Heiner Stauff - anschauliche Mathematik

Mittel-/Erwartungswert,
Varianz
und Standardabweichung

Mittelwert / Erwartungswert

Auf die Dauer möchte man nicht mehr alle Einzelwerte einer Verteilung betrachten

(und das können massenhaft sein),

sondern anhand von nur noch zwei Merkmalen

(nämlich

einem "Zentralwert"
und einem "Bereich")

einen schnellen Überblick über eine Verteilung bekommen und zudem anhand dieser beiden Merkmale verschiedene Verteilung umgehend miteinander vergleichen können.

A. der Mittelwert in der Statistik

Da wir vorerst in der Statistik bleiben, ist der "Zentralwert" solange der Mittelwert

(auch "arithmetisches Mittel" genannt).

Angenommen also mal, wir messen die Körpergrößen von fünf Personen

(wobei direkt angemerkt sei, dass diese nichts mit Zufall zu tun haben, sondern fest vorgegeben sind):

	Person:	1	2	3	4	5
	erste und einzige Dimension: Körpergröße	1,40 m	1,50 m	1,70 m	1,80 m	1,90 m

Dabei bedeutet "erste und einzige Dimension" bzw. "eindimensional", dass wir uns bei jeder Person nur für ein einziges Merkmal, nämlich eben die Körpergröße, interessieren

(und nicht etwa, wie in , für zwei Merkmale, nämlich die Körpergröße und zusätzlich das Gewicht).

"eindimensional" bedeutet auch, dass wir alle Körpergrößen auf einer Achse, nämlich der x-Achse, darstellen können:

Als Mittelwert x der Körpergrößen ergibt sich

x = = 1,66

bzw. 1,66 m:

(Nebenbei: angenommen, die Körpergröße 1,40 m kommt dreimal bzw. mit der absoluten Häufigkeit 3 vor:

Person:	1	2	3	4	5
Körpergröße	1,40 m	1,40 m	1,40 m	1,80 m	1,90 m

Dann lässt sich die Mittelwertberechnung natürlich folgendermaßen abkürzen:

x = =

= = 1,58 )

B. der Erwartungswert in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kommen wir nun zu Zufallsexperimenten, also der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier sind die Einzelereignisse noch nicht (sicher) eingetreten, sondern treten nur mit jeweils einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf. Deshalb werden zur Berechnung des "Erwartungswertes" die Einzelwerte mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichtet bzw. multipliziert. Ansonsten erfolgt aber die Berechnung genauso wie oben beim Mittelwert.

Ein Beispiel: gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die möglichen Summen 2 bis 12 zweier Würfelwürfe auftreten:

Summe	Würfelfolgen	einzelne Wahrscheinlichkeiten	Anzahl der Möglichkeiten
2	1+1	1/36	1
3	1+2	1/36	2
3	2+1	1/36	2
4	1+3	1/36	3
	3+1	1/36
	2+2	1/36
5	1+4	1/36	4
	4+1	1/36
	2+3	1/36
	3+2	1/36
6	1+5	1/36	5
	5+1	1/36
	4+2	1/36
	2+4	1/36
	3+3	1/36
7
	1+6	1/36	6
	6+1	1/36
	2+5	1/36
	5+2	1/36
	4+3	1/36
	3+4	1/36
8	2+6	1/36	5
	6+2	1/36
	3+5	1/36
	5+3	1/36
	4+4	1/36
9	4+5	1/36	4
	5+4	1/36
	3+6	1/36
	6+3	1/36
10	6+4	1/36	3
	4+6	1/36
	5+5	1/36
11	5+6	1/36	2
11	6+5	1/36	2
12	6+6	1/36	1

Damit ergibt sich - erst sehr umständlich - der Erwartungswert μ (gesprochen "mü")

(Spätestens hier wird deutlich, dass die Berechnung des Erwartungswertes wie auch des Mittelwertes und noch mehr unten der Varianz

zwar nur sehr einfache Rechnungen erfordert,
dafür aber ggf. massenhafter Rechenschritte,

so dass

auf die Dauer ein programmierbarer Taschenrechner wünschenswert erscheint
und die Freude nur um so größer ist, wenn sich diese höchst umständliche Rechnerei bei der Binomialverteilung auf sehr kurze Rechnungen reduziert.

Vgl. ).

Da nun aber bei dem Würfelexperiment die einzelnen Summen teilweise mehrfach vorkommen, lässt sich die Berechnung des Erwartungswertes hier schon vereinfachen zu

= =

= • ( 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12 ) =

= • 252 =

= 7

Man kann also auch sagen: im Schnitt werden wir (= Futur) die Würfelsumme 7 würfeln:

Das einfache Ergebnis μ = 7 dürfte uns

(zumindest im Nachhinein)

nicht sonderlich erstaunen, da ja die Verteilung symmetrisch um die 7 angeordnet war:

	Summe	Anzahl der Möglichkeiten
	2	1
	3	2
	4	3
	5	4
	6	5
	7	6
	8	5
	4	4
	10	3
	11	2
	12	1

die Varianz und die Standardabweichung

Die Varianz ist ein Maß für die durchschnittliche Abweichung der verschiedenen Verteilungswerte vom Mittel- bzw. Erwartungswert.

(empirische) Varianz und Standardabweichung in der Statistik

Kehren wir zu unserem obigen Beispiel der Körpergrößen zurück.

Ein mögliches Maß für die Abweichung der Verteilungswerte vom Mittelwert wäre der Abstand der Werte 1,40 m, 1,50 m, 1,70 m, 1,80 m und 1,90 m vom Mittelwert 1,66 m.

Man könnte also auf die Idee kommen, den

Mittelwert der Abstände vom Mittelwert

folgendermaßen zu rechnen:

Dabei ergeben sich allerdings

bei 1,40 - 1,66 und 1,50 - 1,66 negative Werte, nämlich -0,26 und -0,16
und bei 1,70 - 1,66 sowie 1,80 - 1,66 und 1,90 - 1,66 positive Werte, nämlich +0,04, +0,14 und +0,24,

die sich gegenseitig aufheben:

= =

= 0

Um diesen Fehler zu beheben, erinnern wir uns daran, dass Abstände ja immer positiv gemessen werden, was wir durch Absolutstriche erreichen können:

= = 0,168

Wenn man nun einen Bereich um x = 1,66 mit 0,168 nach links und 0,168 nach rechts legen würde, würde man Folgendes erhalten:

Die beiden knappen Merkmale "Mittelwert" und "Bereich" gäben dann schon einen ziemlich guten Überblick über die Gesamtverteilung.

Ein anderer Weg, nur mit positiven Zahlen zu rechnen, ist das Quadrieren. Natürlich verzerrt es die Werte

(- eine Abweichung von 1 bleibt durch Quadrieren eine 1,
- eine Abweichung von 2 wird durch Quadrieren doppelt so groß, nämlich 4,
- ...),

aber genau diese Verzerrung hat auch Vorteile: große Abweichungen werden durch Quadrieren noch sehr viel größer, d.h. das Quadrieren betont vor allem Ausreißer ganz weit links oder rechts vom Mittelwert.

Manchmal ist genau das gewollt, manchmal aber auch irreführend.

(Beispiel: Bill Gates betritt eine new yorker Kneipe, in der vorher nur arme Schlucker pichelten:

steigt durch seine Anwesenheit enorm das Durchschnittseinkommen (der Mittelwert),
wird sein Einkommen mit der quadratischen Abweichungsberechnung nochmals besonders betont.

Will man das - oder hält man solch einen Gedankengang für absurd, weil sich realiter nichts am Einkommen der armen Schlucker ändert?

Nebenbei: den Trick des Quadrierens hat kein Geringerer als "der Fürst der Mathematik"

Carl Friedrich Gauß

mit seiner "Methode der kleinsten Quadrate" erfunden.)

Mit dem Trick des Quadrierens wird nun die (hier: empirische) Varianz V_x definiert, und in unserem Körpergrößenbeispiel ergibt sich:

V_x = =

= = =

= = 0,0344.

Nun wollen die MathematikerInnen das dreiste vorherige Quadrieren aber doch ein wenig rückgängig machen, ziehen deshalb am Ende aus der Varianz wieder die Wurzel und erhalten damit die (hier: empirische) Standardabweichung s_x:

s_x = .

Damit ergibt sich dann folgender Bereich um den Mittelwert:

Es lässt sich nun sagen, dass die Körpergrößen "im Schnitt" im Standardabweichungsbereich um den Mittelwert liegen.

("ein wenig rückgängig machen" ist allerdings ein Euphemismus für eine besonders brutale [falsche] Art des Wurzelziehens:

≠ .

Und noch eine kleine Anmerkung: bei der obigen Verteilung

Person:	1	2	3	4	5
Körpergröße	1,40 m	1,40 m	1,40 m	1,80 m	1,90 m

in der der Wert 1,40 m dreimal vorkommt und die laut obiger Rechnung den Mittelwert 1,58 m hat, lässt sich die Varianzberechnung ebenfalls abkürzen:

= = ... )

B. (theoretische) Varianz und Standardabweichung
in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kehren wir wieder zu dem obigen Beispiel der Summe zweier Würfelwürfe zurück, bei der, wie wir berechnet haben, der Erwartungswert μ = 7 ist.

Auch hier berechnen wir die quadratischen Abweichungen der möglichen Summen 2 bis 12. vom Erwartungswert, nur dass diese Abweichungen wieder mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichtet, d.h. mit ihnen multipliziert werden. Die (theoretische) Varianz σ²

(wobei σ"Sigma" ausgesprochen wird: )

wird dann berechnet als

σ²= +

+ =

= =

= = 5,83

Daraus ergibt sich die (theoretische) Standardabweichung σ als

σ = ≈ 2,41

und somit der Bereich, in dem die Würfelsummen "im Schnitt" liegen werden, als