1. viel Theorie
2. schnelle Praxis 

1. viel Theorie

Nehmen wir als Einstieg die beiden sehr einfachen quadratischen Funktionen

 

Nun sei eine dritte Funktion h definiert als Quotient der beiden Funktionen f und g, also

,

womit sich ergibt:

.

Da

(wobei lat. ratio hier "Verhältnis" bedeutet),

werden solche Quotientenfunktionen auch (in einem ersten Schritt) "rationale Funktionen" genannt.

Nun gilt aber:

(also z.B. ; womit die ganzen Zahlen eine Teilmenge der Brüche sind), 

f:  y =

Und so nennt man dann auch

(oder allgemein: f:  y = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + a0) 

"ganzrationale Funktionen" 

(in Analogie zu "echten" Brüchen  )

"echte" Quotientenfunktionen

(die nicht so kürzbar sind, dass der Nenner 1 wird)

"gebrochen rationale Funktionen"

(was letztlich doppelt gemoppelt ist). 

Bereits hier sei eine weitere Ähnlichkeit zwischen Brüchen und gebrochen rationalen Funktionen eingeschoben:

  • so, wie

(und das lasse man sich als "Rache des kleinen Mannes" genüsslich auf der Zunge zergehen!)

auch die besten MathematikerInnen nicht mal (direkt) mit Brüchen rechnen können

(z.B.  ),

sondern solch eine Rechnung mit Bruchrechengesetzen auf das Rechnen mit ganzen Zahlen zurückführen müssen

(z.B.  ),

  • so ist es auch schlichtweg unmöglich, gebrochen rationale Funktionen

(also )

(direkt) abzuleiten, sondern man muss ihre Ableitung auf die

(glücklicherweise sehr einfachen)

Ableitungen der beiden ganzrationalen Funktionen f und g zurückführen, aus denen diese gebrochen rationalen Funktionen zusammengesetzt sind.

Wie das geht (nämlich mit der sogenannten "Quotientenregel"), sei weiter unten erklärt.

Wenn man nun wissen will,

liegt es natürlich nahe, sie in einen Funktionenplotter oder auch einen G(rafischen)T(aschen)R(echner) einzugeben, womit man dann erhält:


Daran ist doch

(im Vergleich mit bislang durchgenommenen, meist ganzrationalen Funktionen)

immerhin schon mal bemerkenswert, dass der (Gesamt-)Graph von h

sondern aus den drei getrennten "Zweigen" A, B und C besteht.

Zudem vermutet man vielleicht

(mit allerdings schon geübtem Blick)

 auch schon zwei andere merkwürdige Eigenschaften:

  1. , dass die steil ansteigenden bzw. fallenden Graphenteile D, E, F und G gegen die beiden Geraden g1 und g2 zu gehen scheinen:

  1. , dass die Zweige A und C für sehr große positive bzw. negative x gegen die Gerade g3: y = 1 zu gehen scheinen:

 

... womit wir insgesamt folgendes Gerüst erhalten würden, in das die Funktion h hineingequetscht wäre:

Standardmäßig interessiert man sich bei Funktionen auch noch für die besonders aussagekräftigen und leicht zu berechnenden Nullstellen, also für ihre Schnittpunkte mit der x-Achse. Um diese bei der Funktion h überhaupt erkennen zu können, müssen wir uns aber einen vergrößerten Ausschnitt der bisherigen Zeichnungen anschauen:

Es scheint also, dass die Funktion h so ungefähr die Nullstellen N1 ( 1 | 0) und N2 (3 | 0 ) hat.

All das sind aber bisher nur Vermutungen, und schon gar nicht wird klar, warum das alles so ist

(wenn es denn überhaupt so ist). 

Hier

(das sei kurz eingeschoben)

sieht man sehr deutlich die Vor- und Nachteile von (Computer-)Funktionenplottern und G(rafischen)T(aschen)R(echnern):

  • natürlich ist es gerade für Anfänger, die noch keinerlei Vorstellung von gebrochen rationalen Funktionen à la haben, sehr hilfreich, sich den zugehörigen ungewöhnlichen Funktionsgraphen elektronisch anzeigen zu lassen, und auch einE gestandeneR MathematikerIn wird wohl kaum auf Anhieb wissen, wie der jeweilige Funktionsgraph genau aussieht

(und dennoch erkennt  sie/er - wie wir unten noch sehen werden - schon anhand der Funktionsgleichung einige grundsätzliche Merkmale des Funktionsgraphen);

  • andererseits ist der schnell anzeigbare Funktionsgraph allzu suggestiv: es bleibt unklar, warum er so aussieht

(und ohne geschultes Auge werden einem so einige seiner Eigenheiten auch kaum auffallen),

und wieso sollte man das überhaupt noch genauer untersuchen, wo doch "alles" schon fertig ist (zu sein scheint)?

Kommt hinzu, dass einige der oben vermuteten Eigenschaften des Funktionsgraphen bei einem vom Computer vorgegebenem ungünstigen Ausschnitt nur schwer oder gar nicht erkennbar sind

(z.B. die Gerade g3 in ).

Vorsicht: da Computerprogramme naturgemäß nicht mit unendlich großen Zahlen rechnen können, schneiden sie den Funktionsgraphen oben und unten einfach ab. Und einige Programme sind wohl auf Stetigkeit programmiert, d.h. sie verbinden fälschlich die obersten und untersten Punkte:

Oben hatten wir anhand des Graphen von h  nur vermuten können, dass er ungefähr die Nullstellen N1 ( 1 | 0) und N2 (3 | 0 ) hat. Nun sorgen wir dafür, dass er exakt dort seine Nullstellen hat. Dazu definieren wir uns

  1. eine quadratische Funktion j mit Nullstellen bei x = 1 und x = 3

  2. und eine weitere quadratische Funktion k mit  Nullstellen bei x = 4 und x = 6.

Zu a.:                x        = 1          oder       x      = 3

                                          | -1                                    | - 3

                      x - 1 = 0           oder      x - 3   = 0

                   (x - 1)                   •         (x - 3)  = 0

Die zugehörige quadratische Funktion j ist dann

j: y = (x - 1)                   •         (x - 3)

Hier ist die Funktion j in der sogenannten "Nullstellenform" gegeben. Üblicherweise wird SchülerInnen aber die sogenannte "Standardform" gegeben, in die wir nun durch Auflösen der Klammern umformen:

j: y = (x - 1)                   •         (x - 3) = x2 - 4x + 3

Damit ist aber klar, dass unsere neue Funktion j

(welch Wunder!)

mit der oben genannten Funktion f  identisch ist, weshalb wir im Folgenden nur noch von f sprechen

(in Wirklichkeit habe ich natürlich erst die Nullstellenform (x - 1)  • (x - 3)  gehabt und daraus danach die Standardform x2 - 4x + 3  hergeleitet).

Zu b.:                x        = 4          oder       x      = 6

                                          | -4                                    | - 6

                      x - 4 = 0           oder       x - 6   = 0

                   (x - 4)                   •         (x - 6) = 0

Die zugehörige quadratische Funktion k ist dann

k: y = (x - 4)                   •         (x - 6)

Die Funktion k ist hier in der "Nullstellenform" gegeben. Wir überführen sie wieder durch Auflösen der Klammern in die "Standardform" :

k: y = (x - 4)                   •         (x - 6)  = x2 - 10x + 24

Damit ist aber klar, dass unsere neue Funktion k mit der oben genannten Funktion g identisch ist, weshalb wir im Folgenden nur noch von g sprechen.

Ich habe für die Funktionen f und g bewusst einfache, also

  • kleine,

  • positive und

  • ganzzahlige Nullstellen

genommen, nämlich 1, 3, 4 und 6.

Da stellt sich doch die Frage, ob's nicht noch einfacher ginge, nämlich mit den hübsch benachbarten Nullstellen 1, 2, 3 und 4 .

Ich habe aber die Nullstellen der Einzelfunktionen bewusst so gewählt, dass sie einen Abstand von 2 haben. Weil nämlich Normalparabeln vorliegen, lassen sie sich dann besonders einfach zeichnen:

  • der Graph von f:                         ,
  • entsprechend der Graph von g:

Zeichnen wir nun die beiden Funktionsgraphen von f und g in ein einziges (leicht vergrößertes) Koordinatensystem: 

 

Und nun sei auch noch der Graph der Quotientenfunktion h in dasselbe Koordinatensystem eingezeichnet:

Daran könnte nun auffallen, dass

  1. die Quotientenfunktion h dieselben Nullstellen N1 ( 1 | 0) und N2 (3 | 0 ) zu haben scheint wie die Funkion f im Zähler:

  1. die Quotientenfunktion h genau dort gegen die Geraden g1 und g2 zu laufen scheint, wo die Funktion g aus dem Nenner ihre Nullstellen N3 ( 4 | 0) und N4 (6 | 0 ) hat:

Hier lässt sich schon mal feststellen:

wenn 1. und 2. zutreffen, dann haben die Nullstellen von f und g eine sehr große Bedeutung für .

Schauen wir uns aber zuerst mal an, ob 1. und 2. wirklich zutreffen - und wenn ja: weshalb?

Da müssen wir nicht mal viel Ahnung von Quotientenfunktionen haben, sondern es reicht die Kenntnis einfacher Brüche :

Zu 1.:

 ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn sein Zähler f Null ist

(es kriegt nur dann keiner was zu essen, wenn gar kein Essen verteilt wird).

Zu 2.:

wenn in einem Bruch der Nenner g gleich Null ist, wenn also durch Null dividiert wird, geschieht der mathematische Super-GAU (größte anzunehmender Unfall) .

Diesem Super-GAU muss dringend dadurch zuvorgekommen werden, dass die Nullstellen des Nenners g

• gleich zu Anfang nicht zum Rechnen zugelassen werden,

• dass sie also sofort rabiat aus dem efinitionsbereich von h verbannt werden:

= \ { 4  ; 6 }

(d.h. der efinitionsbereich von h enthält sämtliche [unendlich viele] reellen Zahlen -
außer den beiden Nullstellen 4 und 6 der Funktion g im Nenner).

    "zuvorkommen", "gleich zu Anfang" und "sofort" bedeuten aber:

Wenn eine gebrochen rationale  Funktion h = auftaucht, also mit einer Funktion g im Nenner, so schaue man vor jeder anderen Rechnung
  • ob die Funktion g Nullstellen hat,
  • und wenn das der Fall ist, entferne man (nochmals: vor jeder weiteren Rechnung) diese Nullstellen von  g aus dem efinitionsbereich von h !

Da unsere Funktion die beiden efinitionsbereichs-Lücken  4 und 6 hat, kann sie nicht mehr "stetig", d.h. mit einem einzigen durchgehenden Strich zeichenbar sein

(bei  4 und 6 müssen wir den Stift für kurze Zeit vom Blatt abheben; wir werden unten noch sehen, dass das manchmal zeichnerisch gar nicht möglich ist).   

Das aber bedeutet, dass der Funktionsgraph in die drei Einzel"zweige" A, B und C zerfällt:

Innerhalb dieser Einzel"zweige" ist die Funktion h aber durchaus "stetig", d.h. jeder Einzel"zweig" ist mit einem einzigen durchgehenen Strich zeichenbar. Man sagt deshalb auch, dass

(auf ganz )

stetig ist,

                         (innerhalb der Zweige bzw. der übrigbleibenden efinitionsbereichs-Teile)

stetig ist.

Wir wissen inzwischen also,

(weshalb wir - so leichthin schließen Mathematiker das Grauen aus - diese x-Werte ja eben von Anfang an gar im nicht efinitionsbereich zulassen),

Das sei durch möglichst anschauliche, wenn auch mathematisch "unsaubere" Überlegungen ermittelt

(ich bin mir ja zwecks Anschaulichkeit zu nix zu schade!):

  1. das Verhalten von h nahe der ersten Nullstelle4 von g:

                es ergibt sich

(...wobei "sehr klein" vorliegt, da wir ja x ganz nah an einer Nullstelle von g gewählt haben):

Je näher nun x von links an 4 heran rutscht, desto größer wird h(x), so dass der Zweig ganz nah bei g1 unendlich hoch wird, aber

Man sagt auch: h läuft von links "asymptotisch" gegen g1 .

Der Graph von h ist ganz knapp links von g1 eine permanente Linkskurve - was allerdings nur schwer zu zeichnen ist.

        es ergibt sich : 

Je näher nun x von rechts an 4 heran rutscht, desto weiter geht h nach unten.

  1. das Verhalten von h nahe der zweiten Nullstelle6 von g:

        es ergibt sich : 

Je näher nun x von links an 6 heran rutscht, desto weiter geht h nach unten.

        es ergibt sich : 

Je näher nun x von rechts an 6 heran rutscht, desto weiter geht h nach oben.

Nun bleibt vorerst nur noch zu klären, weshalb die Zweige A und C der Quotientenfunktion h für sehr große positive bzw. negative x (angeblich) gegen die Gerade g3: y = 1 gehen:

Schauen wir uns dazu zuerst die Einzelfunktionen f:  y = x2 -   4x +   3 und g: y = x2 - 10x + 24 an: beide sind quadratische Funktionen, deren quadratischer Summand x2 für sehr große positive oder negative x sehr viel mehr ins Gewicht fällt als die Restterme -  4x +   3 bzw. - 10x + 24.

Für sehr große positive oder negative x können wir also sagen:

Und daraus folgt im Hinblick auf h für sehr große positive oder negative x :

≈ = 1 .

Damit haben wir insgesamt das bereits oben erwähnte Gerüst

,

in das der Funktionsgraph von h nur noch etwa so reinpasst:

 

Damit kurz zurück zu

"und dennoch erkennt  [einE MathematikerIn] [...] schon anhand der Funktionsgleichung einige grundsätzliche Merkmale des Funktionsgraphen":

ohne großartige Rechnungen haben wir dennoch mittels des "Gerüsts" den ungefähren Verlauf des Funktionsgraphen von h "vorhersagen" können.

Solches Vorauswissen ist aber wichtig, um es später mit den Rechenergebnissen vergleichen zu können, also

  • die (erwartbaren) Rechenergebnisse einschätzen/einordnen

  • oder aber auch gegebenenfalls umgekehrt falsches Vorauswissen anhand der Rechenergebnisse korrigieren zu können.

Anhand unserer "Gerüst"-Vorüberlegungen können wir schon zwei Extrema (Minima bzw. Maxima) erahnen:

oder

Und diese Extrema sind erwartbar

  1. zwischen den beiden Nullstellen 1 und 3 von f bzw. h

(exakt in der Mitte, also bei 2 ???),

  1. zwischen den beiden Nullstellen 4 und 6  von g

(exakt in der Mitte, also bei 5 ???).

Nebenbei ist auch schon (mindestens) ein Wendepunkt

        (Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve)

erahnbar:

Unklar bleibt allerdings, wo genau dieser Wendepunkt liegt

        (irgendwo links vom MInimum),

und außerdem soll uns der Wendepunkt im Folgenden nicht weiter interessieren, weil unser Gedankengang dann doch allzu vertrackt würde:
Nur soviel: zur Bestimmung des Wendepunkts müsste man h zweimal ableiten und somit auch zweimal die "Quotientenregel " (s.u.) anwenden.

Um aber die Extrema der Quotientenfunktion bestimmen zu können, müssen wir sie ableiten.

Wie bereits oben gesagt, geht das aber überhaupt nicht direkt, sondern nur auf dem Umweg über f und g bzw. deren Ableitungen f ' und g ' .

Solch einE Umweg/Umleitung ist aber in der Mathematik oftmals der (einzig mögliche) Königsweg:
  • natürlich ist das erstmal mühsame Mehrarbeit

(vgl. die gleich folgende, nicht ganz einfache "Quotientenregel "),
  • aber gleichzeitig wird dadurch doch Schwieriges (oder sogar Unmögliches) auf Einfaches

(hier die altbekannten und sehr einfachen Ableitungen der ganzrationalen Funktionen f und g)

reduziert:

Nun sei endlich die lang angekündigte "Quotientenregel " eingeführt

(allerdings ohne Herleitung und Beweis):

wenn ist, so gilt für die Ableitung
h ' =

Um konkret zu werden, berechnen wir erstmal nach altbekannter und sehr einfacher Regel die Ableitungen der beiden ganzrationalen Funktionen f und g :

Wenn wir nun die konkreten Funktionsterme von f und g sowie f '  und g '  in die Quotienrenregel einsetzen

(und zwar - wie noch zu begründen ist - nur in den Zähler),

so ergibt sich

                         h ' =

oder kürzer

                         h ' = .

Um nun herauszufinden, wo die Funktion h potentielle Extrema hat, müssen wir die Nullstellen ihrer Ableitung h ' bestimmen. Die Frage ist also:

                         h ' = = 0 ???

Hier hilft nun nochmals die Erkenntnis, die bereits oben nützlich war: ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn sein Zähler Null ist:

                                 = 0 ⇔

                            ⇔ = 0     .

Für die Ermittlung der Extrema ist also der Nenner g2 unerheblich - und deshalb mussten wir ihn auch gar nicht ausrechnen.

Der Zähler ist nun aber nicht mehr gebrochen rational, sondern altbekannt ganzrational, und mit ganzrationalen Funktionen können wir ja bereits prächtig umgehen.

Um die Nullstellen von 

(d.h. die potentiellen Extrema von h)

zu finden, müssen wir nun allerdings erstmals schnöde und umständlich rechnen 

(Rechnen ist keine Mathematik, sondern nur lästiges, wenn auch unvermeidliches Handwerkszeug: ),

nämlich die Klammern beseitigen und zusammenfassen:

                                        =

                              =   2x3 - 20x2 + 48x - 4x2 + 40x - 96 - 2x3  +10x2 + 8x2 - 40x - 6x +30 =

                             =  - 6x2 + 42x - 66                                                                                        = 0  ???

Das Ergebnis - 6x2 + 42x - 66 = 0 ist nun doppelter Anlass, fröhlich zu jubilieren:

  1. : obwohl zwischendurch mal Terme dritten Grades, nämlich die beiden 2x3 , vorkamen, heben sie sich doch hübsch passend gegenseitig auf und bleibt also nur der quadratische Term - 6x2 + 42x - 66 über; und die Nullstellen quadratischer Funktionen können wir sehr einfach berechnen, falls überhaupt Nullstellen vorliegen;

  2. : zur Lösung von - 6x2 + 42x - 66 = 0 müssen wir erstmal normieren, also die beiden ganzen Seiten der Gleichung durch - 6 teilen; da ist es uns doch ausgesprochen willkommen, dass

(wie durch ein Wunder!)

alle drei Koeffizienten 6, 42 und 66 glatt durch 6 teilbar sind:

       - 6x2 + 42x - 66 = 0     | : (- 6)

⇔      x2 -    7x + 11 = 0

Und das ist doch wahrhaft eine ziemlich einfache quadratische Gleichung, die wir nun beispielsweise mittels der p-/q-Formel behandeln können, wobei hier p = -7 und q = 11 ist:

=

=

=

=

 

Eine endlich mal über den Standardstoff hinausgehende, hier aber unbeantwortete Frage ist, ob/wann (immer?) die beiden Glücksfälle auch bei anderen gebrochen rationalen Funktionen auftreten - was doch das Leben ungemein vereinfachen würde.

Hier mag man nun die irrationale als nicht mehr ganz so schön (einfach) empfinden

(obwohl doch eine hübsch einfache Zahl, nämlich () 2 exakt gleich 1,25 ist; und was interessieren eineN MathematikerIn immer nur ungefähre Dezimalzahlen [hier z.B. 1,118] ?!).

 

Interessant an ist vor allem, dass

  • 3,5 nicht "irgendeine"x-beliebige Zahl ist, sondern der x-Wert der Geraden g4, an der der Funktionsgraph von f zu dem von g (bzw. umgekehrt) gespiegelt wird:

                (wo h gar nicht definiert ist)

  • und die Nullstellen von h '

    (also die x-Werte der potentiellen Extrema von h )

    gleich weit

    (nämlich )

    entfernt links bzw. rechts von 3,5 bzw. symmetrisch zu 3,5 liegen:

    (Diese Symmetrie der Nullstellen zu einem Mittelpunkt

             [x-Wert des Scheitelpunkts]

     existiert nebenbei bei allen quadratischen Funktionen

                       [wenn sie überhaupt Nullstellen haben]

              und ist nicht auf unser hiesiges Beispiel beschränkt.)

Die potentiellen Extrema der Quotientenfunktion h sind also

"potentielle" Extrema deswegen, weil ihr "Extrem-Sein" ja eigentlich noch mit der zweiten Ableitung bestätigt werden müsste, wo sich dann auch entscheiden würde, dass M1 ein (lokales) Minimum und M2 ein (lokales) Maximum ist.

Da inzwischen aber das "gedankliche Prinzip" der Ableitung von Quotientenfunktionen klar ist, spare ich mir solch ekelhafte Rechnereien und damit auch

(nur soviel: 3, 5  - bzw. 3,5  + für x in die Funktionsgleichung von h einsetzen!).

Halten wir noch kurz fest:

Es ist immer günstig,

(s.o. die Nullstellen N1 ( 1 | 0) und N2 (3 | 0 ) von f und die Nullstellen N3 ( 4 | 0) und N4 (6 | 0 )von g),

(den oben eingeführten Funktionen f, g und h)

neue zu entwickeln, und zwar derart, dass man immer nur an einem einzigen Schräubchen dreht, um die (monokausale) Ursache für markante Veränderungen im Auge zu behalten.

In diesem Sinne

  • behalten wir f:  y =  (x - 1) • (x - 3)  = x2 -    4x +   3 mit den Nullstellen N1 ( 1 | 0) und N2 (3 | 0 )  unverändert bei,

aus der Nullstellen N3 ( 4 | 0)  machen wir N3 ( 3 | 0) , so dass f und g* die Nullstelle N2 (3 | 0 )  bzw. N3 ( 3 | 0)  gemeinsam haben.

Damit erhalten wir als neue Funktion g*: y = (x - 3) • (x - 6) = x2 - 9x + 18 mit den Nullstellen N3 ( 3 | 0) und N4 (6 | 0 ) .

Zusammen sehen die Funktionsgraphen der unveränderten Funktion f und der neuen Funktion g* so aus:

Für die neue Quotientenfunktion  h*= erhalten wir

h*: y =

Den Funktionsgraph dieser neuen Quotientenfunktion h lassen wir uns bewusst noch nicht von einem Computerprogramm anzeigen, sondern stellen erstmal eigene Überlegungen an.

Wie schon oben gefordert, stellen wir zu allererst Überlegungen zum efinitionsbereich der neuen Quotientenfunktion h an: da die neue Nenner-Funktion g* die Nullstellen x3 = 3 und x4 = 6 hat, müssen wir diese beiden Zahlen schleunigst aus dem efinitionsbereich von h*  entfernen und erhalten

  = \ { 3  ; 6 } .

Nach unseren obigen Vorerfahrungen sind an den beiden Stellen x3 = 3 und x4 = 6 für h die Asymptoten g1 und g2 zu erwarten:

Gleichzeitig ist nach unseren obigen Vorerfahrungen zu erwarten, dass die Quotientenfunktion h* dieselben  Nullstellen hat wie die Zählerfunktion f, also N1 ( 1 | 0) und N2 (3 | 0 ) .

All das zusammen würde aber bedeuten, dass die Quotientenfunktion h*

      1.       einerseits für x = 3         nicht definiert ist und
      1. andererseits für x = 3 eine     Nullstelle     hat.

Beides gleichzeitig geht aber nicht. Womit sich ein Problem auftut, das wir aber vorerst zurückstellen.

Allemal bemerkenswert

(und unten noch wichtig)

ist, dass man alle Nullstellen von f und g* sowie die Übereinstimmung der Nullstellen N2 (3 | 0 )  und N3 ( 3 | 0)     

      1. direkt         an der                      Funktionsgleichung h*: y = ablesen kann

                (wenn also  f und g                      in ihren Nullstellenformen gegeben sind), 

      1. nicht aber an der äquivalenten Funktionsgleichung h*: y =

            (wenn also  f und g* - wie üblich - in ihren Standardformen gegeben sind).

1. macht also die Arbeit viel leichter: beim Term   liegt es ja wohl nahe, die beiden identischen Nullstellenklammern (x-3) im Zähler und (x-3) im Nenner gegeneinander zu kürzen:

  ,

also insgesamt

 h*: y = =

Der scheinbare Quotient zweier quadratischer Terme (links) ist also "in Wirklichkeit" nur ein Quotient zweier linearer Terme (rechts).

Es kommt sogar noch doller (einfacher): analog zu den obigen Überlegungen zu sehr großen negativen oder positiven x gilt nämlich, dass dort ≈ = 1.

Insgesamt gilt also für sehr große negative oder positive x:

h*: y =   ≈ 1

Wie oben nähert sich also auch hier der Graph der (neuen) Quotientenfunktion h der Gerade g3: y = 1 an.

Jetzt erst erlauben wir uns, ein Computerprogramm den Funktionsgraphen der vereinfachten (neuen) Quotientenfunktion h*: y = anzeigen zu lassen:

Unsere oben erarbeiteten Erwartungen sind also nur teilweise erfüllt worden:

                 (wie f)

in N2 (3 | 0 ) eine Nullstelle hat

(h* liegt für x = 3 ja unter der x-Achse bei y ≈ - 0,7);

Letzteres düfte uns nicht allerdings nicht allzu sehr überraschen, hatten wir der Einfachheit halber ja und nicht in den Computer eingegeben. Und bei h*: y = hat der Nenner ja eben für x = 3 keine Nullstelle (sondern nur für x = 6), so dass bei der Funktion h*: y = gilt:

Das Problem ist vielmehr: wenn wir statt doch den schwierigeren Term in den Computer eingeben, ergibt sich derselbe Funktionsgraph

,

scheint g1 also ebenfalls überflüssig zu sein.

Hier müssen wir uns aber an die obige Forderung erinnern, vor jeder Rechnung den efinitionsbereich von h*: y = zu bestimmen, und da hier für x = 3 durchaus eine Nullstelle des Nenners vorliegt (und auch für x = 6), gilt hier = \ {3 ;  6 } !

Es war also ein bisschen leichtfertig, h*: y =  = zu schreiben: und sind eben nicht abolut identisch (=), sondern an einer  einzigen Stelle unterschiedlich, nämlich für x = 3:

(Weil also die beiden Funktionen h*: y = und h**: y =   nicht absolut exakt sind, unterscheiden wir im Folgenden zwischen

Da, wo die Gerade g1  den Funktionsgraphen von h* zu schneiden scheint, passiert also bei h*: y =  etwas Erstaunliches:
                (in einem einzigen Punkt gar nicht existiert);

Da sieht man: g1 geht durch den Punkt 0 glatt durch, während h* dort kurzzeitig unterbrochen ist.
(wie sollen wir den Bleistift nur für ein milliardenstel Millimeter abheben?).

Deshalb kennzeichnen wir die nicht zeichenbare Lücke mit zwei aneinander stoßenden eckigen Klammern ] und [, die besagen: "bis kurz vor hier und ab knapp nach hier":

 Zweige A und B getrennt:

Die Funktionsgraphen von h**: y = und h*: y =  sehen also gleich aus - bis eben auf die efinitionslücke von h*: y =  in x = 3. Man kann also die efinitionslücke x = 3 von h*: y =  flicken, indem man den Funktionsgraphen von h**: y = als Pflaster drüberklebt:

"Flicken" heißt dabei aber nicht, dass die efinitionslücke x = 3 von h* plötzlich verschwindet. Man könnte auch sagen: unter dem Pflaster h** bleibt die Wunde von h, sie wird durch h** zwar übertüntcht, aber nicht geheilt.

Wenn eine gebrochen rationale Funktion h* derart in einer efinitionslücke "flickbar" ist, spricht man dort auch von einer "behebbaren Polstelle".

Davon zu unterscheiden ist die efinitionslücke  x = 6, die

auftritt, also nicht durch h** behebbar ist:

Wenn wir diese Lücke mit einem "Pflaster" flicken wollten, müssten wir den untersten Punkt des Zweigs B mit dem obersten Punkt des Zweigs C verbinden. Da beide Zweige aber unendlich weit nach unten bzw. oben laufen, gibt es solch einen untersten bzw. obersten Punkt überhaupt nicht. Bzw. wenn wir ein "Pflaster" benutzen wollten, müsste es unendlich lang sein:

Man sagt auch: die Polstelle von h* bei x = 6 ist "nicht behebbar", da die Ersatzfunktion h** dort auch eine Polstelle hat.

Ein offenes Problem ist aber noch

"[...] dass die Quotientenfunktion h*

  1.       einerseits für x = 3         nicht definiert ist und

  2. andererseits für x = 3 eine     Nullstelle     hat.

Beides gleichzeitig geht aber nicht."

Hier sei zum wiederholten Mal daran erinnert, dass man

  1. zu allererst den efinitionsbereich von h* bestimmen

(x = 3  aus ihm herausnehmen)

muss und erst danach

  1. beispielsweise die Nullstelle(n) von h*  bestimmen kann:

wenn aber

  1. x = 3 gar nicht mehr im efinitionsbereich von h* enthalten ist, kann
  2. h* für x = 3 auch gar keine Nullstelle mehr haben.

Nichtmal die "Flickstelle" ist eine Nullstelle, denn diese Flickstelle liegt ja bei y ≈ - 0,7, also unterhalb der x-Achse.

Es sei nur kurz eingeschoben, dass die ursprüngliche Quotientenfunktion zwei nicht behebbare Polstellen hat, nämlich für x = 4 und x = 6:

Alles Bisherige war eigentlich nur "Pflicht" oder Vorspiel, also Standard-Schulstoff.

Wirklich interessant (Kür) wird's erst, wenn wir uns anschauen, wie h langsam in h* übergeht, wenn wir also wie oben

Um Übersicht zu behalten, lassen wir im Folgenden

weg und zeichnen stattdessen nur

(zur Unterscheidung jetzt in der neuen Farbe    xxx )

ein:

Die Funktionsgraphen der h wandern also immer näher an den Funktionsgraphen von h*  heran, behalten aber im Gegensatz zu diesem immer noch die Asymptote g1 . Erst im allerletzen Augenblick

(wenn nämlich N3 (3 | 0 ) exakt gleich N2 (3 | 0 ) ist)

werden die asymptotischen Zweige

zusammengebogen

und geflickt

(wobei im Flicken noch immer ein punktförmiges Loch bei x = 3 bleibt):

 

Man könnte auch sagen: der Fahrradschlauch hat bei x = 3

  • immerhin keinen langen Riss mehr,

  • sondern nur noch ein klitzekleines Loch.

Und dieses Loch lässt sich leicht mit h**: y = beheben

(was allerdings letztlich auch nicht viel bringt, da an anderer Stelle, nämich bei x = 6, ein langer, nicht behebbarer Riss bleibt).

PS: oben hatte ich gesagt, Rechnen sei keine Mathematik, sondern nur lästiges, wenn auch unvermeidliches Handwerkszeug.

Stimmt nicht ganz: es gibt auch ein Rechnen, das sich elegant zu neuen Erkenntnissen hangelt: jene traumwandlerische Sicherheit hin zu einem am Ende dennoch überraschenden Ziel

       (was einen eigenen Aufsatz wert wäre).

2. schnelle Praxis

Natürlich sollte man die Grundideen des Theorieteils verstanden haben. Danach aber lassen sich die dortigen Erkenntnisse spielend leicht auf Funktionen anwenden.

Ein einziges Beispiel:

gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f: y = . Mit dem Satz von Vietà

(4 + 1 = 5, 4 • 1 = 4,
 3 + 1 = 4, 3 • 1 = 3)

und der zwischenzeitlichen Substitution x2 = z

((±2)2 = 4, (±1)2 = 1) 

erhält man schnell

  • als Nullstellen des Zählers   1, -1, 2 sowie -2,
  • als Nullstellen des Nenners 1                            und 3.

Man könnte die Funktionsgleichung also auch so schreiben:

f: y =

Zu allererst halten wir aber fest: die Nullstellen des Nenners, also 1 und 3, dürfen auf keinen Fall im Definitionsbereich auftauchen. Wir erhalten also \ { 1 ; 3 } und wissen somit, dass für 1 und 3 Polstellen vorliegen:

Bislang wissen wir aber noch nicht, ob bei 1 und 3 behebbare oder nicht behebbare Polstellen vorliegen. Wie aber an zu erkennen ist, kommt

  • die Nullstelle 1 sowohl im Zähler als auch im Nenner vor (und zwar gleich oft), d.h. wir können sie          "rauskürzen" und es liegt dort eine           behebbare Polstelle vor,

  • die Nullstelle 3                                       nur im Nenner vor.                                   , d.h. wir können sie nicht "rauskürzen" und es liegt dort eine nicht behebbare Polstelle vor:

f: y = =

      =                   

Nun heißt aber

  •          "behebbar", dass bei 1 nur eine klitzekleine Definitionslücke vorliegt,

  • "nicht behebbar", das bei  3       eine                     Asymptote          vorliegt:

Des weiteren wissen wir, dass die Nullstellen der Funktion f identisch mit denjenigen des Zählers sind

(jetzt allerdings ohne 1),

d.h. f hat die Nullstellen -1, 2 sowie -2 :

Des Weiteren gilt für sehr große x ganz links und ganz rechts:

f: y = = ≈ = x2  ,

d.h. der Funktionsgraph von f sieht ganz links und ganz rechts annähernd aus wie die Normalparabel:

Wenn man nun all diese Informationen zusammensetzt, bleibt überhaupt nur noch ungefähr folgender Funktionsgraph von f:

Hier stimmt noch etwas nicht beim "Ast" ganz rechts oben, und überhaupt sind alle Maße nur sehr ungefähr. Aber dennoch ist der grundsätzliche Verlauf des Funktionsgraphen klar, der korrekt so aussieht:

Und es ist doch insbesondere bei den nicht ganz einfachen Rechnungen zu gebrochen rationalen Funktionen schön, wenn man schon vorher eine Vorstellung vom Funktionsgraphen hat und somit beispielsweise auch weiß, was die Rechnung hinterher hoffentlich bestätigt, nämlich dass er z.B. zwei lokale Minima und ein lokales Maximum hat.

Ein Computer-Funktionenplotter, der einem sofort

anzeigt, ist da keine Alternative, weil dann keinerlei eigener Gehirnschmalz mehr zu investieren ist, sondern das fix und fertige zeichnerische Ergebnis nur noch durch schnöde Rechnung bestätigt werden kann, während bei unseren Vorüberlegungen ja erst die (somit überhaupt erst notwendige) Rechnung zeigen kann, wo genau beispielsweise die Minima und das Maximum liegen.

Das leicht morbide Kokettieren mit einem Knochenbruch

rächt sich natürlich schnell: wenige Monate später ist aufgrund eines Rodelunfalls die Funktion meines rechten Fußes auch gebrochen-rational:

"Selbst der gute Onkel Fritze
sprach: »Das kommt von dumme Witze«."
(Wilhelm Busch)

Jahre später erfahre ich aus dem Buch :

"Dabei bedeutet al-gabr oder al-dschabr [modern »Algebra«] [...] eigentlich das »Einrenken« eines ausgerenkten Knochens [...]"

Und wo ich schon das Buch zitiere, entnehme ich ihm auch noch eine andere Weisheit: unsere "arabischen" Zahlen inkl. des Dezimalsystems und der so wichtigen Null haben die Araber "indisch" genannt. Und was angeblich erstmals in Indien entdeckt wurde, hatten in Wirklichkeit schon viel früher die Sumerer und Babylonier: gute Ideen sind oft viel älter, als man denkt.

(z.B. war Descartes keineswegs der erste, der das nur nach ihm benannte "kartesische Koordinatensystem" benutzt hat; was keineswegs heißen muss, dass er es geklaut hat, sondern ebenso gut bedeuten kann, dass er es neu erfunden hat).