alles 0 ... oder Ableitungen stapeln
Angenommen mal, man möchte die Gleichung 2x + 4 = 10 lösen. Dazu „stapelt“ man immer einfachere Gleichungen
(... wobei merkwürdigerweise von oben nach unten gestapelt wird;
vgl. das Finnlandhaus
in Hamburg,
dessen Geschossdecken von oben nach unten eingehängt wurden
):
Den ganzen Aufwand treibt man nur,
um in der letzten Zeile
herauszubekommen,
und damit zu wissen, welche Zahl sich in der ersten Zeile
hinter dem
x verbarg
(und in der Tat gilt 2•3 + 4 = 10 ).
D.h. entscheidend wichtig ist die erste bzw.
Ausgangs-Zeile
(und die zweite und dritte Zeile erscheinen nur, um die erste Zeile zu lösen).
Genauso können wir auch Funktionen „stapeln“, und zwar
die
,
als „Kellerausbau“ die Ableitungsfunktionen
f
’ ,
f
’’ und
f
’’’
:
sowie als krönenden „Dachausbau“ die
Stammfunktion(en)
F :
Und so könnte man - von der
ausgehend -
nach oben und unten in alle Ewigkeit weiterstapeln
, also auf- oder
ableiten
(und wenn sie nicht gestorben sind, dann stapeln sie noch heute).
In dem Gebäude
ist jede
Etage die Ableitung der darüber liegenden
Etage.
|
Die Ableitungsfunktionen
sowie die Stammfunktion werden nur zu
dem einzigen Zweck erstellt, Informationen über die
(Extrem-, Sattel- und Wendepunkte,
Fläche zwischen dem Graphen der
|
Alle Ableitungen und - wie der
Name schon sagt - die Stammfunktion(en) sind -
genauso wie die
-
Funktionen.
(Nebenbei: es ist doch überaus erstaunlich, dass sich die Stammfunktion durch eine umgekehrte Ableitung bzw. „Aufleitung“ ergibt, also nichts wirklich Neues ist.)
Besonders einfach ist all das bei ganzrationalen Funktionen: je weiter man sie ableitet, desto einfacher werden sie.
Wenn also die
z.B. vierten Grades ist, dann ist
zwar die Stammfunktion F noch schwieriger, nämlich fünften Grades,
aber
f ’ dritten Grades,
f ’’ zweiten Grades
und f ’’’ sogar nur noch ersten Grades.
Eindrückliche Bilder dafür sind
die auf den Kopf gestellte
Stufenpyramide
,
und 
.
Ebenfalls sehr einfach wird alles
(bei sämtlichen, also nicht nur ganzrationalen Funktionen)
dadurch, dass in allen Bedingungen für wichtige Punkte Formeln die 0 vorkommt
(= 0, > 0, < 0, ≠ 0),
und mit 0 lässt sich besonders einfach rechnen
(allerdings darf man - was bei gebrochen rationalen Funktionen wichtig ist - niemals durch 0 teilen!).
Ein dritter Grund für die Einfachheit des ganzen „Ableitungsstapels“ ist, dass
die Bedingungen für besonders wichtige Punkte nur immer weiter nach unten rutschen,
auf den verschiedenen Ebenen also immer annähernd dasselbe gemacht wird.
Schauen wir uns dazu mal die verschiedenen Punkt-Bedingungen langsam nacheinander an
(wenn diese Bedingungen nicht erfüllt
sind, hat die
nicht die entsprechenden Punkte,
also z.B. keine Nullstellen):
Bestimmung der Nullstellen der
,
also der Schnittpunkte ihres Funktionsgraphen mit der x-Achse:
Bestimmung der
Maxima der
:
Bestimmung der
Minima der
:
Bestimmung der
Sattelpunkte der
:
Bestimmung der
Wendepunkte der
:
Wie da alles einfach nur weiter nach unten rutscht, wird besonders eindrücklich klar, wenn man all diese Punktbestimmungen in einem „Film“ ansieht:
erst langsam:
und dann nochmal schneller:
