konkreteste Anwendungen

  "Concrete is a construction material composed of cement (commonly Portland cement) as well as other cementitious materials such as fly ash and slag cement, aggregate (generally a coarse aggregate such as gravel, limestone, or granite, plus a fine aggregate such as sand), water, and chemical admixtures. The word concrete comes from the Latin word »concretus« (meaning compact or condensed), the past participle of »concresco«, from »com-« (together) and »cresco« (to grow)."
(Quelle: )

Gibt es überhaupt eine


Steigerung

von "konkret" oder nur die Alternativen "(ganz) konkret" und "(gar) nicht konkret" ohne irgendwelche Zwischenstufen?

(Und was eigentlich heißt "[gar] nicht konkret", d.h. was ist das Gegenteil von "konkret"?:

Trotz gleichen Wortstamms mag es reiner Zufall sein, dass Beton im Englischen "concrete" genannt wird. Und doch ist der Zufall für mich "erkenntnisfördernd":

(und doch fallen laut Galilei eine Daunenfeder, ein Buch und ein Betonklotz gleich schnell, allerdings nur im wenig "konkreten" Vakuum).

Ich bleibe vorerst beim Beton bzw. Betonklotz.

Es gibt im Matheunterricht verschiedene Arten von "Betonklötzen": 

  1. die Abstraktion eines Betonklotzes, also ein (Kanten-)Würfel,
  2. ein nicht im Klassenraum vorhandener Betonklotz, über den "nur" gesprochen wird, also etwa nach dem Motto "stellt euch alle einen Betonklotz vor"; dabei muss es den Betonklotz auch außerhalb des Klassenraums gar nicht geben

(Betonklötze dieser Art kommen vor allem

  1. ein im Klassenraum bereits vorhandener oder ein mitgebrachter tatsächlicher Betonklotz.

Da ergibt sich gleich eine Fülle interessanter pädagogischer "Probleme":

  1. : warum eigentlich kommen Betonklötze fast nie im Matheunterricht vor?: weil
  1. : Was - wenn überhaupt - ist an einem Betonklotz überhaupt interessant?:

Mir scheint Letzteres typisch für einen Betonklotz zu sein, während man für Ersteres gar keinen Betonklotz braucht, sondern gleich mit einem abstrahierten Würfel anfangen kann.

  1. ist die nackte Aufzählung 1./2./3. (vorerst) nicht wertend gemeint: alle drei Zugänge haben ihren jeweiligen Eigenwert, ja, Ziel des Matheunterrichts ist es wohl, mit 3. anfangend sukzessive zu 2. und dann zu 1. überzugehen. Und doch ist es schade, dass man 3. meistens

(wegen zu großen Aufwands oder sogar Unmachbarkeit)

überspringt.

Indem man aber 3. systematisch weglässt, entsteht jene Riesenlücke zwischen realen und "nur" vorgestellten oder gar völlig abstrahierten Betonklötzen, die dafür sorgt, dass ein mathematischer Betonklotz für viele SchülerInnen rein gar nichts mit einem realen Betonklotz zu tun hat

(vgl. Bild )

und sie mit einem mathematischen Betonklotz keinerlei Vorstellung verbinden.

  1. : eine typische "eingekleidete" Anwendungsaufgabe

(also letztlich eine Pseudo-Anwendungsaufgabe)

liegt vor, wenn der Betonklotz nur Vorwand für eine Würfelberechnung ist:

"nage den Betonklotz solange ab, bis nur noch ein Würfel übrig bleibt, und vergiss dann umgehend und endgültig den Betonklotz".

  1. : von Anfang an falsch gefragt ist, ob ein Betonklotz "jugendnah" ist: er wird es umgehend, wenn er den SchülerInneN auf den Kopf fällt oder sie ihn auch nur hochheben sollen.

Ich hatte das Beispiel "Betonklotz" nur gewählt, weil solch ein Betonklotz so schön "concrete/konkret" ist.

Im Folgenden soll es aber um ein realistisch(er)es Beispiel gehen, und dabei bedeutet "realistisch" auch, dass das Beispiel aus (m)einem tatsächlichen Unterricht stammt:

im Rahmen eines Mathematik-Differenzierungs-Kurses haben die SchülerInnen

(aus [allzu] guten Gründen leider doch wieder nur fiktiv)

eine

 

Bedingung dabei war, dass jedes gewählte Reiseziel "irgendwas" Mathematisches an sich haben sollte. Z.B. wurde der Geburtsort eines berühmten Mathematikers angeflogen oder ein Gebäude besucht, das nach "mathematischen" Kriterien gebaut ist.

Die beliebtesten architektonischen Ziele waren dabei der Eiffel-Turm und die Cheops-Pyramide.

Da fragt sich natürlich sofort, warum gerade diese beiden Gebäude so häufig gewählt wurden. Doch wohl wegen ihrer Monumentalität, also einem Kriterium, das nicht hinter der Mathematik verschwinden durfte, sondern im Idealfall sogar durch sie betont wurde.

Bleiben wir kurz beim Eiffel-Turm

 :

da interessiert mich (hier) sogar weniger, dass in seine Struktur sicherlich auch mathematische Kriterien eingegangen sind, als vielmehr, dass das teilweise nicht der Fall war: Gustave Eiffel hatte seinerzeit reichlich wenige mathematische Kriterien, und doch ließen sich im Nachhinein mathematische Formeln für seinen Turm finden:

(Nebenbei: all diese Formeln sind höchstens in einem guten Mathe-LK in einer 13. Klasse durchnehmbar.)

Das wird unten noch wichtig: viele Probleme lassen sich zwar auch mathematisch lösen, aber es gibt oftmals auch "un-mathematische", aber genauso "legitime" Wege.

Nur kurz sei erwähnt, dass auch die Cheops-Pyramide

(ohne alle Numerologie oder dänicken-haften Aberglauben)

randvoll mit Mathematik ist:

Die SchülerInnen sollten nun ihre mathematische Weltreise in einer Mathematik-Ausstellung "präsentieren", d.h. beispielsweise die Cheops-Pyramide sollte

  1. optisch präsentiert,
  2. mathematisch erklärt werden.

Bei 1. darf nun aber unter keinen Umständen die Monumentalität der Cheops-Pyramide (vollends) abhanden kommen.

Vorweg: aus einsichtigen Gründen ist es leider nicht möglich, die Original-Cheops-Pyramide in der Schule aufzubauen.

Eine Möglichkeit, die Monunmentalität der Cheops-Pyramide zu präsentieren, wären Fotos. Aber da reicht nicht ein beliebiges Foto, also z.B.

,

sondern es müsste zumindest folgendes Foto sein:

Daran wird auch klar, dass solch ein Foto

(in einem riesigen Ausstellungsraum)

nicht briefmarken-, sondern mindestens DIN-A0-groß sein müsste

(pro Buntposter mindestens 10 Euro).

Da frage ich mich aber: geht's

(mit möglichst einfachen und preiswerten Mitteln)

nicht noch monumentaler?

Mit den SchülerInneN zusammen wurden dann zwei Möglichkeiten überlegt:

  1. das größtmögliche Kantenmodell aus Dachlatten (3 m Länge),
  2. die überhaupt größte Pyramide, die in den Ausstellungsraum (die Schulaula) passt, und zwar wieder ein Kantenmodell, diesmal allerdings aus Lichtschläuchen

(Maße der Schulaula: Länge 18 m, Breite 13 m, Höhe 5 m).

Damit aber zu "konkretest": die beiden Kantenmodelle wurden wirklich gebaut, und das bedeutet:

(Dreisatz, mehrfache Anwendung des "Satzes des Pythagoras", Trigonometrie)

nötig;

("stellt euch [nur] vor, wir würden eine Pyramide bauen"), 

(... wobei jeweils durchaus überlegt wurde, wo man tatsächlich Mathematik brauchte - und wo's auch wunderbar ohne ging).

Der immense Vorteil des tatsächlichen Bauens besteht darin, dass die rechnerischen Ergebnisse an der Wirklichkeit überprüfbar sind.

Ganz konkret (!): ichch würde beispielsweise nach einer Winkelberechnung nicht prompt die Latte absägen

(falls die Rechnung falsch war, könnte man den Schnitt nicht mehr rückgängig machen),

sondern das rechnerische Ergebnis erstmal nur zart mit Bleistift an die Latte zeichnen, um zu überprüfen, ob sie dann auch im richtigen Winkel schiefsteht.