nach x auflösen

Vorweg zur Fachsprache

(damit wir uns besser über unterhalten können):

• ein "Term" ist eine Kombination aus
• Zahlen,
• Unbekannten/Variablen

• Vor- und Rechenzeichen

• und Klammern
  

in der aber kein (!!!) Gleichheitszeichen vorkommt.

Beispiele für solche Terme sind  und  .

• eine "Gleichung" hat immer die Form

	links ein Term (z.B. ),
			rechts ein Term (z.B. ),
		dazwischen ein Gleichheitszeichen,

insgesamt also z.B.

=

• Terme können
  • nur umgeformt werden

(normalerweise ist es dabei das Ziel, einen schwierigen Term T_schwierig über mehrere Zwischenschritte in einen möglichst einfachen Term T_{ganz einfach} zu überführen, wobei sich dann paradoxerweise doch eine Gleichungskette ergibt:

 T_schwierig = T_einfacher = T_{noch einfacher} = ... = T_{ganz einfacher}),

• aber nicht gelöst werden.
  
  
• Gleichungen können
• sowohl umgeformt
• als auch (meistens) gelöst werden.
  

Im Laufe der Schulzeit tauchen (leider) massenhaft Gleichungen auf, die zu "lösen" sind

(hier nicht betrachtet seien die folgenden beiden durchaus möglichen Fälle:

1. nicht lösbare Aufgaben; in den eher seltenen Fällen, in denen das der Fall ist, soll aber gezeigt werden, dass sie nicht lösbar sind;
2. Gleichungen mit mehreren Lösungen).
   

Wenn überhaupt, so ist eine Gleichung nur dann lösbar, wenn nur noch eine einzige Unbekannte in ihr vorkommt

(sonst liegen keine Unbekannten, sondern voneinander abhängige sogenannte "Variablen" vor).

Im vorliegenden Fall ist x diese (einzige) Unbekannte.

"Unbekannte" ist dabei eine Abkürzung für "eine anfangs noch unbekannte Zahl", die aber durch verschiedene Umformungen am Ende herausgefunden werden soll, dann also endlich nicht mehr unbekannt ist. Diese dann bekannte Zahl nennt man auch "Lösung" der anfänglichen Gleichung.

(denn die Zahl, die wir ganz am Ende nach allen Rechnungen finden, muss natürlich die Gleichung ganz am Anfang lösen

[und deshalb kann eine Probe nie schaden, wobei "Probe" heißt, die am Ende gefundene Zahl für die Unbekannte in der allerersten Gleichung einzusetzen und zu schauen, ob diese erste Gleichung auch tatsächlich mit der eingesetzten Zahl "funktioniert"]).

Die letzte Gleichung beim Lösen von Gleichungen sieht

(wenn die Unbekannte  x  heißt)

immer

• entweder so aus

Zahl =  x

• oder so

 x  = Zahl.

In beiden Fällen wissen wir dann endlich, welche Zahl hinter der lange Zeit Unbekannten  x  verborgen war.

Unser Ziel ist es also immer,

• entweder auf der linken Seite der Gleichung

• oder aber auf der rechten Seite der Gleichung

nur noch das nackte ohne jegliche sonstigen zu haben

(wer will z.B. schon wissen, was 3 kosten, wenn er sich gerade mal eben nur leisten kann?).

Das heißt aber, dass ausnahmslos alle sonstigen Zusätze, die lange Zeit links oder rechts stehen, dort Schritt für Schritt gnadenlos beseitigt werden müssen.

Eine Gleichung zu lösen, in der  x  vorkommt, heißt also, sie auf einer Seite zum nackten  x  hin "aufzulösen".

Angenommen mal, dass die Unbekannte  x  am Ende rechts stehen, die letzte Zeile also so

Zahl =  x

aussehen soll.

Dann sehen die Gleichungsumformungen immer so aus:

Das Das⇔-Zeichen

(auch "Äquivalenzzeichen" genannt)

symbolisiert  dabei, dass die jeweils vorherige und die folgende Gleichung "äquivalent" (deutsch: gleichwertig) sind, womit gemeint ist, dass die Lösung unverändert bleibt

(was auch bedeutet, dass keine Lösung hinzukommt oder verschwindet).

Nur so kann man sich sicher sein, dass die Zahl, die ganz am Ende herauskommt, auch tatsächlich die Anfangsgleichung löst.

Um diese durchgehende Äquivalenz zu bewahren, darf man nur sogenannte "Äquivalenzumformungen" durchführen. Wie diese aussehen, wird weiter unten geklärt.

Vorsicht: man kann bei Gleichungsumformungen das Äquivalenzzeichen natürlich immer ganz stumpf dem Lehrer zuliebe hinschreiben, aber das ist grob falsch, wenn man nicht auch korrekte Äquivalenzumformungen durchführt.

Nun können wir endlich zur Lösung von schreiten.

In taucht die (einzige!) Unbekannte  x  auf beiden Gleichungsseiten auf. Wir haben die freie Wahl, ob sie am Ende nur noch links oder nur noch rechts auftauchen soll - und entscheiden uns hier mal dafür, dass  x  nur noch rechts auftauchen soll.

Zuerst wollen wir schrittweise erreichen, dass rechts nur noch  x  steht, und fragen uns daher, was auf der rechten Seite noch stört. Das ist offensichtlich alles außer eben dem  x  :

"alles" ist aber ein bisschen arg viel auf einmal

(da sieht man ja vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr, d.h. man weiß gar nicht, wo man anfangen soll), 

und deshalb zerlegen wir dieses "alles" in in seine einzelnen Bestandteile

(jetzt mal vergrößert, damit man die Bestandteile besser erkennt):

Die störenden Einzelbestandteile der rechten Seite sind also

1. ,

2. bzw. , denn ist ja eine Kurzschreibweise für ,

3. ,

4. .

(Sehen wir mal davon ab, dass man sofort die 6 gegen die 2 kürzen könnte, wobei 3 herauskäme und schon das Fieseste an der ganzen Gleichung, nämlich der Bruch, beseitigt wäre.

Die meisten Schüler würden diese Kürzungsmöglichkeit nämlich gar nicht sehen, weil die 6 und die 2 nicht in einem Bruch auftauchen.)

Die störenden Einzelelemente wurden hier erstmal in willkürlicher Reihenfolge aufgezählt. Damit stellen sich zwei Fragen:

1. : ist es egal, in welcher Reihenfolge wir sie auf der rechten Seite beseitigen? Und wenn nicht:

2. : welche Reihenfolge ist denn die richtige bzw. "einzig wahre"?

Es sei hier nicht begründet, weshalb es nicht egal ist, in welcher Reihenfolge die störenden Einzelelemente auf der rechten Seite beseitigt werden, sondern nur kategorisch festgestellt, dass es nicht egal ist.

Damit stellt sich automatisch nochmals die Frage B. nach der richtigen Reihenfolge. Ein guter erster Tipp ist da:

Dabei ist "am weitesten entfernt" oftmals, aber leider nicht immer räumlich gemeint. Z.B. ist in

räumlich weiter entfernt von  x  als , muss im Laufe der Rechnungen also vor   beseitigt werden.

Aber ist auch räumlich weiter entfernt von  x  als , und dennoch muss nach beseitigt werden.

Was also bedeutet "am weitesten entfernt" in jenen Fällen, in denen es nicht räumlich gemeint ist?

Die erste Antwort, nämlich "rechnerisch am weitesten entfernt", ist da nicht gerade hilfreich.

Ein zweiter guter Tipp ist da:

Im vorliegenden Fall setzen wir in die rechte Gleichungsseite für  x  z.B. die  1  ein und erhalten .

1. müssen wir zwangsläufig mit = beginnen und erhalten .

2. müssen wir nun zwangsläufig = rechnen und erhalten .

3. ist der nächste Rechenschritt zwangsläufig = , womit wir erhalten.

4. bleibt uns nun nur noch, = zu rechnen.

(Vorsicht: auch dieses Ergebnis ist nicht automatisch die gesuchte Lösung der Ausgangsgleichung .)

Kurz gesagt sind die nötigen Rechenschritte (in dieser Reihenfolge):

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

So gesehen ist rechnerisch (!) am nächsten an  x  und am weitesten von  x  entfernt.

Da wir laut dem ersten Tipp immer mit dem jeweils Entferntesten anfangen, müssen wir die störenden Einzelelemente also in umgekehrter Reihenfolge beseitigen:

unser Arbeitsprogramm (für die Säuberung der rechten Gleichungsseite):  beseitigen,  beseitigen,  beseitigen, beseitigen.

"Hau weg den Scheiß!"

Legen wir also endlich los:

1. : das rechts störende wird beseitigt:

             =    |:  6  (da bislang mit  6  multipliziert wurde)

⇔():   6   =

Dabei besagt ein Balken | hinter einer Gleichung, dass die direkt hinter diesem Balken stehende Rechnung

(im vorliegenden Fall  :  6    )

mit BEIDEN (!) GANZEN (!) Seiten der Gleichung durchgeführt werden muss

(genau dann spricht man von einer "Äquivalenzumformung" [s.o.], und nur dann bleibt die Gleichung wirklich eine Gleichung bzw. "in der Waage": ;

hingegen ist eine Ungleichung genauso wenig aussagekräftig wie eine Waage, bei der die beiden Schalen verschieden hoch stehen: da kann man nur sagen, dass eine Seite "irgendwie" schwerer ist als die andere, aber nicht herausfinden, wieviel eine Seite genau wiegt).

Im vorliegenden Fall heißt "GANZE Seite" im Hinblick auf die linke Seite, dass der komplette Term durch  6  geteilt werden muss, also

• sowohl der erste Summand 72
• als auch der zweite Summand 6 x .

Ohne Klammern, also in der Form :  6  , würde aber fälschlich nur der zweite Summand 6 x  durch  6  geteilt.

Das Fatale ist also, dass man hier ausnahmsweise mal

(von sich aus, also ohne Anweisung durch einen anderen!)

eine Klammer ergänzen muss - die gleich aber schon wieder beseitigt wird

("rin in die Kartoffeln, raus aus die Kartoffeln").

Man befolge die "Balken-Schreibweise"

• dem Lehrer zuliebe, wenn der darauf besteht, denn eventuell zieht er Punkte ab, wenn diese Schreibweise fehlt,
• vor allem aber für sich selbst
  

(und viele Lehrer meinen die Vorschrift der Balken-Schreibweise tatsächlich als "Hilfe zur Selbsthilfe"):

• um sich selbst deutlich zu signalisieren, dass man die nach dem Balken folgende Rechenanweisung auf BEIDE GANZE Gleichungsseiten (also zweimal) anwenden muss;
• um später, falls man bemerkt, dass man sich "irgendwie" verrechnet hat, rekonstruieren zu können, was man eigentlich vorhatte, und dann nochmals zu überprüfen, ob man es im Folgenden auch tatäschlich (korrekt) getan hat;
• weil zumindest ich als Lehrer auch Punkte dafür geben würde, dass jemand zwar hinter einen Balken die richtige Rechenanweisung hingeschrieben, sie dann aber falsch befolgt hat bzw. sich verrechnet hat
  

(manchmal ist mir der Wille tatsächlich wichtiger als die Tat, denn ersterer erfordert oftmals tieferes Verständnis, während ein Rechenfehler eine lässliche Sünde ist).

Damit aber zurück zu

  (72        + 6 x ):  6   =

⇔ 72 :  6  + 6 x   :  6  =

⇔    12     +    x          =

2. : das rechts störende wird beseitigt - und damit wohl das Schwierigste an der Gleichung, nämlich der Bruch:

    12 +         x            = | •  2  (da bislang durch  2  dividiert wurde)
⇔ (12       +   x  ) •  2  =
⇔   12 •  2  +  x    •  2   =
⇔        24    +    2 x       =

3. : das rechts störende wird beseitigt:  

       24    +    2 x       =   | -  5  (da bislang  5  addiert wurde)

⇔        19    +    2 x       =         

Jetzt könnten wir in einem 4. Schritt noch auf beiden Seiten durch  3  teilen, um rechts auch noch die  3  zu beseitigen und damit unser Ziel zu erreichen, nämlich rechts nur noch das nackte  x   stehen zu haben. Aber damit würden wir links fiese Brüche erhalten, nämlich und .

Da kümmern wir uns doch lieber erstmal um das Problem, dass  x  auf beiden Seiten der Gleichung auftaucht, aber nur rechts auftauchen soll. Also muss es links weg:

        19 + 2 x  = | - 2 x  (da links bislang 2 x  addiert wurde)

     ⇔ 19          =     x   ,

womit wir nun endlich unser Ziel Zahl =  x  erreicht haben: 19 ist also die Lösung der Ausgangsgleichung .

Anders gesagt: 19 war schon immer die (einzige) Lösung der Ausgangsgleichung, aber das war uns lange unbekannt und erst jetzt wissen wir Dummerchen das.