1. Wo schon immer von "Anwendungsaufgaben" schwadroniert wird: die besten - und preiswertesten - (Veranschaulichungs-)Modelle gibts noch immer im Spielzeughandel (vgl. ) sowie in Baumärkten (vgl. ).

  2. Wissenschaft und wissenschaftliche Denkweisen lernt man am besten an den allereinfachsten, "offensichtlichen" (Spielzeug-)Modellen. Und notfalls nagt man sie solange ab, bis sie allereinfachst sind (vgl. ).

  3. Durchsichtige Modelle wie die oben abgebildete Uhr sind immer günstig: endlich kann man Einblick in Dinge gewinnen, die sonst hinter der Verpackung/dem Gehäuse abstrakt bleiben.

(Wir werden heutzutage doch durch Verpackungen [Design!] oftmals nur abgelenkt: Neues Design - alter Inhalt.)

Und wenn eine Sache nicht durchsichtig ist, man sie aber "durchschauen" will, muss man sie eben "durchsichtig" machen, also die Verpackung/das Gehäuse entfernen.

  1. Aber es reicht nicht, die Uhr nur (in ihrem durchsichtigen Gehäuse) zu "durchschauen", also das Gehäuse geschlossen zu lassen: Unten wird deutlich werden, dass man sie auch "be-greifen", d.h. auseinander nehmen bzw. umgekehrt zusammenbauen muss.

(Vorsicht! Es ist zwar schon einige Zeit her, aber ich kann mich noch halbwegs erinnern, dass der Zusammenbau der "Kinderuhr" keineswegs von Kindern bewerkstelligt werden konnte, sondern unbedingt der Mithilfe von Mammi oder Pappi bedurfte - und dass auch ich einige Zeit dafür brauchte.
Ich halte es also nicht für angebracht, die SchülerInnen mit dem Zusammenbau beginnen zu lassen, da es da vermutlich wegen verschiedener technischer Begabungen [vgl. ] zu schlimmen Frustrationen und zudem einem enormen Durcheinander kommen kann.
Wir werden unten noch sehen, dass es zum Grundverständnis der Uhr auch reicht, von der fertigen Uhr ein einziges Teil [die "Ankerhemmung"] zu demontieren.)

  1. Angenommen, man begreift anschaulich (an-schau-lich!) anhand der oben gezeigten Spielzeuguhr

(die nebenbei tatsächlich funktioniert, also eine richtige Uhr und nicht nur ein Modell ist),

die grundsätzliche Funktionsweise von (mechanischen) Uhren - und zwar u.a. (s.u.) mittels Bruchrechnung. Hat man dann Mathematik (die Multiplikation von Brüchen; s.u.) "angewandt"? Das Verständnis, wie eine mechanische Uhr funktioniert, "beinhaltet" doch sehr viel mehr

(z.B. auch das Pendel, die "Ankerhemmung" sowie den Aufzieh-Mechanismus)

als nur das schnöde Verhältnis der Zahnräder(zähne) zueinander. Es reicht zu wissen, dass und wie die Zahnräder Bruchrechnung treiben - und deshalb werde ich mir die vollständigen und genauen Rechnungen unten auch sparen!

  1. Wie eine mechanische Uhr funktioniert, habe auch ich erst anhand der vorliegenden Spielzeuguhr verstanden:

ich finde es langweilig, nur anderen zu erklären, was ich selbst längst weiß, und umgekehrt kann ich Lernende besser verstehen (auch ihnen etwas vermitteln), wenn ich selbst noch lerne bzw. gerade noch gelernt habe. Ein Schulstoff ist also dann besonders geeignet, wenn die Lehrkraft zwar die Grundzüge ihres Fachs beherrscht, aber sogar an (scheinbar) einfachen Themen selbst noch Neues entdecken kann (oder die SchülerInnen sie sogar erst auf solche neuen Aspekte bringen!).

  1. Zuguterletzt in diesen Vorbemerkungen: wie mir jetzt ein freundlicher Leser dieser Seite mitgeteilt hat, ist die Uhr erhältlich (und dafür mache ich hier gerne Reklame) unter (dort "My first clock"), wo man auch interessante Hintergründe erfährt:

"Basierend auf der allerersten mechanischen Uhr, erfunden von dem italienischen Wissenschaftler Danti E. im Jahr 1350, wurde diese lehrreiche Uhr aus Kunststoff entworfen."

Beginnen wir nun mit dem, was man als erstes sieht, wenn die Uhr fertig montiert und aufgezogen vor einem steht:

  1. die statischen Fakten, also vor allem viele Zahnräder, das Pendel und die Zeiger,

  2. Bewegungen:

  1. das sich schnell hin- und herbewegende Pendel,

  2. das sich ebenfalls halbwegs schnell bewegende weiße Zackenrad oben,

  3. direkt daneben das sich schon langsamer bewegende rote Zahnrad,

  4. schräg darunter das sich nochmals langsamer bewegende gelbe Zahnrad

(während die Bewegungen der weiteren Zahnräder oder gar der Zeiger nicht [mehr] wahrnehmbar sind).

D.h. mittels 2., also erst durch die Bewegungen,

  1. kommt eine Richtung in die puren Fakten aus 1.

  2. erkennt man schon eins der wichtigsten Grundprinzipien: Schnelles wird immer langsamer gemacht.

Aus A. und B. folgend mag man sich nun dafür interessieren, über welche Zwischenschritte alles immer langsamer wird. Dazu muss man sich anschauen, wie die Zahnräder hintereinander geschaltet sind, (nämlich, wenn man die Uhr von vorne anschaut, weitgehend im Uhrzeigersinn außen an der Uhr entlang):

  1. das weiße Zackenrad ist an das rote Zahnrad gekoppelt,
    das rote an das gelbe,
    das gelbe an das blaue,
    das blaue an das (außen)rot(innen)weiße,
    das rotweiße an das schwarze,
    das schwarze an das hellgrüne,
    das hellgrüne an das rosafarbene.

(Nebenher fallen dabei vielleicht schon einige Besonderheiten auf:

  • das rotweiße Zahnrad ist als einziges geschlossen [und hinten mit einem Aufziehknopf versehen],

  • das rosafarbene und das schwarze Zahnrad liegen als einzige hintereinander und sitzen auf der Zeigerachse.)

  1. sämtliche Rädchen 

(wieder mit bemerkenswerten Ausnahmen, nämlich dem rotweißen und dem rosafarbenen)

bestehen aus zwei fest miteinander verbunden Zahnrädern, nämlich jeweils einem großen und einem kleinen. Siehe etwa das gelbe Rädchen in

Auf diesem Bild sieht man nun auch, dass jeweils das kleine (hier gelbe) Rädchen auf das nächste große (hier blaue) Rädchen einwirkt.

Insgesamt also ... groß/klein, groß/ klein, groß/klein ...

Weil nun (am Beispiel gelb/blau ) das kleine gelbe Rädchen viel weniger Zähne hat als das große blaue

(an das es fest gekoppelt ist),

braucht das kleine gelbe Rädchen für eine Umdrehung viel weniger Zeit als das große blaue, d.h. das kleine gelbe Rädchen (und damit das ganze gelbe Zahnrad) dreht sich erheblich schneller als das große blaue Rädchen (und damit das ganze blaue Zahnrad)

... womit der Gesamtmechanismus der stetigen Verlangsamung von Rädchen zu Rädchen entdeckt ist.

Es lässt sich sogar (wieder am Beispiel gelb/blau ) erkennen, in welchem Verhältnis die Geschwindigkeiten des gelben und des blauen Zahnrads zueinander stehen:

  • das kleine gelbe Rädchen hat 15 Zähne,

  • das große blaue Rädchen hat 56 Zähne,

  • also ist das Verhältnis 15/56, bzw. das blaue Zahnrad ist 15/56 , also etwa 1/4 mal so schnell (langsam?) wie das gelbe.

Nun kann man durch unterschiedliche Anzahlen von Zähnen natürlich eine erstaunlich gute  Feinregulierung erreichen, so dass die Uhr hinterher z.B. sekundengenau geht.

Weil die in der Uhr vorhandenen Zahnräder aber alle annähernd gleichgroß sind und ich zudem zu faul bin, an jedem Zahnrad die Zähne des kleinen und großen Zahnkranzes abzuzählen, sei hier mal davon ausgegangen, dass von Zahnrad zu Zahnrad jeweils eine Verlangsamung auf etwa 1/4 stattfindet. Damit ergibt sich:

  • vom weißen Zackenrad zum roten Zahnrad eine Verlangsamung auf 1/4,

  • vom rote zum gelben Zahnrad eine Verlangsamung auf 1/4,

  • vom gelben zum blauen Zahnrad eine Verlangsamung auf 1/4,

  • vom blauen zum (außen)rot(innen)weißen Zahnrad eine Verlangsamung auf 1/4,

  • vom rotweißen zum  schwarzen Zahnrad eine Verlangsamung auf 1/4,

  • vom schwarzen zum hellgrünen Zahnrad eineVerlangsamung auf 1/4,

  • vom hellgrünen zum  rosafarbenen Zahnrad eine Verlangsamung auf 1/4.

Diese Verlangsamungsfaktoren muss man natürlich (?) miteinander multiplizieren, d.h. vom ersten (weißen) Zackenrad bis zum letzten (rosafarbenen) Zahnrad wird die Anmfangsgeschwindigkeit auf

1/4 • 1/4 • 1/4 • 1/4 • 1/4 • 1/4 • 1/4 =

herabgesenkt.

Durch die Multiplikation bzw. Potenzierung entsteht dabei eine ganz enorme Verlangsamung, denn

≈  1/16384

Die Anfangsgeschwindigkeit wird also nach dieser groben Überschlagsrechnung etwa auf

ein Sechzehntausendstel !!!

reduziert

(... und das, wohlgemerkt, in einer billigen Kinderuhr!).

Fragt sich nur, was Anfang und was Ende ist.

Das ist keineswegs eine Scheinfrage, wenn auch oben gezeigt wurde, dass die Geschwindigkeitsreduzierung mit dem weißen Zackenrad beginnt und mit dem rosafarbenen Zahnrad endet:

  1. Zum (scheinbaren) Anfang: was (wer) bringt denn das weiße Zackenrad ganz oben in Bewegung?

(Aristoteles "unbewegter Beweger"?)

Wenn man sich nun das weiße Zackenrad ganz oben genauer anschaut, sieht man dort einen kleinen zusätzlichen Mechanismus in Form einer Art weißen Balkens (hier zur Verdeutlichung rot umrahmt):

Um diesen weißen "Balken" überhaupt fotografieren zu können, musste leider hinten das Pendel entfernt werden, und deshalb wird auch Entscheidendes nicht deutlich: das Pendel ist an dem im Bild violett umrahmten Stift aufgehängt, d.h. durch die Pendelbewegung werden auch der Stift und damit der "Balken" hin und her bewegt. Die beiden maximalen Ausschläge des "Balkens" sind dabei:

      

Viel anschaulicher, nämlich in Bewegung:

Bei der Spielzeuguhr ist es sehr einfach, das Pendel und dann den "Balken" zu entfernen

(und mindestens das sollte man im Unterricht mal tun lassen),

und dann bemerkt man etwas Höchstinteressantes: sämtliche Zahnräder beginnen augenblicklich mit einer rasend schnellen Drehung - und das weiße Zackenrad dreht sich am schnellsten. Offensichtlich wird es also nicht vom "Balken" bzw. Pendel, sondern woanders her angetrieben. Baut man "Balken" und Pendel wieder ein und sieht genauer hin, so erkennt man auch, dass der "Balken" das weiße Zackenrad zwar ab und zu blockiert, aber nicht antreibt.

Weil dieses Blockieren die Hauptaufgabe des "Balkens" ist, nennt man ihn auch wegen der

(zumindest in der Version auf der Internetseite )

Ähnlichkeit zu einem Schiffsanker auch "Ankerhemmung".

  1. Das weiße Zackenrad (bzw. Pendel und Ankerblockierung) ist also wider Erwarten nicht der Anfang - oder zumindest nicht der Anfang der Bewegung.

Sondern diese geht vom rotweißen Zahnrad aus, das hinten ja auch mit einem Aufzieh-Mechanismus versehen ist.

Es ist nicht zu öffnen, aber vermutlich ist darin eine simple Spiralfeder, die aufgezogen werden kann.

Wenn nun von diesem rotweißen Zahnrad alle Bewegung ausgeht, so heißt das insbesondere, dass

  1. (entgegen dem Uhrzeigersinn) von ihm das blaue, das gelbe, das rote Zahnrad und dann das weiße Zackenrad,

  2. ebenso aber auch das schwarze, hellbrüne und rosafarbene Zahnrad

angetrieben werden.

Vorerst zu a.:

Wie schon oben bei Demontage von Pendel und Ankerhemmung gesehen, läuft die ganze "Maschine" ohne die Ankerhemmung rasend schnell ab. Pendel und Ankerhemmung  sorgen also für eine regelmäßige Unterbrechung  des sonst ungeregelten Ablaufs.

Es besteht also eine wechselseitige Wirkung

  • Pendel und Ankerhemmung liefern den Takt,

  • das rotweiße Aufzieh-Rad liefert die Bewegung.

Gerade dieses Wechselspiel macht die eigentliche Uhr aus - und alles andere ist (wie gezeigt) nur zwischenliegende "Bruch-Verlangsamung".

So simpel die Ankerhemmung ist, so genial ist doch ihre Erfindung zwischen 1669 und 1670 durch den Londoner Uhrmacher William Clement (geb.1638, gest. 1704).

Aber mindestens ebenso genial ist es, ein Pendel als Taktgeber zu verwenden. Und da scheint es immerhin der doppelten Genialität von Galileo Galilei und Christan Huygens bedurft zu haben.

Das interessante an einem Pendel ist nämlich

(und hier lässt sich der Unterricht zur Spielzeuguhr allemal enorm ausweiten und geht er insbesondere weit über die an sich langweilige Bruchrechnung hinaus),

dass es bei gegebener Länge immer gleich schnell pendelt, egal wie groß der Ausschlag ist

(wenn der Ausschlag größer ist, hat das Pendel auch einen längeren Weg zurückzulegen, was sich gegenseitig aufhebt; wobei hier ungeklärt bleiben soll, warum das so ist).

Allerdings ändert sich die Ausschlagzeit mit der Pendellänge - was man dazu nutzen kann, die gewünschte Ausschlagzeit

(und damit die Ganggenauigkeit der Uhr)

sehr genau zu justieren. Und entsprechend ist auch das Pendel auf der Spielzeuguhr verlänger- oder verkürzbar

(was nötig sein kann, weil die Mechanik der Spielzeuguhr doch relativ ungenau ist; aber Pendel pendeln auch abhängig von der Entfernung zum Erdmittelpunkt verschieden schnell, z.B. am Nordpol schneller, weil die Erde an den Polen abgeplattet ist. Man kann also umgekehrt ein Pendel auch zum Nachweis der Erdabplattung benutzen!).

Die Formel für den Zusammenhang zwischen T (der Zeit einer Halbschwingung des Pendels von links nach rechts bzw. umgekehrt) und der L (die Pendellänge) ist nun aber leider nicht mehr so einfach herzuleiten und sei daher nur kurz angegeben:

ist die Kreiszahl (≈ 3,14), und mit g, also der sogenannten "Graviationskonstante", geht da auch die Schwerkraft ein

(grob geschätzt ist g ≈ 9,81, aber diese Zahl variiert

  • nach verschiedenen geographischen Breiten [s.o.]

  • und sowieso z.B. zwischen Erde und Mond).

Spätestens hier sollte klar sein, wie viel Genalität, aber auch Mathematik in die Konstruktion der doch noch relativ einfachen Spielzeuguhr eingegangen ist.

Nur zur Mathematik: immerhin muss jetzt ausgehend von die Bruch-Übersetzung sämtlicher Zahnräder berechnet werden, damit aus der anfänglichen Pendelbewegung am Ende eine korrekte Zeigerbewegung wird.

Solch eine vollständige Berechnung ist aber im Unterricht kaum möglich oder zumindest allzu aufwendig - vielleicht mit einer Ausnahme:

Bei der ersten Betrachtung der Uhr oben war schon aufgefallen, dass zwei Zahnräder ganz anders montiert sind als alle anderen: während alle sonstigen Zahnräder nebeneinander montiert sind und außerdem an der Seite der Uhr, sind das schwarze und das rosafarbene Zahnrad hintereinander montiert, und zwar genau auf der Achse, mit der auch die beiden (!) Uhrzeiger angetrieben werden

(genau genommen sind es zwei [allerdings konzentrische] Achsen [für jeden der unterschiedlich schnell laufenden Zeiger eine], nämlich eine Außen- und eine Innenachse).

Bei genauem Hinsehen kann man auch erkennen, dass

antreibt.

Ebenfalls bei genauerem Hinsehen wird klar:

(und - wie wir inzwischen wissen - Verlangsamung)

statt: das schwarze treibt das hellgrüne Zahnrad an und dieses dann erst das rosafarbene.

Offensichtlich wird da die relativ schnelle Bewegung des Minutenzeigers (schwarzes Zahnrad) nochmals in die relativ langsame Bewegung des Stundenzeigers (rosafarbenes Zahnrad) verlangsamt (!).

Und hier nun könnte man im Unterricht tatsächlich mal rechnen:

Durch die doppelte Übersetzung zwischen schwarzem/hellgrünem/rosafarbenem Zahnrad muss die Geschwindigkeit also auf  1/12 gesenkt werden.

Und nun könnte man wie oben die großen und kleinen Zahnkränze zwischen schwarzem und rosafarbenem Zahnrad abzählen und berechnen, ob das Produkt tatsächlich 1/12 ergibt. Hier zeigt sich aber, dass

(immerhin stimmt die Größenordnung ungefähr, was sozusagen eine schöne Bestätigung der Theorie ist).

Schülern mögen die vielen teilweise hintereinander liegenden, teilweise

      (was ja schon eine wichtige Erkenntnis ist:)
halbkreisförmig angeordneten Zahnräder in völlig chaotisch erscheinen. Deshalb ist es sinnvoll, sich genau anzuschauen, welche Zahnräder nacheinander ineinander greifen. Wenn man die Zahnräder dann zwecks besserer Übersichtlichkeit in der soeben herausgefundenen Reihenfolge untereinander montiert, erhält man die viel übersichtlichere Anordnung .

Digitaluhren funktionieren im Prinzip genauso wie mechanische Uhren

(weshalb es allemal ausreicht, mechanische Uhren verstanden zu haben - und ein Laie hat eh kaum eine Chance, das Innere einer Digitaluhr [anschaulich] zu verstehen!):

(man bräuchte wegen der enorm schnellen Schwingungen des Quarzes auch viel zu viele Zahnräder),

sondern da muss "nur noch" durch einen Minicomputer (mittels Bruchrechnung!) umgerechnet werden.

Pädagogisch ist mit all dem allerdings noch gar nichts erreicht, denn zwei Probleme bleiben:

  1. der Wunsch, die Uhr zu verstehen,

  2. ein analytischer Blick (also z.B. die oben geschilderte Vorgehensweise, mit der ich die Uhr verstanden habe).

Allemal vorstellbar wäre es aber, die Behandlung der Uhr (ausgehend von der Bruchrechnung) nicht nur - was sowieso unverzichtbar ist - physikalisch zu erweitern (s.o. zum Pendel), sondern zu einem fächerübergreifenden Projekt "Zeit":

, , , Geschichte der Uhrwerke, zunehmende Beschleunigung der Gesellschaft, subjektive/objektive Zeit, Bau einer Sonnen-/Wasser-/Sanduhr ...

PS: Vgl. zum Zahnradverhältnis auch ähnliche Überlegungen
  • zu einer astronomischen Uhr: ,
  • zu
  • zum

Mechanismus von Antikythera
(an dem allemal bemerkenswert ist, dass er mit Zahnrädern nicht nur Brüche multiplizieren und dividieren, sondern sie mittels eines Differentialgetriebes [!] auch addieren und subtrahieren kann)

  • Wikipedia

  • Bild Bild


  • naturwissenschaftlich-mathematische Hintergründe: