Bruchrechenregeln veranschaulichen
Thema hier sind die (nur!) drei Regeln, nach denen jeweils zwei Brüche addiert / subtrahiert, multipliziert oder durcheinander dividiert werden
(wobei das Erweitern und Kürzen von Brüchen vorausgesetzt wird):
Da frage ich mich
, in welcher Unterrichtsphase eine anschauliche Vermittlung hilfreich sein kann, also
, wie genau Veranschaulichungen in den beiden Phasen aussehen sollten.
Zu 1., also der Herleitung der Bruchrechenregeln
Es gibt meiner Meinung nach auch Grenzen der Anschaulichkeit. So sollten die Schüler
• bedeutet " von "
(vgl. 8 : 2 bedeutet "wie oft passt die 2 in die 8?", nämlich 4 mal; aber die 8 passt mal in die 2 , was doch arg unanschaulich ist: wie soll ein Elefant in eine Maus passen?; und doch passt ein Teil des Elefanten exakt in die Maus: ).
(also nicht [wie oben bei der Bruchmultiplikation] den -Kuchen !)
in 8 gleich große Teile
Das ist ein schön einfaches Ergebnis, für das allerdings künstlich gesorgt wurde:
Das ist aber keine anschauliche Herleitung mehr
(und sie funktioniert sowieso nur so einfach, wenn [wie hier] entweder die Zähler oder aber die Nenner der beiden Brüche identisch sind).
Zudem hat die anschauliche Herleitung = , also von : = 2 , einen (ersten) entscheidenden Nachteil:
es bleibt unklar, dass und warum man
.
Oder kurz
.
Der entscheidende Nachteil der Kuchendarstellungen von Brüchen ist aber, das sie immer nur für konkrete Brüche
(z.B. und )
funktionieren und somit für jede neue Bruchauswahl neu durchgeführt werden müssten
(was z.B. bei und enorm aufwändig wäre).
(wie oft üblich)
mit stumpfer Rechen- und Rezept-„Mathematik“ abzuspeisen ,
Selbst wenn diese Herleitungen in späteren Schuljahren
(oder dem späteren Leben der Schüler)
nie wieder benötigt werden, haben sie oftmals ihre Existenzberechtigung, denn sie sind
Die oben vorgeführten Veranschaulichungen von Bruchrechenregeln halte ich aber nurmehr für kontraproduktiv, da
(Allerdings sind die Bruchrechenregeln im selben Augenblick, in dem man die sie sicher (innermathematisch) anwenden kann, mathematisch uninteressant und nur noch Handwerkszeug.)
Besonders wichtig wird dieses Handwerkszeug im weiteren Schulverlauf bei (Funktions-) Gleichungen, die enorm wichtig bis ins Abitur wie überhaupt in der gesamten Mathematik sind.
Ein ganz simples Beispiel zur oben behandelten Bruchdivision : = 2 :
Da wird stumpf ein Bruchrechengesetz angewandt und denkt keiner mehr an und und wie sie sich zueinander verhalten.
Was also an der Bruchrechnung ist innerhalb der (Schul-)Mathematik wichtig?
Zu a.: es muss klar werden
(und das scheint mir in Schulen oftmals doch zu kurz zu kommen)
dass der Zahlenstrahl durch die massenhaften rationalen Zahlen zwischen den natürlichen Zahlen . wird, so dass man die Vermutung aufstellen kann
(oder stillschweigend unterstellt),
dass er dadurch "stetig" voll ist, es also keine Lücken mehr gibt
Und da sollte im Unterricht schon der Wegweiser zur ersten nicht-rationalen Zahl aufgestellt
oder sogar bereits eine nicht-rationale konstruiert werden, also z.B. 0, 1 2 1 22 1 222 1 2222 ...
Zu 3., also der Herleitung der Bruchrechenregeln z.B. mittels : = 2 :
ich habe oben mit viel Mühe "Kuchen"-Veranschaulichungen dargestellt, um gerade damit zu zeigen, dass sich die Mühe kaum lohnt.
Zu 2., also der Anwendung der (vorher hergeleiteten?) Bruchrechengesetze
Vorweg: eines meiner Standardmittel für Veranschaulichungen sind Alltagsdinge wie z.B. oben und .
Zwar wurden diese Kuchen oben schnell zu und abstrahiert, aber sie sind bei den nachfolgenden Überlegungen doch hoffentlich doch im Hinterkopf geblieben: die Alltagsdinge und -vorgänge sind also
Veranschaulichungen
aber keine echten außermathematischen Anwendungen: z.B. von = ist eine Überlegung, die wohl niemals beim realen Kuchen-Verteilen stattfindet.
Im Folgenden geht es nun aber
nicht mehr darum, z.B. die Bruchrechenregel herzuleiten,
sondern darum, sie für verschiedenste Zahlen a, b, c und d anzuwenden.
Um diese Anwendung zu trainieren, wähle ich hier
(wie auch gerne bei Funktionen)
zwei weitere Metaphern:
Maschinen , die mit beliebigen Eingaben immer dasselbe durchführen
(z.B. verdoppelt die Funktion f: y = 2 • x jedes eingegebene x ),
Kartons (im folgenden Geschenkboxen), in die jede beliebige Zahl eingegeben werden kann, deren Inhalt also letztlich egal (unsichtbar) ist.
Kommen wir damit also zur Veranschaulichung der (bereits hergeleiteten) Bruchrechenregeln :
Als Gleichung aus Standbildern: =,
also z.B.
oder
.
die Bruchaddition (und analog die Bruchsubtraktion) :
Normalerweise ist die (schriftliche) Addition einfacher als die (schriftliche) Multiplikation. Anders aber bei der Bruchrechnung:
um Brüche überhaupt addieren zu können, müssen sie
Als Gleichung aus Standbildern: =
, Fehlerquelle: bei der Bruchaddition
,
Als Gleichung aus Standbildern:
Am Beispiel der Bruchdivisonsmaschine wird der Vorteil solcher "Filmchen" deutlich: die Bruchrechenregel ist da
eine Tätigkeit (der Maschine) bzw. ein "stetiger" Prozess,
statt eines "diskreten" Sprungs wie in .
Besser als die hier benutzten „Filmchen“ sind normalerweise echte kleine Maschinen,
Ein Beispiel: die Bruchmultiplikation sähe als simple Lego-Maschine z.B. so aus:
(Am besten wäre es aber, wenn die Schüler solche Maschinen selbst bauen würden: beim Bauen würden sie die Bruchrechengesetze besser verstehen.)
Der Vorteil solch einer echten Maschine ist, dass da
nicht nur die Maschine etwas tut,
sondern die Schüler selbst etwas tun.
Diese erste Umsetzung als Maschine hat aber im Vergleich mit den Nachteil, dass
der Multiplikationspunkt nicht langsam in die beiden Multiplikationspunkte aufgespaltet wird
und die anfänglichen Bruchstriche nicht zu einem einzigen Bruchstrich zusammenwachsen.
Mit einer komplizierteren Mechanik könnte man an der Maschine auch diese Effekte ergänzen, aber
welcher Lehrer hat schon die passenden Lego-Teile und die Zeit, „eben mal kurz“ die nötige Mechanik zu ersinnen?,
ich bin zu faul, die entsprechende Mechanik (auch für die anderen Bruchrechengesetze) zu entwickeln.