Warum es so hart ausdrücken („stehlen“), wenn man es umgangssprachlich auch lustvoller sagen kann?!:

Vorwort
Gotik-Projekt
Spidercam-Projekt

Vorwort

Es muss ja nicht jeder das Rad neu erfinden, und so weise ich unten nur auf viele Unterrichtsideen hin, die schon von anderen

(bei denen ich mich hiermit in einem Abwasch bedanke!)

ausgearbeitet worden sind.

Zuerst aber einige Vorbemerkungen:

1. wäre es doch zumindest schade, wenn nicht gar sträflich, wenn man die Mathematik (gotischer Kathedralen / von Spidercams) aus ihrem kulturhistorischen Zusammenhang herausreißen und völlig isoliert behandeln würde.

Denn eine rein mathematische Betrachtung würde das jeweilige Themenfeld doch wieder nur als vorgeschobenen Anlass benutzen bzw. bis auf mathematische Gleichungenabnagen

(am „besten“ so, dass hinterher gar keine Gotik / Spidercam mehr übrig bleibt).

Ideal wären also interdisziplinäre Projekte zur Gotik und Spidercams,

• sei's in Zusammenarbeit mit Lehrern anderer Fächer oder sogar Vertretern aus der Praxis,
• sei's, indem Mathematiklehrer endlich mal über den Tellerrand ihres Fachs schauen und sich auch in Nachbargebieten fit machen.

(Nebenbei: von den gängigen Synonymen "Spidercam[era]", "Cable Cam", „Sky Cam“ und urdeutsch "Seilkamera" gefällt mir am besten die Metapher, also "Spidercam" , weil sich die Kamera ja entlang der Seile

[genauer: an den Enden der ein- und ausgerollten Seile]

wie eine Spinne in ihrem Netz bewegt:

[natürlich aus "Die Sendung mit der Maus"])

2. sollte die erste Frage

• nicht       "was an der Gotik und Spidercams ist mathematisch interessant?",
• sondern "was an der Gotik und Spidercams ist mathematisc h interessant?" lauten.

Denn die zweite und nicht die erste Frage würden sich

(wenn überhaupt)

Schüler doch wohl stellen, wenn sie einen gotischen Bau oder eine Spidercam sehen würden. An Mathematik würden sie aber sicherlich nicht auf Anhieb denken

(sondern man müsste ihnen überhaupt erst zeigen, dass die Mathematik essentiell für einen gotischen Bau oder eine Spidercam ist).

A propos „wenn überhaupt“: zumindest beim Thema „Gotik“ ist es vermutlich ein bisschen viel verlangt, dass Jugendliche

(oder zumindest viele unter ihnen)

sich auf Anhieb für „so einen uralten Scheiß“ interessieren, und das vielleicht auch deshalb, weil die meisten gotischen Gebäude Kirchen sind, viele Schüler inzwischen aber völlig kirchenfern sind, also nicht wie seinerzeit meine Schwiegermutter denken können:

„In so einer [gotischen] Kirche kann einem

[anders als in einem modernen Seelensilo ]

ja doch glatt noch andächtig zumute werden.“

Umgekehrt frage ich mich aber, ob man sich

(auch ohne christlichen Glauben)

überhaupt ganz der “himmelfahrenden“ Majestät gotischer Kirchen entziehen kann:

Wenn ich mit Schülern mal auf einem Klassenausflug in Köln war, stand

(abgesehen vom unvermeidlichen Shoppen und Fast Food)

obligatorisch immer auch eine Portion "Bildung" an, nämlich eine Besichtigung des Kölner Doms

(und die Besteigung eines der beiden Türme, auf die ich einige fußfaule Schüler allerdings „hochprügeln“ musste).

Beim Betreten des Doms ist dann aber oftmals auch Schülern, die vorher nur über diesen Programmpunkt geschimpft hatten, ein „wow!“ oder „boah!“ entwichen.

Es kommt halt darauf an, was man draus macht: bei einem Tagesausflug nach Köln mit zwei Klassen

• referierte die eine Domführerin so schnarchlangweilig, dass die Schüler sich dem bei jeder sich bietenden Gelegenheit entzogen,
• während die andere derart lebendig erzählte, dass fast alle Schüler gebannt an ihren Lippen hingen

(die restlichen Schüler musste ich allerdings immer hinten „zusammenfegen“;

nebenbei: vermutlich gibt es auch heute noch interessierte / interessierbare Schüler - so wie mich seinerzeit: als ich etwa elf Jahre alt war, lief im Fernsehen eine Serie mit dem Titel über mittelalterliche Kathedralen - und ich war begeistert; schade, dass diese Fernsehreihe nirgends mehr erhältlich ist).

Bei Spidercams liegt das Problem wohl ein bisschen anders:

• ich unterstelle mal, dass sich kaum jemand der „gottgleichen“ Vogelperspektive und Rasanz von Spidercam-Kamerafahrten entziehen kann:

• Aber oftmals ist Schülern doch die Frage fremd, wie denn ein bestimmter Effekt zustande kommt, d.h. sie bleiben ganz auf der Effektoberfläche und sind damit nurmehr „effektgeil“, und je gigantisch-gigantischer-am gigantischsten diese Effekte sind, desto besser:

(Vgl.        .)

Während es unklar ist, wie man Schülern Interesse an den (mathematischen) Hintergründen bzw. Ursachen vermitteln kann, bin ich mir sicher, wie man ihnen dieses

(ursprünglich vorhandene?)

Interesse austreiben kann, nämlich mit dem üblichen Schul(mathematik)unterricht, in dem

•  fast nie von den „Phänomenen“

(vgl. )

ausgehend die Hintergründe bzw. Ursachen entdeckt werden,

• sondern fast immer nur die fertigen Hintergründe bzw. Ursachen vermittelt werden.

(Da ist es nachgerade zum Totlachen, dass ausgerechnet der ewige PISA-Weltmeister Finnland derzeit radikal den Schulunterricht ummodelt:

Eines ist dabei aber allemal klar:

„In Ländern mit sehr faktenorientierten Standardtests wird der Phänomen-Unterricht wohl eher nicht funktionieren.“
[Quelle: ]

Und ebenso klar ist wohl, dass für Phänomenunterricht  allgemeingebildete Lehrer benötigt werden.)

Beim Thema „die Mathematik der Spidercam“ sind aber gleich drei Übersetzungsschritte nötig:

• wir (?) sehen nicht mehr (nur) die Effekte aus Perspektive der Spidercam, sondern drehen uns um und schauen der Spidercam ins Gesicht;
• uns interessiert, wie die Spidercam mit Seilen bewegt wird: ;
• uns interessiert das Rechenprogramm, mittels dessen die Bedienung in das Auf- und Abrollen der Seile und damit in Bewegungen der Spidercam übersetzt wird.

Die drei Schritte sind aber schon eine erhebliche Abstraktion, denn sie interessieren

• nicht im mindesten den normalen Zuschauer

(der überhaupt nur an dem interessiert ist, was die Spidercam zeigt, also an dem "was", nicht aber dem "wie"),

• ja, nichtmal die Bedienungsmannschaft der Spidercam

(die völlig überfordert wäre, wenn sie immer auch die komplizierten und zahlreichen Rechnungen durchführen müsste).

3. müsste es in den Projekten natürlich auch um die aus den Phänomenen Gotik/Spidercam herausdestillierte reine Mathematik gehen, aber diese sollte doch immer wieder an die außermathematischen Phänomene angebunden werden.

D.h.: insbesondere am Anfang und Ende stehen reale Erfahrungen:

1. anfangs wird langsam die Mathematik aus den Phänomenen herausdestilliert,

2. am Ende wird die Mathematik im realen Sachzusammenhang erprobt und angewandt.

Schauen wir uns das mal anhand der beiden Phänomene Gotik/Spidercam an:

• zur Gotik:

... eine gotische Kathedrale

1. : wenn irgend möglich, sollten die Schüler anfangs ein reales gotisches Gebäude (eine Kirche) besichtigen, und zwar am besten eines, das wirklich beeindruckend ist.

Es wäre schön, wenn es solch ein Gebäude in der Nähe der Schule gäbe, so dass man es

(mit den sich langsam entwickelnden mathematischen Erkenntnissen)

immer wieder besichtigen könnte.

Da haben Schüler aus Köln nun wirklich gut - und die Nicht-Kölner könnten ja vielleicht doch einen Tagesausflug nach Köln

(oder zu einem anderen gotischen Gebäude in Deutschland)

machen.

In meiner Heimatstadt Münster lägen als Untersuchungsobjekte z.B. nah

• die gotische Lambertikirche ,
• die neogotische Herz-Jesu-Kirche .

Solche weniger berühmten Kirchen sind nicht so überlaufen wie etwa der Kölner Dom, was den Vorteil hat, dass man

(wenn man freundlich fragt)

die Kirchen auch mal ausmessen, detailliert fotografieren oder sonst unzugängliche Räume besichtigen könnte:

Wenn aber partout kein gotisches Gebäude in der Nähe ist, gibt es ja immer noch

(als zweitbeste Wahl)

auf hervorragende Dokumentationen über die Gotik:

Oder der Lehrer / ein Schüler baut das wahrhaft eindrückliche Modell

.  .

(Unfassbar: ein Lehrer erstellt Unterrichtsmaterial: ) 

Eine Nummer kleiner und mit einem Preis von 19,90 € vielleicht (???) sogar für alle Schüler erschwinglich: : da tun die Schüler wirklich mal Gotik - und üben endlich mal ihre feinmotorischen Fähigkeiten

(... was im üblichen Unterricht nie vorkommt: für Handwerkliches ist man sich ja [durchaus aus Arroganz] zu fein).

Warum aber nicht als Teaser mit dem Film anfangen?

(Dass ich das noch erleben darf: ein Mathematikunterricht, der mit einem Spielfilm anfängt!)

2. Am Ende der Unterrichtsreihe sollte(n)
   • nicht Mathematik,
   • sondern von den Schülern mit Hilfe der Mathematik hergestellte "handgreifliche" Zeichnungen und Modelle stehen

(und diese Zeichnungen und Modelle sollten groß, also beeindruckend sein).

Beispiele sind da:

• ein romanisches Gewölbe:
• ein gotisches Gewölbe:
• ,
• eine metergroße Nachkonstruktion von , wobei die Fenster aus buntem Transparentpapier sind,
• mathematische Konstruktion und Nachbau gotischer Streben ,
• eine metergroße Nachkonstruktion des Labyrinths in der Kathedrale von Chartres

(nebenbei: dass

• nicht bloß mit einem Fotokopierer oder Scanner kopiert [vergrößert],
• sondern mathematisch konstruiert wird,

lässt sich am besten dadurch motivieren, dass eigene gotische Muster [z.B. Fensterrosen oder Labyrinthe] erstellt werden);

• ein Versuch, ansatzweise eine gotische Kirchendecke nachzubauen: .

•   zur Spidercam:

... eine Spidercam

1. : es mag ja noch möglich sein, halbwegs in der Nähe eine gotische Kirche aufzutreiben, aber woher eine Spidercam nehmen?!
   

Oder genauer, da eine (unbewegte) Spidercam alleine ja witzlos ist: eine Spidercam in Aktion ?!

Mit ein wenig Glück liegt die Schule in einer Stadt, die einen Bundesligaclub hat, oder zumindest in deren Nähe. Und mit noch größerem Glück bekommt man da kostengünstige Eintrittskarten. Aber auch das würde wenig helfen:

• viele Schüler würden wohl eher dem Spiel zuschauen als die Spidercam beobachten

(als ich Fußballignorant mal mit meinem BvB-begeisterten Sohn im Westfalenstadion in Dortmund war, haben mich hingegen die Bewegungen der Spidercam viel mehr interessiert als das Spiel, und ich hätte am liebsten sofort herausgefunden, wie diese Bewegungen der Spidercam mathematisch funktionieren;

noch viel mehr haben mich alten Voyeur aber die Fans und ihr Verhalten interessiert als die Fußballspieler; vgl. die großartige Dokumentation : wer diese Dokumentation gesehen hat, wird nie wieder pauschal abfällige Bemerkungen über vermeintlich dumme oder allesamt gewalttätige Fußballfans machen);

• selbst wenn sie die Spidercam beobachten würden, bliebe das nur auf der oben genannten Ebene

„wir [...] schauen der Spidercam ins Gesicht“,

d.h. das ursprüngliche Phänomen, nämlich das Fußballspiel aus der Perspektive der Spidercam, wäre verloren - und damit das Phänomen, dessentwegen Spidercams überhaupt eingesetzt werden.

Bemerkenswert ist auch, dass die Perspektive der Spidercam naturgemäß nur medial vermittelbar ist:

• in erster Linie also für den eben gerade nicht im Stadion anwesenden Fernsehzuschauer,
• vielleicht auch mal kurz auf einer Großleinwand im Stadion: es wird dem im Stadion anwesenden Zuschauer aber schwerfallen, die Bewegung der Spidercam und deren Bilder auf der Großleinwand annähernd gleichzeitig zu beobachten, also zu erkennen, welche Bewegung der Spidercam zu welcher Perspektive führt

(mal ganz abgesehen vom „allerersten“ Phänomen, nämlich der Bewegung der Spieler bzw. dem Spielverlauf).

Bleiben also nur Filme über Spidercams, und das sind oft Reklamefilme für Spidercams, nämlich z.B. .

So mit am interessantesten an diesem Film ist aber der Ausschnitt , in dem eine zweite Kamera

(in einer Drohne ?)

• die Spidercam dabei beobachtet,
• wie sie das Fußballspiel beobachtet.

Bessere Einblicke in die Funktionsweise von Spidercams geben

•  ,
•  ,
• .

Allemal interessant ist auch eine Bauanleitung für eine Spidercam:

Diese Filme sind allerdings leider alle auf Englisch

(die Bilder sprechen aber auch ohne viele Worte für sich),

und die mathematische Programmierung der Spidercams bleibt (glücklicherweise!?) noch außen vor.

Immerhin (glücklicherweise nur) ansatzweise wird die mathematische Programmierung in diesem Video zu einer Schüler-Facharbeit gezeigt:

2. : am Ende der Unterrichtseinheit sollte, wenn irgend möglich, ein aus den mathematischen Überlegungen hervorgehendes reales Modell wie im soeben gezeigten Facharbeits-Video stehen.

Zu fragen wäre da, ob die (alle?) Schüler

• nur die nötige Mathematik vermittelt bekommen bzw. selbst entwickeln
• oder auch die zugehörige Programmierung in einer möglichst einfachen Programmiersprache lernen sollten

(z.B. mit  : ),

• oder der Lehrer diese Programmierung selbst vornimmt oder interessierten Einzelschülern
  

Gotik-Projekt

1. Vorbemerkungen:

auf die Idee, dass ein Gotik-Projekt ebenso

• mathematikdidaktisch wünschenswert

• wie für die Schüler interessant

sein könnte, bin ich überhaupt erst so gekommen:

bei der Nachhilfe für eine Oberstufen-Schülerin stellte sich mehrmals heraus, dass die Schülerin durchaus eine gute mathematische „Denkerin“ war, was völlig ihren schlechten Zensuren in Mathematik-Klausuren widersprach. Als eigentlichen Grund für ihre schlechten Noten nannte die Schülerin dann, dass sie Mathematik "einfach [!] uninteressant" fände. Auf meine Nachfrage hin ergänzte sie dann aber, dass sie Mathematik während ihrer langen Schulkarriere ein einziges mal nicht uninteressant gefunden hätte, nämlich während eines "Gotik-Projekts":

Interessant an dem Textausschnitt ist vor allem, dass das Projekt geschlagene sechs Wochen dauert - und damit bei den derzeit immer enger gestrickten Lehrplänen fast schon utopisch ist

(vgl. ).

Denn

• zwar wird im Gotik-Projekt auch klassischer Lehrplanstoff vermittelt

("geometrische Grundformen" [s.o.], Kongruenzabbildungen [Schieben, Drehen, Spiegeln], Symmetrie),

• aber
  • erstens werden zusätzlich (kunst-)historische Hintergründe betrachtet

(nebenbei: kann / darf man gotische Architektur durchnehmen, ohne immerhin ansatzweise das dahinter stehende christliche Weltbild des Mittelalters zu erkunden?; vgl. analog ),

• zweitens werden erheblich komplexere Muster erstellt als in der gängigen Kongruenzlehre

(in der es fast nur um simple Dreiecke geht),

• drittens sind genaue zeichnerische Konstruktionen insbesondere mit dem Zirkel zu üben,
• viertens ist das Erstellen eigener Modelle sehr zeitaufwändig,

• fünftens kommen neben den üblichen Kreisen z.B. beim Schnitt zweier Gewölbe („Vierung“) auch gar nicht mehr so einfach zu konstruierende Ellipsen vor.

Und kann man nach einer Gotik-Unterrichtseinheit überhaupt noch eine Klassenarbeit schreiben lassen, bzw. wie sollte die aussehen?

2. geklaute Gotik-Unterrichtsideen:

• Maßwerk in der Gotik - Formen in der Architektur
• Galerie der Rad- und Rosenfenster
• Konstruktion von Geometrischen Mustern am Beispiel von gotischen Kirchenfenstern
• Geometrische Einblicke in die Gotik
• Ein Unterrichtsbeitrag zur Gotik
• Die Architekten [der Gotik]
• Geometrisches Konstruieren - Unterschiedliche Zugänge am Beispiel eines gotischen Kirchenfensters erfahrbar machen
• KIRCHENBAU MITTELALTER Architektur als Zeugnis der europäischen Kultur
• Zur Konstruktion von Maßwerken
• 

Spidercam-Projekt

1.  Vorbemerkungen:

Nachdem aus den oben gezeigte Videos die grundsätzliche Funktionsweise einer Spidercam klar sein sollte

(Bewegung der Kamera durch vier auf- und abgerollte Seile),

würde ich die Schüler das „Balltransportspiel“ spielen lassen:

Dieses „Balltransportspiel“ gibt es in verschiedenen Versionen:

• meistens werden Bälle transportiert, manchmal aber auch andere Gegenstände (Holzklötze, Hühnereier ...),
• manchmal wird aber auch ein Stift bewegt, um eine Zeichnung anzulegen;
• die Gegenstände werden durch an ihnen befestigten Seilen oder Fäden bewegt, indem an ihnen mehrere (drei, vier oder noch mehr) Personen ziehen;
• manchmal darf dabei gesprochen werden, manchmal nicht;
• es gibt auch eine Spielversion, in der den „Ziehern“ die Augen verbunden sind und sie nur auf Zurufe hin agieren können.

Wie auch immer: es erweist sich, dass koordinierte Bewegungen teuflisch schwierig sind.

Wegen der altbekannten Nachteile von 2D-Projektionen

(fehlende Längen- und Winkeltreue)

scheint es mir ratsam, für den Unterricht ein 3D-Modell zu bauen

(am besten sukzessiv mit den Schülern zusammen):

man kaufe ein -Set und bastle dazu vier halbwegs stabile Seilzug-Ständer mit oben angebrachten Umlenkrollen. Die „Seile“ können anfangs aus verschiedenfarbiger Strickwolle bestehen , und an die "Seile" kann man außerdem noch unterschiedliche Bezeichnungen kleben.

Wir betrachten

•  nur die Kamerafahrten, die durch das Auf- und Abrollen der Seile entstehen ,
• aber nicht die Kameradrehungen und .

(unten werden wir allerdings sehen, dass auch ein „herabhängendes“ Koordinatensystem sinnvoll sein könnte);

(... was natürlich völlig unrealistisch, da das für die Spieler gefährlich wäre und die Ecken sowieso für "Eckstöße" benötigt werden. Aber es macht den Bau unser geplantes Modell erheblich einfacher.

In Wirklichkeit sind die Seilrollen an den Dächern der Stadien befestigt, und weil das Dach des Westfalen-Stadions in Dortmund 40 m hoch ist, übernehmen wir diese Höhe [auf der z-Achse] für unsere Ständer.)

,

wobei die Spitzen der Seilständer alle in einer Ebene 40 m über dem Fußballfeld liegen:

(wenn von einer Ebene die Rede ist, hänge man doch wirklich eine Ebene z.B. aus Pappe oder Plexiglas in die Ständer ein);

Für die Koordinaten der Kamera K ( x | y | z ) bedeutet das:

• 0 ≤ x ≤ 105 ,
• 0 ≤ y ≤   68 ,
• 0 ≤ z ≤   40 .

Mit den vier Seilen und der Kamera K sieht das dann so aus:

(Dieses Bild würde ich zur steten Erinnerung im Großformat zusätzlich zum 3D-Modell im Klassenraum aufhängen.)

• nicht wie unmotorisierte Spidercams von vier Seilen gezogen werden,
• sondern motorisiert an einem einzigen Seil entlanglaufen.

Wir fangen mit solch einem einzigen Seil an, und zwar zwischen den vorderen beiden Ständer-Spitzen A und B, wobei wir noch zwei weitere Vereinfachungen vornehmen:

• wir gehen anfangs davon aus, dass das Seil ohne Durchhängen stramm zwischen den beiden Spitzen verläuft, also eine durchgehende gerade Strecke bildet;
• wir betrachten anfangs nur eine einzige, konkrete Kameraposition, nämlich K ( 70 | 40 ), wobei wir die für unsere Betrachtung unnötige y-Koordinate erstmal weglassen, uns also im Zweidimensionalen bewegen:

Wenn wir nun die Kamera aus der Position K nach unten absenken, bleibt die Kamera in der zweidimensionalen Frontebene und erhalten wir

• im konkreten Fall

• im allgemeinen Fall

;

Nun verschieben wir die Kamera in der oberen Deckebene, wozu wir nun aber zusätzlich die y-Koordinaten einfügen müssen, somit K ( 70 | 30 | 40) bzw. K ( x | y | 40 ) erhalten und

• im konkreten Fall

• im allgemeinen Fall

• im konkreten Fall:

• im nun endlich gänzlich allgemeinen Fall:

Und jetzt fehlt "nur" noch die Bewegung der Kamera

• von einem beliebigen Ort K ( x | y | z ) aus
• in eine beliebige Richtung:

Da alle Bewegungen von den Seilwinden ausgehen, der (Fußball-)Platz unten für alle Berechnungen also eigentlich herzhaft egal ist, wären viele Rechnungen einfacher

(viele Koordinaten der Seilwinden A, B, C und D wären null; es gäbe dennoch nur positive Punktkoordinaten für alle möglichen Kamerapositionen),

wenn man das Koordinatensystem „an die (Stadion-)Decke hängen“ würde

(so, wie die Seilwinden im Westfalenstadion am Dach hängen):

Aber das ist für Schüler vielleicht doch allzu ungewöhnlich und würde somit zu anderen Schwierigkeiten führen.

(Nebenbei: es lohnt sich, das Spidercam-Problem auch mal ansatzweise elementargeometrisch, also ohne Vektoren zu lösen. Das erweist sich wegen der dann nötigen vielfachen Anwendung des „Satzes des Pythagoras“ schnell als dermaßen kompliziert,  dass man den Göttern dankbar dafür wird, dass sie uns in ihrer unermesslichen Weisheit und Güte die Vektorgeometrie

[meistens das glatte Gegenteil von Kunst: "Kunst am Bau"]

geschenkt haben!)

2. geklaute Spidercam-Unterrichtsideen:

•  Ein Flug mit der Spidercam – als Einstieg in die Analytische Geometrie [eine ausgearbeitete Unterrichtseinheit]
• Wie bewegt sich eine Spider-Cam? Eine technische Errungenschaft, die nicht nur Fußballfans begeistert.
• „...und Action! – Kalibrierung und Aufnahmemöglichkeiten der Spidercam“
• Spiedercam
• Spidercam und Sportplatz

PS: als abschließende Belohnung eine ungewöhnliche Anwendung der Spidercam: