden.
 

Damit aber ENDLICH zur konkreten "Während"-Bereitung (s.o. ).

Vorausgesetzt sei also, dass die SchülerInnen o.g. "Altherren"-Aufgabe erhalten haben und nun darüber brüten.

Jetzt kommt

(Nochmals:

• es sei des weiteren vorausgesetzt, dass keinE einzigeR SchülerIn sofort auf die Mittelsenkrechten oder gar den Umkreis kommt; und dementsprechend sei auch nicht weiter überlegt, was man in solch einem Fall tun würde;
• zweifelsohne sind nicht alle Eventualitäten voraussehbar, aber doch [insbesondere mit zunehmender Berufserfahrung, aber auch aus der Sachlogik heraus] so einige, und nur um diese - und da auch nur einige exemplarische - kann es im Folgenden gehen;
• all meine folgenden Überlegungen müssen in einem Sinne abstrakt bleiben: ich habe bei dieser Planung keine konkrete Klasse vor Augen, auf die die methodischen Entscheidungen gegebenenfalls ja auch abzustimmen wären.)

Die (didaktische) Aufgabenstellung legt noch keinen methodischen Ansatz fest

(bzw. schließt höchstens oder immerhin einen aus: den Lehrervortrag).

Denkbar sind daher alle Gruppenformen (Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit usw.), und ich möchte mich da auch gar nicht entscheiden.

Allerdings ist immer der Satz "vier Augen sehen [etwa beim ersten Textverständnis] mehr als zwei" hilfreich, und insbesondere bei der Diskussion der "Gerechtigkeit", also

• nach der Erarbeitung des grundlegenden Textverständnisses,
• aber noch vor der eigentlichen Mathematik,

scheinen mir Großgruppen, wenn nicht gar (später) ein Klassengespräch sinnvoll, und zwar

• damit überhaupt mehrere (auch außermathematische!) Gerechtigkeitsansätze erwogen werden,
• damit unterschiedliche Ansätze sich ergänzen, wenn nicht gar zu einer interessanten und später zu überprüfenden "Kontroverse" führen können.

Wenn es (wie oben angedeutet) stimmt, dass die SchülerInnen schon gar nicht mehr im Mathematikunterricht außermathematisch denken können; wenn sie also sofort und ausschließlich in mathematischer Richtung ("Entfernung") denken (wenn auch noch nicht die Mittelsenkrechten "sehen"), ist die Lehrkraft gefragt, auch andere Einschätzungen "hervorzukitzeln".

Hier aber reicht ganz exemplarisch nicht das reine Vorhaben

(das dann meist letztlich doch wieder nur ad hoc und damit suggestiv gefüllt wird),

sondern es wäre zweierlei zu fragen:

1. Welche anderen Gerechtigkeitsformen sind altersgemäß erwartbar bzw. verständlich?
2. Wie genau (mit welcher konkreten Frage bzw. Aufgabe) kann man sie "hervorkitzeln"?

Unbedingt wichtig wäre es auch, dass die anderen Zugänge nicht (wie allzu oft im Mathematikunterricht) nur motivatorischer Schmonzes oder Vorwand sind und letztlich doch nur die Mathematik zählt und wieder mal suggeriert wird, dass nur sie die "einzig wahre" Antwort geben kann.

Letzteres lässt sich dadurch vermeiden, dass der Vergleich der Zugänge (der nichtmathematischen und des/der mathematischen) ausdrücklich zum Programm der Unterrichtseinheit erhoben werden - und dass der Vergleich vor allem nicht irgendwann (wie ebenfalls allzu üblich) unter aller Mathematik verschwindet, sondern spätestens am Ende auch wieder auftaucht.

Hier aber ist die vorliegende Aufgabe ganz besonders geeignet, weil

• die mathematische Lösung über die Mittelsenkrechten nicht gerade praktisch und außerdem keineswegs immer die sinnvollste (gerechteste?) ist. Und dieses außermathematische Versagen der Mittelsenkrechtenlösung ist ja keineswegs nur ein peinlicher Nebeneffekt, sondern gehört konstitutiv zum innermathematischen Erkenntnisinteresse: der Mittelsenkrechtenschnittpunkt kann sehr weit außerhalb des Dreiecks liegen;
• sogar innermathematisch zwei verschiedene Lösungen denkbar sind (Mittelsenkrechte vs. Summenminimierung; wobei es allerdings fraglich ist, ob letztere altersgemäß erkennbar und berechenbar ist).

Die Aufgabe gibt auch noch keine Medienformen vor, ja mir scheint: am Anfang bedarf es auch noch gar keiner (vorgeschriebenen) Medien, sondern finden "nur" erste Verständnisversuche und Überlegungen zur "Gerechtigkeit" statt, für die die pure Landkarte und evtl. ein Stift (Probepunkte) ausreichen.

1. Problem:

Die SchülerInnen verstehen nicht den zentralen "geometrischen" Textinhalt, der sich hinter allerlei (wie oben gezeigt nicht gänzlich unwichtigem, aber doch sekundärem) Geplänkel (z.B. Männergespräche, Dickwerden) verbirgt.

Böse gesagt: "Textaufgaben (wie auch Gedichte) funktionieren immer so, dass die Lehrkraft (bzw. der Dichter) etwas eigentlich ganz Einfaches hinter möglichst viel irritierendem Beiwerk versteckt."

Lösungsvorschlag ist da - wie bei der Satzbauanalyse im Fach Deutsch - die "Weglassprobe":

• "welche Details kann man (vorerst) weglassen, ohne dass sich an der Grundproblematik etwas ändert?"
• aber auch: "welche Details könnte man problemlos verändern
  (z.B. aus Männern Frauen machen oder aus Klassenkameraden Geschäftsfreunde),
  ohne dass sich etwas an der Grundproblematik ändern würde?"

2. Problem:

Die SchülerInnen können mit der großen Offenheit nicht umgehen:

Lösungsvorschlag:

• "fange doch mal mit zwei Freunden an"
  (eine Hilfe, die andere Fälle [drei oder vier Freunde] nicht ausschließt, sondern indirekt mitnennt);
• "überlege es dir doch mal für den Fall, dass du dich mit (welchen konkreten?) Freunden (aus welchen konkreten Orten?) treffen wolltest";
• o.g. Zuordnung: Freund A wohnt in A, Freund B in B ...
  (wobei man sich im Klaren sein muss, dass da frühzeitig andere Möglichkeiten ausgeschlossen werden oder zumindest aus dem Blick geraten - und also zu fragen wäre, wie man sie später doch wieder in den Blick bringen kann)

3. Problem:

Die SchülerInnen verstehen zwar die "geometrische" Anordnung der Freunde, nicht aber, worin überhaupt das Problem der "Gerechtigkeit" bestehen könnte.

Lösungsvorschlag:

• "Angenommen, A und B wollen C übers Ohr hauen und einen für A und B sehr bequemen, für C aber besonders unangenehmen Treffpunkt ausmachen."
• "Bedenke bitte die verschiedenen Verkehrswege und -mittel sowie die Probleme, die sich bei ihnen jeweils ergeben können."
  (Autobahnkarte, Strecken- und Verbindungsnetz der Bahn)
• "Welche grundsätzlichen Möglichkeiten gibt es bei der Lage der Wohnorte zueinander?"

Zwischenschritt:

Irgendwann vor aller Mathematik sollten die verschiedensten Ansätze zur Gerechtigkeit mit der ganzen Klasse gesammelt,  systematisiert und diskutiert werden. Dabei sollte klar werden, dass

• es sehr wohl andere (und zudem höchst sinnvolle) als nur mathematische Ansätze gibt,
• der mathematische Ansatz insbesondere in Streitfällen sehr hilfreich sein kann, weil er objektiv ist
  (eine Objektivität, deren Problematik, ja Absurdität vermutlich erst am Ende klar wird),
• zur Mathematisierung gewisse Idealisierungen nötig sind
  (z.B. Luftlinienverbindungen), auf die man sich einigen muss.

Evtl. wird dazu die Lehrkraft "einen Gang zurückschalten", d.h. SchülerInnen unterbrechen müssen, die sofort und ausschließlich in mathematischer Richtung "abfahren".

Bevor zur "reinen" Mathematik übergegangen wird, ist anzukündigen, dass ganz am Ende die mathematische wieder mit den sonstigen vorgeschlagenen Lösungen verglichen werden wird.

Nebenbei:

Zwar ist es - zumindest auf den ersten Blick - fraglich, ob man eine derart offene Aufgabe überhaupt in Klassenarbeiten stellen kann.

Und dennoch ist es ein aufgrund uralter Denkgewohnheiten eingeschliffener, dringend zu überwindender Mythos, dass man in Klassenarbeiten überhaupt nur solche Aufgaben stellen könne und dürfe, die nach der zweiwertigen Wahr-/Falsch-Logik lösbar sind.

Angenommen also mal, die vorliegende Aufgabe würde in einer Klassenarbeit gestellt. Dann müssten auch für (sinnvolle bzw. begründete) nichtmathematische Lösungsvorschläge Punkte vergeben werden. Denkbar wäre da etwa, dass man explizit sagt: "für jeden sinnvollen nichtmathematischen Vorschlag gibt es drei Punkte, für einen mathematischen Vorschlag [denn wir sind nun mal im Fach Mathematik] fünf Punkte - sowie für den abschließenden Vergleich nochmals fünf Punkte."

Mir scheint, solche Aufgaben sind zumindest ab und zu und "gut untermischt" durchaus möglich.

4. Problem:

Wenn die SchülerInnen das geometrische Problem (Anordnung, Entfernungen) verstanden haben, ist die naheliegendste (weil alltägliche!) Lösung wohl, einfach "nach Augenmaß" einen Treffpunkt einzuzeichnen. Und solch ein Treffpunkt kann (etwa in einem gleichseitigen Dreieck) derart suggestiv sein, dass alle weiteren Überlegungen sich zu erübrigen scheinen (oder - um es ernst zu nehmen - im Alltag tatsächlich erübrigen).

1. Lösungsvorschlag:

Vergleich der verschiedenen Schülerlösungen, soweit sie dieselbe örtliche Konstellation behandelt haben. Diesen Vergleich muss man evtl. nicht mal von außen anregen, sondern  stellen die SchülerInnen evtl. schon von sich aus an.

Denkbar ist auch, dass SchülerInnen zueinander sagen: "Das mag ich kaum glauben, dass dort, wo du ihn eingezeichnet hast, der »gerechteste« Punkt ist. Begründe doch mal - oder ich mache einen anderen Vorschlag." Und schon ist der konstruktivste "Streit" im Gange.

2. Lösungsvorschlag:

"Nachmessen!"

(in der stillen Hoffnung [= zynischen Unterstellung?] der Lehrkraft, dass sich unterschiedliche Abstände ergeben)

Dabei ist allerdings "Nachmessen!" schon allzu eng geführt, weil damit schon die Abstände als Kriterium vorgegeben werden. Sinnvoller wäre wohl: "Kannst du bitte deinen Treffpunktvorschlag begründen?"
Ein Schritt vor dem "Nachmessen!" könnte also die Frage sein: "Warum hast du denn den Punkt dorthin gelegt?"

1. mögliche und schwieriger zu handhabende Antwort: "einfach nur so";
2. mögliche Antwort: "weil er in der »Mitte« liegt";
3. und erst im eigentlichen Sinne mathematische Antwort: "weil er von allen Punkten gleich weit entfernt ist".

Hier ist Vorsicht geboten, weil SchülerInnen evtl. so lange mit Linealen "rumbosseln" werden, bis die Unterschiede der Abstände minimal oder überhaupt nicht mehr zu sehen sind - womit für sie das Problem endgültig geklärt ist und jede weitere Nachfrage künstlich wirkt.

3. Lösungsvorschlag:

"Jetzt versuche das doch noch mal für ein anderes Dreieck", wobei die Lehrkraft

• darauf vertrauen kann, dass dieses andere Dreieck evtl. "unförmig" ist und damit erst in die eigentlichen Probleme hineinführt,
• selbst eines vorgeben kann (z.B. Aachen-Bocholt-Coesfeld).

Hier ist auch wichtig, dass die EinzelschülerInnen bzw. Schülergruppen vermutlich unterschiedliche Dreiecke behandeln werden ("schau doch mal beim Nachbarn!") und sich interessante Probleme somit automatisch ergeben werden.

5. Problem:

(und wie sich spätestens hier zeigt, treten die Probleme evtl. nicht nacheinander, sondern parallel auf; gleiches gilt für die Lösungsvorschläge)

a) SchülerInnen haben gleich zu Anfang ein "unförmiges" Dreieck erwischt, bei dem der geeignete Treffpunkt nicht (so einfach) zu erkennen ist.

1. Lösungsvorschlag:

Rückverweis erst mal auf ein einfacheres Dreieck (Vorgabe durch die Lehrkraft?)

2. Lösungsvorschlag:

Problembehandlung erst mal für zwei Freunde.

b) SchülerInnen fangen mit vier Freunden an, also einem (fast immer) unlösbaren Problem.

Lösungsvorschlag:

• Problembehandlung erst mal für zwei oder drei Freunde;
• offener: angeleitete (?) Diskussion darüber, wie man sich ein kompliziertes Problem erst mal vereinfachen kann.

6. Problem:

Bei der Betrachtung von zwei Freunden sehen die SchülerInnen (jede Wette!) erst mal nur den Streckenmittelpunkt (Singular, vgl. oben). Und vor allem: es gibt auch nicht die mindeste Veranlassung, andere Punkte zu suchen bzw. zu wählen.

Anders gesagt: im Hinblick auf den (im Hintergrund mitgedachten) Gesamtbeweis ist der Karren endgültig in eine Sackgasse geraten.

Hier nun also sind wir an einem ganz entscheidenden Punkt (während es vorher noch relativ einfach war, offene Hilfen zu geben):

• Sind ein Eingriff bzw. Vorgaben der Lehrkraft nun tatsächlich unvermeidbar, muss jetzt im Begriff "angeleitetes Selbstentdecken" endlich doch das "angeleitete" deutlicher - und zuungunsten des "Selbstentdeckens" - betont werden?
• Oder macht man es sich mit solcher Behauptung pädagogisch zu einfach, resigniert man methodisch zu früh?

Die falscheste Anweisung (!) wäre hier zweifelsohne die oben genannte, nämlich

"zeichne alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind".

Sie

• gibt nicht nur zu viel vor
  (dass es nämlich unerfindlicherweise noch mehr solche Punkte, ja - wie in der Mathematik zu vermuten - unendlich viele solcher Punkte gibt);
• sie irritiert SchülerInnen nicht nur inhaltlich,
• sondern auch "konstruktiv", denn wenn in der Mathematik mit "zeichnen" üblicherweise "konstruieren" gemeint ist, fehlt den SchülerInnen bisher doch jedes Mittel, um diese Konstruktion durchzuführen.
  Bzw. die Konstruktion ist ja eben erst zu entdecken.

Sinnvoller wäre wohl die Reihenfolge:

• "warum hast du den Punkt in die Streckenmitte gelegt?"
• Entdeckung des Kriteriums "gleiche Entfernung",
• "gibt es noch andere Punkte, die von den beiden Streckenendpunkten auch gleich weit entfernt sind?"

Aber auch letztere Frage scheint mir allzu suggestiv zu sein:

1. wird unterstellt, dass es sehr wohl noch andere solche Punkte gibt,
2. bleibt unklar, weshalb man überhaupt nach ihnen suchen sollte
   (unnötiger Luxus, da das Problem mit dem Streckenmittelpunkt doch schon gelöst ist).

1., engerer und einfacherer Lösungsvorschlag:

"Angenommen, genau in der Mitte zwischen A und B liegt leider ein riesiger Truppenübungsplatz, auf dem sich ein Treffen zumindest höchst ungemütlich gestalten würde." Die Frage, wo sich die Freunde denn dann treffen sollen, erübrigt sich, weil sie sowieso schon mitgeliefert ist.

Das Problem an diesem Vorschlag ist, dass die Lehrkraft hier nachträglich einen Sonderfall reinmogeln muss, dessen Notwendigkeit a priori kaum einzusehen ist.

2., offenerer und anspruchsvollerer Lösungsvorschlag:

1. "Betrachte nun bitte dasselbe Problem für B und C."
2. "Lassen sich nun die Lösungen

• einerseits für A und B,
• andererseits für B und C

miteinander vereinbaren?"

Zwar ist dieser zweite Lösungsvorschlag erheblich offener, krankt aber auch an einigen Nachteilen:

• er suggeriert schon den Lösungsweg über zwei Mittelsenkrechte und
• lässt die SchülerInnen völlig allein bei der "Überwindung" des Problems, dass zwei Streckenmittelpunkte nicht miteinander vereinbar sind: die Mittelsenkrechtenlösung ist mit diesem Vorschlag keinen Schritt näher gerückt.

Wie mans auch dreht und wendet, die Argumentation dreht sich im Kreis - und genau das ist das grundlegende Problem des Gesamtbeweises: die Katze beißt sich in den eigenen Schwanz:

• zum Finden der Mittelsenkrechten bei zwei Punkten braucht man (zumindest laut diesem Lösungsvorschlag) das Dreierproblem,
• zur Lösung des Dreierproblems braucht man aber schon die Mittelsenkrechte am Zweierproblem.

Letztlich würde ich also den "Truppenübungsplatz" vorziehen, auch wenn er - wie gesagt - ein wenig nachträglich reingemogelt ist.

7. Problem:

Die SchülerInnen erkennen intuitiv wohl einen weiteren Punkt oder gar (z.B. spiegelbildlich zur Grundstrecke) mehrere weitere Punkte, aber

• weder, dass es noch sehr viel mehr bzw. sogar unendlich viele geeignete Punkte gibt;
• noch, dass sie alle auf einer Gerade (oder gar der "Mittelsenkrechten") liegen.

1. Lösungsvorschlag:

"Suche nach weiteren Punkten!"

2. Lösungsvorschlag:

• Verbinden der gefundenen Punkte;
• Betrachtung der Eigenschaften der gefundenen Linie, u.a. im Hinblick auf die Grundstrecke
  (eben Gerade, durch die Mitte der Grundstrecke, senkrecht zu ihr; insgesamt also "Mittelsenkrechte";
  wobei die Lehrkraft den Namen nennen kann, aber auch die SchülerInnen gefragt werden können, welcher Name zu den grundlegenden Eigenschaften passen würde).

Für die weitere Argumentation ist es nun weniger wichtig, einen "sauberen" Beweis für die Mittelsenkrechteneigenschaften zu finden (dass sie eben durch die Mitte geht und senkrecht zur Grundstrecke ist), als vielmehr, die Konstruktion zu erarbeiten.

8. Problem:

Die gefundenen Punkte liegen nur intuitiv richtig (d.h. auf der Mittelsenkrechten), was auch heißt: die Mittelsenkrechte ist noch nicht - was später dringend benötigt wird - konstruierbar.

Lösungsvorschlag:

Nachfrage, warum gewisse Punkte vorgeschlagen wurden.

Erwartete Antwort (notfalls durch Rückbezug auf den Aufgabentext): die gewählten Punkte sind gleich weit von A und B entfernt, also "gerecht".

1. theoretischere Möglichkeit: lässt sich die gefundene Gerade aus A und B konstruieren? Gegebenenfalls vorher
2. "wie findet man einen Punkt, der von den beiden Punkten A und B gleichweit, und zwar eine vorgegebene Entfernung [z.B. eine beliebige Zirkelspannweite, da ja keine Maßeinheiten vorliegen] entfernt ist?"
   Wobei ich schon wieder ein "schlechtes Gewissen" habe, dass hier doch wieder arg suggestiv vorgegangen wird: nicht nur das Arbeitsmittel Zirkel, sondern im Grunde das gesamte Konstruktionsprinzip wird vorgegeben.
   Aber ich sehe (zumindest derzeit) einfach keinen offeneren Weg, um (man beachte die doppelte Problematik von jeweils a. und b.)

• vom a. Nachmessen mit dem b. Lineal
• zur a. Konstruktion mit dem b. Zirkel

zu kommen.
Den SchülerInnen wird nämlich (jede Wette!) überhaupt nicht von sich aus die Idee mit dem Zirkel kommen, der für sie überhaupt nichts mit dem Grundproblem "Entfernungen" zu tun hat.

(Es sei denn, man sagt in der Stunde vorher [und suggeriert damit schon alles]: "Ab morgen brauchen wir [wieder] einen Zirkel."

Nebenbei: Entfernungsmessung mit dem Zirkel war für SchülerInnen auch schon in den Jahren vorher immer wenig einsichtig, wenn nicht sehr genau herausgearbeitet wurde, dass der Zirkel vor allem einer gewissen Abstraktion dient: nicht so sehr der numerischen Abmessung verschieden langer Strecken, sondern dem Vergleich bzw. der Konstruktion gleich langer Stecken, wobei deren konkrete Länge eher uninteressant ist.)

Aber vielleicht kann man ja eben doch indirekt zum Zirkel hinführen, indem man die SchülerInnen bittet,

1. den gleichen Abstand zu "beweisen", d.h. mit dem Lineal zu messen,
2. dann einen gleichen Abstand mit dem Lineal (!) zu konstruieren,
3. dabei zu beobachten, wie sie das Lineal benutzen - nämlich drehend, d.h. als einen "verkappten" bzw. allzu ungenauen Zirkel!

9. Problem:

Zwar steht inzwischen die Mittelsenkrechte anhand von zwei Punkten zur Verfügung, aber zumindest einige SchülerInnen kommen nicht auf die Idee, das Verfahren bei drei Punkten nun doppelt (einmal auf A und B, einmal auf B und C oder A und C) anzuwenden.

Lösungsvorschlag:

"Dasselbe nun auch für die Kombination zweier anderer Punkte."

10. Problem:

Insbesondere in den Landkarten werden die (doppelten) Konstruktionen unübersichtlich.

Lösungsvorschlag:

Zwei Lösungen auf zwei getrennten Blättern oder - falls möglich - zumindest die zweite Konstruktion auf Transparentpapier, das über die erste Lösung gelegt werden kann.

(Folien sind hier wenig geeignet, weil wohl kaum Folienzirkeln zur Verfügung stehen werden.)

Nebenbei: das Problem der Unübersichtlichkeit bzw. der gegenseitigen Störung mehrerer Konstruktionen ergibt sich ganz genauso auf Computern; auch da wäre es schön, sozusagen mit "Folien" arbeiten, d.h. Teilkonstruktionen zeitweise wegblenden zu können.

11. Problem:

Problematisierung des Schnittpunkts der beiden Mittelsenkrechten.

Wenn man die beiden Mittelsenkrechtenkonstruktionen übereinander legt, kommt überraschend der Effekt zustande, dass beide sich in einem Punkt schneiden.

Das aber kann allzu suggestiv sein.

Daher wäre an dieser Stelle noch mal zu rekapitulieren

(und ich erlaube mir ab hier, ein wenig abzukürzen und nur noch [natürlich jeweils genauer methodisch zu durchdenkende] Stichpunkte zu nennen):

• was bedeutet der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Hinblick auf die erste Grundstrecke (bzw. deren Streckenenden, d.h. die Ausgangspunkte)?
• was bedeutet der Schnittpunkt Punkt analog im Hinblick auf die zweite Grundstrecke?
• Übertragung: was bedeutet der Schnittpunkt Punkt dann eigentlich im Hinblick auf die dritte Grundstrecke?
• Gibt es noch andere Punkte, die dasselbe leisten wie der Mittelsenkrechtenschnittpunkt?
• Mögliche Lagen des Mittelsenkrechtenschnittpunkts im Hinblick auf das Ausgangsdreieck
  (verschiedenen Antworten ergeben sich da vermutlich aus der verschiedenen Dreieckswahl durch verschiedene Schülergruppen).
• Rückbezug auf das allzu oft im Eifer des Gefechts vergessene (und damit nachträglich als bloßer Vorwand denunzierte) Ausgangsproblem, also hier der Gerechtigkeit:
  • Bewertung des Mittelsenkrechtenschnittpunkts im Hinblick auf die Gerechtigkeit;
  • Vergleich mit anderen (anfänglichen) Gerechtigkeitsvorschlägen.

Nachdem also anhand der exemplarischen Aufgabenstellung meiner Meinung nach hinreichend viele typische Fragen gestellt und (hoffentlich brauchbare) Lösungsvorschläge gemacht worden sind, möchte ich nur noch kurz Probleme des weiteren Unterrichtsverlaufs andeuten:

• Für das eigentliche geometrische Problem ist der Umkreis nicht mehr nötig, sondern nur eine (auch ästhetisch) schöne, vor allem aber wohl überraschende Bestätigung. Gibt es dennoch einen methodischen Weg, den Umkreis selbst entdecken zu lassen, statt ihn nur einzubringen? Etwa, indem man die Konstruktionskreise für die Mittelsenkrechten "umdreht" (Mittelpunkt und Kreisbogen austauscht)?
  Man lässt nach Erkenntnis des gleichen Abstands d des Mittelsenkrechtenschnittpunkts M von den Punkten A, B und C allen sonstigen Firlefanz weg, erhält

,

fragt nun, wie man die gleiche Länge der blauen Strecken anschaulich klarmachen kann - und erkennt dann wohl, dass A, B und C auf einem Kreis um M liegen.
Oder vielleicht eine Schnapsidee: man lässt das Dreieck einfach zunehmend schneller um den Mittelsenkrechtenschnittpunkt rotieren, wobei das Dreieck einen Kreis erzeugt, auf dem seine Eckpunkte liegen.

• Irgendwann ist (mit oder ohne DGS) dringend das ungläubige Staunen nötig:

"jedes (noch so unförmige) Dreieck hat einen Umkreis!?
(und die drei Mittelsenkrechten schneiden sich immer in einem Punkt)"

Und aus dem Staunen ist ein Beweiswunsch herauszuarbeiten (das sagt sich so einfach)!

• Bisher war bei der Behandlung des "Altherren"-Problems jede DGS unnötig bis geradezu kontraproduktiv: ich hielte es für völlig unsinnig,

1. die Durchdringung der Aufgabenproblematik,
2. die Entdeckung der geometrischen Grundlagen und
3. die Umsetzung im Computer

miteinander zu vermengen.

Deshalb wäre erst jetzt zu fragen,

1. ob und - wenn ja -
2. wann genau

man DGS einbringen will.
Die Benutzung von DGS scheint mir durchaus sinnvoll, weil nur mittels ihrer sehr viele Dreiecke behandelt und vor allem markante Eigenschaften durch Bewegung (Zugmodus) erkannt werden können.
Der geeignete Einsatzpunkt von DGS scheint mir in o.g. Aufgabe vorzuliegen, wenn anhand der NRW-Karten deutlich geworden ist, dass die Mittelsenkrechtenschnittpunkte sehr ungünstig, wenn nicht gar "ungerecht" liegen können, und daher die Frage naheliegt, wo sie denn überhaupt "noch" liegen können.
Dabei könnten zur Veranschaulichung auch sehr extreme Beispiele behandelt und absichtlich erzeugt werden wie z.B. schon oben genanntes:

"Die Klassenkameraden wohnen keine 100 m voneinander entfernt, aber der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt in Timbuktu.
Und was passiert (wann) eigentlich, wenn Timbuktu immer weiter weg rutscht?
Oder umgekehrt: wie kann man bei gegebenem Abstand von A, B und C dafür sorgen, dass Timbuktu möglichst nah ran rutscht?"

Nebeneffekte dabei sind:

• alle Dreiecke scheinen einen Umkreis zu haben
  (was wiederum theoretisch rückzubinden wäre; das Problem dabei ist, dass der Computer allzu leicht Richtigkeit suggeriert und daher einen Beweiswunsch abwürgen könnte);
• durch den Zugmodus wird vermutlich von selbst der Fall zustande kommen, dass kein Mittelsenkrechtenschnittpunkt vorliegt (und dennoch ein "Kreis" erscheint?).
  Bzw. SchülerInnen könnten von selbst auf den Gedanken kommen bzw. damit beauftragt werden zu beobachten, was eigentlich passiert, wenn der Mittelsenkrechtenschnittpunkt aus dem Bildausschnitt des Computers rausrutscht.

(Hier zeigt sich nebenbei ein hübscher kleiner Nachteil von Computern: wenn ein Punkt aus dem Bildschirmausschnitt rausrutscht, verschwindet er urplötzlich im Virtuellen [dem leeren Raum neben dem Bildschirm], während ein vom Papier runter rutschender Punkt vorerst noch immer auf dem Schreibtisch liegt, der da eine Art "Gedächtnisstütze" sein kann.

Überhaupt wäre es sehr lohnend, mal minutiös zu untersuchen, welche Veränderungen der Wahrnehmung durch Computer entstehen und ob die jeweils wünschenswert sind.)

Dieser Fall wäre genauer anschaulich und theoretisch zu klären und mit der Ausgangsproblematik (Wohnorte der Freunde) in Verbindung zu bringen.
Auch für diesen Fall wäre die Gerechtigkeitsfrage (anderweitig!) zu beantworten (evtl. durch Summenminimierung?).

Um reines (erkenntnisloses) Rumspielen mit dem Computer zu verhindern, müssten klare Aufträge vergeben werden wie z.B.

• "notiere und beschreibe besonders auffällige Ergebnisse";
• "beschreibe genau, was bei Veränderung welches Parameters geschieht"
• "verändere nicht mehrere Sachen gleichzeitig, sondern erst nur möglichst systematisch eine und dann die andere".

Interessant ist natürlich auch der Fall, dass SchülerInnen nicht mit einem vorgefertigten DGS-Programm arbeiten (und nur ein wenig an den Parametern "drehen" bzw. einzelne Punkte ziehen können), sondern es überhaupt erst selbst erstellen.

Das hat den Nachteil, dass dafür viel Eingewöhnungszeit nötig ist, aber den Vorteil, dass SchülerInnen

(u.a. weil bei solcher Umsetzung ohne konkrete Maßeinheiten gearbeitet wird; weshalb man das Koordinatensystem tunlichst weglasse)

die Dinge abstrakt durchdrungen haben müssen, um sie überhaupt programmtechnisch umsetzen zu können; oder umgekehrt lernen sie erst beim Umsetzen (trial and error) die abstrakte Durchdringung.