Hiermit ist es  bei Strafe der Bastonade mit der Nilpferdpeitsche auf dem Schulhof in einer großen Pause     strengstens verboten!     vorweg das erschröcklich Ende diese Textes zu lesen.   Aufgabe: "Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10% . Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat. Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung tatsächlich zugenommen hat. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden. Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden. Erstelle einen Hypothesentest." (zitiert nach )

Lösungsweg:

A. Vorüberlegungen

• wenn ja    , vereinfachen sich viele Rechnungen ungeheuer (s.u.),

• wenn nein, sind die Rechnungen enorm aufwendig.

Im vorliegenden Fall liegt glücklicherweise tatsächlich eine Binomialverteilung vor, da es nur zwei Alternativen gibt:

• entweder schauen mehr als 10 %        die Fernsehserie

2. Problemklärung

Es lohnt sich immer, Extremfälle durchzudenken, weil man an ihnen besonders deutlich grundsätzliche Probleme erkennen kann:

• Im zweiten Extremfall haben wir bei der Befragung zufällig ausschließlich Serienmuffel am Telefon gehabt, und dann kaufen wir aufgrund der scheinbar enormen Ablehnung keine neuen Sendungen, obwohl in Wirklichkeit die Zuschauerzahl sogar gestiegen ist.

(vgl. "Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst"),

aber immerhin doch mathematische, also halbwegs objektive Kriterien für unsere Entscheidung.

3. Herausdestillieren der Mathematik aus der Textaufgabe

             10% entspricht 0,1 , Stichprobenumfang n = 200 , 95% entspricht 0,95

Man möchte überprüfen, ob die Beliebtheit der Sendung tatsächlich zugenommen hat, ob also die Vermutung p > 0,1  zutrifft.

Bei der Aufstellung der Hypothesen geht man so vor:

·  Alternativhypothese H₁ = das, was gezeigt werden soll,

                                                        im vorliegenden Fall also H₁: p > 0,1  ,

·           Nullhypothese H₀ = das Gegenteil dessen, was gezeigt werden soll,

                                                        im vorliegenden Fall also H₀: p  ≤ 0,1  .

• nie unsere ursprüngliche Hypothese H₁

• sondern immer deren Gegenteil, also die Nullhypothese H₀ .

• falls es nicht so aussieht, dass 10%  oder weniger die Sendung gucken (H₀),

• nehmen wir an,                 dass mehr als 10%           sie                gucken (H₁)

• uns mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%  richtig entscheiden, wenn wir die Nullhypothese H₀: p ≤  0,1 annehmen – und somit unsere Alternativhypothese H₁: p > 0,1 ablehnen

(also keine zusätzlichen Sendungen kaufen),

• also mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% - 95% = 5% falsch entscheiden, wenn wir die Nullhypothese H₀: p ≤  0,1  ablehnen – und dann natürlich unsere Alternativhypothese H₁: p > 0,1 annehmen

(und zu Unrecht neue Sendungen kaufen).

(und neue Sendungen kaufen, was dann allerdings viel rausgeschmissenes Geld bedeuten  würde).

• den Annahmebereich von H₀, in dem die Anzahl der Umfrageanworten „ich schaue die Serie“ liegt, bei der wir H₀ annehmen

(H₁ also ablehnen),

B. Mathematisierung

Dieser Teil handelt  ausschließlich von der Nullhypothese H₀: p ≤ 0,1 . Auf unsere ursprüngliche Alternativhypothese H₁: p > 0,1  werden wir erst im Teil D. zurückkommen.

Aus der Aufgabenstellung und den Vorgedanken oben entnehmen wir folgende Werte:

• Nullhypothese H₀:   p ≤ 0,1  ,
• Signifikanzniveau     a ≥ 5% ,
•                                   p = 0,1

Gehen wir die zitierte Passage also ein bisschen langsamer, d.h. mit längeren bzw. mehr Zwischenerklärungen an:

• als wichtigsten Kennwert jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen wir zu allererst den Erwartungswert μ :

m   =     n   • p    =                           = 200 • 0,1  =  20 oder kurz                      m   =                      20 ;

 

• mit diesem Erwartungswert können wir nun auch leicht die Varianz und daraus folgend die Standardabweichung berechnen:

o  Varianz    σ2 =  m   • (1 –  p  ) =                                   = 20   • (1 –  p  ) =                                   = 20  • (1 – 0,1) =                                   = 20  •     0,9      =            18                oder kurz               Varianz    σ2 =                                     18 (Es sei kurz daran erinnert, dass die Varianz keine aussagekräftige Bedeutung hat, sondern nur ein notwendiger rechnerischer Zwischenschritt auf dem Weg hin zur Berechnung der bedeutsamen Standardabweichung ist:) o  Standardabweichung    σ   =  ≈ 4,26              oder kurz             Standardabweichung    σ   =                ≈ 4,26

Wiederum ohne Begründung: um eine 95%ige Sicherheit zu erreichen, legen wir um den Erwartungswert  m   =  20  den Annahmebereich mit dem Radius

r = 2 •    σ    =                 = 2 •      =                 ≈  2 •  4,26 =                 =     8,52   oder kurz               r ≈   8,52  bzw. aufgerundet              r =        9   .

(Vgl.  

 ;

Es ist zudem anzumerken, dass wir mit der 2σ-Regel eine einfachere Regel verwenden als der Aufgaben-Autor mit seiner 1,64σ-Regel und dass wir daher auch zu anderen Ergebnissen kommen werden als er.)

Mit r = 9 ergibt sich

als linke Grenze       L des Annahmebereichs                                           L = m   – r  =                                              = 20 – 9  =                                              =    11         oder kurz                                          L =    11 ,  als  r echte Grenze R des Annahmebereichs                                          R = m   + r  =                                             = 20  + 9 =                                             =    29         oder kurz                                          R =    29 .

(Durch das Aufrunden von r auf 9 sind zum Annahmebereich zusätzlich die beiden Randzahlen 11 und 29 hinzugekommen.)

Schauen wir uns nun die 200er-Stichprobe und daran vergrößert den besonders wichtigen Annahmebereich an:

Wenn wir nun in den vergrößerten Bereich die oben berechneten Werte eintragen, ergibt sich

   

und somit (vorerst) als Annahmebereich der Nullhypothese das Intervall [ 11 ;  29 ] .

Machen wir uns nach all den Rechnungen nun aber klar, was das im Hinlick auf die Nullhypothese bedeuten würde:

• wir würden die Nullhypothese annehmen

(also von einer schlechten Akzeptanz der Fernsehserie ausgehen und daher keine neue Staffel kaufen),

wenn zwischen 11 und 29 der insgesamt 200 befragten Zuschauer die Serie anschauen;

• im Umkehrschluss hieße das aber, dass wir die Nullhypothese ablehnen würden

(also unsere ursprüngliche Alternativhypothese annehmen und somit eine neue Staffel kaufen würden),

        wenn

1. entweder weniger als 11 Befragte, also zwischen 0 und 10 Befragte     (Bereich B_L  )

2. oder        mehr      als 29 Befragte, also zwischen 30 und 200 Befragte (Bereich B_R )

die Serie anschauen:

Nun würde der Fall a. aber bedeutet,  dass wir

• von einem            erhöhten Serienkonsum ausgehen und eine neue Staffel kaufen würden,

• wenn besonders wenige   (nämlich zwischen 0 und 10) Befragte die Serie gucken würden.

Dazu müssten wir z.B. denken:

"Wenn besonders wenige Leute die Serie angucken, kaufen wir die neue Staffel aus purem Trotz erst recht. Uns schert also nicht im mindesten die geringe Nachfrage der Zuschauer, bzw. wir werden durch ein vermehrtes Angebot eine höhere Nachfrage überhaupt erst erzeugen.“

Mag sein, dass einige Fernsehsender tatsächlich so denken, aber wieso machen sie dann überhaupt eine Umfrage?!

Da der Bereich B_L somit ein unsinniger Ablehnungsbereich ist, schlagen wir ihn tolldreist zum ursprünglich berechneten Annahmebereich der Nullhypothese und erhalten als neuen

Annahmebereich der Nullhypothese das Intervall [ 0 ; 29 ] :

 

Für den Ablehungsbereich der Nullhypothese bleibt dann nur noch der Bereich BR, also das Intervall [30 ; 200] :

Da uns das mathematische Ergebnis links also gar nicht interessiert, spricht man auch von einem „rechtsseitigen“ Hypothesentest

(in anderen Fällen gibt es auch links- oder beidseitige Hypothesentests).

In diesem Kapitel B. war mit einer einzigen kleinen Ausnahme nur von der Nullhypothese  die Rede. Da nun aber alle wichtigen Werte bzgl.  der Nullhypothese berechnet sind, können wir endlich zu unserer ursprünglichen, also der Alternativhypothese zurückzukehren

(bzw. um das Elefantenbild von oben nochmals zu bemühen: vom Nichtvorhandensein des Elefanten innerhalb des Kühlschranks auf seine Anwesenheit außerhalb des Kühlschranks zu schließen): 

D.  Rückkehr zur ursprünglichen Alternativhypothese und zum "Fernsehproblem"

Bei einer Binomialverteilung, bei der es nur zwei komplementäre Möglichkeiten gibt (hier ≤  10%, also keine neue Staffel kaufen, > 10%, also   eine neue Staffel kaufen) ,  ist                         der Annahmebereich         der ursprünglichen Alternativhypothese eben gerade der Ablehungsbereich BR der                                  Nullhypothese         (und umgekehrt) . In unserem Fall ist der Annahmebereich der ursprünglichen Alternativhypothese also BR , d.h. das Intervall [30 ; 200]: Wenn in dem Telefoninterview zwischen 30 und 200 Interviewte sagen, dass sie (regelmäßig) die Fernsehserie gucken, halten wir unsere Alternativhyothese für hinreichend (mit einer Sicherheit von 95%) belegt -  und kaufen wir also die nächste Staffel. 95%ige Sicherheit bedeutet dabei, dass wir bei mehrfacher Wiederholungen dieses Entscheidungsverfahrens nur in 5% aller Fälle (also bei nur einer von zwanzig Entscheidungen) falsch lägen (hier wurde der Konjunktiv benutzt, weil das Entscheidungsverfahren vielleicht nur ein Mal angewandt wird, nämlich bei der vorliegenden Fernsehserie). Dabei ist es natürlich durchaus möglich (aber doch unwahrscheinlich), dass wir bereits bei der ersten (und evtl. einzigen) Entscheidung falsch liegen.

---

Im Nachhinein wird auch klar, wieso man nicht direkt die Alternativhypothese angeht, sondern den Umweg über die Nullhypothese einschlägt:

1. ein philosophisch-psychologischer Grund:

in der Aufgabenstellung heißt es:

"Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat." 

Das heißt aber doch, dass das Managment nicht unvoreingenommen an die Sache rangeht, sondern eine vorgefasste Meinung (Vermutung) hat.

(Allerdings scheint das Managment

• einerseits vom Erfolg der Serie überrascht zu sein ["sogar"],

• anderseits demütig nur eine kleine Verbesserung für möglich zu halten ["etwas"].)

Solch ein Vorurteil ist aber immer gefährlich, da es schnell betriebsblind gegenüber jenen Aspekten macht, die der vorgefassten Meinung widersprechen. Deshalb sollte nach dem Philosophen Karl Popper (nicht nur) jeder Wissenschaftler sogar gezielt nach jenen Aspekten suchen, die seiner vorgefassten Meinung widersprechen. In unserem Fall ist aber eben die Nullhypothese  das Gegenteil der ursprünglichen (Alternativ-)Hypothese. 

2. mathematische Gründe:

1. erster mathematischer Grund:

• wenn wir bei der Bestimmung des Annahmebereichs der Nullhypothese den Radius r dieses Annahmebereichs durch Aufrunden zu groß gewählt haben,

• wird damit der Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu klein,

• und somit wird auch der Annahmebereich der ursprünglichen Alternativhypothese zu klein.

Letzteres bedeutet aber, dass wir unsere ursprüngliche Alternativhypothese nur unter sehr strengen Bedingungen akzeptieren, unserer vorgefassten Meinung gegenüber also sehr kritisch sind.

2. ein  zweiter mathematischer oder fast schon wieder philosophischer Grund wird erst unten in der Schlussbemerkung sichtbar.

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 Wieder ohne Nachweis: im Regelfall kommt

(sogar dann, wenn man nicht rundet)

nicht derselbe Annahmebereich der Alternativhypothese heraus, wenn man diesen direkt bestimmt, also ohne Umweg über die Nullhypothese.

Schlussbemerkung

... zum tieferen Verständnis unseres obigen Vorgehens wie überhaupt der gesamten Wahrscheinlichkeitsrechnung:

wir waren oben von  p ≤ 0,1  zu p = 0,1 über- oder genauer zurückgegangen. Auf den ersten Blick diente das allein der Arbeitserleichterung, da mit Gleichungen viel einfacher gerechnet werden kann als mit Ungleichungen.

In Wirklichkeit ist diese Arbeitserleichterung aber "nur" ein (höchst willkommenes) Abfallprodukt viel fundamentalerer Überlegungen

(und damit ist die Arbeitserleichterung nicht bloße, evtl. sogar mathematisch falsche oder zumindest doch ungenaue Willkür) :

"fundamental", weil hier überhaupt erst klar wird,

• wie Wahrscheinlichkeitsargumentationen funktionieren und

• wie etwas auf den ersten Blick geradezu paradox Erscheinendes möglich ist: exakte Rechnungen über die doch ungewisse Zukunft.

Die weise Selbstbeschränkung besteht darin, ausschließlich mit der einzig bekannten Tatsache zu argumentieren, von der man aus der Vergangenheit

(und nur diese ist sicher!)

weiß: dass bislang genau 10% der Zuschauer die Fernsehserie geguckt haben.

Nun verlängert man diese exakt 10% in  die Gegenwart und Zukunft , d.h. man geht davon aus, dass

• sich nichts ändert,

• also auch in der Gegenwart und Zukunft 10%  der Zuschauer die Fernsehserie gucken (werden) und somit

• p gleich 0,1 ist bzw. sein wird . 

Nun können wir aber niemals das Fernsehverhalten aller Zuschauer in der Zukunft herausbekommen, sondern nur eineTelefonumfrage mit n = 200 Personen machen.

Bei dieser zukünftigen Telefonumfrage spielt nun aber der unplanbare Zufall, können nämlich z.B. auch die oben genannten, höchst irreführenden Extremfälle eintreten.

Deshalb gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass die Befragten in der zukünftigen Telefonumfrage weiterhin mit der aus der Vergangenheit bekannten Wahrscheinlichkeit von p gleich 0,1 Zuschauer unserer Sendung sind. Und diese Annahme (dass sich nichts ändern wird) ist eben die Nullhypothese!

Nun messen wir in einem Gedankenexperiment wir den Ausgang der zukünftigen Telefonumfrage an einem fiktiven Zufallsexperiment, bei dem völlig zufällige Antworten erfolgen, allerdings mit der altbekannten Wahrscheinlichkeit p gleich 0,1.

Zwar vermuten und hoffen wir mit den Managern des Fernsehsenders, dass

• die Zuschauerzahl der Serie gestiegen,

• also p > 0,1 ist.

Für Vermutungen mag es ja immerhin noch Indizien geben

(die im Aufgabentext allerdings nicht genannt werden),

während Hoffnungen zwar immer ehrenwert, aber sicherlich keine - wie man neudeutsch sagt - "belastbaren" Fakten sind.

Eben deshalb klammern wir uns an das einzige, aus der Vergangenheit bekannte Faktum, nämlich p = 0,1 , was sozusagen die halbe Nullhypothese ist.

In der Gegenwart können wir nur rechnen, und zwar anhand eines Gedankenexperiments, das folgendermaßen aussieht:

• n = 200 ,

• p ist unverändert gleich 0,1

• wir tun so, als sei unsere die Gedankenexperiment betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung ansonsten rein zufällig.

(Man kann sich das auch so vorstellen, dass wir Kugeln aus einer Urne ziehen, wobei 10 % der Kugeln grau sind und 90 % z.B. orange.

Unsere Frage ist nun, wieviele der gezogenen Kugeln bei 200fachem rein zufälligem Ziehen [mit Zurücklegen] vermutlich grau sein werden.

Genau dies ist aber die Rechnung, die wir oben lang und breit durchgeführt haben

[und hier endlich sei drauf hingewiesen, dass wir oben

• nie                            mit der ganzen Nullhypothese (also      p     0,1 ),

• sondern immer nur mit der halben Nullhypothese (nämlich p =  0,1 ) gerechnet haben ].

Als entscheidende Erkenntnis haben wir dort herausgefunden:

die Anzahl der grauen Kugeln wird mit 95%-iger Sicherheit im Annahmebereich der Nullhypothese liegen, d.h. im Intervall [ 0 ; 29 ] :

)

Und nun nehmen wir uns vor, die zukünftige Telefonbefragung nach ihrem Abschluss an diesem rein zufälligen Gegenwarts-Gedankenexperiment zu messen:

1. Möglichkeit: in der Telefonbefragung tritt nur das ein,

• was auch

(mit 95%-iger Sicherheit)

bei rein zufälligem Vorgehen zu erwarten war

(allerdings unter der Voraussetzung, dass p unverändert gleich 0,1 ist),

• dass also zwischen 0 und 29 der 200 Befragten die Serie gucken.

2. Möglichkeit: in der Telefonbefragung ergeben sich mehr Seriengucker, als bei rein zufälligem Vorgehen zu erwarten war, nämlich

• nicht      aus dem Annahmebereich             der Nullhypothese, also dem Intervall [ 0 ;    29 ],

• sondern aus dem Ablehnungsbereich  B_R der Nullhypothese, also dem Intervall                   [30 ; 200].

Bei beiden möglichen Ergebnissen der Telefonumfrage glauben (!) wir diese also. Wir

• kennen zwar nicht die Gesamtwirklichkeit, halten aber ab sofort das aussschnitthafte Umfrageergebnis für repräsentativ für die  Gesamtwirklichkeit

(wobei immer die Gefahr besteht,

• also zu vergessen, dass alles nur ein Modell ist),

• und ziehen mangels besserer Möglichkeiten allein aufgrund unserer Kenntnis des Ausfalls der Telefonumfrage unsere Konsequenzen

(neue Staffel kaufen oder nicht kaufen).

Dabei

• liegen wir mit unserer naiven Übernahme der Umfrageergebnisse in immerhin 95 % der Fälle auch tatsächlich richtig

                 (das Umfrageergebnis spiegelt dann korrekt die Gesamtwirklichkeit),

• machen aber auch in "nur" 5 % der Fälle Fehler

(das Umfrageergebnis spiegelt dann nur  scheinbar [ohne dass wir das merken] die Gesamtwirklichkeit).

Siehe dazu .

Hier nun aber muss zum zweiten Mal eine letztlich nichtmathematische Interpretation erfolgen:

• wenn  Privatsender in 5 % aller Fälle wegen einer falschen Entscheidung pleite  gehen, ist das ja nur nur erfreulich,

• wenn aber ein Medikament in 5 % aller Fälle tödlich ist, ist dieses Medikament wohl unverantwortbar

(und hätten wir besser von Anfang an eine 3σ-Umgebung für  99,7%-ige Sicherheit gewählt!).

• die konkreten Ergebnisse der Telefonumfrage

• an einem lange vor der Telefonumfrage durchgerechneten, rein zufälligen Gedankenexperiment messen

• und dabei erstmal davon ausgehen, dass sich p nicht ändert (halbe Nullhypothese).

Kürzer: dass wir uns anschauen,

• inwieweit die Ergebnisse der Telefonumfrage auch rein zufällig hätten zustande kommen können

• oder ob sie auffällig von reinen Zufallsergebnissen abweichen.

Ultrakurz: indem wir alle konkreten Ergebnisse mit dem reinen Zufall vergleichen.

(in der Medizin beispielsweise durch Placebo-, also völlig unwirksame Tabletten).

Dabei ist zu beachten:

• zwar messen wir das Telefonumfrageeregebnis am nackten Zufall,

• aber das heißt nicht, dass auch das Umfrageeregebnis selbst vollständig zufällig ist
  

(vgl.:

• wenn wir einen Elefanten mit einem Metermaß messen,

• ist der Elefant noch lange kein Metermaß).

Unser gesamtes Vorgehen wäre ja auch völlig witzlos, wenn auch das Umfrageergebnis völlig zufällig wäre. Vielmehr vertrauen (!) wir doch darauf, dass es

(wenn auch mit einem gewissen "Restrisiko")

das reale, also nicht zufällige Zuschauerinteresse spiegelt.

Wir müssen also genau festhalten:

• es ist keineswegs ein Zufall, wie viele Zuschauer (in der Gesamtbevölkerung) die Ferrnsehserie gucken; nur leider ist uns dieses Faktum völlig unzugänglich: wir können nicht alle (einige millionen?) Zuschauer befragen;

• hingegen spielt der Zufall eine gewisse doppelte Rolle

  • bei der Auswahl der im Telefoninterview Befragten

                     (üblicherweise rufen seröse Unfrageinstitute  nicht irgendwelche Leute an

[z.B. die ersten 200 im berliner Telefonbuch],

sondern haben da vorweg gewisse Auswahlregeln 

[z.B. einen Querschnitt durch die Generationen]).

• der Frage, ob die zum Interview Ausgewählten überhaupt repräsentativ antworten.

Es sind sogar Fälle denkbar, bei denen überhaupt kein Zufall vorliegt, z.B.

• angenommen, alle Menschen in der Gesamtbevölkerung gucken die Serie

(früher nannte man sowas );

• dann werden mit Sicherheit auch all unsere Telefoninterviewpartner

(und seien sie noch so zufällig ausgewählt)

die Serie gucken

(und werden wir die neue Staffel kaufen).

• wir durch einen riesigen Zufall im Telefoninterview die einzigen 200 Menschen erwischt haben, die die Serie gucken,

• und dass der ganze Rest der Bevölkerung die Serie nicht guckt

(vgl.: Prinz William wird nie

[zumindest nicht mit mathematischer Sicherheit]

erfahren, dass

[nicht "ob"]

Kate Middleton tatsächlich ihn liebt und nicht bloß sein Geld und seinen Status teilen will; da bleibt ihm nur etwas völlig unmathematisches: Vertrauen).

die Zeitenfolge

In der Mathematik ist

• die Vergangenheit immer sicher, kann bei ihr also von Wahrscheinlichkeit und damit auch Wahrscheinlichkeitsrechnung keine Rede mehr sein,

• die Zukunft immer offen und damit das eigentliche Tummelfeld der Wahrscheinlichkeitsrechnung,

• die Gegenwart jener Augenblick, in dem aus vielen zukünftigen Möglichkeiten genau ein (dann sicheres) Faktum wird ("Wahrscheinlichkeitskollaps").

Da die Gegenwart sich durch die Zeit bewegt,  schauen wir uns hier zwei Gegenwarten an:

• wir wissen aus der Vergangenheit (z.B. 17.10.2012 ), dass früher 10% der Zuschauer die Fernsehserie angeguckt haben

(wobei es höchst fraglich ist, ob dieses vergangene Ereignis wirklich sicher war, entstammte es vermutlich doch auch schon einer mehr oder minder repräsentativen Umfrage),

• ausgehend davon stellen wir in der Gegenwart die (Alternativ-)Hypothese auf und führen alle obigen Berechnungen durch, mit denen wir

• später die Telefonumfrage bewerten wollen, die noch in der Zukunft liegt (z.B. 1.12.2012 ).

Nun vergeht die Zeit, und irgendwann sind wir in der

2. Gegenwart , z.B.15.12.2012 :

• inzwischen hat die Telefonumfrage (am 1.12.2012)  stattgefunden und ist sie ausgewertet worden

(z.B. "42 der 200 Befragten haben angegeben, dass sie die Serie gucken"),

d.h. Umfrage und Auswertung liegen inzwischen auch schon in der Vergangenheit und sind somit unabänderlich-sicher;

• nun messen wir (in der neuen, zweiten Gegenwart) das Umfrageergebnis an den Entscheidungskriterien, die wir in der ersten Gegenwart

                     (die inzwischen sozusagen Vorvergangenheit geworden ist)

aufgestellt hatten: das ist der eigentliche Hypothesentest

(weil 42 im Annahmebereich der Alternativhypothese liegt, würden wir entscheiden: "es gucken tatsächlich inzwischen mehr als 10 % der Zuschauer die Serie, und deshalb kaufen wir die neue Staffel").

"Mrs. Black and White
She's never seen a shade of grey"
(Amy McDonald)

'[...] you're hot then you're cold
You're yes then you're no
You're in then you're out
You're up then you're down
You're wrong when it's right
It's black and it's white [...]"
(Katy Perry)

Unsere Aufgabe ist ein Musterbeispiel für Binomialverteilungen, an denen aber auch wirklich alles  "bi" ist: sie funktionieren ausschließlich nach der zweiwertigen, gnostischen Logik von

• "To be, or not to be, that is the question",

• Kopf oder Zahl,

• wahr oder falsch

                  ("es gibt nur zwei Meinungen: meine und die falsche"),

• gut oder schlecht,

• Himmel oder Hölle,

• Gott oder Teufel,

• schön oder häßlich,

• "Frauen sind entweder Madonnen oder Fußabtreter"
  

(Pablo Picasso, was ja nur seine eigenen Komplexe zeigt; und bei Männern gibt es nicht mal mehr zwei Möglichkeiten, sondern nur noch eine: )

• himmelhoch jauchzend oder zu Tode betrübt,

• friss oder stirb,

• "Ganz oder aber gar nicht
  das ist mein Prinzip.
  Ganz oder aber gar nicht
  habe ich dich lieb."
  (Gitte Haenning)

• ,

• du hast die Wahl zwischen Pest und Cholera,

• wer nicht für uns ist, ist gegen uns,

• ,

• oder eben schwarz oder weiß

                   (auch "Schwarzweißdenken" genannt):

"tertium non datur", d.h. eine dritte

(oder gar vierte, fünfte ...)

Möglickeit gibt es nicht, also

• kein grau

• oder gar bunt, und

• schon gar nicht gibt es fließende Übergänge:

Solch zweiwertiges Denken macht die Welt natürlich hübsch einfach

(auch einfach oder sogar überhaupt erst zu berechnen)

und führt doch schnell zu Betriebsblindheit - und Fanatismus

(weshalb inzwischen sogar die Mathematiker manchmal zu

• einer mehr als zweiwertigen Logik

[es gibt also angeblich drei Kategorien: dreckig, sauber und rein]

• oder gar einer "verschmierten" Logik [fuzzy logic]

übergehen). 

"It don't matter
if you're black or white"
(Michael Jackson)

"Ebony and ivory
live together in perfect harmony"
(Paul McCartney & Stevie Wonder)

Wenn du auf ehrlichem Weg hierhin gelangt bist

(also nachdem Du brav  den ganzen Text durchgeackert hast),

springe zur Belohnung hierhin.

Selbstverständlich würde ich das Folgende niemals vorweg verraten, denn das würde doch alle von der vollständigen Lektüre des Textes abhalten, die

• angeblich zu doof für Mathematik

• bzw. schon seit Generationen in direkter Linie  desinteressiert an ihr sind:

nie zuvor ist mir der Unterschied

• zwischen Rechnen

(oben die mickrigen Passagen, die schwarz eingerahmt    sind)

• und Verstehen

(der Gesamttext)

so deutlich geworden wie bei der obigen langwierigen Behandlung der anfangs zitierten Aufgabe:

• sicherlich muss man zur Lösung von Aufgaben auch rechnen können, aber dieses Rechnen bleibt doch schnödes Handwerk

                      (und doch ist handwerkliches Können unabdingbare Voraussetzung aller Kunst),

• aber erst das Verstehen ist die eigentlich lustvolle Kunst

 (überhaupt kann man anhand eines einzigen, an sich völlig uninteressanten Bespiels

                                  [gibt es etwas Langweiligeres als Fernsehserien?!]

die halbe Welt verstehen).

Das Rechnen wird man später in den allermeisten Berufen nie wieder brauchen

(zumindest nicht das Berechnen von Hypothesentests),

aber

• das Verstehen typischer Denkweisen der Mathematik

• bzw. die mathematische "Denkgymnastik"

 (und Gymnastik treibt man zwecks körperlicher [hier geistiger] Fitness und Wendigkeit, aber nicht, um irgendwas zu "behalten") 

ist ein Teil der Allgemeinbildung, der zum Erlangen der "allgemeinen HochschulREIFE" verlangt werden darf - und sollte, weil die Mathematik nun mal eine bedeutende und

(ob's einem gefällt oder nicht)

enorm wirkungsvolle Kulturleistung ist.

Man kann natürlich auch streng nach dem Motto

• nur stumpf die wenigen (unverstandenen!) Rechenschritte in sich reinpauken,

• damit halbwegs die nächste Klausur und eine eventuelle Abiprüfung überleben

• und dann alles so schnell wie möglich vergessen.