Vorwort
Modelle
Vorträge und Workshops

Vorwort


(Westfälische Nachrichten, 29.8.15)

  "One of the saddest developments in school mathematics has been the downgrading of the visual for the formal."
(Ian Stewart)
  "Sind Formeln denn nicht nur rigide Denkkrücken oder Verständigungsformen für Mathematiker, die sich so ihre inneren Bilder gegenseitig mitteilen? Was ist Mathematik? Die Idee? Oder der Beweis? Die Formel? Oder das Bild?"
(Gunter Dueck)
    "In der Überzeugung, dass manche von uns sich nicht mit der Mathematik einlassen, weil wir sie nicht sehen können, setzt Professor Frenkel sie [in ] unermüdlich in Beziehung zu Dingen, die wir sehen können."
(The Guardian)
  "Der Mensch ist ein Augentier, das stimmt, aber mit einem Gegenstand wirklich vertraut wird er doch erst, wenn er ihn in die Hand nehmen oder zumindest um ihn herumlaufen kann."
(Ulf von Rauchhaupt)
  "Die Abgründe der Ahndung, ein sicheres Anschauen der Gegenwart, mathematische Tiefe, physische Genauigkeit, Höhe der Vernunft, Schärfe des Verstandes, bewegliche, sehnsuchtsvolle Phantasie, liebevolle Freude am Sinnlichen, nichts kann entbehrt werden zum lebhaften fruchtbaren Ergreifen des Augenblicks, wodurch ganz allein ein Kunstwerk [...] entstehen kann."
(Johann Wolfgang Goethe)

                  ("Auf der A1 kommt Ihnen ein Geisterfahrer entgegen." "Einer? Hunderte!")

(vor allem in uralten, verstaubten Sammlungen wie z.B. , aber auch bei einschlägigen Lehrmittelanbieter)

nur Modelle geometrischer Gegenstände und dreidimensionaler Funktionsgraphen.

Fast gar nicht finde ich aber bewegliche Modelle (also Bewegte Mathematik), mit denen die Schüler selbst hantieren können:

(man achte mal drauf:
oft sind die Hände von Schülern schlauer als ihre Münder)

(samt Tourneen dieser Ausstellung kreuz und quer durch Deutschland).

Es gibt allerdings zwei Unterschiede zwischen seinem und meinem Ansatz:

    1. sammelt er besonders schöne mathematische Objekte

    (wohl, um überhaupt erstmal einen Zugang zur Mathematik zu zeigen),

während es mir weitgehend um eine Veranschaulichung von ordinärem Schulstoff und damit auch um "fundamentalere" mathematische Begriffe wie beispielsweise den der "Funktion" geht,

  1. setzt er (zeitgemäß?) auf erstaunliche Effekte, während es mir in der Regel um Verständnis geht.

(nicht zu verwechseln mit mechanistisch),

also anseh- und anfassbar:

"Geräte, die man nicht mit Lego nachbauen kann, hat man nicht wirklich verstanden."
(anonym)

1-Meter-

eben doch "was ganz anderes" als eine klitzekleine, zweidimensionale Abbildung einer Kugel in einem Schulbuch (oder hier im Text).

        Und eben solche 1-Meter-Kugeln müssen in unsere Köpfe kommen:


(Max Goldt ist mal aufgefallen,
dass alle Innenstädte mit kugelförmiger "Kunst im öffentlichen Raum"
zugemüllt sind)

So ist mir manchmal danach, die Materialität (u.a. Handschmeichler) zu einem eigenen (Neben-)Thema im Mathematikunterricht zu machen:

Das gilt auch und gerade für industrielle perfekte Produkte, die ja bereits Abstraktionen sind:

früher war es gar nicht möglich, perfekte Kugeln herzustellen, heute hingegen sind die perfekten Kugeln identisch mit Platons "Ideen" - worüber man sich erst anhand großer Kugeln wundern kann.

(und somit eine Hilfswissenschaft u.a. für Naturwissenschaften und Technik):

dem wird im Schulunterricht durch sogenannte "Anwendungsaufgaben" Rechnung getragen

(die allerdings meist nur "eingekleidete" Mathematik und an den Haaren herbeigezogen sind;
und überhaupt interessieren mich Anwendungen reichlich wenig);
(und das wird in der Schulmathematik viel zu wenig beachtet!)

ist die Außenwelt ein unendliches Reservoire an Bildern und Vorgängen, die Innermathematisches veranschaulichen können.

Und ich wette, dass die allermeisten großen Mathematiker keineswegs so abstrakt, wie man oft annimmt, sondern in Bildern denken, und sie verstehen etwas erst wirklich, wenn es sich

(manchmal urplötzlich: Heureka!)

zu einem Bild zusammensetzt.

Um so mehr brauchen Anfänger Veranschaulichungen
(bevor Vieles zur Routine wird)

man frage z.B. nur mal Schüler, wie ein Zylinder mit oben und unten angesetzten Halbkugeln aussieht - und dann erhält man so sicher wie das Amen in der Kirche die Antwort:

Für mich ist z.B.

Für die ergiebigste mathematische Metapher halte ich aber die

 

(vgl. ).

Gegen echte (!) Modelle spricht oftmals nur zweierlei:

zu wollen. Zumindest fällt mir seit einiger Zeit eine erstaunliche Rückkehr zur rostigen und damit eben nicht aalglatten Mechanik auf:

(... wobei allerdings bei drei der vier gezeigten Beispiele die Mechanik
[wie auch das Rasen und Ballern in vielen Computerspielen]
virtuell bleibt.)

und andauernd sagt: "Sowas kriegst du nie hin, da brauchst du erst gar nicht anzufangen."

 
(wobei es mir auch um die Natur,
mindestens eben so sehr aber um das Schmuddelige [neudeutsch "shabby chic"],
Nichtperfekte geht)

Leider ist aber die Herstellung meiner Modelle oftmals derart aufwändig, dass meine Zeit nur für die Herstellung jeweils eines einzigen Modells reicht.

Immerhin sind die (Tafel-)Modelle dann aber aus zwei Gründen sehr groß:

    1. , damit sie wie Ausstellungexponate "was her machen",

    2. , damit ihre Details auch in der letzten Reihe gut sichtbar sind.

      (Nebenbei:

 


[vgl. unten]

(in sogenannten "Differenzierungskursen" in der Mittelstufe war sowas teilweise mal möglich; aber auch da haperte es an einer brauchbaren schuleigenen Werkstatt):

"Was ich nicht erschaffen kann, das verstehe ich nicht."
(Richard Feynman)

(dabei wäre es gerade für Gymnasiasten wichtig,

[die zu vermitteln weiterführende Schulen sich bislang ja weitgehend zu fein sind],

(vgl.  ).

Leider gibt es aber nur wenige auch aus großer Entfernung klar unterscheidbare Farben - und noch weniger passende Tafelkreide und Textilklebebänder.


Christopher Polhems
(*1661 +1751)

"mechanischem Alphabet" aus 80 Modellen

vor, mit dem er Schülern der von ihm gegründeten Ingenieursschule "Laborium mechanicum" die wichtigsten mechanische Bewegungsabläufe veranschaulicht hat:

also ein "mathematisches [Modell-]Alphabet", mit dem von A (5. Klasse) bis Z (Abitur) der Schulstoff  begreifbar wird, oder genauer: die zentral wichtigen mathematischen "Ideen".

  • Die meisten meiner Modelle sind dreidimensional und beweglich, was hier beides kaum wiedergegeben werden kann. Manchmal zeige ich daher im Folgenden immerhin einige Zwischenzustände.

  • Wegen der Fülle meiner Modelle kann ich sie nicht bei mir zu Hause, sondern nur auf dem Dachboden "meiner" Schule lagern. Dieser ist, wie es sich in einem über hundert Jahre alten Gemäuer gehört, schön staubig (wie unten einige Fotos meiner Modelle zeigen).

Modelle

3D-Modelle

Zahlensysteme als drehbare "Uhren" und Lineale


(Lineal, 122 = 144 cm lang)


(Lineal, 102 = 100 cm lang)


(Lineal, 28 = 256 cm lang) 

Geodreieck mit beweglichem gelbem Winkelzeiger:


(auch zum Spiegeln umbaubar)

aufspannbarer 3600-Winkelmesser:

Bild

Thalessatz-Modell:

Bild


Bild..

 wobei der konstruktionsbedingte Zeiger von M aus gleichzeitig auch die Beweisidee liefert

Scherungsmodell:

Drehungsmodell:

"Kommamaschine":


mit nach vorne klappbaren weißen Tafeln, auf die Ziffern (hier 2, 0, 7, 0 und 3) geschrieben werden können;
das Komma ist frei verschiebbar

Oberfläche, Volumen und 2D-Projektion eines Quaders:


mit abnehmbaren Seitenflächen

Abwicklung:

 

2D-Projektion

mit vorgehängter Folie

mit vorgehängtem Strahlen zum Fluchtpunkt

2D-Projektionen:

 




 

 

 

Pseudowürfel:

von vorne:

von oben:

Cavallieri-Verfahren für verschiedene dreidimensionale (auch Misch-)Formen:


(die Mittelachsen sind biegbar)

     
Prozent-Gummiband


In das weiße Feld oben lassen sich verschiedene Zahlen (hier 17) eintragen;
eine ganz ähnliche Schlange wäre - nebenbei gesagt - für den Logarithmus möglich:

Bruchrechnung an einer Pendeluhr:

 

und nun endlich die Bruchrechnung:

Abzählbarkeit der rationalen Zahlen
(durchaus auch schon in der Mittelstufe "machbar",
denn warum sollten wir Schülern weiterhin die interessanteste Mathematik vorenthalten?)
:

        

 

Termumformungskette:


(ca. 2 m lang)

die Kette kann zusammengefaltet werden

,

so dass am Ende der schwierigste (Anfangs-)Term und der einfachste (End-)Term
nebeneinander liegen:

Gleichungsjalousie:

Beweis des Kathetensatzes:

mechanische Version von  Kathetensatz

Beweis des Satzes des Pythagoras:

Zu beweisen:

 + =

Für diesen Beweis schmeißen wir erstaunlicherweise
  und sofort wieder weg
und behalten nur und   :

Nun legen wir noch weitere drei Mal um herum,
indem wir sie an Scharnieren nach vorne klappen
(bisher waren die drei hinter verborgen):

So entsteht das neue, größere Quadrat
(nur dann, wenn die rechtwinklig sind!).

Die Fläche von berechnen wir nun auf zwei Arten:

  1.

als Summe der "Einzelzimmer":

+ 4

Nun klappen wir noch je zwei Dreiecke mit Scharnieren zu jeweils einem Rechteck zusammen:



Aus der Formel oben wird damit

+ 2
  2.

als  Fläche des gesamten "Hauses":



Die Seiten dieses Quadrats sind je a + b lang, also hat es die Fläche

(a + b)
2

Mit dem "1. Binomi" ergibt sich daraus

a2 + 2ab + b2,

bzw. wieder geometrisch dargestellt

+ 2 +

(... woran doch allemal bemerkenswert ist, dass wie durch einen Zauberkünstler und urplötzlich doch wieder da sind;
ein Trick, der nicht mehr ganz so verwunderlich ist, wenn man weiß:
)
 
 

  Aus 1. und 2. zusammen folgt: 

+ 2 = + 2 +

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2 wegnehmen, erhalten wir
                               = +                           ,
und das ist ja eben der Satz des Pythagoras, den wir beweisen wollten
(aus dem jetzt urplötzlich alle  verschunden sind;
das ja eben ist der Witz am Satz des Pythagoras:
er funktioniert nur an rechtwinkligen Dreiecken,
handelt aber nur von Quadraten).
 
 

3D-Sinus-Spirale

Nachbau von

 

Tangensmodell:


und mit Kreistangente oben das Cotangensmodell

alte Auto-Scheinwerfer:

vorne eine (komplizierte) Fresnel-Linse ,

dahinter ein einfacher Parabolspiegel .


(die Umwandlung der normalen Konvex- in die Fresnel-Linse [und umgekehrt] erfolgt,
indem man das Modell auf den Kopf stellt)

neue Auto-Scheinwerfer:

vorne simples Glas, dahinter ein (komplizierter) Fresnel-Spiegel .

(mit dem gleichen Umdreh-"Mechanismus" wie bei der Fresnel-Linse)

p-q-Formel:


Kurvendiskussion anhand einer Bergwanderung:


(hier nicht dargestellt: eine verschiebbare Wolke, aufgrund derer man beim Gang von links nach rechts
immer nur ein kurzes Stück vorausschauen kann,
so dass die Kurve nicht komplett fertig ist [wahrgenommen weren kann],
sondern geradezu dramatisch erst langsam entsteht
- was leider kaum jemals im üblichen Matheunterricht vorkommt;
überhaupt sollte man "Kurvendiskussionen" schon viel früher
[spätestens aber der 9. Klasse]
durchführen, wenn auch noch ohne Ableitung)

verstellbarer Proportionszirkel, mit dem man Gegenstände vergrößern kann:


(zwecks Einübung / Anwendung der Strahlensätze)

vertikal verschiebbare Parabel:

"drehbare Sinus- und Cosinusmaschine":

00:

 300:

600:

900:  

ganz wichtig: aufgeklappt erkennt man die "Gestänge-Mechanik":

00:

300:

600:

900:

Und hochkant ergibt sich der Cosinus:

er-fahrbare Funktionsgraphen
(der Punkt P samt der Tangente in ihm ist beliebig auf der Graphenschiene verschiebbar):


(das Pferd wird erst am Ende in den Sattel[!]punkt gelegt)


(hier sind in gelb schon die jeweiligen Steigungen eingelegt;
die Kurve ist für frühe "Kurvendiskussionen" auch schon dann geeignet,
wenn der Sinus noch gar nicht durchgenommen wurde)

in die Graphenschienen einhängbarer Mechanismus zum Ablesen von Rechts- und Linkskurven:

"Eyponentialmaschine":

Das oberste Zahnrad dreht sich durch einen Elektromotor ein Mal pro Sekunde.
Jedes Zahnrad dreht sich fünf Mal so schnell wie das nächttiefere.
Dann dreht sich das unterste Zahnrad ein Mal in 25000 Jahren
- und kann deshalb getrost erstmal einbetoniert werden.

Galton-Brett:

Viel interessanter ist allerdings:

verschiebbare Binomialkoeffizienten und Exponenten:

Sicherheit und Wahrscheinlichkeit:

p = 0:

p = 0,2:

p = 0,5:

p = 1:

(hier nicht zeigbar ist der Mechanismus, mit dem der goldene Punkt bei p = 0 und p = 1 automatisch einrastet,
so dass die Sicherheit spürbar von der "fließenden" Wahrscheinlichkeit unterschieden wird)

Gauß- bzw. Glockenkurve:


(hier nicht montiert ist ein Mechanismus,
mit dem man verschiedene Standardabweichungen einstellen kann)

kollineare Vektoren:


(die oberen Platte ist mit der roten Kurbel links unten drehbar,
so dass alle Vektoren auf ihr gemeinsam in verschiedene Richtungen schwenken)

(nicht) kollineare Vektoren:

(nicht) komplanare Vektoren

von oben:


die von den Vektoren und augespannte Ebene E
(hier liegt noch in E)

von vorne:


(auch hier liegt noch in E)


vektorielle Gerade:


(alle Vektoren sind aus Gummibändern und dadurch frei beweglich;
hier nicht montiert ist ein Normalenvektor)

vektorielle Gerade und Ebene (weiß):

Abstand windschiefer Geraden:

geschlossene Vektorzüge:

Projektionsvektoren fürs Skalarprodukt:

leer:

Folie von rechts davor geklappt, Projektion von auf :

Folie von links vorgeklappt, Projektion von auf :

beide Folien vorgeklappt:

vektorielle Ebene und Normalen(einheits)vektor:

Schnittgerade zweier Ebenen:

mit Richtungsvektoren der beiden Ebenen:

Ebenenrichtungsvektoren an Anfang des Geradenrichtungsvektors verschoben:

Geradennormalenvektoren in den beiden Ebenen
(Winkel zwischen diesen beiden Vektoren = Winkel zwischen den beiden Ebenen;
das muss man ja nicht alles ausrechnen, aber man sollte es anschaulich verstehen):

einfachere Methode der Winkelberechnung:


(Winkel den Ebenen = [Ergänzungs-]Winkel zwischen den beiden Ebenennormalenvektoren)

Satz von Varignon
(die Verbindungsstrecken der Seitenmittelpunkte des gelben Vierecks bilden immer ein Parallelogramm,
was überhaupt erst wirklich erstaunlich wird, wenn man das Viereck kontinuierlich "verbiegt";
der Satz ist vektoriell wunderbar einfach beweisbar)

vektorieller Kreis:


(um den Mittelpunkt M drehbar)

 

Ellipsograph 2:

Hyperboloid:

 

 
zusammengefaltet:
langweilig

auseinandergefaltet:
ästhetisch reizvoll
 

 

Goldener-Schnitt-Zirkel
(stilecht mit goldenem mittlerem Zeiger):

Oloid:

Möbius-Band:

 

Frage:
ist es möglich, einen Würfel samt innen ausgekleidetem "Tunnel"
origamimäßig aus einem einzigen Stück zu bauen?

Antwort:

Wenn man schon im Matheunterricht (!) Brunelleschis Kuppel des Doms in Florenz
und seine Entdeckung der Zentralperspektive anhand des



Baptisteriums

durchnimmt,
dann aber auch an einem eindrücklichen Modell:


(1,3 m hoch)

kleiner zusätzlicher eyecatcher:


Regenschirm in Form von Brunelleschis Kuppel


(hier nicht gezeigt: die Poster zur Mathematik des Eiffelturms
und zu den 72 Namen [u.a. von Mathematikern] rund um die untere Plattform)

Baumarktkrempel

 

"Oft fügt es sich, dass sich bey den gewöhnlichen Beschäftigungen und Handthierungen des Lebens Gelegenheiten darbieten, mehrere merkwürdige Operationen der Natur zu beobachten; ja sehr oft könnten die interessantesten physikalischen Versuche beynahe ohne irgendeine Mühe oder Ausgabe mittels der Maschinerien angestellt werden, die man bloß zu den mechanischen Zwecken der Künste und Manufakturen vorgerichtet hat."
(Benjamin Thompson alias Graf Rumford)

 
(Paul Stein-hardt)

"Zu den selbstvergessenen Spielern gehört auch Paul Steinhardt, ein Physiker an der University of Pennsylvania, der sehr wohl weiß, wie wichtig das spielerische Element in der Forschung ist. Steinhardts Büro ist vollgestopft mit Spielsachen. Zwischen Büchern und Computern, den Versatzstücken ernsthafter Wissenschaft, finden sich die verschiedensten Modelle - von behelfsmäßigen Pappkonstruktionen, die durch Klebeband zusammengehalten werden, bis hin zu kostspieliger Computergraphik. Da gibt es nichts, was Steinhardt nicht für seine Zwecke hätte brauchen können: Kleiderbügel, Schaumgummibälle, Spielwürfel, Acetatplatten, Legosteine, Zahnstocher, Zeichenkarton."
(Hans Christian von Baeyer; wobei Steinhardt allerdings wohl eher ein Bastler als ein Spieler ist)

Wer Mathemodelle baut, tut gut daran, direkt neben einem gutsortierten Baumarkt zu wohnen, der die meisten der für die Modelle benötigten Materialien vorhält. Was es nicht in Baumärkten gibt, liefern dann spezielle Bastelläden.

In Baumärkten gibt es  aber nicht nur Materialien für Modelle, sondern vor allem in den 1€-Grabbelkisten im Kassenbereich auch allerlei Schnickschnack, der zweckentfremdet direkt als Mathemodell dienen kann

(und sonstige Läden liefern den Rest).

Z.B.:

"Integrator":

Bild
(eigentlich zum passgenauen Verlegen von Parkett um Ecken gedacht)

"3D-Integrator":

Gleichung = Waage

Kongruenzabbildungen:

man verschiebt ein erstbestes Buch, schwenkt (dreht) es und dreht (spiegelt) es auf den Rücken;

Überprüfung der Kongruenz zweier Bücher:
man legt eins vor das andere und umgekehrt

(d.h. man zeigt alltägliche Kongruenz, statt sie völlig zu abstrahieren und unnötig zu verkomplizieren)

Rohrreinigungsspirale als Universalfunktionsgraph:

 

Eine solche biegsame Spirale ist eine "handschmeichlerische" Manifestation sowohl der Stetigkeit als auch der Differenzierbarkeit (wer sie mit Gewalt knickt, macht sie kaputt).
Von wegen "handschmeichlerisch": man beobachte mal, wie Schüler mit solch einer Spirale umgehen: sie fahren mit den Fingerspitzen sanft über die Riffel und erzeugen durch Hin- und Herschwenken eine Sinuswelle (oder benutzen die Spirale als Peitsche).
Größter Vorteil solch einer Spiral ist, dass sie "von selbst" jene Rundungen von Funktionsgraphen erzeugt, die zu zeichnen Schülern oftmals so schwer fällt.
Unbedingt zu erarbeiten sind allerdings auch die Nachteile solch einer Spirale: dass sie teilweise senkrecht oder gar rückläufig wird oder sich aufgrund der Schwerkraft nach außen biegt.
Allemal für Schüler beeindruckend ist aber, dass sich allein durch Biegen die Graphen fast aller gängigen Funktionsklassen bilden lassen: es ist, als wenn eine einzige Schlange sich kontinuierlich in die Graphen der verschiedenen Funktionsklassen verbiege und sich eine Graphenschar aller stetig-differenzierbaren Funktionen ergäbe:

 

Bei der Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs sind alle industriell gefertigten Würfel

völlig witzlos, da sie augrund der Präzision ihrer Herstellung
allesamt laplace-, also gleichmäßig verteilt sind
(worauf sich die Käufer ja auch verlassen)
.

Viel erhellender sind unregelmäßige "Würfel" wie z.B.

(da liegt doch immerhin die Vermutung nahe,
dass die Wahrscheinlichkeiten der Seiten sich verhalten wie deren Größen)
.

 

"y = ax2-Männchen":

"Rotationskörper-Hersteller":

Bild
(eigentlich ein Milchaufschäumer)

"Normalenvektor":

Bild

"stumpfe-Winkel-Messgerät":

Bild

"Radiuszirkel":

Bild

"Parallelometer":

Bild

vektorielle Gerade:

Bild

vektorielle Ebene:

Bild

kollineare Vektoren:

Cavallieri-Verfahren:

Bild

Cavallieri- und Integrationsverfahren für Rotationskörper:

Bestimmung der Kugeloberfläche und des Kugelvolumens:

2- und 3D-Strahlensatz-Rankgitter:

 

Schachtelset für Kreisumfang und -fläche:

Bild

Tortenring für den Kreisumfang


(solch ein Tortenring wird beispielsweise benötigt,
um eine Cremeschicht schön gerade auf einen Tortenboden zu bekommen;
größter Vorteil des Tortenrings ist, dass er kontinuierlich verstellt werden kann)


(Einstellung beim Kreisdurchmesser 16 cm;
aus konstruktiven Gründe muss das Maßband leider innen befestigt sein)


(Einstellung beim Kreisdurchmesser 32 cm)

dazu zusätzlich eine Kreisscheibe mit den eingefrästen ganzzahligen Radien 8 cm, 9 cm, 10 cm ... 15 cm:


(grün markiert ist dabei der Kreis mit dem Radius 10 cm = 1 dm, also der Einheitskreis;
das innere Maßband des Tortenrings hat auch die Maßeinheit dm)

Sierpinski-Dreieck als Popup

Nicht detailliert gezeigt werden hier zig kleine "Fertigmodelle", die

Poster = 2D

            (kleine Auswahl; es fehlen z.B. alle Poster zu wirklich aktueller Mathematik)

  • Leider habe ich einige Poster gerollt aufbewahrt - was man ihnen auch ansieht.

  • Poster sind im Vergleich mit beweglichen Modellen natürlich immer nur die zweitbeste Lösung.

  • Damit die Poster von allen Schülern im Klassenraum gesehen werden können, sind sie sehr groß. Die folgenden kleinen Abbildungen können daher nur einen ersten Eindruck liefern - und teilweise ist auf ihnen die Schrift so klein, dass man sie kaum lesen kann.

  • Viele Poster enthalten Merksätze - und hängen daher manchmal für lange Zeit in den Klassenräumen

(teilweise auch während Klassenarbeiten).

  • Am liebsten hätte ich einen eigenen Klassenraum, der liebevoll mit Mathebüchern, Postern und Modellen vollgestopft wäre.

  • Ich erlaube mir auf den Postern manchmal eine mathematisch "unsaubere", aber für Schüler verständliche und anschauliche Sprache:

"Ich hatte das Glück, auf Bücher zu treffen,
 die es nicht allzu genau nahmen mit der logischen Strenge [...]"
 (Albert Einstein)

Symmetrie:

a) keine Symmetrie:

b) achsensymmetrisch zu einer Achse:

c) achsensymmetrisch zu zwei zueinander senkrechten Achsen,
also auch punktsymmetrisch:

d) achsensymmetrisch zu mehreren nicht zueinander senkrechten Achsen:

e) Ellipsen:

f) schiebesymmetrisch (als nun doch wieder bewegliches Modell):

g) drehsymmetrisch (auch wieder als bewegliches Modell):

h) motorbetriebene Achsensymmetrie:


(unten unser Schulgebäude,
wobei eine Drehung um die rot markierte
und Drehungen um die blau markierten Achsen möglich sind)

i) optische Täuschung:

j) Muster erkennen bzw. konstruieren:

 



 

 


 


                                  

Ihre volle strukturell-ästhetische Wirkung entfalten die folgenden Poster erst,
wenn Schüler sie selbst sortieren
(und zwar wegen der Größe der Poster auf dem Fußboden der Pausenhalle)

die Null in der (Schul-)Mathematik

ein Mal aufgeklappt:


links und rechts Cover von Büchern zum Thema "Null";
in der Mitte links die Geschichte der Null,
rechts eine Erklärung, warum man nicht durch Null dividieren kann

zwei Mal aufgeklappt:


der Grund für die Triptychon-Form:
die drei Teilgebiete der Schulmathematik - und die Rolle der Null in ihnen

1,5-m-Rosette auf dem Boden vor dem Lehrerpult
(Winkel werden hier gegangen)

zwecks Bruchrechnung und als Ergänzung zum Musikunterricht:


(die bunten Noten gibt es dabei auch als kleine Zettel, um sie in die Takte legen zu können)

Oder warum dürfen Schüler denn nichts
(auf Postern im Mathematikunterricht!)
über diese Bilder

und ihre vielfältigen,  u.a. mathematischen Hintergründe erfahren?:

Vorträge und Workshops

Da ich durchaus von missionarischem Eifer beseelt bin, biete ich gerne bundesweit Vorträge und Workshops zu Mathemodellen an

(z.B. bei Lehrer-Fortbildungen, in Schulen, Mathe-Fachschaften und didaktischen Universitäts- sowie Studienseminaren).

Einzige Bedingung dafür ist die Bezahlung

Sinnvoller als Vorträge finde ich aber allemal Workshops, in denen die Teilnehmer nach einer Einführung selbst Modelle herstellen und somit die Grenzen und Möglichkeiten mechanischer Modelle selbst entdecken.

 

PS: siehe auch