Crashkurs Exponentialfunktionen 

benötigtes Vorwissen

Exponentialfunktionen

1. Potenzen

Einen mathematischen Ausdruck der Form nennt man „Potenz“ . Die Zahl a unten heißt „Basis“, die Zahl b oben heißt „Exponent“.

(Dringend empfohlen sei auch die Wiederholung der Potenzgesetze!)

2. Funktionsarten

Hier einige in der Schule behandelten Funktionsarten:

• Potenzfunktionen,
• ganzrationale Funktionen,
• lineare Funktionen,
• quadratische Funktionen,
• gebrochen rationale Funktionen,
• Exponentialfunktionen,
• trigonometrische Funktionen (z.B. die Sinus-Funktion).

1. Potenzfunktionen,
2. ganzrationale Funktionen,
3. Exponentialfunktionen.

Zu A., also den Potenzfunktionen:

Potenzfunktionen haben Funktionsgleichungen der Form y = c • , wobei n eine natürliche Zahl (inkl. 0) ist. Entscheidend dabei ist, dass das x unten in der Basis der Potenz steht

(während das x bei den unten ausführlicher behandelten Exponentialfunktionen oben im Exponenten der Potenz steht).

Beispiele für Potenzfunktionen sind

     

Hier lernen wir auch schon die „Faktorregel“ für Ableitungen kennen, die für alle Funktionen gilt

(unten also auch für Exponentialfunktionen):

Faktorregel: wenn ist, gilt für die Ableitung , d.h. die dranmultiplizierte Konstante a wird beim Ableiten einfach unverändert mitgeschleppt.

Ein Beispiel:   , also und . Dann ist und folgt:

Eine erste Möglichkeit, mehrere Funktionen zu einer zusammenzusetzen, ist die noch sehr einfache Addition oder Subtraktion, also .

 

(im Gegensatz zu "gebrochen rationalen Funktionen; s. ).

Zu diesen Bedingungen siehe .

 

Exponentialfunktionen:

Daran sind bereits markante Eigenschaften aller Exponentialfunktionen der Form g: y = erkennbar:

• der Graph der Exponentialfunktion g: y =   geht durch zwei markante Punkte, mittels derer man immerhin schon ansatzweise den Graphen zeichnen kann:
  • durch P ( 0 | 1 ), der auch der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist,
  • durch Q ( 1 | 2 )  ;

allgemein: die Graphen der Exponentialfunktionen g: y = gehen

• alle                          durch P ( 0 | 1 ) ,
• je nach Wahl von a durchQ ( 1 | a ) :
  

• Schauen wir uns den Graph der Exponentialfunktion g: y =   nochmals genauer an:

• für positive x, also rechts der y-Achse, verhält sich dieser Graph ähnlich wie die Parabel einer Potenzfunktion

• hingegen verhält sich der Graph für negative x, also links der y-Achse, sehr ungewöhnlich: er geht immer näher an die negative x-Achse, erreicht sie aber nie.

• der Graph „asymptotisch“ gegen die negative x-Achse geht
• und die negative x-Achse die „Asymptote“ des Graphen ist.

• man geht immer näher an eine anfangs 100 cm entfernte Wand heran,
• und zwar jeweils 90 % des vorherigen Schritts.

Auf diese Weise kommt man immer näher an die Wand, erreicht [berührt bzw. durchstößt] sie aber nie.)

Allgemein: die Graphen von Exponentialfunktionen  g: y =   gehen asymptotisch

• gegen die negative x-Achse für 0 < a < 1
• gegen die positive x-Achse für         a > 1.

Ein Beispiel aus der Coronakrise im Jahr 2020: die Ausgangs- und Kontaktbeschränkungen, die viele Regierungen der Welt verhängt haben, dienen dazu, die Neuansteckungen zu verringern - oder mathematisch gesagt: die "Reproduktionszahl" R kleiner als 1 zu halten.

• angenommen, R = 0,7, also 0 < R <  1; dann fällt die Kurve der Neuansteckungen:

• angenommen, R = 1,3, also        R > 1; dann steigt die Kurve der Neuansteckungen, und zwar auf die Dauer dramatisch:

(was Rechnungen insbesondere in erheblich vereinfachen wird).

• Exponentialfunktionen sind

(wenn man mit x wie immer von links nach rechts geht )

reine Linkskurven , woraus sofort folgt, dass sie KEINE Wendepunkte haben.

• Exponentialfunktionen haben auch KEINE Extrempunkte (Maxima, Minima) und KEINE Sattelpunkte.

mit P ( 0 | 1 ) und Q ( 1 | a ) zwei schöne Fixpunkte, mit denen man die Zeichnung des Funktionsgraphen beginnen kann,

• aber weil es natürlich nicht möglich ist, die Graphen so zu zeichnen, dass sie sich unendlich nah an die x-Achse kuscheln, sie aber dennoch nicht berühren, läuft man schnell Gefahr, dass die Graphen fälschlich

• entweder doch die x-Achse berühren oder sogar schneiden, also eine oder mehrere Nullstelle(n) haben

(ein Fehler, den Computer gerne machen: )

• oder doch wieder nach oben gehen.

Ich würde daher Graphen nur so weit zeichnen, dass der asymtotische Trend deutlich wird, aber noch ein geringer Abstand zur x-Achse bleibt.

• Oben war gesagt worden: „Jede ganzrationale Funktion kommt links von und geht rechts nach .“

Exponentialfunktionen hingegen kommen / gehen

• nur an einer Seite von / gegen +

(jedoch nie von / gegen - )

• an der anderen Seite aber von der / gegen die x-Achse.
• Nackte Exponentialfunktionen besitzen keine Punkt- oder Achsensymmetrie.

(Auch hier gibt‘s also nix zu berechnen!)

• Eine besonders interessante Exponentialfunktion ist die „e-Funktion“ f: y : für ihre Ableitung gilt nämlich f ‘ : y , d.h.
  • es ändert durch das Ableiten sich gar nichts,
  • die Ableitungsfunktion f ‘ ist also identisch mit der Ausgangsfunktion f.

(Man kann also beliebig oft ableiten [oder integrieren], es kommt immer dasselbe raus. Und wenn sie nicht gestorben sind, dann leiten sie noch heute ab [oder integrieren].

Nebenbei: die e-Funktion ist die einzige Funktion im gesamten Funktionenuniversum, deren Ableitungsfunktion identisch mit der Ausgangsfunktion ist.)

Mit der Einfachheit der e-Funktion handelt man sich aber auch eine Schwierigkeit ein:

für die "Eulersche Zahl" e gilt

Sie ist eine irrationale Zahl, also weder endlich noch periodisch hinter dem Komma, und das hat zur Folge, dass man sie

• nur beliebig genau annähern  ,
• aber niemals vollständig aufschreiben kann.

Deshalb belassen wir es in der Regel bei dem Buchstaben "e", von dem wir eigentlich nur wissen müssen, dass sich dahinter eine feste Zahl verbirgt

(dass e also keine Variable bzw. Unbekannte wie x oder y ist).

Wenn wir aber doch mal die Dezimalzahl brauchen, reicht meistens e ≈ 2,7182 oder sogar nur e ≈ 2,7 , und wir überlassen es gnädigst dem Computer, mit sowas Fiesem zu rechnen.

(e ist eine enorm wichtige Zahl:

• sie taucht bei vielen natürlichen Prozessen auf

[vgl. z.B. ]

• und ist auch innermathematisch hochinteressant .)

• Wie schon gesagt:

"die e-Funktion ist die einzige Funktion im gesamten Funktionenuniversum, deren Ableitungsfunktion identisch mit der Ausgangsfunktion ist."

Daraus folgt, dass das Ableiten bei anderen Exponentialfunktionen (also z.B. y = ) nicht ganz so einfach ist.

Glücklicherweise kann man aber diese anderen Exponentialfunktionen auf die e-Funktion zurückführen

Es gilt nämlich allgemein

... wobei ln bzw. der „natürliche (!) Logarithmus“ die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, diese also rückgängig macht

(genau so, wie

• ein + ein - rückgängig macht [und umgekehrt],
• ein : ein • rückgängig macht [und umgekehrt],
• eine ein ² rückgängig macht [und umgekehrt])
.

Hier soll der (natürliche) Logarithmus nicht genauer besprochen werden

(und man muss ihn glücklicherweise auch gar nicht verstehen, sondern es reicht

[wie auch weiter unten bei anderen Logarithmen],

wenn man es mit letzter Kraft noch schafft, auf dem Taschenrechner die ln-Taste zu drücken).

Nur soviel:

1. gibt es verschiedene Logarithmenarten, also z.B. auch den Zehnerlogarithmus, der auf Rechnern meist mit „lg“ abgekürzt ist. Man lasse den Finger von dieser lg-Taste!
2. sind die meisten Logarithmen auch wieder fiese irrationale Zahlen

(s.o. bei der Eulerschen Zahl e),

so dass auch die meisten Computerergebnisse hinten abgehackt, also ungenau sind, weshalb man nur noch mit einem ≈ statt einem = weiterrechnen dürfte.

Und überhaupt: wer hat schon Lust, immer wieder z.B. die Zahl 0,69314718 aufzuschreiben?!

Da ist es doch einfacher, den Ausdruck "ln(2)" mitzuschleppen, auch wenn man keinen blassen Schimmer hat, welche Zahl sich dahinter verbirgt.

Wenn man dann aber doch mal die Dezimaldarstellung von ln(2) braucht, reichen meistens die ersten vier Nachkommastellen, also 0,6931.

Aber zurück zu . Damit lässt sich nun auch die Funktion f: y = a^x ableiten

(die Herleitung mit der Kettenregel [vgl. ] spare ich mir hier mal): 

Und wo wir aber gerade so schön beim Logarithmus sind, hier auch noch eine andere wichtige Anwendung des Logarithmus:

angenommen mal, wir haben die Funktionsgleichung f: y = 2^x

1. : wir wollen wissen, welche Zahl y die Gleichung y = 2¹⁰ löst. Dazu geben wir sehr einfach 2¹⁰ in den Rechner ein und erhalten y = 1024.
2. : wir wollen umgekehrt wissen, welche Zahl x die Gleichung 512 = 2^x löst. Um das herauszufinden, müssen wir x aus dem Exponenten nach unten in die Basis bekommen. Das geht mit dem einzigen Logarithmusgesetz, das man heute im Zeitalter der Taschenrechner überhaupt noch braucht: 

Machen wir uns damit an die Lösung der Gleichung 512 = 2^x :

Probe: wenn wir 2⁹ in den Taschenrechner eingeben, kommt tatsächlich 512 raus.