steht ein Minus vor der Klammer ...

Von den Drei Großen Rechengesetzen

• Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
  • a + b = b + a ,
  • a • b = b • a,
• Assoziativgesetz (Klammerverschiebungsgesetz)
  •      a + (b + c) =
    = (a + b) + c
  •      a • (b • c) =
    = (a •. b) • c
• Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

    a • (b +      c) =
= a •  b + a • c

Z.B. 3 • ( +  ) = 3 •  + 3 •

ist allemal das Distributivgesetz das schwierigste - und führt deshalb zu den meisten Fehlern.

Wichtig an allen drei Gesetzen ist, dass man sie in beiden Richtungen anwenden kann. Beim Distributivgesetz heißt das:

1. :

a • (b + c) → a • b + a • c

Man kann in a • (b + c) die Klammern beseitigen, indem man daraus a • b + a • c macht.

2. :

a • (b + c) ← a • b + a • c

Man kann aus a • b + a • c die Variable a ausklammern, also eine Klammer herstellen, indem man daraus a • (b + c) macht.

Im Folgenden soll uns allerdings nur die Variante a., also das Klammer-Beseitigen, beschäftigen:

a • (b + c) → a • b + a • c

Der Standardfehler dabei ist, das a

• nur mit b zu multiplizieren

(es steht ja schon anfangs in dessen Nähe),

• aber nicht auch mit c,

so dass sich fälschlich ergibt:

a • (b + c) = a • b + c

Besonders eindrücklich deutlich wird dieser Fehler z.B. bei

• korrekt    a • (b +      c +      d +       e +      f ) =

     = a •  b + a • c + a • d + a • e + a • f ,

• falsch     a • (b +      c +      d +       e +      f ) =

     = a • b +       c +      d +       e +      f .

a muss also

• mit der GANZEN Klammer, d.h.
• mit JEDEM der eventuell VIELEN Summanden in der Klammer

multipliziert werden.

Eine Eselsbrücke:

• wenn ein Lehrer eine GANZE Klasse bestrafen will (verbotene Kollektivstrafe),
• muss er JEDEN einzelnen Schüler bestrafen.

Zwischendurch sei noch kurz erwähnt, dass das Distributivgesetz auch gilt, wenn IN der Klammer ein Minus-Zeichen auftaucht:

a • (b - c) = a • b - a • c

Ein halbwegs konkretes Beispiel für das Distributivgesetz ist

a • ( b  - c) = a •  b  - a • c
5 • (2x - 4) = 5 • 2x - 5 • 4 =
                  =   10  x -   20

Was ist nun aber, wenn ein "Minus VOR der Klammer" auftaucht wie z.B. in - (2x - 4) ?

Um diese Frage zu beantworten, brauchen wir vorweg einige

(für Schüler durchaus abstrakte)

Kleinigkeiten:

•      x   =    1  •     x
•  -   x   = (-1) •     x
• - (...) = (-1) • (...)
•    2x   =   +     2  x
• -  4   =   +     (-4).

Damit schreiben wir - (2x - 4) erstmal ein bisschen umständlicher:

  -       (  2x      - 4 ) =
(-1) • (+2x + (- 4))

Darauf wenden wir nun das Distributivgesetz an:

   a   • ( b    +   c ) =    a  •     b    +   a   •   c

(-1) • (+2x + (-4)) = (-1) • (+2x) + (-1) • (-4) =
                               = -           2x  +     ( +   4) =
                               = -           2x  +             4

Oder kurz:

    - ( + 2x -  4) =
= -      2x + 4

Halten wir fest: beim Klammer-Beseitigen ist

• aus + 2x am Ende -2x,
• aus  -  4  am Ende +4

geworden, d.h. die Vorzeichen ALLER Summanden in der (ehemaligen) Klammer haben sich umgedreht.

Salopp gesagt:

"Steht ein Minus vor der Klammer ...
... dreht sich um der GANZE Jammer."

(Man kann dieses "GANZE" gar nicht deutlich genug betonen.

       3x +     4 =      y        | • 2

                3x +    4 =       y     |• 2
          2• 3x +    4 = 2 • y
           6 x    +    4 =   1     y
           6 x    +    4 =          y       )

Besonders eindrücklich ist das Umdrehen der Vorzeichen wieder bei einer langen Kette, in der nacheinander alle Vorzeichen "umkippen":

Und in der Tat stelle ich mir die Multiplikation einer Klammer mit -1

• nicht als auf Anhieb fertig vor, sondern
• als Prozess, bei dem nacheinander die Vorzeichen "umkippen"

(eben genau so, wie man sie nacheinander hinschreibt).

Halten wir also an Beispielen nochmals die entscheidenden Folgen des Distributivgesetzes fest:

1.  -   (+2x - 4) = -   2x  +    4
2.   5•(  2x - 4) =  5•2x  - 5•4
3. -5•(+2x - 4) = -5•2x + 5•4

Nun vertraue ich ja doch wenig darauf, dass bei den Schülern irgendwas von der doch arg um die Ecke gedachten obigen Herleitung

(-1) • (+2x + (-4)) = (-1) • (+2x) + (-1) • (-4) =
                               = -           2x  +     ( +   4) =
                               = -           2x  +             4

hängen bleibt, sondern es hilft wohl nur das Einpauken von

• A., B. und C. und insbesondere
• "steht ein Minus vor der Klammer / dreht sich um der ganze Jammer"

an massenhaft Beispielen

(das ist die langweilige Hälfte der Mathematik - und die interessante andere Hälfte wird im Standardunterricht kaum jemals durchgenommen).

Da reicht es aber nicht, den Schülern massenhaft Aufgaben vorzusetzen, denn dann sehen sie nur vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr und sind somit massenhaft Fehler vorprogrammiert.

Sondern die Schüler müssen ein "Parser-Auge" entwickeln: ein "Parser" ist ein Computerprogramm, das die Struktur eines mathematischen Ausdrucks erkennt, d.h. die Einzelteile und die Hierarchie dieser Einzelteile.

Ein Beispiel: im Term -5(+2x - 4) muss der Parser erkennen,

• wo die Klammer anfängt und wo sie aufhört

(weil eine Klammer, die irgendwo anfängt, auch irgendwo aufhören muss),

• dass 5(...) = 5•(...) ,
• dass die Grobstruktur also aus den beiden Faktoren
  •  -5 und
  • der Klammer (egal, was in ihr drinsteht)

besteht, also -5•(...) ist.

Wenn vor einer Klammer

• ein Plus-Zeichen steht und
• zudem kein Vielfaches vorliegt

(außer, genauer genommen, dem 1-fachen),

kann man die Klammer einfach weglassen und war sie somit eigentlich überflüssig.

(z.B.     7 + (2x - 4) =

          = 7 +  2x - 4        )

Die Parser-Augen der Schüler sollten somit eine gesteigerte Aufmerksamkeit für das Gegenteil entwickeln, also z.B. für 7 - 5(2x - 4).

Natürlich könnte man das folgendermaßen ausrechnen:

    7 -  5 (2x  -    4) =
= 7 - (5•2x  - 5•4) =
= 7 - ( 10x  -  20 ) =
= 7 -   10 x + 20 =
= 27 - 10x,

woran wichtig ist:

• die Aufteilung von -5•(...) in die beiden Arbeitsschritte 5•(...) und (-1)•(...),
• die korrekte Anwendung von
  • -5 auf die ganze Klammer,
  • "steht ein Minus vor der Klammer / dreht sich um der GANZE Jammer".

Vor allem Ausrechnen sollten die Schüler aber ein geschärftes Auge für die Stolperfallen, also das "-" und die "5" in 7 - 5(2x - 4) entwickeln.

Deshalb schlage ich als einen Zwischenschritt vor, was in Schulen kaum vorkommt, da dort allzu frühzeitig

(und eigentlich immer [nur])

gerechnet wird:

man nehme sich eine jener typischen Aufgaben- und Bleiwüsten zur Termumformung im Mathebuch und markiere "nur" die beiden heiklen Fälle, dass vor Klammern

• ein Minus-Zeichen
• und / oder ein Vielfaches

(wieder: ein anderes Vielfaches als das 1-fache)

steht.

Dann wird die schwarz-weiße Bleiwüste z.B. folgendermaßen bunt:

(Nebenbei: es ist doch schade, dass die Schüler nicht in ihren geliehenen Schulbüchern rummalen dürfen.)

Wenn man erstmal derart Farben verteilt hat, fällt einem vielleicht auf, dass säntliche Aufgaben hier

(abgesehen von kleinen Variationen)

so gebaut sind

("kennste eine, kennste alle")

                   x   • ( xxxx  +          xxxx)

und daher mit dem Distributivgesetz so zu vereinfachen sind:

                   x   • ( xxxx  +          xxxx) =

= x   • xxxx x   • xxxx

Da sollte es einen dann auch nicht großartig erschrecken, wenn dann z.B. in Aufgabe 6h zwecks allgemeiner Verunsicherung auftaucht: damit wird gerechnet wie mit jeder beliebigen anderen (einfacheren) Zahl auch, also

                       • ( xxxx  +           xxxx) =

=   •  xxxx    • xxxx

Das farblige Markieren hat auch den Vorteil, dass man leichter die Besonderheiten der aufeinanderfolgenden

• Aufgaben (hier 5, 6, 7) und
• Teilaufgaben (z.B. 7a, 7b, 7c ...)

sieht: in der Regel haben Lehrer bzw. Schulbuchautoren die Aufgaben nämlich vorstrukturiert

(alle Spezialfälle werden nacheinander abgeprüft,

[wenn ein Spezialfall in einer Aufgabe abgehandelt wurde, kommt er vermutlich nicht nochmals vor],

und zudem wird die Schwierigkeit sukzessive gesteigert).

Wenn man diese Vorstrukturierung aber nicht erkennt, sieht alles ununterscheidbar aus und fällt man allzu gerne auf versteckte Gemeinheiten

(oft scheinbar minimale Unterschiede, deren Nichtbeachtung aber fatale Folgen hat)

hinein.