das differenzierbarste Auto
oder
schöne Funktionsgraphen

Talking Heads - The Great Curve

Zwei wichtige Begriffe beim Thema „Funktionen“ sind

• Stetigkeit,

• Differenzierbarkeit.

Zwei anschauliche Zugänge:

1. : eine Funktion ist „stetig“, wenn ihr Funktionsgraph durchgehend ist, also keine Sprünge hat

(wenn man ihn also mit einem einzigen Bleistiftstrich ohne Absetzen zeichnen kann):

	stetig	nicht stetig	nicht stetig

2. : eine Funktion ist „differenzierbar“, wenn sie in jedem Punkt des Funktionsgraphen eine eindeutige Steigung hat:

Für die Schule reicht eine vereinfachte und nicht ganz korrekte Version:

eine Funktion ist „differenzierbar“, wenn sie keine Knicke hat: 

	differenzierbar	nicht differenzierbar

(Vielleicht müsste im Unterricht aber eben doch endlich mal die  Weierstraß-Funktion durchgenommen werden,

• deren Graph  keine Knicke hat

• und die dennoch nicht differenzierbar ist. Vgl. .

Zu ergänzen ist außerdem, dass es in der Mathematik keine Steigerung "differenzierbar / differenzierbarer / am differenzierbarsten" und es so gesehen auch kein "differenzierbarstes Auto" gibt.

Und doch: die Mathematiker unterscheiden zwischen

• [vollständiger] Differenzierbarkeit im gesamten Definitionsbereich, also z.B. ,

• sogenannter "partieller" Differenzierbarkeit, wenn die Funktion in Teil-Intervallen differenzierbar ist, also z.B. für das blaue und das grüne Intervall in

)

(oder zumindest doch in Mathematik-Leistungskursen)

auch die mathematisch notierten Definitionen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit wichtig. Schüler müssen eben auch mathematische Vorgehensweisen

(im Folgenden die "Epsilontik" bzw. die Limes-Betrachtung)

sowie korrekte mathematische Fachsprache inkl. der mathematischen Symbole kennen

(und - verwegen gesagt - schätzen)

lernen:

Aber diese abstrakte Fachsprache mit ihren Symbolen reicht doch nicht - oder zumindest nicht für Anfänger: es muss noch eine anschauliche Vorstellung hinzukommen - oder voraus gehen.

Sieht man mal von

• der Betrags-Funktion

• der Tangens- und Cotangens-Funktion

• sowie gebrochen rationalen Funktionen ab

1. : wieso sollte man etwas „problematisieren“, was selbstverständlich ist?

2. : wer nur die Regel und nicht auch Ausnahmen kennt

ist betriebsblind und kann nicht mehr über die Regel staunen

(über ihre Grenzen, Praktikabilität und - hier sehr wichtig - Schönheit;

Ich hätte auch nichts dagegen, dass Schüler mal Linien an meinem Auto abkleben (Linien sehen, fühlen und tun):

Aber warum nicht mit Schülern auch mal einfache 3D-Konstruktionen durchführen, nämlich

• händisch mit Kurvenlinealen
• oder mit einem einfachen 3D-CAD-Programm wie z.B. (inkl. Bezierkurven)?!

"Das entscheidende Kriterium ist Schönheit. Für hässliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz." (G. H. Hardy)

An Autos

(wie an der restlichen Welt, also z.B. dem Flechtenwuchs auf Hünengräbern )

sind auch die scheinbar nebensächlichsten Sachen interessant, nämlich z.B.,

• dass die meisten Autofelgen fünf Speichen haben

(wieso eigentlich?; nebenbei: für viele Autofahrer sind Autofelgen keineswegs nebensächlich, sondern ein Heiligtum, für das sie gerne enorm viel Geld ausgeben; vgl. „Kultfelgen“),

Bei der Konstruktion dieser Säulen muss geradezu die Quadratur des Kreises vollbracht werden:

Da wäre es natürlich schön, wenn man mal von einem Schrottwagen das Blech "abpellen" könnte, das den inneren Träger ummantelt, um sich die Konstruktion dieses Trägers genauer anzuschauen:

Hier aber soll es nur um die äußeren Blechkleider von Autos gehen, im vorliegenden Fall also um die Blech-Ummantelung der A-Säulen.

Aufmerksam geworden auf die A-Säulen von Autos bin ich überhaupt erst durch den Spiegel-Artikel

.

Daraus sechs Beispiele: 

1.

Die farbigen Unterstreichungen in den rechten Spalten sind hier wie im Folgenden von mir (H.St.). Dabei bedeutet

• oder es bedeutet „nur ansatzweise schick“.

Immerhin wird hier aber zum ersten Mal ein ästhetisches Kriterium klar: „schick“:

Interessant finde ich da insbesondere die dritte Bedeutung, also „dem Modetrend entsprechend“, zumal da als erstes Beispiel „ein schickes Auto“ genannt wird: die hier erarbeiteten geometrischen Kriterien könnten ja auch nur ein Modetrend sein.

Im Hinblick auf unser erstes Beispiel könnte "Nicht gerade schick" also bedeuten, dass das Auto (oder zumindest seine A-Säule) nicht mehr dem derzeitigen Modetrend entspricht (was allerdings nicht begründet wird).

2.

Im Text rechts wird nur das ästhetische Kriterium "elegant" genannt

(allerdings mit der Einschränkung "recht elegant", was sie doch anhört, als wenn da noch Luft nach oben wäre).

Der Duden nennt drei Bedeutungen von "elegant", von denen mich hier allerdings nur die erste interessiert: 

 

Und zur "Harmonie" nennt der Duden zwei Bedeutungen, von denen mir im vorliegenden Zusammenhang aber wieder nur die erste zu passen scheint:

Im Hinblick auf die A-Säule heißt das wohl, dass die verschiedenen Linien zueinander "passen", dass sie also "zusammenklingen" müssen.

(Nebenbei:

• vielen Laien mag es [gelinde gesagt] absonderlich erscheinen, dass Mathematiker beim "Herz" der Mathematik, nämlich Beweisen, oftmals von Schönheit und Eleganz sprechen - was hier nicht näher erklärt sei.

• Es gibt in der Mathematik auch die besonders interessante "harmonische Reihe" und die "harmonischen Zahlen".)

Nochmals dazu, dass "die einzelnen Linien eine Fortsetzung" finden:

Dass "die einzelnen Linien eine Fortsetzung" finden, bedeutet dabei erstmal nur, dass eine zweite Linie dort weitergeht, wo die erste geendet hat

(also in den rosa Punkten).

Im vorliegenden Fall gäbe es bei der durchgezogenen hellblauen Linie viele Möglichkeiten der Fortsetzung, nämlich z.B.

.

Die Antwort auf die Frage, welche Linie(n) da die "richtige" ist, sei aber vorerst noch zurückgestellt.

Kommen wir erstmal zu einem (so meint der Autor) Negativbeispiel.

3.

 "Hier ein Schnitt und da noch einer":

Es war wohl der Umstand, dass da drei Linien nicht fortgesetzt werden

(die hellblaue sogar an beiden Enden),

der den Autor zu dem freundlich-vernichtenden Urteil "Schön ist das nicht", also "Das ist potthässlich" veranlasst hat.

(Man könnte allerdings einwenden, dass die blaue linke Linie eben doch rechts in der unteren Fensterkante fortgesetzt wird.)

Mit "Schön" ist nun aber endlich der Oberbegriff des ästhetischen Wortfelds ("elegant", "schick") gefallen: das übergeordnete ästhetische Kriterium ist Schönheit

(bei der man sich streiten kann, ob sie nur rein subjektiv ist; aber Autos

• werden ja eben doch für einen Massenmarkt produziert, dessen "objektiven" Wünschen sie einerseits entsprechen müssen [Nachfrage],

• die sie

[zumindest Autos mit in ihrer Zeit mutig innovativem Design ]

aber gleichzeitig auch verändern [Angebot]).

Und noch ein Negativbeispiel:

4.

Unordnung und Chaos werden hier also als das Gegenteil von Schönheit verstanden.

Hier sei aber noch festgehalten, dass der Autor "Linien [...], Kanten und Fugen" unterscheidet

(und oben war schon von "Hier ein Schnitt und da noch einer" die Rede),

ohne die verschiedenen Arten genauer zu definieren.

Wo wir schon so schön destruktiv drauf sind, noch ein besonders krasses Negativbeispiel:

5.

Hier nun haben wir vor allem "viel" (auch viel "Durcheinander") und deshalb die vollendete Unordnung bzw. das vollständige Chaos

("unausgegorener Eindruck" wirkt da noch geradezu euphemistisch):

Dieses Negativbeispiel bietet zudem die Gelegenheit, sich zwei spezielle "Problemzonen" (s.o.) anzuschauen:

• die hellblaue Linie hat im unteren roten Punkt einen (leicht abgerundeten) Knick;

• wenn die hellblaue Linie im oberen roten Punkt auf die dunkelblaue stößt

(und danach nicht nach oben weitergeht),

mag man das auch als Knick ansehen:

Nach so vielen Negativbeispielen nun aber das strahlende Positivbeispiel: 

6.

oder kurz gesagt

Da muss man allerdings ergänzen, dass der "Opel GT Concept" nur eine Studie ist, in das die Designer und Techniker mal all ihre überbordende ungezügelte Phantasie stecken konnten. In Serie gebaut worden ist diese Studie aber nie.

Der "Opel GT Concept" hat

(neben den neckischen roten Vorderreifen)

eine höchst merkwürdige Eigenschaft, nämlich riesige Türen die in der Tat sämtliche Schnitte an den A-Säulen überflüssig machen:

---

(das Munch-Museum [auch Lambda genannt] in Oslo)

 
(auf die zweite Bedeutung werden wir weiter unten zu sprechen kommen)

Der oben kurz eingeführte Begriff „Knick“ wird zwar nie vom Autor des Spiegel-Artikels benutzt, ist aber sehr hilfreich bei der Erklärung, was „schönes“ Karosseriedesign ist:

mit Ausnahmen gilt nämlich:

Schön ist, was keine Knicke hat.

Mit dem Begriff „Knick“ können wir nun erklären, welche der punktierten Verlängerungen bei

.

schön wären:

• in wäre das nur die mit einem Pfeil markierte punktierte Linie, weil die alle anderen punktierten Linien zu Knicken führen (würden):

 

• in wären das hingegen alle drei punktierten Linien, da alle drei die durchgezogene Linie ohne Knick weiterführen würden.

Anhand des Bildes  wird klar, dass kein Knick vorliegt, wenn die durchgezogene Anfangslinie und ihre punktierte Fortsetzung dieselbe Richtung haben:

Mathematiker sprechen aber von „Steigung“ statt von „Richtung“, so dass es mathematisch heißt:

Es liegt kein Knick vor, wenn die durchgezogene Anfangslinie und ihre punktierte Fortsetzung dieselbe Steigung haben.

Diese Feststellung scheint aber sofort an ihre Grenzen zu stoßen, wenn wir

 

betrachten: da

• schließen zwar alle drei punktierten Linien ohne Knicke an die durchgezogene Linie ab,
• aber die beiden linken punktierten Linien haben überhaupt keine klare Richtung, weil sie ja gebogen sind, also ihre Richtung permanent ändern.

"permanent ändern" bedeutet aber ganz intuitiv, dass sie

•                   in jedem einzelnen           Punkt     eine eindeutige           Steigung      haben,
• allerdings in            verschiedenen   Punkten         unterschiedliche Steigungen:

 

Aber da fällt doch auf, dass die beiden linken punktierten Linien immerhin anfangs im rosa Punkt (annähernd) dieselbe Steigung haben wie die durchgezogene Linie:

für die linke punktierte Linie

für die mittlere punktierte Linie

Nun ist allerdings auch schon die durchgezogene Linie gekrümmt, so dass sie ebenfalls nicht immer dieselbe Richtung/Steigung hat, sondern diese sich permanent ändert:

 

Für den knickfreien Übergang von der durchgezogenen Linie zu einer der punktierten Linien ist aber nur wichtig:

die punktierten Linie muss im Punkt mit derselben Steigung beginnen, mit der die durchgezogene Linie dort endete, d.h. beide Linien müssen im Punkt dieselbe Steigung haben.  (Steigungen gebogener Funktionsgraphen. werden in der Mathematik aber mit der ersten Ableitung f ' ermittelt. Es muss also in grob unmathematischer Schreibweise gelten:    )

Man kann sich den knickfreien Übergang zwischen der durchgezogenen und einer der punktierten Linien und damit deren gemeinsame Steigung im Punkt auch so vorstellen, dass zwischen beiden Linien eine kurze, zu beiden Teillinien gehörende gerade Strecke existiert, die eben die gemeinsame Steigung der beiden Linien im Punkt hat.

Und in der Tat scheint ja im vorliegenden Fall zwischendurch eine kurze gerade Strecke vorzuliegen:

Dass Knicke nicht nur hässlich, sondern auch grob unpraktisch sind, lässt sich gut an Straßen veranschaulichen

wenn man mal von Kreuzungen und Einmündungen absieht, an denen man langsam abbiegt, so wären plötzliche, insbesondere vorher nicht erkennbare allzu enge Kurven

(„Haarnadelkurven“: )

und insbesondere Knicke geradezu lebensgefährlich.

Sanft ineinander übergehende Kurven hingegen sind der Traum jedes Motorradfahrers:

Oder dreidimensional:

Man muss oftmals zwischen reiner Mathematik und Anwendung unterscheiden:

• in der Mathematik ist ein Knick unendlich spitz

(Hauptsache, es tut weh - und ist nicht differenzierbar),

• in unserem Anwendungsfall „Linienführung bei Autos“ zählt hingegen schon eine sehr enge Kurve als „Knick“:

Nebenbei:

"Linienführung ist ein Begriff aus der Bildbeschreibung. Dabei geht es um sichtbare [!] Linien im Motiv, vor allem aber  um gedachte [!] Linien, die sich aus dem Arrangement einzelner Bildelemente ergeben (können). In den Linien kommt die graphische Struktur des Bildes zum Vorschein, sie sind es auch, die die Orientierung des Betrachters im Bild ermöglichen oder erleichtern, seinen Blick zu wichtigen Details führen. Dem entspricht auch die Annahme, dass zu viele oder regellos angeordnete Linien zur Verwirrung des Betrachters führen, zur nur fragmentarischen Auffassung des gesamten Bildes. Idealerweise ordnen sich Linien zu Mustern und sind in bestimmten Bildsegmenten zentriert, so dass sich allein auf Grund der graphischen Strukturen so etwas wie Bildzentren herausbilden."
(Quelle: )

Nun sind die A-Säulen natürlich nicht die einzigen bemerkenswerten Details an Autos. Interessant sind z.B. auch

1. die Linienführung von Lampen
2. und die (nicht gelungene) Einbindung der Lampen in die sonstige Linienführung der Autos.

Zu a.: interessant ist allemal die Evolution der Autoscheinwerfer, die teilweise durch die technische Entwicklung bedingt war (Funktion = Design)

(ich genehmige mir hier mal einen kleinen historischen Rückblick, durch den überhaupt erst klar wird, dass wir in einer „lampentechnisch“ gesehen höchst spannenden Zeit leben):

  .

• das erste Beispiel, das ich da bei meiner Suche gefunden habe, ist

:

Da ist unklar, was eher war: das Ei (der Scheinwerfer) oder die Henne (der Kotflügel).

• Später kenne ich sowas nur von den Rücklichtern des Citroen C6:

• Ein komplexes aktuelle Beispiel:

(Und wieder: ob man solch ein kompliziertes [überladenes?] Linienspiel schön findet, sei dahingestellt.

Ergänzt sei, dass man [Schüler] die verschiedenen Muster und insbesondere das zentrale Muster
wohl vermutlich nur mittels "learning by doing", also Linienzeichnen oder -kleben, erkennen kann [können].)

• Lange Zeit sind die (rundlichen) Heckleuten von Autos nur größer (und damit besser sichtbar) geworden:

  →

  Weil die neuen kleinen LED-Leuchten aber gut nebeneinander angeordnet werden können, werden die Heckleuchten inzwischen

  (eher noch als die Scheinwerfer vorne)

  nicht mehr nur von Linien umrahmt, sondern selbst zu Linien und daher zu Teilen der Linienführung:

  

  

  

   

  
  („Oh Tannenbaum, oh Tannenbaum“)

"Das Ganze ist das Wahre."
(Georg Wilhelm Friedrich Hegel)

Nach so vielen ausufernden Details von Autos wird's nun aber Zeit, dass wir uns endlich ans "Große Ganze" begeben.

Wie wichtig die "grobe" Linienführung für Autos ist, wird anhand der drei folgenden Fotos klar, auf denen Autos auf ihre Linien (das Wesentliche?) reduziert sind:

Bemerkenswert daran ist, dass die meisten Autos nicht wie das aussehen, was sie sind, nämlich Maschinen , sondern dass sie Gesichter haben.

Bei Elektroautos wird es nun aber einfacher, freundliche Gesichter zu zeigen:

 (Quelle: )

Das sind nun allerdings alles Kleinwagen, die ein „richtiger“ Mann sowieso verachtet, und deshalb werden sie wohl als „Frauenautos“ abgetan werden.

(Schwierig wird es auch werden, autonom fahrende Autos durchzusetzen:

1. , weil die Menschen sich erst daran gewöhnen müssen, dass Maschinen schlauer und sicherer sind als sie (die Menschen),

2. , weil ein „richtiger“ Mann für sein labiles Selbstbewusstsein dringend einen und ein  braucht.)

Autos sollten zur Einsparung von Energie möglichst aerodynamisch

(altdeutsch „windschnittig“)

sein, also eine gute Figur im Windkanal machen:

Das bedeutet zweierlei:

• sollten Autos möglichst wenige Knicke haben,

• sollten Autos weitgehend

• konvex

bzw.

• und nicht konkav

bzw.

sein.

(Dabei bedeutet mathematisch gesehen

• “konvex“ eine Rechtskurve ,
  

• „konkav“ eine Linkskurve    .)

"möglichst“ und weitgehend, weil beim Übergang von der Motorhaube zur Windschutzscheibe ein Knick und eine Linkskurve kaum vermeidbar sind:

(der neue, wegen des Knicks in meinen Augen weniger schöne [bullige] „Smart“)

Es gibt aber auch Ausnahmen, nämlich z.B.

(der alte, in meinen Augen elegantere "Smart";

Autohersteller neigen leider, anfangs markante Effekte an Autos in der nächsten Baureihe zu zerstören:

  → ).

Ich kenne nur eine Ausnahme vom Konvexen, nämlich eine alte Saab-Serie:

Noch kurz erwähnt seien die Seitenlinien von Autos:

• in den allermeisten Fällen sind das simple (evtl. nach hinten ansteigende) Geraden

(der „Golf“ hatte schon immer ein besonders neutrales/langweiliges und vielleicht gerade deshalb erfolgreiches Design)

(hier aber schon mit zusätzlichen, leicht gerundeten Linien angereichert),

• inzwischen gibt es aber auch gewagtere Linienführungen:

Da wird die bislang eintönige Ebene (Singular!) in mehrere Platten (Plural!) zerteilt, die wie Gebirgsplatten aneinander stoßen oder sich über-/untereinander schieben: .

Sichtbar wird diese "Dekonstruktion" der glatten Ebenen auch in der Vorderansicht:

Das ist natürlich (wohl mit voller Absicht) sehr bullig - und das Hinterteil des Wagens mag ich nun gar nicht:

(Ich bin ja ein schlichter Charakter, und deshalb bevorzuge ich bei Autos [wie auch bei Klamotten] eine spartanische Linienführung:

  )

Wenn die Vordersäulen des Dachs "A-Säulen" heißen, werden die Hintersäulen wohl "B-Säulen" heißen.

Ein schönes Beispiel für die o.g. "Dekonstruktion" an einer B-Säule sieht man hier:

Da haben die „Designer“ offensichtlich nach einer feuchtfröhlich Betriebsfeier sämtliche Linien untergebracht, derer sie habhaft werden konnten. 

Heutige Autos sind nicht nur länger-breiter-höher (s.o,) als früher, sondern bei vielen scheint es mir, dass sie vor allem fetter sind und Ringe angesetzt haben.

Zwischendurch ein schönes Beispiel dafür, wie man das markant Merkmale eines Automodells im Laufe der Jahre

• erst behutsam modernisieren,

• dann aber leichtfertig zerstören kann: die A-Klasse von Mercedes

(also für Mercedes-Verhältnisse ein Kleinwagen):

1. Baureihe 168 (1997-2004) :

eine auf diesem Foto schlecht sichtbare Linie sei erstmal orange markiert:

Damit ergeben sich dieses markante Kreuz

und eine Z-Form:

2. Baureihe 169 (2004-2012) :

in dieser zweiten Baureihe wurden das Kreuz und die Z-Form aus der Baureihe 168 wieder benutzt, aber auch interessant modernisiert:

3. Baureihe W 176 (2012 - 2018) und W 177 (seit 2018) :

da ist alles vorher für die Modellreihe Typische futsch und sind nur noch verwechselbare Allerweltsautos mit aggressiverem Design übrig geblieben.

(Ich vermute mal, der Grund dafür war, die A-Klasse vom Rentnerimage zu befreien, das auf den hohen Einstieg basierte.)

Oder wer ist eigentlich auf die schräge Idee gekommen, die klare Linienführung von

beim Nachfolgemodell durch diese das Auge beleidigenden Brüche

zu ersetzen? Aber mit Photoshop lässt sich glücklicherweise alles glätten:

Kleine Ergänzung zum Luftwiderstand:

man sollte doch denken, dass Flundern ("Sportwagen") wie der 

einen besonders geringen Luftwiderstand haben. Aber er kommt nur auf den mäßigen "Strömungswiderstandkoeffizienten" c_w = 0,33 (vgl. ).

Ausgerechnet der doch arg klobig -förmige Kofferfisch macht vor, wie es besser geht:

Und dieses Wunderwerk eines sensationell niedrigen Luftwiderstands sieht dann

(sehr ungewohnt)

so aus:

Unbedingt erwähnenswert ist dieses Kuriosum:

Vergrößert:

So, wie ich oben einen historischen Exkurs zu Scheinwerfern eingefügt habe, wäre im Unterricht auch einer zur (Entwicklung der) Linienführung von Oldtimern denkbar:

Oldtimer sind nämlich nicht nur aus nostalgischen Gründen begehrt

(oder als Anlageobjekte für alte Geldsäcke:   ),

sondern auch, weil sie einfach schön(er) waren.

(Mal Hand aufs Herz: in welchem Haus möchten Sie lieber wohnen?:

In dem weißen Haus links oder dem schwarzen Sarg rechts?)

Damit aber endlich zu

Es geht hier nicht darum, ob einem dieses

(inzwischen wohl veraltete)

Design gefällt, aber die Linienführung dieses Autos folgt einer klaren Logik, nämlich der Knickfreiheit = Differenzierbarkeit: an ihm ist alles geschwungen.

(Nebenbei: auch beim derzeitigen Ford-Ka-Nachfolgemodell ist nichts von der eigenwilligen Form des ersten Modells übrig geblieben, sondern das neueste Modell hat ein Allerweltsgesicht verpasst bekommen.)

Fangen wir hinten an:

Da ist erstmal folgende geschlossene Linie auffällig:

Um mal kurz "richtig" mathematisch zu werden: wenn wir die rot markierte Linie in ein Koordinatensystem legen

,

zeigt sich, dass für massenhaft x zwischen ca. 0,2 und knapp vor 10 immer zwei Punkte übereinander liegen. Beispiele sind da für x =1 die beiden übereinander liegenden Punkte P ( 1 | 1 ) und Q ( 1 | 4 ). Da wird x = 1 also

• sowohl y = 1

• als auch y = 4

zugeordnet, woraus folgt, dass keine Funktion vorliegt. Denn Funktionen sind dadurch definiert, dass jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.

ist also

• nicht der Graph einer Funktion

• und damit auch nicht der Graph einer stetigen Funktion

• und nicht der Graph einer differenzierbaren Funktion.

ist also „nur“ der Graph einer (Nicht-Funktions-)Zuordnung.

Aber das soll uns nicht weiter stören: ist nämlich trotzdem

• der Graph einer stetigen Zuordnung

• und auch der Graph einer differenzierbaren Zuordnung

Auch diese beiden Linien sind Graphen stetiger und nicht geknickter, also differenzierbarer Zuordnungen (aber nicht Funktionen).

Von vorne:

Von der Seite:

Der frühe Ford Ka war also ein Wunderwerk knickfreier, also differenzierbarer Zuordnungen!

Aber Stetigkeit und Differenzierbarkeit allein reichen noch nicht, um einen Graphen schön zu machen.

Ein Beispiel:

als wir vor 20 Jahren in unser arg heruntergekommenes, damals fast 80 Jahre altes Haus einzogen, haben wir versucht, seine ursprüngliche Ästhetik weitgehend  zu bewahren, was u.a. bedeutete, den Sockelanstrich neben der Treppe wiederherzustellen.

Holzsockel in 1,2 m Höhe eine karminrote Linie zu zeichnen und die Fläche dazwischen beige auszumalen.  

Während der Arbeit des Malermeisters war ich auf einer Dienstreise, und als ich danach nach Hause kam, war ich

und doch:

Und meine zweite Reaktion war:

„Das muss man doch [gerade als Malermeister, der täglich mit Formen und Farben zu tun hat] sehen [, dass da was nicht stimmt]!“

Dabei stimmte zweierlei nicht:

    ,

„etwas“ nicht: die Linie sieht aus, als hätte sie zwei „Knicke“ oder genau genommen engere Kurventeile:

Um das besser zu verstehen, schauen wir uns die Entwicklung der Linie

(von links nach rechts)

mal genauer an:

• die Linie ist stetig, da man sie mit einem einzigen durchgezogenen Strich zeichnen kann,

• und differenzierbar, da keine echten Knicke vorliegen;

• sie steigt die ganze Zeit,

• wobei die Steigung allerdings immer mehr abnimmt (Rechtskurve);

• die Steigung nimmt jedoch nicht „gleichmäßig“ ab, sondern in „Schüben“:
  

• anfangs steigt die Linie fast wie eine Gerade,

• danach in einer kurzen engeren Kurve,

• dann wieder fast wie eine Gerade,

• worauf nochmals eine kurze engere Kurve folgt,

• und alles endet annähernd wieder wie eine Gerade.

Oder übertrieben:

Solche Linien, die innerhalb einer großen (Rechts- oder Links-)Kurve

• zwei Mal weiter (oder umgekehrt enger)

• und dazwischen enger (oder umgekehrt weiter)

werden, gibt es aber in der gesamten Schulmathematik nicht, sondern dort werden die Linien innerhalb einer Rechts- oder Linkskurve höchstens

•       ein einziges Mal enger 
  

• und ein einziges Mal weiter .

•  ist, wieder gegen den Uhrzeigersinn gelesen, auch

eine reine Linkskurve

,

• beinhaltet ebenfalls einige enge Teilkurven ("Knicke")

• und wirkt dennoch elegant.

[...]

Vgl. auch:

Zu einer möglichen Behandlung im Unterricht siehe auch .

"Wo bleibt das Positive [also Mathematik]?"

Ich höre schon die Frage: "Wo bleibt denn da die »eigentliche, richtige« Mathematik?"

Anders gefragt: "Wo wird denn da gerechnet?"

Auf die mit den rhetorischen Fragen unterstellte Antwort "Nirgends!" kann ich nur auf zwei Arten reagieren:

1. habe ich an alle deutschen Autofirmen Emails geschrieben, in denen u.a. Folgendes stand:

Außer der rüden Antwort

"[...] Im Zuge des Ausbaus universitärer Forschung sowie ausgedehnter Marktforschungen mit klarem Praxisbezug sehen sich Wirtschaftsunternehmen - und so auch die [N.N.] -Werke GmbH - heute einer stark zunehmenden Menge von Auskunftswünschen zu Fachthemen und Anwendungstechnik gegenüber. Sich mit allen diesen zu befassen, erfordert erhebliche Kapazitäten, die durch die schlanke [!] Stabs- und Verwaltungsorganisation bei uns nicht gegeben sind. [...]"

sowie

"[...] Die von Ihnen gewünschten Informationen stehen uns leider nicht als Kundenausgabe zur Verfügung. Entsprechend gespeicherte Daten sind – nach Rücksprache mit der zuständigen Abteilung unseres Hauses – aus wettbewerbsrechtlichen Gründen ausschließlich zum internen Gebrauch vorgesehen. [...]"

habe ich auf diese Anfragen allerdings (bislang) keine Antworten bekommen.

Falls ich doch noch hilfreiche Antworten erhalten sollte, werde ich sie hier nachtragen.

Ein Problem wird aber allemal bestehen bleiben: fast alle Linien an Autos sind dreidimensional, Schülern steht aber nur das Werkzeug zweidimensionaler Funktionen zur Verfügung.

Immerhin gibt es aber im Internet wunderbare Videos darüber, wie das Design von Autos entwickelt wird

2. kommt in der hier angedachten Unterrichtseinheit zum Auto-Design sehr wohl Mathematik vor.

• dem Erkennen von Mustern
  

(und die Mathematik ist geradezu die Wissenschaft der Muster-Erkennung und -Beschreibung: ),

und Linien,

• dem anschaulichen Erfassen von (Nicht-)Stetigkeit und (Nicht-)Differenzierbarkeit,

• der Würdigung der Schönheit (!) von Funktionsgraphen.

PS: die hässlichsten, weil protzigsten Autos des Jahres 2020 sind für mich

		.
	„Wenn ihr mich nicht überholen lasst, fresse ich euch.“	„Wenn ich euch überholt habe, könnt ihr mich alle im Arsch lecken.“
Und das Maximum des Jahres 2021 auf der nach oben offenen Hässlichkeitsskala ist .

PPS:

Byung-Chul Han hat in seinem Buch zwei Arten von Schönheit unterschieden: "Das Glatte ist die Signatur der Gegenwart. Es verbindet Skulpturen von Jeff Koons, iPhone und Brazilian Waxing miteinander. Warum finden wir heute das Glatte schön? Über die ästhetische Wirkung hinaus spiegelt es einen allgemeinen gesellschaftlichen Imperativ wider. Es verkörpert nämlich die heutige Positivgesellschaft. Das Glatte verletzt nicht. Von ihm geht auch kein Widerstand aus. Es heischt Like. Der glatte Gegenstand tilgt sein Gegen. Jede Negativität wird beseitigt. [...] Angesichts seiner [Jeff Koons'] glatten Skulpturen entsteht ein »haptischer Zwang«, sie zu betasten, sogar die Lust, daran zu lutschen. Seiner Kunst fehlt die Negativität, die Distanz geböte. Allein die Positivität des Glatten löst den haptischen Zwang aus. Sie lädt den Betrachter zur Distanzlosigkeit, zum Touch ein. Ein ästhetisches Urteil setzt aber eine kontemplative Distanz voraus. Die Kunst des Glatten schafft sie ab. Der haptische Zwang oder die Lutschlust ist nur möglich in der sinnentleerten Kunst des Glatten. [...] In weist Roland Barthes auf den haptischen Zwang hin, den die neue DS [französisch DeeSse = Göttin] von Citroën auslöst: »Wie man weiß, ist das Glatte immer ein Attribut der Vollkommenheit, weil sein Gegenteil den technischen und sehr menschlichen Vorgang der Bearbeitung verrät: Der heilige Rock Christi war ungenäht, also ohne Nähte, so wie das makellose Metall der Science-Fiction-Raumschiffe keine Schweißnähte kennt. Die DS 19 erhebt nicht den Anspruch auf die völlig glatte Haut, trotzdem sind es die Verbindungen ihrer Flächen, die das Publikum am meisten interessieren: Eifrig betastet es die Ränder der Fenster, es streicht mit der Hand über die breiten Gummifugen, die das Heckfenster mit seiner verchromten Einfassung verbinden. Mit der DS beginnt eine neue Phänomenologie der exakten Passung, so als ginge man von einer Welt verschweißter Bauteile über in eine Welt fugenlos gefügter Elemente, die ihren Zusammenhalt einzig der Kraft ihrer wunderbaren Form verdanken, was natürlich die Vorstellung einer unbeschwerten Natur wecken soll. Was die Materie selbst angeht, so fördert sie zweifellos ein Gefühl der Leichtigkeit in einem magischen Sinne. […] Die Scheiben sind hier nicht mehr Fenster, Öffnungen, die in die dunkle Muschel gebrochen sind, sondern große Flächen von Luft und Leere, mit einer weiten Krümmung und dem Glanz von Seifenblasen.« [...] Die Ästhetik des Schönen ist ein genuin neuzeitliches Phänomen. [...] Bei Pseudo-Longinos, der die Schrift Über das Erhabene (peri hypsous) verfasst hat, sind das Schöne und das Erhabene noch nicht unterschieden. So gehört zum Schönen auch die Negativität des Überwältigenden. Das Schöne geht weit über das Wohlgefallen hinaus. Schöne Frauen sind, so Pseudo Longinos, »Schmerzen der Augen«. Sie sind also schmerzend schön. Erschütternde, erhabene Schönheiten sind kein Widerspruch. Die Negativität des Schmerzes vertieft die Schönheit. Hier ist das Schöne alles andere als glatt. Auch bei Platon wird das Schöne nicht vom Erhabenen unterschieden. Das Schöne ist gerade in seiner Erhabenheit nicht zu übertreffen. Ihm wohnt jene Negativität inne, die charakteristisch ist für das Erhabene. Der Anblick des Schönen löst kein Wohlgefallen, sondern eine Erschütterung aus. Am Ende des Stufenweges des Schönen erblickt der Eingeweihte »plötzlich« das »wunderbar Schöne« (thaumaston kalon), das »göttlich Schöne« (theion kalon). Der Schauende gerät außer Fassung, wird in Staunen und Schrecken versetzt (ekplettontai). Ein »Wahnsinn« erfasst ihn. [...]" Vielleicht tut Byung-Chul Han aber der Kunst [?] Jeff Koons' doch unrecht: sie ist derart poliert, dass man sie (unabhängig von der Intention Koons') auf den zweiten Blick auch als ironische Kritik an der grassierenden Glätte und Belanglosigkeit ansehen kann. Zurück nach oben:

PPPS:

eine weiteres interessantes "Linien"-Thema wäre das Schminken und Haarzupfen junger Frauen rund um die Augen         (das mir altem Knacker gar nicht gefällt):

die Geometrie der Schönheit:

*

*

(Die meisten Gebäude sogenannter "Star-Architekten" sind allerdings oftmals nur erniedrigender Bombast
und innen gewöhnliche Legebatterien für Angestellte.)