(bzw. zwischen Oberfläche und Volumen)

Die Bücherregale in meinem Zimmer sind übersät mit kleinen Mathe-Modellen, die von Gästen

(durch die Bank ohne jedes mathematisches Interesse)

immer wieder gerne in die Hand genommen werden, um damit rumzuspielen

(was ich immer genauso als Erfolg und Bestätigung ansehe, wie wenn meine Gäste Modelle schön finden).

U.a. liegt da auch , und als meine bessere Hälfte letztens diese Kugel in eine Hand nahm, äußerte sie umgehend eine geradezu an Ekel grenzende Enttäuschung darüber, dass die Kugel so leicht war:

es war, als habe sie sich vorbereitet, ein enormes Gewicht hochzuheben

,

das sich dann aber als Attrappe

herausstellte, und dass sie daher "ins Leere" griff.

(Das ist etwa so, wie wenn man z.B. bei schlechten Lichtverhältnissen noch eine Treppenstufe hinauf oder hinab steigen möchte, die ab gar nicht mehr vorhanden ist, so dass man entweder ins Leere tritt oder aufstampft.)

Meine bessere Hälfte hatte also mit einem viel höheren Gewicht der Kugel gerechnet.

Warum?

Die "wertig" spiegelnde Edelstahl-Kugel hat wohl in ihr die Vorstellung evoziert, dass die Kugel auch innen aus Edelstahl bestehe. Sie hatte also

• mit einer massiven Kugel
  

(mathematisch gesagt eben einer "Kugel")

gerechnet,

• aber eine Hohlkugel

(mathematisch gesagt eine "Sphäre")

bekommen.

Man könnte auch (ironisch!) sagen: sie hatte

(und daher der Ekel)

• mit "deutscher Wertarbeit" gerechnet
• und Plastik-Nepp "made in China" bekommen.

Oder nochmals anders gesagt: sie hatte

• mit einem Volumen gerechnet,
• aber

(wenn wir hier mal die Wanddicke der Hohlkugel vernachlässigen)

eine Oberfläche (potemkinsche Dörfer) bekommen.

Nun verrate ich hier nicht indiskret etwas Ungebührliches, wenn ich erwähne, dass meine bessere Hälfte schon in ihrer Schulzeit aller Mathematik abhold war und sie von allen im engeren Sinne mathematischen Denkweisen völlig unbeleckt ist. Sie kann also "nur" mit

(hier mal positiv verstanden:)

"gesundem Menschenverstand" dienen

(und war mir gerade deshalb oftmals bei der Unterrichtsvorbereitung so wichtig):

"Oberfläche" und (fachchinesisch) "Volumen" sind für viele Schüler keineswegs selbstverständliche Konzepte:

• die Oberfläche von ist das,
  • was man von außen mit den Händen anfassen (und somit be-greifen) kann
  • und was so schön spiegelt ("Oberflächenkosmetik"j,
  • was also gerade "das dahinter", also das Volumen, verbirgt;

• das Volumen ist aber eben "das dahinter", also
  • das Nicht-Berührbare

• und Nicht-Sichtbare

• und somit erstmal Abstrakte.

Nunja, ganz so einfach ist es

(zumindest mathematisch gesehen)

nicht: die Oberfläche ist die äußerste, hauchdünne Hülle des Volumens

(mathematisch gesehen hat diese Hülle sogar die Dicke 0, was wiederum umgangssprachlich purer Nonsens ist),

d.h. die Oberfläche ist Teil des Volumens

(etwa so, wie die Haut Teil des menschlichen Körpers ist).

Somit berührt und sieht man eben doch das Volumen, wenn man die Oberfläche des Körpers berührt bzw. sieht.

In der Umgangssprache wird das allerdings oftmals anders verstanden. So ist z.B.

• die Hülle eines Luftballons Teil des Luftballons,
• aber unter seinem Volumen versteht man das Innere des Luftballons, also die enthaltene Luft,
• und diese Luft ist eben "im" Luftballon (also Inhalt) und nicht Teil des "eigentlichen" Luftballons.

• unter der Oberfläche das außen Sicht- und Berührbare (also die Außenseite der Verpackung),
• unter dem (Raum-)Inhalt aber das, was in die Verpackung eingefüllt ist, nämlich die Milch.

• wohl die Oberfläche der Verpackung berühren und sehen,
• aber nicht die Milch (solange sie in der verschlossenen Packung ist).

Erst jetzt fällt mir auf, dass es wohl in der Natur, aber kaum im "technischen Leben" massive Dinge gibt: in letzterem ist fast alles "Verpackung": 

, , ja sogar ein "Massiv[?]holzschrank"

Bemerkenswert scheint mir auch, dass im Alltag nie von "Rauminhalt" oder gar von "Volumen", sondern nur vom "Inhalt" die Rede ist bzw. davon, wieviel "da reinpasst".

Wir müssen langsam genauer differenzieren:

1. gibt es

(worauf ich gleich noch anhand der "Mantelfläche" eines "Zylinders" zurückkommen werde)

das zweidimensionale Bild

(mathematisch gesagt: die zweidimensionale Projektion)

einer Kugel:

(da hilft auch kaum die Computeranimation einer Kugel : sie täuscht nur Dreidimensionalität vor, bleibt aber in Wirklichkeit zweidimensional;

und so eine Computeranimation

[wie auch das innere Bild einer Kugel im Kopf: ]

hilft schon gar nicht, wenn die Kugel spiegelglatt, also im engeren Sinne mathematisch perfekt ist, da man dann eine Rotation gar nicht erkennen kann);

2. gibt es sichtbare dreidimensionale Kugeln

(die ich hier im Internet aus prinzipiellen Gründen nicht mitliefern kann):

bei diesen sichtbaren 3D-Kugeln ergibt sich das oben geschilderte Problem, dass die Oberfläche das Volumen verbirgt

(und transparente Kugeln beheben das Problem ebenfalls nicht: eben weil sie transparent sind, sieht man ihr Volumen ja auch nicht, sondern schaut durch es hindurch);

3. reichen nicht die nur sichtbaren, also - = -Kugeln, sondern man muss zusätzlich etwas geradezu Unmathematisches tun, sie nämlich anfassen!

(Nebenbei: auch das ja eigentlich völlig abstrakte mathematische Konstrukt der perfekten Kugel wird vielen Schülern erst wieder bzw. überhaupt erst an-schaulich und be-greifbar, wenn sie eine große und spiegelnde Kugel ansehen und mit ihren Händen über die handschmeichlerisch glatte Oberfläche der Kugel fahren dürfen:   )

Erst jetzt lässt sich vollständig klären, was meiner besseren Hälfte bei widerfahren ist:

• sie hatte durchaus eine klare, wenn auch sicherlich nicht im eigentlichen Sinne mathematische Vorstellung vom Kugelvolumen:
• sie kannte natürlich nicht die Formel zur Berechnung des Kugelvolumens

(was - nebenbei gesagt - zumindest in den Augen eines Mathematikers eine atemberaubend schöne, nämlich - abgesehen vielleicht mal vom π - erstaunlich einfache Formel ist!),

• hatte aber doch ein klares intuitives Verständnis von der Quintessenz dieser Formel, nämlich r³: dass

• das Volumen sozusagen überrasant wächst,
• wenn der Radius r (die Größe der Kugel) nur ziemlich harmlos zunimmt.

Anders gesagt: meiner besseren Hälfte war intuitiv klar, dass

• bei der relativ kleinen Kugel (Durchmesser 8cm)
• dennoch ein erhebliches Gewicht zu erwarten war - wenn sie massiv aus Edelstahl bestand.

• Für meine bessere Hälfte war keineswegs (wie oben angedeutet) das Volumen hinter der Oberfläche unsichtbar, sondern ganz im Gegenteil: die edelstahlartige spiegelnde Oberfläche versprach geradezu ein großes Volumen bzw. - so würde meine bessere Hälfte wohl sagen - ein hohes Gewicht.

• Bei meiner besseren Hälfte hatte
  • die Optik die Haptik getäuscht
  • bzw. die Haptik die Optik enttäuscht.

Mir geht's ja immer darum, die Schwierigkeiten vieler Schüler aufzuspüren - und zu zeigen, dass sie geradezu naheliegend sind.

Oben hatte ich gezeigt, dass das Volumen problematisch ist, weil es meistens hinter der Oberfläche verborgen ist.

Aber schon die Oberfläche ist ja ein Problem: umgangssprachlich sind Flächen - wie der Name schon sagt - flach.

Also könnte man versucht sein, die Ober"fläche" einer Kugel mal flachzuhämmern. Man kann sich das so vorstellen, als wenn man einen (hohlen, z.B. Wasser-)Ball

(der also sozusagen nur aus Oberfläche, aber - wenn wir die enthaltene Luft mal nicht mitzählen bzw. einfach ablassen - keinem Volumen besteht)

flachzudrücken versucht - und wird schnell zwei Schwierigkeiten feststellen:

1. bekommt man den Ball nicht wirklich flach, sondern das Zusammengedrückte wellt sich hier und da,
2. bleibt die Vorderseite immer vor der Hinterseite, erhält man also nicht eine einzige Fläche nebeneinander.

Um diese Probleme zu beheben, liegt es bei dem Wasserball nahe, die blauen und weißen Flächen auszuschneiden

(also die eine Oberfläche in sechs Teilflächen zu zerlegen)

und die blauen und weißen Teilflächen abwechselnd nebeneinander zu legen, was dann etwa so aussieht:

Damit hat man das 2. Problem tatsächlich gelöst: alle Teilflächen liegen neben- und nicht mehr hintereinander.

Aber das 1. Problem bleibt bestehen: auch die linsenförmigen (bilder linse pflanze/optik) Teilflächen lassen sich nicht ohne leichte Wellen flach drücken, also im umgangssprachlichen Sinne zu einer platten Fläche machen.

Allerdings gelingt das Flachdrücken immer besser

(wenn auch nie vollkommen),

je schmaler man die Teilflächen wählt, also z.B. so:

(und mit solchen Segmenten kann man dann umgekehrt einen annähernd kugelförmigen Globus herstellen).

Mit dieser Erdkarte haben wir eine konkrete Anwendung für unser Flachdrück-Problem: wir alle sind so sehr an flache Erdkarten wie etwa

.

gewöhnt, dass wir sie für ein exaktes Abbild der Realität halten.

In Wirklichkeit sind diese Karten aber enorm verzerrt, und zwar insbesondere hoch im Norden und tief im Süden, so dass etwa Grönland im Vergleich mit anderen Ländern viel zu groß erscheint.

Eine Karte, auf der die Länder in ihren realistischen Größen erscheinen, erhält man beispielsweise mit der

Peters-Projektion.

Hier wird nun beispielsweise Afrika endlich enorm aufgewertet, weil man plötzlich seine riesige Größe beispielsweise im Vergleich mit Europa erkennt

(und Grönland ist plötzlich verschwindend klein).

Dafür zeigt diese Karte nun wiederum anderes (z.B. Winkel) falsch an - und es gibt keine Möglichkeit, eine in jeder Beziehung realistische (flache) Karte der Erdkugel herzustellen.

Summa summarum:

	≠
Hohlkugel                 (Oberfläche)		massive Kugel                     (Volumen)

Gerade wegen dieses Unterschieds bei äußerer Gleichheit wären die beiden Kugeln aber ideal für ein klassisches Experiment: man lasse

(wie seinerzeit angeblich Galilei vom Schiefen Turm von Pisa)

die beiden Kugeln gleichzeitig aus der obersten Etage der Schule fallen, und sie werden gleichzeitig unten ankommen, d.h. der freie Fall ist unabhängig vom (unterschiedlichen!) Gewicht der beiden Kugeln:

PS: