Zuordnungen, Funktionen und Funktionenscharen

vgl. auch

Einleitung  
Zuordnungen
Funktionen
Funktionenscharen

vgl. auch   Funktionen ... fühlen!

Es reicht allerdings auch ein ganz normales Schultreppengeländer, Hauptsache, es ist nicht neumodisch weitgehend stückweise linear mit einigen Knicken. Sondern man suche sich einen schön elegant geschwungenen, handschmeichlerischen "Handlauf" (!).

An das Schultreppengeländer lasse man die SchülerInnen nun mittels Tesakrepp alle Eigenschaften dranschreiben, also  "Wendepunkt", "Linkskurve" usw.

Probleme bzw. eher Herausforderungen können sich allerdings ergeben,

• wenn das Geländer durch mehrere Stockwerke läuft, sich also übereinander wiederholt, d.h. keine Funktion darstellt: dann definiere man (mit Tesakrepp) eben abschnittsweise Funktionen;

• dass das Geländer dreidimensional ist: dann gibts eben von der Seite gesehen andere Wendepunkt als von oben gesehen.

Funktion [lat.], 1) allgemein: Aufgabe, Tätigkeit, Stellung (innerhalb eines größeren Ganzen). 2) Mathematik: nach traditioneller Auffassung eine Zuordnungsvorschrift, die gewissen Zahlen x (den Argumenten) wieder Zahlen y= f(x) (die F.werte) zuordnet. Man bezeichnet x gewöhnl. als unabhängige, y als abhängige Variable (Veränderliche). F. mit reellen Werten x, y (reelle F.) lassen sich graph. durch eine Kurve im (x, y)-Koordinatensystem darstellen, die genau aus denjenigen Punkten (x, y) besteht, für die y= f(x) ist. Man unterscheidet ganzrationale F., f(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, die für n= 1 speziell die linearen F. enthalten, und rationale F. (Quotienten von ganzrationalen F.). Algebraische F. können auch Wurzeln enthalten, z. B. y= : sie sind allg. dadurch definiert, daß eine algebraische Gleichung zw. x und y besteht (algebraische Funktion), z. B. y4-x2-1 = 0. F., wie z. B. y= sin x, y= ex, y= ln x, für die keine algebraische Beziehung zw. y und x besteht, nennt man transzendente Funktionen. Außer den F. in einer Variablen gibt es die F. mehrerer Variablen, z. B. z= f(x, y) und u= f(x, y, z) bei 2 bzw. 3 unabhängigen Variablen, allg. u= f(x1, x2, ..., xn) bei n unabhängigen Variablen x1, x2, ..., xn. Daneben kennt man F., deren Werte nicht Zahlen, sondern z. B. Vektoren im Falle der Vektor-F. sind. Eine bes. Bedeutung haben die von der Funktionentheorie behandelten komplexwertigen F. eines komplexen Arguments z= x±iy (komplexe F.). Die traditionelle Vorstellung vom F.begriff ist unscharf und außerdem für heutige Zwecke auch nicht weit genug. Man geht daher heute von einer allgemeineren und präzisen Definition der F. aus, die an die Vorstellung des Graphen (der "Kurve") in der (x, y)-Ebene lose anknüpft: Es seien 2 nichtleere Mengen D und W gegeben (Definitionsbereich D, Wertebereich W). Eine Menge von Paaren f= (x, y) |x D, y W nennt man [Graph einer] F., wenn gilt: Zu jedem x D gibt es genau ein Paar (x, y) f. © Meyers Lexikonverlag

Alle Klarheiten beseitigt?

Das ja eben ist das alte Leid nicht nur mit den Fach-, sondern auch mit den Universallexika, die doch eigentlich - sicherlich ausgehend von einer gewissen Grundbildung - eine erste Orientierung zu bislang Unbekanntem geben soll(t)en: um etwas zu verstehen, muss man schon alles verstanden haben.

Der Lexikonartikel ist - wenn überhaupt - nur dienlich als Verweis auf eingehendere Mathematikbücher. Aber da greife ein Laie doch besser gleich zu solchen Büchern.

Mir scheint, man hatte mal wieder Angst vor einer halbwegs anschaulichen, damit aber auch evtl. fachterminologisch unsauberen Einführung.

Also einfacher und anschaulicher:

1. MathematikerInnen interessieren sich

• oftmals weniger für Einzelwerte
  (das Lieblingskuscheltier eines Kindes),
• als für ganze Serien von Werten
  (die Lieblingskuscheltiere vieler/aller Kinder),
• insbesondere für die Beziehungen von Werten zueinander
  (z.B. enthält eine Weinflasche 11% Alkohol, und zwar, egal wie groß die Weinflasche und also auch die Alkoholmenge in ihr ist)

Die Mathematik interessiert sich also weniger für die "Dinge" (die nummeriert sie einfach mit Zahlen durch) als für ihre Beziehungen zueinander, also sozusagen für den

Bzw. die Einzel"dinge" interessieren oftmals nur insoweit, als sie sich zueinander verhalten. 

(Genauso könnte man sagen: ein Mensch wird erst definiert durch sein Verhältnis zur Umwelt und zu Mitmenschen, und ohne sie ist er nichts.)

Und da interessieren sich MathematikerInnen insbesondere für Beziehungen, die nach einer klaren Ordnung verlaufen

(vgl. unten Zuordnung, die "Regel" und die Zuordnungsvorschrift).

MathematikerInnen unterstellen also eine geordnete, klare Welt - statt einer willkürlich chaotischen

(wenn sie paradoxerweise sogar auch für den Zufall und das Chaos Modelle entwickelt haben).

Man könnte auch sagen:

Mathematik ist die Wissenschaft von den geordneten Beziehungen

Alles, was jenseits dieser geordneten Beziehungen liegt, interessiert MathematikerInnen nicht

(zumindest nicht solange sie Mathematik betreiben; aber vielleicht durchaus als Privatmenschen)

bzw. darüber können sie (als MathematikerInnen) nichts sagen.

(Einige MathematikerInnen mit Angst vor der Farbigkeit, aber auch Unvorhersehbarkeit der Welt [also Angst vor dem Leben!] leugnen dann aber einfach, dass es das Ungeordnete und Irrationale bzw. eine andere als die rein mathematische Logik [z.B. die Logik Bilder, Intensitäten und Assoziationen] überhaupt gibt.)

Ein Mittel, um Ordnung zu schaffen oder abzubilden, sind Zuordnungen und Funktionen.

2. Elementen der Menge werden immer Elemente der Menge zugeordnet:

Menge der durchnummerierten SchülerInnen einer Klasse {1;2 ... 27} (Definitionsmenge )	wird zugeordnet	Menge der Schuhgrößen {37;38 ... 49} (Wertemenge )
x	|→	y
Schüler 1	|→	Schuhgröße 41
Schüler 2	|→	Schuhgröße 38
Schüler 3	|→	Schuhgröße 37
...

3. Man kann alles jedem zuordnen, also z.B.

• jedem Kind sein Lieblingskuscheltier,
• jedem BMW-Fahrer seinen Intelligenzquotienten,
• jedem Schüler seine Schuhgröße,
• jeder Schuhgröße all jene Schüler, die diese Schuhgröße haben
• ...

aber

Mathematiker interessieren sich vor allem für Zuordnungen von Zahlen zu Zahlen.

(Selbstverständlich geht durch die Reduktion auf reine Zahlen viel verloren, ja wird Mathematik potentiell gemeingefährlich. Vgl. )

Dabei ist klar: Mathematik kann vieles behandeln, aber nicht alles. Z.B. kann Mathematik zwar erstaunlicherweise die Planetenbahnen und die Formen der Planeten (z.B. die Ringe des Saturn) erklären

(und nicht mal das können sie absolut exakt, sondern nur die gegenseitige Anziehung zweier Körper; für mehr als zwei Körper [geschweige denn für die Sonne, ihre neun Planeten und deren Monde] haben sie aber immerhin erstaunlich gute Annäherungen),

aber niemals ihre anrührende Schönheit.

Dennoch ist es erstaunlich, wie viel mathematisch erfassbar ist, nämlich z.B.

• ein komplettes Fußballspiel (außer seiner Dramatik) durch
  • die Position des Balls (Länge, Breite, Höhe bzgl. des Spielfeldmittel- bzw. Anstoßpunkt),
  • den Zeitpunkt:

Ein "Tor" liegt dann vor, wenn der Ball zur richtigen Zeit (also weder vor noch nach dem Spiel) in der richtigen Position (im Netz) ist;

• Farben:
  weil jede Farbe aus den Grundtönen rot, grün und blau zusammenmischbar ist, kann man jede Farbe - wie Computer es tun - durch die Anteile dieser Grundtöne bestimmen (die hier zwischen 0 und 255 angegeben werden).

  Z.B.

  • ist darstellbar als RGB (228|46|227)

  • Schwarz als RGB (0|0|0)

  • Weiß als RGB (255|255|255)

Zudem hat die Behandlung nackter Zahlen den entscheidenden Vorteil, dass Erkenntnisse auf viele Beispiele anwendbar und übertragbar sein können (worin der eigentliche Grund für den enormen Erfolg der Mathematik liegt). Z.B. kann die reine Zahlen-Zuordnung

• 1 |→ 37

• 2 |→ 40

erstens bedeuten:

• Schüler 1 hat Schuhgröße 37

• Schüler 2 hat Schuhgröße 40

zweitens:

• Schüler 1 hat normale Körpertemperatur (37⁰ C)

• Schüler 2 hat hohes Fieber (40⁰ C)

drittens:

• Fußballstar 1 ist 37 Jahre alt

• Fußballstar 2 ist 40 Jahre alt

...

3. Für die Elemente aus verwendet man üblicherweise die Variable x und für die Elemente aus üblicherweise die Variable y.
   x ist die Ausgangs- bzw. "freie" Variable, y die "abhängige" Variable, d.h. üblicherweise wird x frei gewählt und daraus das zu x passende y berechnet (und nicht umgekehrt):

x y

Von besonderem Interesse ist, wie sich y ändert, wenn man x vergrößert.

Z.B.:

• Wie verändert sich y, wenn ich x verdopple? Wird dann auch das y verdoppelt?
  (Womit eine proportionale Funktion vorläge.)
  Oder nimmt bei steigendem x das y  ab?
  Oder tut bei steigendem x das y  mal das eine (zunehmen), mal das andere (abnehmen) - und warum?
• Wie verändern sich die politischen Einstellungen (hin zur CDU und FDP?), wenn jemand Karriere macht, also mehr Geld verdient (also auch mehr zu verlieren hat)?

Grafisch werden die x-Werte im Koordinatensystem immer auf der waagerechten x-Achse aufgetragen und die y-Werte immer auf der senkrechten y-Achse (vgl. auch ).

Die Betrachtung eines Funktionsgraphen findet immer für wachsende x statt, d.h. der Graph wird grundsätzlich von links nach rechts   "gegangen" (und nie umgekehrt!). (Deshalb ja auch zeigt der Pfeil an der x-Achse nur nach rechts, obwohl die x-Achse natürlich nach beiden Seiten ins Unendliche geht.)

Im vorliegenden Fall steigt der Berg also anfangs bis zur Spitze, weil mit dem wachsenden x auch das y wächst.

4. MathematikerInnen beschäftigen sich insbesondere mit Zuordnungen von ganzen Intervallen aus   zu ganzen Intervallen (oftmals ganz ), was den Vorteil hat, dass in der grafischen Darstellung nicht nur Einzelpunkte, sondern viel anschaulichere durchgehende Linien zustande kommen:

Wenn kontinuierliche Intervalle vorliegen, ist es auch sinnvoll, vom Definitions- und Wertebereich zu sprechen

(wenn man aus dem Wort "Menge" noch eher eine Ansammlung von getrennten Einzeldingen [die Rosinen in einem Teig], aus dem Wort "Bereich" aber eine homogene Masse [den Teig]  heraus hört).

5. MathematikerInnen mögen keine Zuordnungen, die völlig chaotisch oder zufällig verlaufen, denn mit ihnen lässt sich gar keine Mathematik betreiben.
   In diesem Sinne ist für sie z.B. die Zuordnung

Schüler |→ Schuhgröße

uninteressant, weil

• sich weder aus der Schuhgröße des Vorgängers die Schuhgröße des Nachfolgers
• noch aus der Schülernummer x seine Schuhgröße y

berechnen lässt.

Sondern

Mathematiker lieben Zuordnungen, die in allen Fällen nach einer einzigen Regel verlaufen, mittels derer man zu jedem x sein zugehöriges y berechnen kann.

Ein Beispiel:

Weil sonntags nachmittags die Züge von Köln nach Kiel mit Bundeswehrsoldaten überfüllt sind, die wieder zu ihrer Einheit müssen, setzt die Bahn Zusatzzüge ein, also z.B. zusätzlich zum Zug X noch einen Zug Y, der immer 20 km vor dem Zug X fährt:

y = x + 20

wobei y der Ort des Zuges Y und x der Ort des Zuges x ist.

Geregelte Zuordnungen stellen eine (!) allgemeine Regel auf, einen (!) prinzipiellen Zusammenhang dar (der noch unabhängig vom Einzelfall ist bzw. für jeden der unendlich vielen möglichen Einzelfälle gilt).

Wichtig dabei ist, dass diese Regel immer gilt, egal, wo der Zug X sich gerade befindet:

Setzt man in die Zuordnung/Regel konkrete Werte ein, so erhält man einen Spezialfall, einen Punkt bzw. ein Standbild.

Wenn man nun für x konkrete Orte einsetzt, so erhält man das jeweils zugehörige y :

• Leverkusen = Köln + 20

• Dortmund = Bochum + 20

(Eigentlich müßig zu ergänzen, dass hier schon erheblich abstrahiert, nämlich von - insbesondere bei Bahnhöfen eintretenden - Brems- und Beschleunigungsmanövern abgesehen wurde.)

Dennoch scheint es mir äußerst zweifelhaft, dass in der Schulmathematik immer nur fertige Funktionen durchgenommen werden, d.h. dass üblicherweise erst die Regel (Zuordnungsvorschrift bzw. Funktionsgleichung) feststeht und dann aus ihr automatisch der Graph folgt:

1. sieht jede Anwendung ganz anders aus: beispielsweise steht am freien Fall ja nicht die Formel "s = ¹/₂gt²" dran, sondern diese Gleichung ist überhaupt erst zu finden
   (ja es ist nicht mal so selbstverständlich, dass die Natur sich überhaupt nach einer mathematischen Formel verhält).

Im Unterricht werden viel zu selten "Messpunkte" genommen, zu denen überhaupt erst eine (annähernde!) Gleichung zu finden ist

(vgl. etwa das Programm "CurveExpert").

Bzw. wenn überhaupt, so werden "Steckbriefaufgaben" behandelt, bei denen aus gewissen Eigenschaften (Punkten, Verhalten) auf die von Anfang an gemeinte und eindeutige Funktion zurück geschlossen werden muss.

(Vgl. .)

2. ist "in der freien Wildbahn" üblicherweise die Zukunft offen

(während in der Mathematik immer schon klar ist, wie es weitergeht: wenn z.B. der Graph von y = x² jetzt noch fällt, wird er demnächst auch wieder steigen),

und im besten Fall deuten sich Trends an:

Es ist wie eine Bergwanderung im Nebel, bei der man nie verlässlich weiß, wie es weiter geht:

3. Solche "Offenheit" scheint mir durchaus auch innermathematisch bedeutsam: wie sonst soll denn anschaulich klar werden, was beispielsweise ein Wendepunkt ist - nämlich ein Trendwechsel (und damit vielleicht wichtiger als solch kurzfristige Verheißungen bzw. Enttäuschungen wie Maxima und Minima).

6. Die Grundform der Zuordnungsgleichung ist immer

y = ,

wobei das Kästchen für die Standardregel steht, mittels derer man zu jedem x sein zugehöriges y erhält. Man kann sich das Kästchen auch als eine Maschine vorstellen, die aus jedem x automatisch sein zugehöriges y macht:

x rein →

→ y raus

 

Solch eine Funktionsmaschine ist

• bienenfleißig bzw. absolut geistlos, weil sie jedes x aus dem Definitionsbereich "frisst" (oftmals unendlich viele),
• meistens absolut wahllos
  (Manchmal aber "verschlucken" sich solche Funktionsmaschinen und speien dann mit Riesengetöse all ihre Zahnräder aus; z.B. - igitt! - bei einer Division durch 0 . Woraus folgt: man bedenke immer vorher, was man überhaupt in die Maschine eingeben darf).

Um zu verdeutlichen, was da geschieht, wird ab spätestens hier

• das x immer blau,
• die Maschine/Regel immer rot
• und das sich
  • aus x
  • mittels der Maschine/Regel

  ergebende y immer violett (also mit der Mischfarbe aus blau und rot) dargestellt.

Ein Beispiel ist die (egal was)^{hoch 3}-Maschine:

Diese (egal was)^{hoch 3}-Maschine verarbeitet nun sämtliche reellen Zahlen in ihre zugehörigen y-Werte, also z.B. x = 5:

 

 

 

 

Und dann gibt es noch

Großmaschinen

wie z.B. y = , bei der mehrere Arbeitsschritte (Zahnräder) hintereinander liegen, um das x vielfach zu bearbeiten, bevor am Ende y rauskommt. Aber auch diese Maschinen machen mit allen x  stumpf dasselbe nach einer Regel.

Typische Regeln sind z.B.:

• bevor die Menschen sich ins Bett des Prokrustes legen

Prokrustes [...], in der griech. Mythologie ein riesenhafter Unhold, der Vorbeiziehende durch Abhacken bzw. Strecken ihrer Glieder in ein Bett einpaßt [...]
© Meyers Lexikonverlag ,

sind sie unterschiedlich groß, nachher nicht mehr:

womit eine linear-konstante Funktion vorläge, weil allen unterschiedlichen anfänglichen Körpergrößen x dieselbe spätere Länge y zugeordnet würde; man könnte auch sagen: konstante Funktionen sind die "ausgleichende Gerechtigkeit": "take it from the rich, give it to the poor")

• für niemanden wird mehr eine "Extrawurst gebraten", sondern alle werden radikal gleichbehandelt;
• es gibt keine unterschiedlichen Steuersätze mehr, sondern jede Person x zahlt 15 % von seinem jeweiligen Einkommen als Steuer;
  (wie alle Funktionen, die Prozente behandeln, eine linear-proportionale Funktion: wenn jemand das n-fache verdient, muss er auch n-mal soviel Steuern bezahlen)
• schäle egal welche (große, kleine) Kartoffel x solange, bis eine (große, kleine) geschälte Kartoffel y dabei herauskommt
• y = x²   , d.h. quadriere     gnadenlos jedes x
• y = 5●x, d.h. multipliziere gnadenlos jedes x mit 5.

7. MathematikerInnen brauchen klare und eindeutige Verhältnisse und können schwer mit Unwägbarkeiten und Doppeldeutigkeiten leben. Für sie muss alles immer glasklar wahr oder falsch bzw. schwarz oder weiß sein.
   Dementsprechend mögen sie auch keine Zuordnungen, bei denen einem x aus mehrere y aus zugeordnet werden, also z.B. einem Kind mehrere Lieblingskuscheltiere oder einem Menschen zwei Eigenschaften (Haarfarbe und Schuhgröße).

(Solch eine Vielzahl von Eigenschaften lässt sich später durchaus mit sogenannten Vektoren erfassen.)

Unter der Voraussetzung, dass niemand zwei Schuhgrößen gleichzeitig hat, ist also die Zuordnung

Schüler |→ Schuhgröße

eindeutig

(wobei durchaus mehrere Schüler dieselbe Schuhgröße haben dürfen).

(Nebenbei: die Zuordnung Schüler |→ Schuhgröße kann man notfalls auch dann eindeutig machen, wenn einige SchülerInnen jeweils zwei verschieden große Füße und damit unterschiedliche Schuhgrößen haben. Dann grenzt man eben - ein typisches Verfahren - den Definitionsbereich auf diejenigen SchülerInnen ein, die jeweils gleichgroße Füße und damit eine Schuhgröße haben, d.h. man lässt die anderen SchülerInnen einfach probeweise weg.)

Die umgekehrte Zuordnung

Schuhgröße  |→ Schüler

ist aber üblicherweise nicht eindeutig, denn zu jeder Schuhgröße kann es mehrere Schüler mit dieser Schuhgröße geben

(man weiß insbesondere dann, wenn alle Schuhe gleich aussehen, nicht mehr, wem welche Schuhe gehören).

Zuordnungen, die auf dem gesamten Definitionsbereich eindeutig sind, nennt man auch "Funktionen".

"Ein Gerät funktioniert nicht, wenn etwa beim Betätigen einer Taste gar nichts oder nicht das Gewünschte geschieht, etwa die falsche Lampe aufleuchtet. Wir erwarten also wie bei einer Maschine auf eine bestimmte Eingabe eine eindeutig bestimmte Ausgabe, und damit ist dann schon etwas Typisches des Funktionsbegriffs angesprochen: die eindeutige Zuordnung."
(zitiert nach )

Stellen wir uns also eine Funktion als ein Gerät vor, das eindeutige Ergebnisse liefert - also z.B. eine Fußgängerampel:

Sie kann (übereinander!) entweder nur rot oder nur grün, nie aber gleichzeitig rot und grün anzeigen

(eine Autoampel wäre hier eine schlechte Illustration wäre, weil sie gleichzeitig rot und gelb sein kann [kurz bevor es grün wird]).

Graphisch erkennt man Funktionen daran, dass

• sie niemals parallel zur y-Achse verlaufen:

• sie niemals zurück (erst nach rechts und dann wieder nach links bzw. umgekehrt) laufen:

• niemals mehrere Punkte übereinander liegen:

MathematikerInnen biegen sich "die Welt" notfalls solange zurecht, bis sie ihnen "in den Kram" passt. Wenn z.B. die Zahlen y gesucht werden, deren Quadrat 9 ist, also

y =   3   y² =   3 ² = 9

y = (-3) y² = (-3)² = 9,

so gibt es offensichtlich zu dem einen 9  zwei y, nämlich y = 3 oder y = -3, und somit ergibt sich insgesamt als Graph

Hier liegt aber offensichtlich keine Funktion vor, weil zwei Punkte übereinander liegen. Deshalb lassen die MathematikerInnen einfach den unteren Ast des Graphen weg, und schon erhalten sie einen Funktionsgraphen:

Die Vereinfachung (Funktion) hat allerdings auch eine Erschwernis zur Folge: weil als Wurzel von  9 nur noch die positive Zahl 3 erlaubt ist, ist ab sofort immer eine Fallunterscheidung nötig, um dennoch beide Lösungen zu erfassen.

y² = 9 y = + oder y = -

          y = +  3  oder y = -  3

          y =     3  oder y = -  3

Es gibt

• umkehrbare Funktionen, d.h. die umgekehrte Zuordnung ist auch wieder eine Funktion. Z.B. sind

  • y =  2 x    , d.h. verdopple jede Zahl

  • y = x    , d.h. halbiere jedes Ergebnis wieder

beides Funktionen;

• unumkehrbare Funktionen, d.h. die umgekehrte Zuordnung ist nicht mehr eine Funktion (vgl. oben Schüler |→ Schuhgröße).

Den Funktionsgraphen einer (falls vorhanden) Umkehrfunktion kann man durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten erhalten. Z.B.

(ebenso y = x² → y = oder y = 2x → y =  x )

8. EXTREM WICHTIG:

Ein einzelner Punkt besteht immer aus zwei Koordinaten.

Geometrie	Algebra
ein Punkt P (a | b) liegt genau dann auf dem Graphen der Funktion f	wenn seine Koordinaten (Zahlen!) die Funktionsgleichung von f erfüllen: b = f(a)

Dabei bedeutet "genau dann ... wenn", dass die geometrische und die algebraische Aussage immer gleichzeitig (nicht) gelten.

Beispiele:

• Liegt  der Punkt P(2|10) auf dem Graphen der Funktion
  f: y = 3 ● x + 4?
  Einsetzen der Koordinaten von P in die Funktionsgleichung ergibt 10 = 3 ● 2 + 4, also eine algebraisch richtige Aussage, und damit liegt der Punkt P tatsächlich auf dem Graphen von f.
• Liegt  der Punkt Q(2|11) auf dem Graphen der Funktion
  f: y = 3 ● x + 4?
  Einsetzen der Koordinaten von P in die Funktionsgleichung ergibt 11 = 3 ● 2 + 4, also eine algebraisch falsche Aussage, und damit liegt der Punkt P nicht auf dem Graphen von f.
  (Nebenbei: da f eine Funktion ist, kann Q gar nicht auf dem Graphen liegen, wenn schon P auf ihm liegt, denn Q liegt über P.)

Vgl. auch .

9. zur Fachsprache:

f :	y =	f(x)
Funktionsname zur Unterscheidung von anderen Funktionen (also z.B. g oder h). Der Doppelpunkt bedeutet hier nicht "geteilt durch", sondern "definiert als"		Funktionsterm (vgl. oben: die Rechenmaschine, mit der man zu jedem x das zugehörige y errechnet)
	Funktionsgleichung

Zuordnungsvorschrift: x |→ f(x)
                                         = y

Diese ZuordnungsVORSCHRIFT entspricht der einen oben genannten Regel, die unterschiedslos auf sämtliche x angewandt wird. Es ist eine brutale Vorschrift, nach der sich alle x zu richten haben:

Wichtig dabei ist, dass in die Funktion

• für x jede Zahl aus dem Definitionsbereich eingesetzt werden kann,

• dass aber - wenn man erst mal eine Zahl für  x ausgewählt hat - für x (wie immer bei Variablen) immer dieselbe Zahl eingesetzt werden muss.

Ein Beispiel:

10. wichtige Punkte:

Bei Funktionsgraphen gibt es einige Standardpunkte, die von besonderer Bedeutung sind, weil

• man mit ihnen schnell die Lage der Graphen erfassen und sie somit zeichnen kann,
• sie inhaltlich sehr aussagekräftig sind
  (z.B. besagt ein Nullpunkt beim Verlauf von Firmengewinnen, wann die Firma in die Pleite rutscht bzw. wieder aus ihr heraus kommt).

Nullpunkt	Schnittpunkte mit der x-Achse, d.h. y = 0 mehrere möglich (die x-Werte, bei denen ein Nullpunkt vorliegt, nennt man auch Nullstellen.)	N ( ? | 0 )
	Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. x = 0 nur einer möglich, da sonst keine Funktion vorläge	Sy ( 0 | ? )
Hoch- und Tiefpunkte, auch Maxima oder Minima bzw. bei quadratischen Funktionen auch Scheitelpunkte genannt	bei quadratischen Funktionen aus der Scheitelpunktsform ablesbar (s.u.) y = a (x-b)2 + c hat den Scheitelpunkt         S( b |     c)
Berührpunkte, in denen ein Graph die x-Achse berührt; Berührpunkte sind mehrfache Nullpunkte (Es scheint mir - um es nur mal an diesem Beispiel zu erklären - ungeheuer wichtig, Mathematik mit Tätigkeiten [Hinsitzen] zu verbinden; vgl. auch ein entsprechendes Programm eines meiner Schüler: )
Sattelpunkte; sind ebenfalls mehrfache Nullpunkte, wenn sie auf der x-Achse liegen
Wendepunkte, in denen eine Links- in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt	(wobei das Auto immer von links nach rechts fährt! zur Übung ist es das Beste, die Kurve regelrecht "abzufahren", indem man das Blatt immer so dreht, dass man die Kurve vor sich hat)	Wendepunkte bedeuten einen wichtigen "Trendwechsel" (z.B.: die Unternehmensgewinne nehmen zwar noch weiter zu, aber doch merklich langsamer; es gibt Anlass zur Sorge trotz vorerst steigender Gewinne)
weitere Stützpunkte	bei quadratischen Funktionen der Form y = ax2 bei Exponentialfunktionen der Form y = b ● ax

11. Bei Maxima und Minima ist noch ein wichtiger Unterschied zu beachten: 

Hier sind A, C und D lokale Maxima (in ihrer Umgebung die höchsten Punkte), während B absolutes Maximum ist (der höchste Punkt des gesamten [auf dem Bild sichtbaren] Gebirges).

(Vgl.

• "der größte lebende Mensch" = der größte derzeit lebende Mensch, aber nicht unbedingt der größte Mensch aller Zeiten,

• "der größte, lebende Mensch" = der größte Mensch aller Zeiten, der außerdem derzeit lebt.)

Hier sind A, B und C lokale Minima (in ihrer Umgebung die tiefsten Punkte), während D absolutes Minimum ist (der tiefste Punkt des gesamten [auf dem Bild sichtbaren] Gebirges).

Zudem liegt in D ein sogenanntes "Randextremum" vor: es bleibt unklar, ob das Gebirge rechts von D (außerhalb des Bildes)

• doch wieder ansteigt (dann wäre D ein Minimum)

• gleich hoch bleibt (dann wäre D kein Minimum, sondern ein Knick- oder Sattelpunkt),

• weiter abfällt (dann wäre D kein Minimum, sondern nur ein Punkt in einer abfallenden Kurve).

Besonders wichtig (und in Planskizzen immer deutlich herauszustellen) ist das prinzipielle Aussehen bestimmter Funktionenarten und damit ihrer Entwicklung und ihrer rechnerischen Lösungsmöglichkeiten. Wer schon die Planskizze falsch zeichnet, wird auch falsche rechnerische Ergebnisse erhalten oder aber richtige nicht erkennen bzw. ihre Bedeutung nicht durchschauen. Vgl. zum grundsätzlichen Verhalten verschiedener Funktionenarten auch

Ein Beispiel ist das Verhalten des Funktionsgraphen von f: y = x³ im Koordinatenursprung:

Da sticht der Graph nicht schräg durch die x-Achse, sondern macht (von links und rechts) eine "weiche" Landung:

MathematikerInnen interessieren sich oftmals weniger für Einzelpunkte (Einzelfälle) als für den Gesamtverlauf eines Graphen (einer ganzen Serie).

Denn ein Einzelpunkt besagt reichlich wenig über die Entwicklung und könnte auf unterschiedlichsten Graphen liegen:

Bzw. Einzelpunkte sind daher oftmals nur insofern von Interesse, wie sie etwas über den Gesamtgraphen aussagen.

Solche Aussagen wie "Wende-", "Hoch-", "Berühr-" oder "Sattelpunkt" machen nur im Hinblick auf die Gesamtentwicklung eines Graphen, nicht aber im Hinblick auf einen Einzelpunkt Sinn.

(Vgl.: man kann alleine nicht Bester oder Schlechtester sein.

Einzige Ausnahmen sind da die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die auch solche bleiben würden, wenn der ganze sonstige Graph wegfiele.)

Z.B. besagt ein Maximum zwar, dass ein Höhepunkt erreicht ist, aber eben auch, dass es danach wieder bergab geht. Ein Maximum (z.B. von Unternehmensgewinnen) ist also weniger Anlass zur (verfrühten) Freude als vielmehr einer zur Sorge.
(Vgl. "die Hochzeit ist [angeblich] der schönste Tag im Leben einer Frau"; d.h. aber doch, dass es danach nur noch weniger gut, wenn nicht gar schlimmer werden kann.)

Die meisten typischen Eigenschaften und Möglichkeiten von Funktionen lassen sich sehr gut durch Unternehmensgewinne und -verluste veranschaulichen. Vgl. dazu das Programm "Funktionsverlauf" (das allerdings nur funktioniert, wenn auch die entsprechenden Bibliotheksdateien installiert sind; siehe 1,3 MB).

13. Es gibt verschiedene Funktionenfamilien, die

• zwar immer Funktionen enthalten,
• mit denen aber teilweise extrem unterschiedlich gerechnet wird,
• die sich graphisch extrem unterschiedlich verhalten
• und die man deshalb niemals verwechseln darf.

Daraus folgt:

Bevor man mit einer Funktion losrechnet oder sie zeichnet, mache man sich grundsätzlich klar, zu welcher Funktionenfamilie sie gehört.

(Beispielsweise mache man sich vor jeder Rechnung immer klar, wie viele Nullstellen eine untersuchte Funktion denn überhaupt haben kann - damit man nicht zu viele oder zu wenig berechnet.)

Die Unterschiede zwischen den Funktionenfamilien betreffen erst mal das äußerliche Erscheinungsbild (seine Aussagekraft, aber auch seine Ästhetik)

• steigend oder fallend,
• punkt- oder achsensymmetrisch,
• stetig (mit einem durchgehenden Strich zeichenbar) oder nicht stetig (Lücken),
• differenzierbar (ohne Knicke und Spitzen) oder nicht (überall) differenzierbar

(vgl. auch ),

• harmloses Verhalten (z.B. linear wachsend) oder gefährliches Verhalten (z.B. exponentiell explodierend),
• periodisch (s.u. trigonometrische Funktionen),
• asymptotisch gegen andere Linien (Geraden) laufend,
• nach einer Regel (s.o.) oder völlig chaotisch.

Solche Grundeigenschaften sollten auch in Planskizzen immer deutlich werden

(weil man sonst ausgehend von der suggestiven Planskizze auch zu falschen rechnerischen Ergebnissen kommt: man rechnet nur, was man sieht).

Beispielsweise eine Parabel darf also nicht "zackelig" und unsymmetrisch "daherkommen".

Die wichtigsten Funktionenfamilien (jeweils mit besonderen Eigenschaften):

1. ganzrationale Funktionen

y = axⁿ + bx^n-1 ... + c

(wichtig: das x steht in der Basis!)

Das Aussehen richtet sich weitgehend nach dem höchsten Exponenten.

Insbesondere gibt

• a die Streckung/Stauchung und die Öffnung (nach oben/unten) an
  (kann aber auch eine horizontale Verzerrung bewirken),
• c den y-Achsenabschnitt S_y (0 | c).

Spezialfälle:

1. höchster Exponent n = 1
   y = mx + c
    

• lineare Funktionen, d.h. der Graph ist eine Gerade; m ist die Steigung und c der y-Achsenabschnitt:

 

 

 

 

 

 

 

 

• für m > 0 steigend, für m < 0 fallend
• Spezialfälle (für c = 0) der linearen Funktionen sind die proportionalen Funktionen, die zusätzlich durch den Ursprung gehen.
  (Nur) bei proportionalen Funktionen gilt: wenn man den x-Wert vervielfacht, wird der y-Wert genauso vervielfacht
  (vgl. wenn man dreimal so viele Bananen kauft, muss man auch dreimal so viel bezahlen)

2. höchster Exponent n = 2 y = ax² + bx + c

• quadratische Funktionen, parabelförmig

Vgl.

• all die parabelförmigen Brücken,