Es kann kein Zweifel bestehen, dass die "Gleichungslehre" bislang/derzeit ein zentraler Bestandteil der Schulmathematik ist, woraus folgt, dass Gleichungs- samt Termumformungen den SchülerInneN zu beiden Ohren heraus kommen.
Wichtig sind Gleichungen insbesondere im Hinblick auf das Folgethema "Funktionen" und da "Funktionsgleichungen".
Was aber an Gleichungen ist so besonders bedeutsam?
links = rechts
Dabei gelten einige "Zusammenhänge", die man gar nicht deutlich genug durchnehmen kann:
- Dass eine Gleichung "lösbar" ist, bedeutet, dass gesagt werden kann, welche Zahl(en) hinter einer Variablen (meistens x) steckt (stecken).
- Gleichungen sind höchstens dann lösbar, wenn nur eine Variable (üblicherweise x) vorkommt. Tauchen hingegen mehrere Variable auf (also z.B. zusätzlich noch y und z), so müssen diese (falls überhaupt möglich) in Abhängigkeit von x dargestellt werden, so dass sie letztlich verschwinden und wieder nur x übrig bleibt.
(Angenommen also mal, in der Gleichung 22 = 3 x + 4y kommen die beiden Variablen x und y vor. Dann ist sie so nicht lösbar, sondern man kann x nur in Abhängigkeit von y bzw. umgekehrt berechnen:
x =
y =
Aber mal angenommen, wir wissen zusätzlich, dass y doppelt so groß wie x ist, dass also y = 2 x gilt. Dann könne wir einsetzen:
22 = 3 x + 4 y
22 = 3 x + 4 • 2 x
Hier nun liegt nur noch eine Variable, nämlich x, vor, und diese Gleichung lässt sich lösen: x = 2. Und weil ja y = 2 x ist, können wir auch noch nachträglich berechnen y = 4.)
- Ziel aller Gleichungsumformungen ist es, komplizierte Terme zu vereinfachen und dadurch am Ende herauszubekommen, welche Zahl(en) hinter der einzigen Variablen steckt (stecken). Gleichungsumformungen sehen also üblicherweise so aus:
links = irgendwas mit x (also z.B. 17x2 - 4x +3)
D.h. rechts steht am Ende nur noch ein nacktes x, das wegen des Gleichheitszeichens die Zahl(en) links ist.
- Durch die Gleichheits- und die Äquivalenzzeichen ist dabei gesichert, dass das x, welches am Ende "rauskommt", auch tatsächlich dasselbe ist, das die Anfangszeile und eigentliche Aufgabenstellung löst.
- Oberstes Ziel aller Gleichungsumformungen muss es sein, jederzeit die Gleichheit beizubehalten, damit
- keine falschen (das Anfangsproblem nicht lösenden) Lösungen entstehen,
- keine zusätzlichen "Lösungen" hinzu kommen, die die Anfangsgleichung nicht lösen,
- keine Lösungen verschwinden.
- Merke: es gibt auch Gleichungen, die gar nicht lösbar sind, d.h. sogar die Mathematik hat nicht auf jeden Pott 'nen Deckel.
(das wird unten noch wichtig)
bedeutungslos, aber gerade darin besteht ihr größter Vorteil: dass nämlich eine einzige Gleichung potentiell grenzenlos mit Bedeutungen aufladbar ist und somit auf viele "Anwendungs"-Fälle gleichzeitig passt.
Wichtig sind Gleichungen insbesondere im Hinblick auf das Folgethema "Funktionen" und da "Funktionsgleichungen". Und Funktionen handeln eben doch von mehreren Variablen und deren Abhängigkeit voneinander. D.h. insbesondere, dass sie nicht eindeutig lösbar sind.
Ein ganz einfaches Beispiel ist da wieder y= 2 x, was nichts anderes besagt als:
Man kann also für x beliebige (unendlich viele!) Zahlen einsetzen und erhält y immer als das Doppelte.
Man kann also für y beliebige (unendlich viele!) Zahlen einsetzen und erhält x immer als die Hälfte.
Besonders interessant ist nun, wie sich die eine Variable (z.B. y) entwickelt, wenn man die andere (z.B. x) systematisch vergrößert.
Und für eben solche "Entwicklungen" gilt es ein "Auge" bzw. "Gespür" zu entwickeln!
Beispielsweise steigt für wachsende x
Und um solch ein "Auge" bzw. "Gespür" zu entwickeln, ist allemal das Buch 
sehr geeignet.
Dabei ist gleich vorwegzuschicken, dass das Buch wahrhaft nicht ernst gemeint ist:
Und wenn da im deutschen Titel von "Weltformeln" die Rede ist, so wendet Damrauer sich damit ja wohl eindeutig ironisch gegen
(vgl.
,
und
);
(vgl.
)
Kommt hinzu, dass der Originaltitel ja nicht halb so (ironisch) anmaßend ist:
(Nebenbei: "New Math" ist wohl eine Spitze gegen eine "neue" Mathematikdidaktik in den USA: )
Diesem Buch seien nun drei Beispiele entnommen:
Was mag diese Gleichung bedeuten bzw. warum wird sie wohl von einigen Leuten als lustig empfunden?
Fangen wir mit dem Anfang "ONKEL = PAPA ..." an. Zwar sind beide natürlich nicht identisch, aber sie haben doch den gemeinsamen Nenner "Verwandtschaft". Zum Onkel fehlt allerdings noch etwas, muss man nämlich noch "SPASS" addieren, was doch wohl heißt: mit einem Papa hat man wenig oder gar keinen Spass, wohl aber mit einem Onkel
(weil ein Onkel nicht die Erziehung vornehmen muss).
In diesem Beispiel sind die "Einzelbestandteile" ONKEL und PAPA anscheinend noch Konstanten und nicht Variable: es gibt keinen halben ONKEL / PAPA - oder höchstens einen mehr oder minder guten.
Im folgenden Beispiel hingegen scheinen die "Einzelbestandteile" Variable zu sein:
Die Bruchgleichung besagt dabei:
- je größer der Zähler "BEISSEN", desto größer ist auch die Bosheit des Hundes,
- je größer der Nenner "BELLEN", desto kleiner ist die Bosheit des Hundes, denn schließlich gilt (angeblich) laut dem allseits bekannten Sprichwort: "Hunde, die bellen, die beißen nicht."
Anhand dieser beiden ersten Beispielen wird schon klar, dass bei Damrauer die "Einzelbestandteile" der Gleichungen
(also ONKEL, PAPA, SPASS, BÖSER HUND, BEISSEN und BELLEN)
keineswegs - wie in der Mathematik üblich - abstrakt-bedeutungslos sind, sondern (semantischen) "Sinn" haben. Die Gleichungen sind also mehr als nur Mathematik, bzw. fast scheint es, als wenn die Mathematik nur Vorwand ist und veralbert wird. Ein besonders schönes Beispiel dafür ist
Bei der hohen Bedeutsamkeit des Themas kann es natürlich keine Frage sein, dass hier Sein mindestens so tiefgründig gemeint ist wie in
:
"Seiendes sein besagt [...]: in eine je bestimmte Stufe der Ordnung des Geschaffenen gehören und als so Verursachtes der Schöpfungsursache entsprechen (analogia entis). Niemals aber besteht das Sein des Seienden [...] darin, daß es, als das Gegenständliche vor den Menschen gebracht, in dessen Bescheid- und Verfügungsbereich gestellt und so allein seiend ist."
(Martin Heidegger)Nun mag man sich noch so sehr sein Gehirn über das "seiende SEIN" zermartern, dieses SEIN mag noch so groß(artig) werden,
kürzt sich dennoch zu einer schnöden 1 . Und es kommt noch doller: das Gesamtergebnis von 1 x 0 wird wegen der Multiplikation immer 0, alles in allem kommt also GAR NIX raus, und genau das ist NIHILISMUS.
Die Mathematik ist hier also eindeutig nur Mittel zum Zweck der ironischen "Vernichtung". Aber dabei werden durchaus wichtige mathematische Effekte benutzt:
- ist eine "Sache" (hier SEIN) durch sich selbst dividiert immer 1, und zwar völlig unabhängig vom konkreten Wert der "Sache" und davon, wie groß oder klein diese "Sache" ist
(man sollte also erst gar nicht rechnen bzw. sich durch evtl. scheußliche Zahlenwerte irritieren lassen, wenn eine "Sache" durch sich selbst geteilt wird),
- ist eine "Sache" (hier
(man sollte also erst gar nicht rechnen bzw. sich durch evtl. scheußliche Zahlenwerte irritieren lassen, wenn eine "Sache" mit 0 multipliziert wird).
Die Division einer "Sache" durch sich selbst bzw. die Multiplikation mit 0 sind also die großen mathematischen Gleichmacher / Vernichter / Zermalmer.
Nun gibt es auf der Internetseite ein "Gewinnspiel", bei dem man selbst Gleichungen erstellen kann, und zwar, indem man eines der drei vorgegebenen "Grundmuster"
auffällt.
Dazu muss man aber die mathematische Funktionsweise des jeweiligen "Grundmusters" verstanden haben, also z.B.: was bewirkt die Division 
, und zwar insbesondere dann, wenn der Zähler Oben bzw. der Nenner Unten größer/kleiner wird?
Die gegebenen "Grundmuster" sind schon ganz schön schwierig, weshalb wir das dritte ein wenig vereinfachen, indem wir A + weglassen und somit erhalten:
Und da ich mir ja zwecks 
zu nix zu schade bin:
Sex 
sells everything
Ganz in diesem Sinne füllen wir nun mit 
- und fragen uns dann, was das wohl bedeuten mag bzw. ob das überhaupt sinnig ist.
Ich habe dieses Beispiel bei aller Ironie dennoch mit einigem Hintersinn gewählt, denn mir scheint doch, dass Jugendliche heutzutage oftmals nur zwei Extreme kennenlernen bzw. vorgeführt bekomme, nämlich
(Blümchensex per Windbestäubung :-)und dass sie dadurch heillos zerrissen werden.
Nun scheint mir in durchaus zu stimmen, was wir oben als Effekt der Division kennengelernt hatten:
Wichtig daran ist mir, dass die Gleichung zwar für Liebe wirbt, mit der Sex vielleicht sogar noch mehr Spaß macht, aber doch nicht prüde ist (den Sex ausschließt). Ja, mit der Gleichung wird nichtmal über Porno geurteilt, wenn die Gleichung - rein mathematisch gesehen - auch einen interessanten Effekt hat:
(der Dauerorgasmus aller Pornografie?),
(die Division durch Null ist die größte mathematische Katastrophe bzw. nicht definiert).
