mit Krücken rennen

3⁴ bedeutet 3 • 3 • 3 • 3, dass also die 3 vier mal mit sich selbst malgenommen wird.

(oder anders gesagt: die Potenzschreibweise a^b ist

• eine verkürzte Schreibweise für die Multiplikation,

• die ihrerseits bereits eine verkürzte Schreibweise für die Addition ist

[denn 3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3],

womit schon erahnbar ist, dass Potenzen der Form a^b schnell riesig groß werden).

Potenzen der Form a^b sind erst mal nur für b aus den natürlichen Zahlen definiert (und vorstellbar!), also a¹, a², a³ ...

Bevor man weitergeht, kümmert man sich üblicherweise erst mal darum, wie man mit solchen Potenzen mit natürlichen Exponenten hantieren kann, also um entsprechende Rechengesetze.

Dann stößt man beispielsweise auf folgendes Problem: 3⁹ : 3⁴ = ? bzw. = ?

Nun ergibt sich = ,

und da lässt sich der rechte Bruch kürzen: = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 3⁵ .

Bei dieser Vorgehensweise

(vgl. )

sieht man auch sehr schön, wie der Exponent 5 zustande kommt, nämlich durch die Subtraktion 9 - 4 = 5.

Kurz gesagt: 3⁹ : 3⁴= 3^9-4 = 3⁵

Bzw. allgemein (ohne Beweis): a^m : aⁿ = a^m-n

(Genauso lassen sich noch andere Potenzrechengesetze herleiten [beispielsweise für die Multiplikation], aber das soll uns hier nicht weiter interessieren.)

Nun gibt es zwei denkbare weitergehende Vorgehensweisen:

• entweder sucht man nun (typisch mathematisch) aufgrund eines "Vollständigkeits- und Verallgemeinerungswahns" gezielt nach Potenzen mit nicht-natürlichen Exponenten

(also beispielsweise den Exponenten 0, -4 oder ),

• oder man stolpert irgendwann versehentlich über folgende Rechnung:

3⁴ : 3⁴ = ?

• Nun weiß man einerseits, dass die Division jeder Zahl durch sich selbst 1 ergibt, also

3⁴ : 3⁴ = 1

• Andererseits gilt mit dem eben hergeleiteten Gesetz a^m : aⁿ = a^m-n

3⁴ : 3⁴= 3^4-4 = 3⁰

• Aus beiden Erkenntnissen zusammen ergibt sich also

3⁰ = 1

Was da so unscheinbar daher kommt, ist aber geradezu Mathematik-typisch:

• unter 3⁰ kann man sich beim besten Willen nichts vorstellen, denn was soll eine 3 Null mal mit sich selbst multipliziert sein?

(Mathematik ist manchmal unrettbar unanschaulich!)

• Aber mit der Krücke der Rechenregel a^m : aⁿ = a^m-n können wir es dennoch ausrechnen.

Entsprechend ergibt sich

• einerseits 3⁴ : 3⁹ = =

• und andererseits mit der Divisions-Rechenregel oben 3⁴ : 3⁹= 3^4-9 = 3^-5,

• zusammen also = 3^-5

Und wiederum wird klar:

• unter 3^-5 kann man sich beim besten Willen nichts vorstellen, denn was soll eine 3 minus fünf mal mit sich selbst multipliziert sein?

• Aber mit der Krücke der Rechenregel a^m : aⁿ = a^m-n können wir es dennoch zu = ausrechnen

(und obwohl auf den ersten Blick ein ganz schön schwieriger Bruch ist

[und viele empfinden ja überhaupt - auch einfache - Brüche als schwierig],

ist es gleichzeitig doch

3^-5  ).

Nur ein weiteres Beispiel dafür, dass dieses Rechnen mit Krücken in der Mathematik gang und gäbe ist:

von , also der Wurzel aus der doch ach so einfachen natürlichen Zahl 10, weiß ich rein gar nichts

(bzw. mich interessiert nicht im mindesten der - zudem immer nur ungefähre, weil scheußlich irrationale - Dezimalwert von etwa  3,16227766016838),

außer dass aufgrund der Definition der Wurzel gilt: ()² = 10

(wobei bemerkenswert ist, dass scheußlich schief ist, beim Quadrieren aber dennoch exakt wieder 10 rauskommt!),

und damit kann ich 10.000 Rechnungen vollführen.

Das Wurzelbeispiel ist dabei sogar noch fieser als beispielsweise 3⁰ = 1:

• bei 3⁰ = 1 weiß ich zwar immer noch nicht, was ich mir unter 3⁰  vorzustellen habe, aber ich kann´s dennoch  zu 1 ausrechnen;

• bei gibt es aber nichtmal einen Weg, es halbwegs exakt auszurechnen

(geschweige dass ich mir genauer vorstellen kann).

Das "Rennen mit Krücken", also die Erkenntnis auf rechnerischen Umwegen

(vgl. auch ),

eröffnet nun aber unendliche Welten. Man kann sich solche "Krücken" also fast wie Weltraumsonden vorstellen:

ich kann nicht selbst zu anderen Planeten oder Sternen, aber dennoch indirekt unendlich viel über sie erfahren.

Wenn das "Rennen mit (sehr abstrakten) Krücken" geradezu Mathematik-typisch ist, so ergeben sich damit auch - so vermute ich mal - eine Menge der Schwierigkeiten, die viele Leute mit der Mathematik haben: dass

• sie nicht mit Krücken rennen können,

• nicht mit Krücken rennen wollen, also

• keinen Spaß am Rennen mit Krücken haben,

• ihnen dieser Spaß nie vermittelt wurde.