die Bedeutung desIntegrals

Moralisches Verhalten entsteht oft aus Mangel an Gelegenheiten zu unmoralischem Verhalten - oder aus Angst vor Strafen.

Lasse niemals deine Moral raushängen: irgendwann wird jemand das gegen dich wenden.

Es hat einen großen Vorteil, Katholik zu sein:
man kann seine Sünden immer wieder wegbeichten.

• einerseits solche, wo ich mir selbst nicht gut getan habe

(eher "Unterlassungssünden" wie z.B. mangelnder Mut zu  Entscheidungen),

• andererseits solche, wo ich mich anderen gegenüber schlecht verhalten habe.

Ein Beispiel für diese zweite Sorte von "Sünden" hat sogar mit Mathematik zu tun:

im letzten Mathematik-Grundkurs, den ich vor meiner Frühpensionierung unterrichtet habe, hatte ich die unten behandelte Integral-Aufgabenart

• zwar in der 11. Klasse behandelt,
  

• aber nicht mehr in der Wiederholungsphase direkt vor dem Abitur.

Für das mündliche Abitur habe ich dann aber doch diese Aufgabenart gewählt, was im ersten Teil der Prüfung zum Absturz zweier ansonsten guter Schülerinnen geführt hat.

Wie auch bei meinen anderen Sünden der zweiten Art kann ich meinen Fehler nicht mehr rückgängig machen, ja, nichtmal um Entschuldigung bitten.

Und deshalb sind es Sünden, die (m)ein Leben lang schwären

(im vorliegenden Fall immerhin schon mehr als fünf Jahre).

Vielleicht kann dieser Essay aber dennoch eine Teil-Wiedergutmachung sein, indem ich auf ominösen Umwegen derzeitigen Schülern helfe.

• nicht die (angebliche oder tatsächliche) Wichtigkeit des Integrals gemeint,
• sondern was mit dem Begriff "Integral" gemeint ist

(vielleicht auch eine anschauliche Vorstellung des Gemeinten).

• nicht die innermathematische,
• sondern die außermathematische Bedeutung des Integrals in Anwendungsfällen gemeint.

Ich habe mal irgendwo gelesen, dass das Fach Mathematik keineswegs so unbeliebt ist, wie oft gesagt wird, sondern dass Schüler es erstaunlich häufig als Abiturfach wählen.

Dafür mag es zwei Gründe geben:

1. müssen sie das Fach Mathematik ja sowieso bis zum Abitur belegen

(wenn auch nicht notwendig als Abiturfach),

2. ist es so schön verlässlich: man kann gezielt für es pauken, während beispielsweise das Fach Deutsch (zu Unrecht) eher "windelweich" wirkt.

Zu dieser Verlässlichkeit gehört auch, dass es oftmals absehbar ist, welche (Anwendungs-)Aufgaben im Abitur kommen werden.

So tauchen

• bei Extremwertaufgaben mangels halbwegs sinniger Alternativen gerne "Zaun-Aufgaben" à la

auf

• und bei Integralaufgaben

(wieder: mangels sinniger Alternativen)

gerne "Zufluss-Aufgaben" à la

.

Die Anzahl der Besucher, die die Eingangstore eines Stadions passieren, verhält sich annähernd nach der Funktion f: y = - 0,5x⁴ + 4x³ - 10x² + 8x , wobei

• x die Zeit (in Stunden) nach Öffnung der Tore ist
• und die die Eingangstore passierenden Besucher auf der y-Achse in Tausendern abgetragen sind (also 1 ≅ 1000 Besucher):

(Nebenbei: in der seinerzeitigen Abiturprüfung habe ich die Schüler anfangs nur den Graphen

[noch ohne die Funktionsgleichung y = - 0,5x⁴ + 4x³ - 10x² + 8x]

anschaulich erklären lassen, also

• wie sich im Laufe der Zeit der Besucherstrom an den Toren verhält,

• was die beiden "Berge" A und B bedeuten könnten [Besucher betreten / verlassen das Stadion]öö,

• wie viele Menschen im Stadion sind.)

In dieser Aufgabe fließt also nicht Wasser, sondern "fließen" Menschen - was aber letztlich auch egal ist, da in beiden Fällen auf dieselbe Weise gerechnet wird.

Und weil es egal ist, bleiben wir unten bei im wörtlichen Sinne fließendem Wasser, mit dem ein Schwimmbecken gefüllt wird

(vgl. die beiden Wasser-Aufgaben oben).

Entscheidende Gemeinsamkeit der Wasser- und Besucheraufgaben sind:

1. : auf der x-Achse ist immer die Zeit abgetragen,

2. : auf der y-Achse ist immer die Zuflussmenge

(egal, ob Wasser oder Besucher)

abgetragen.

3. : der Graph zeigt

• nicht die Füllmenge

(im Schwimmbad oder die Besuchermenge im Stadion )

an

(wobei die Füllmenge von der Zeit [des Zuflusses] abhängt), 

• sondern die Zuflussmenge 

( bzw. ; ebenfalls abhängig von der Zeit).

4. : die Aufgabe besteht aber immer darin, die Füllmenge

(im Schwimmbad bzw. im Stadion)

zu berechnen

(auch wieder abhängig von der Zeit).

Oder kurz gesagt:

bekannte Zuflussmenge → zu berechnende Füllmenge

• anfangs steigt die Kurve steil an, d.h. der Wasserhahn wird sehr schnell immer weiter aufgedreht:
  

• kurz vor dem Maximum steigt die Kurve nicht mehr so stark an, d.h. der Wasserhahn wird zwar weiterhin aufgedreht, aber nicht mehr so schnell:

• direkt nach dem Maximum fällt die Kurve langsam, d.h. der Wasserhahn wird langsam zugedreht:
  

• am Ende fällt die Kurve sehr stark, d.h. der Wasserhahn wird schnell zugedreht:

 - aber nicht bei einem Zeitraum von fünf Stunden: da wäre der Zufluss-Graph in der Mitte doch wohl über mehrere Stunden konstant, sähe also eher so aus:

 Aber bleiben wir bei dem Zufluss-Graphen

.

Uns interessiert nun

• nicht mehr (wie bisher), wie viel Wasser in jedem Augenblick zufließt,
• sondern wieviel Wasser bis zu jedem Augenblick zugeflossen ist, d.h auch das Wasser, das bereits vor jedem Augenblick zugeflossen ist:

Am Ende (nach 5 Stunden) kommt also der Graph mit folgender Füllung heraus:

Damit ist also

• die Größe der orangen Füllung

• die Menge des insgesamt zugeflossenen Wassers.

Wenn wir nun noch der Einfachheit halber davon ausgehen, dass das Schwimmbecken vorher leer war, folgt daraus, dass

• die Größe der orangen Füllung
• auch die Menge des Wassers in dem Schwimmbecken nach dem gesamten Füllvorgang ist.

Damit haben wir unser Ziel

bekannte Zuflussmenge → berechnete Füllmenge

erreicht!

Die Größe der orangen Füllung ist mathematisch aber gerade dasIntegral der Zufluss-Funktion!