Schwieriger, weil vieldeutiger ist der Begriff der "Ähnlichkeit". Z.B. sagt man ja umgangssprachlich, dass Vater und Sohn sehr "ähnlich" sind, wenn sie nicht mal ähnlich aussehen, sondern ähnliche Verhaltensweisen haben. Überhaupt kommt es darauf an, was man betrachtet:

• bei einem hellgrünen Würfel und einer dunkelgrünen Kugel sind die Farben ähnlich,
• bei einer dunkelgrünen Kugel und einer violetten Kugel sind die Formen ähnlich, selbst wenn die Kugeln nicht exakt dieselbe Form haben (verschieden groß sind bzw. nicht kongruent sind).

Bleiben wir also bei der Form - und schauen nochmal zurück zur Kongruenz, bei der zwei Bedingungen gelten, nämlich Form und Größe zweier Gegenstände übereinstimmen mussten.

Man könnte auch sagen: man erhält einen zweiten, zum ersten Gegenstand kongruenten, wenn man den ersten auf einen Kopierer legt und das Abbildungsverhältnis 1:1, also weder eine Vergrößerung noch eine Verkleinerung wählt:

Für die Ähnlichkeit lassen wir nun die zweite Bedingung, also die gleiche Größe, weg, womit dann nur noch die erste Bedingung, also die gleiche Form, übrig bleibt.

Oder anders gesagt: man erhält einen zweiten, zum ersten Gegenstand ähnlichen Gegenstand, wenn man den ersten auf einen Kopierer legt und entweder eine Vergrößerung

oder eine Verkleinerung wählt:

Ziemlich banal dabei und doch ungeheuer wichtig ist, dass das jeweilige Originalbild gleichmäßig vergrößert oder verkleinert wird, also beispielsweise der erste Affe genauso wie der zweite.

Was das bedeutet, lässt sich besonders einfach anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken verdeutlichen

(einer der Hauptgründe, meistens anhand dieser die Kongruenz bzw. Ähnlichkeit zu zeigen):

Hier sind alle Dreiecksseiten mit demselben Faktor  vergrößert, d.h.

• die violette Seite im ersten Dreieck verhält sich zur gelben/blauen im selben Dreieck genauso wie
• die violette Seite im zweiten Dreieck zur gelben/blauen im selben Dreieck;
• die violette Seite im ersten Dreieck verhält sich zur violetten Seite im zweiten Dreieck genauso wie
• die gelbe Seite im ersten Dreieck zur gelben Seite im zweiten Dreieck genauso wie
• die blaue Seite im ersten Dreieck zur blauen Seite im zweiten Dreieck;
• und die Winkel im ersten Dreieck sind exakt genauso groß wie die Winkel im zweiten Dreieck. 

Man kann auch sagen: die ähnliche Vergrößerung bzw. Verkleinerung ist eine zentrische Streckung von einem Punkt P aus:

Und damit stellt sich der ähnliche Affentanz so dar:

Hier sind die Affen nicht mehr alle gleich groß, sondern jeder ist eine ähnliche Vergrößerung des links von ihm tanzenden. 

Ein Musterbeispiel für Ähnlichkeit sind die Daltons aus den Lucky-Luke-Heften bzw. -Filmen

(die vier Daltons sind ähnlich, denn sie sind zwar verschieden groß, haben aber alle dieselbe Form, was den Zeichnern vermutlich viel Arbeit erspart hat: sie brauchten oftmals nur eine Figur zu zeichnen und diese dann nur noch zu vergrößern bzw. verkleinern).

Und die schönsten Gags ergeben sich in den Filmen gerade aus der bewegten Ähnlichkeit:

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Nun ist aber der umgangssprachliche Begriff der "Ähnlichkeit" viel umfassender als der soeben dargelegte mathematische. Und dieser umgangssprachliche Begriff ist durchaus hilfreich, um auch mathematisch weiter zu kommen.

Beispielsweise werden umgangssprachlich keineswegs nur die beiden Dreiecke in

als ähnlich angesehen, sondern durchaus auch folgende beiden Dreiecke:

Diese beiden Dreiecke sind

• nicht gleich groß mit gleicher Form, also nicht kongruent,
• nicht verschieden groß mit dennoch gleicher Form, also nicht im mathematischen Sinne "ähnlich",
• und doch kann man da eine "umgangssprachliche" Ähnlichkeit entdecken: beide sind Dreiecke.

Nun kann man sich natürlich fragen, wie in dem vorliegenden Fall das rechte aus dem linken Dreieck entstanden ist. Dazu stellen wir uns vor, dass

• das linke Dreieck auf ein grünes Gummituch gemalt ist,
• wir dieses links festhalten
• und es nach rechts ziehen:

Ausgehend von diesem Gummituchtrick gehen die Mathematiker nun aber noch einen Schritt weiter und stellen beispielsweise Gemeinsamkeiten beispielsweise zwischen

und

fest: wenn man den blauen, auf ein Gummituch gemalten Kreis an den Punkten A, B, C und D anfasst und diese nach außen zieht, erhält man die Form des gelben Quadrats: 

Man sagt dann auch mangels eines einfacheren Begriffs, der blaue Kreis und das gelbe Quadrat seien "homöomorph":

"Ein Homöomorphismus [...] ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie. Er bezeichnet eine bijektive, stetige Abbildung zwischen zwei Objekten, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Zwei Objekte heißen homöomorph (auch "topologisch äquivalent"), wenn sie durch einen Homöomorphismus (auch "topologische Abbildung") ineinander überführt werden können; sie liegen in der gleichen Homöomorphieklasse, sind, unter topologischen Gesichtspunkten, gleichartig.

[Alle Klarheiten beseitigt? Na, da ist Folgendes schon verständlicher:]

Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands vorstellen; Zerschneiden ist nur erlaubt, wenn man die Teile später genau an der Schnittfläche wieder zusammenfügt."
(Quelle:  )

Und das mathematische Teilgebiet der "Topologie" nennt man manchmal auch schnoddrig einfach nur "Gummituchmathematik".

Das dreidimensionale äquivalent zur "Gummituchmathematik" könnte man auch "Knete-Mathematik" nennen. Dann ist beispielsweise eine Tasse homöomorph zu einem Donut bzw. Torus

(Quelle: ),

Hauptsache, man stopft vorhandene Löcher nicht zu, macht keine neuen Löcher und zerschneidet das Knetgummi nicht.

Nebenbei: es gibt halt Vorgänge, die man kaum an einem realen Modell, sondern nur mit einer Computersimulation zeigen kann.

Das einzige reale Modell, das mir zur Homöomorphie einfällt, sind Arzthandschuhe, die man aufpustet:

→ 

Größe und Form verändern sich

(die Form, weil die Finger nicht gleichschnell mitwachsen),

aber Ausgangs- und End-Handschuh sind homöomorph, und zwar selbst dann, wenn man die Finger nach innen stülpt. 

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Hier soll nicht ausführlich auf das mathematische Teilgebiet der "Topologie" eingegangen, aber doch kurz bedauert werden, dass es in der Schule üblicherweise gar nicht vorkommt. Dabei wäre das durchaus möglich:

• sehr wohl, auf sehr einfach-anschaulichem Niveau, in der Unter- und Mittelstufe,
• und allemal - dann schon anspruchsvoller - in der Oberstufe.

Und das würde allemal dazu beitragen, geometrisch-räumliches Denken zu üben, zumal es handgreiflich geübt würde.

Nein, hier soll nur ein Comic-Beispiel für Homöomorphie gezeigt werden, nämlich Cäsars ebenso farblich wie plastisch chamäleonhafter Spion in dem Film "Asterix und Kleopatra":

(Und hier nebenbei kann man sehen, weshalb es aussichtslos ist, Zeichentrickfilme in Filme mit Schauspielern umzuwandeln.)

Erst viel später fällt mir auf, wie sehr die Homöomorphie Zeichentrickfilme beherrscht: ein Wesen (Mensch, Tier) ist solange nicht tot, wie es "nur" beliebig verformt, aber nicht zerrissen wird:

(Vgl. )

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Vgl. auch Monty Harper: Topologically Speaking.