Ziel all meines Schreibens hier auf meiner Internetseite ist es zu zeigen, dass eine Verbesserung der Schule im Allgemeinen und des Mathematikunterrichts im Besonderen

• nicht durch einsame kultusministerielle Beschlüsse
  

• sondern an den 100 000 Details des alltäglichen Unterrichts ansetzen muss
  

Man muss also bei den konkreten 100 000 Unterrichtssituationen und -themen ansetzen, und Verbesserungsvorschläge haben sich dort zu bewähren.

Und so versuche ich

seit Jahren, die 100 000 Details

abzuarbeiten.

Dabei ist mir kein scheinbar nebensächliches Detail zu klein - also auch nicht das Wörtchen „sei“ in „sei x eine natürliche Zahl“.

1. bietet die sonstige Realität massenhaft Veranschaulichungsmöglichkeiten für mathematische Sachverhalte,
2. bringt einen die sonstige Realität
   

auf Gedanken zur Mathematik.

(Bzw. dem Mathematiker ist alles [also auch ein Popmusiktext] potentieller Anlass für Mathematik. Z.B. sieht der Laie in vielleicht "nur" Schönheit, der Mathematiker aber auch [!] eine logarithmische Spirale - und damit den mathematischen Grund für die Schönheit?

[... aber noch nicht den biologischen: wie die Nautius-Schnecke ihr Haus so spiralförmig baut, nämlich immer um ihr bisher bestehende Haus herum und gleichzeitig immer - zum Wachstum der Schnecke passend - größer werdend.])

Sicherlich müssen in der Schulmathematik auch außermathematische Anwendungen der Mathematik durchgenommen werden, denn der eine oder andere Schüler wird ja vielleicht später ein Studium in dieser Richtung aufnehmen. Aber vor lauter modischer Anwendungsorientierung kommt mir derzeit doch oftmals das „Herz“ der Mathematik, nämlich der allgemeingültige Beweis, zu kurz.

Und selbst wenn im Unterricht ab und zu etwas bewiesen wird, wird doch

fast nie eine explizite

„Beweistheorie“ erarbeitet:

• wie kommt man zu Vermutungen,
• was sind und welche Aussagekraft haben eine Vermutung und eine Behauptung,
• was ist ein Beweis und eine Widerlegung,
• was bedeutet „sei x eine natürliche Zahl“ (!) und wo taucht dieser Satz üblicherweise auf (s.u.),
• welche Beweis- und Widerlegungsverfahren gibt es,
• was ist ein mathematischer "Satz"?
• Und last but not least: es ist doch überaus erstaunlich und faszinierend, dass die Mathematik (als einzige Wissenschaft) überhaupt Beweise für unendlich viele (alle) Fälle in relativ kurzer (endlicher!) Zeit führen kann.
  

1. sind das nunmal die brennenden Themen der Haupt-Zielgruppe, nämlich von Jugendlichen,
2. wird mit solcher Kritik verkannt, dass die menschliche Stimme in Liedern oftmals „nur“ als Melodie- und (insbesondere im Hip Hop) Rhythmus-Instrument ganz eigener Art eingesetzt wird, der gesungene Text also häufig herzhaft egal ist und genauso gut
   

lauten könnte

(die Jungs von ABBA haben mal gesagt, an einem Song-Text sei sowieso nur der bis zum Erbrechen beim ohrwurmhaften Kehrvers wiederholte Song-Titel wichtig: dieser Titel  müsse leicht verständlich sein [z.B. „Dancing Queen], damit auch noch der hinterletzte Non-native-english-speaker ihn im Plattenladen aufsagen könne; und wenn einem gar nichts mehr einfällt, wählt man z.B. den Song-Titel „Chiquitita“

[man muss ja wahrhaft nicht wissen, dass „Chiquitita“ auf Spanisch „meine Kleine“ bedeutet]).

Ab und zu versteigen sich Popmusik-Texte aber doch zu geradezu goetheschen Höhen. Drei Beispiele:

Am letztgenannten Lied von den 257ers interessieren mich nun aber nicht die soeben zitierten Zeilen, sondern sein Anfang

Hier geschieht etwas, was zwar durchaus öfters in moderner („Hoch“-)Literatur vorkommt, aber meines Wissens bislang nicht in der Popmusik:

der Sänger

• singt nicht nur einen Text,
• sondern spricht gleichzeitig über diesen Text, und zwar sozusagen in Echtzeit:
  

Der Songtext „handelt“ also anfangs von sich selbst

und sowas nennt man hübsch abgehoben „selbstreferentiell“.

(Nebenbei: es gibt wohl nur eine

[allerdings eher unwahrscheinliche]

Möglichkeit, dass der Song-Anfang

[was für eine schnöde Vorbedingung für Kunst:]

realistisch ist - oder genauer war:

• die Band [oder das „ich“ = der spätere Sänger?] hatte in einem ersten Schritt die Song-Melodie

[noch ohne den Text]

schon fertig geschrieben

• und musste dieser Melodie dann in einem zweiten Schritt noch einen Text verpassen.

Da dann mag sich der [einzelne?] Textautor [das „ich“ = der Sänger?] tatsächlich gedacht und dann auch in den Song-Text geschrieben haben:

„Okay, der Song beginnt und er bekommt ein Thema [...]
 Und das Thema heute, es heißt Holz“

[Für den Song-Text gab es dann nur eine rein formale, nicht aber inhaltliche Bedingung: er musste rhythmisch zur bereits fertigen Musik passen.]

Wir können uns den Text-Autor also am Schreibtisch vorstellen, wie er aus Lautsprechern immer wieder die fertige Melodie hört und sukzessive den Text dazu schreibt:

Oder da saß immer mal wieder die ganze Band zusammen

[vermutlich bei der einen oder anderen Flasche Bier]

und hat

[zur bereits fertigen Melodie]

den Text geschrieben: solch ein Text entsteht ja nicht in einem „Abwasch“, sondern indem immer wieder Ideen

[und im vorliegenden Fall abstruse Einfälle]

„nachwachsen“.)

Es lohnt sich

den Anfangssatz des Liedes „Holz“ haarklein auseinanderzuklamüsern:

• „Okay“ könnte hier schlichtes Einverständnis, aber auch „tja“ bedeuten: eine Art Resignation, dass der Song von selbst (von sich aus) beginnt (Fachbegriff: Vermenschlichung) und dem Sänger gar keine andere Wahl läßt, als mitzumachen.
• „[der Song] bekommt ein Thema“: das hört sich ein wenig an wie „was kommt, wird gewickelt“, also „wenn ein neugeborenes Kind da ist, liebt man [?] es auch“. Indirekt wird damit aber auch gesagt: „ein Neugeborenes braucht Liebe“. In unserem Zusammenhang heißt das: „[je]der Song braucht ein Thema“: es ist nunmal so, dass Songtexte ein (?) Thema brauchen, nämlich eben z.B. (unglückliches) Verliebtsein (s.o.). Hier klingt es aber so, als wenn dieses Thema absolut beliebig wäre
  

• ein Nonsensethema ist

• oder ein tatsächlich besonders faszinierendes Material, das endlich auch mal Eingang in die Popmusik erhalten darf / muss

• „Und das Thema heute [...] heißt Holz“: „heute wählen wir zur Abwechslung mal das Thema »Holz«

[das mathematische Fachchinesisch auf diesem T-shirt sind die maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus‘])

• Des weiteren ist es bemerkenswert, dass der Sänger „Und das Thema heute, es ist Holz“ statt bloß „Und das Thema heute ist Holz“ singt: beim Einschub „ , es“ scheint er ein wenig zu zögern, also noch zu überlegen, welches der vielen möglichen Themen er wählt - und dann erst entscheidet er sich plötzlich für das Thema „Holz“
  

• Im selben Augenblick, in dem die Menge aller möglichen Themen rabiat auf das eine Thema „Holz“ eingegrenzt wurde,
  

• „Holz sieht sehr schön aus, Holz ist vielseitig [...]
   Du kannst es verbrennen, du kannst es sägen [...]
   Ja, wenn du es verbrennst, dann spendet es Wärme [...]
   Aber wenn du es sägst, dann nicht [...]“,
• „weil man es sich wunderschön ins Wohnzimmer stellen kann, nein
   Man kann es auch lackieren“,
• „Mit Holz kann man 'n voll guten Staudamm bauen
   Und wenn der Staudamm bricht, ihm auch vertrauen
   Denn das ist crazy, dieses Zeug rettet nämlich [als Holzboot] Leute“,
• „Let us take some Holz for Gebrauchsgegenstände“
• „Es beginnt ein neues Leben, wenn ein Baumleben endet“.
  

• Bemerkenswert ist zuguterletzt das immer wiederkehrende „ich und mein Holz“
  

Übertragen auf „x sei eine natürliche Zahl“ heißt das:

• so wie ein Popsong ein Thema braucht,
• ist auch der Mathematiker an Vorgaben gebunden: er kann

• (jetzt allerdings anders als die Popmusik) nicht irgendwas definieren (erschaffen),
• sondern seine Wahl erfolgt in den Grenzen von zwei Vorbedingungen:
  

2. muss seine Festlegung (hier „natürliche Zahl“) zu seinem bereits vorhandenen jeweiligen Thema passen: wenn er „sei x eine natürliche Zahl“ definieren will, will er anscheinend irgendeine Eigenschaft der natürlichen Zahlen

                                 (also von 1, 2, 3, 4, 5 ...)

                         beweisen.

• Dennoch hat „sei x eine natürliche Zahl“ die oben gezeigte Arroganz eines Schöpfungsakts: der Mathematiker zitiert sich „eben mal kurz“ sämtliche natürlichen Zahlen herbei - und sondert alle anderen Zahlen aus
  

„Divide et impera (lateinisch für teile und herrsche) ist eine Redewendung (im lateinischen Imperativ); sie empfiehlt, eine zu besiegende oder zu beherrschende Gruppe (wie z. B. ein Volk) in Untergruppen mit einander widerstrebenden Interessen aufzuspalten. [Nicht mehr zur Mathematik passend:] Dadurch soll erreicht werden, dass die Teilgruppen sich gegeneinander wenden, statt sich als Gruppe vereint gegen den gemeinsamen Feind zu stellen.“
(Quelle: )

(links die natürlichen, rechts alle anderen Zahlen).

(Theologische Parallelen seien bei einem mathematischen Thema doch arg weit hergeholt oder gar völlig unangebracht? Auf diesen Einwand reagiere ich aber einfach mit dem großen Mathematiker

:

„Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist [alle anderen Zahlen sind] Menschenwerk.")

• Die Wahl des Mathematikers

• unterliegt also einerseits gewissen Einschränkungen und schränkt ihrerseits noch weiter ein („nur die natürlichen Zahlen“),
• eröffnet andererseits aber auch enorme Möglichkeiten, denn „sei x eine natürliche Zahl“ bedeutet ja „sei x eine beliebige natürliche Zahl“. D.h. mit dem kurzen Satz „sei x eine natürliche Zahl“ werden sämtliche natürlichen Zahlen aufgerufen, und davon gibt es bekanntermaßen unendlich viele:

• Mit dem so harmlos wirkenden kurzen Satz „sei x eine natürliche Zahl“ beginnt also ein Beweis für unendlich viele Fälle (s.u.).

auch bemerkenswert, dass die Mathematiker

• nicht in korrektem Deutsch „x sei eine natürliche Zahl“ (also Subjekt "x" - Prädikat "sei")
• sondern ein wenig verdreht „sei x eine natürliche Zahl“ (also Prädikat "sei" - Subjekt "x")
  

sagen.

Mit dem vorgezogenen „sei“ wird sofort signalisiert, dass im Folgenden etwas definiert bzw. eine Auswahl getroffen wird.

Ein typischer

Mathematikerwitz lautet deshalb

Wenn ein Witz darauf beruht, dass eine Erwartung enttäuscht wird, ist das witzig (?), weil e (= epsilon) in der Mathematik immer größer als Null ist.

Schauen wir uns noch genauer an, wo das „sei“ in der Mathematik auftaucht:

manchmal fallen einem in der Mathematik gewisse (tatsächliche oder scheinbare) Regelmäßigkeiten auf.

Ein Beispiel:

In den bisherigen drei Fällen ergibt sich also bei natürlichen Zahlen, die nur aus 1er-Ziffern bestehen, eine erst im Einer-Abstand auf- und dann wieder absteigende Ziffernfolge.

Bei nur drei Beispiele ist es aber eine bislang nur sehr schwache „Vermutung“, dass das immer so sein wird, also z.B. auch für das nächste Beispiel 1111 • 1111. Schwach ist diese Vermutung, weil die vermutete Regel schon bei 1111 • 1111 nicht mehr gelten, also z.B. 1323512 herauskommen könnte.

Wenn man aber nachrechnet, ergibt sich 1111 • 1111 = 1234321, wodurch die Vermutung auch im vierten Beispiel bestätigt wird.

Und wenn man (mit einem Taschenrechner) bis zum neunten Beispiel weiterrechnet, ergibt sich

Nach inzwischen schon neun Beispielen, die allesamt die Vermutung bestätigen, wird man wohl schon eher glauben (!), dass die Vermutung immer (also auch für alle weiteren Beispiele) richtig ist.

Inzwischen wird also wohl geneigt sein, die Regel nicht mehr nur zu vermuten, sondern sogar die Behauptung aufzustellen, dass sie immer gilt.

Nun sind die Mathematiker aber eisern: man

• darf nichts einfach nur behaupten,
• sondern muss es auch beweisen,
• und bis zum allgemeingültigen Beweis bleibt es doch immer nur eine Vermutung.

Wenn es nun aber an den Beweis der Behauptung geht, findet endlich unser „sei“ seinen Platz:

• einschränkende Voraussetzung: „sei x eine natürliche Zahl, deren Ziffern ausnahmslos Einsen sind“
• zu beweisen ist dann die Behauptung: „wenn man solch eine Zahl mit sich selbst multipliziert, enthält das Ergebnis nur erst im Einer-Abstand auf- und dann wieder absteigende Ziffern“.
  

Zu einem Beweis-Versuch (und damit zum „sei“) wird man wohl auch dann übergehen, wenn man das Rechnen mit immer größeren Zahlen satt hat

Nach dem „sei“ kann nun beim Beweisversuch dreierlei passieren:

1. : man findet tatsächlich einen Beweis für alle Fälle

2. : man findet (mindestens) ein Gegenbeispiel oder kann die Behauptung anderweitig widerlegen
   

3. : man findet
   

Da kann Mathematik ausgesprochen frustrierend sein - oder eine faszinierende Herkulesaufgabe.

Was also müsste an der Stelle des Fragezeichens stehen, wenn die bisher vermutete Regel auch da stimmen würde?:

• Muss da die nächstfolgende natürliche Zahl (nicht Ziffer), also 10, stehen?:
  

• Oder steht in 123456789?987654321 an der Stelle des Fragezeichens die einzige noch nicht benutzte Ziffer (!), also die 0 ?:
  

Obwohl man noch nicht gerechnet hat, ahnt man also, dass beim zehnten Beispiel Probleme auftreten könnten.

Und wenn man nun endlich doch einen Computer bemüht, erhält man

In der Mitte tauchen also zwei Nullen auf

Aber direkt vor den beiden Nullen steht die Ziffernfolge 79 - und fehlt dazwischen die 8,

womit unsere bisherige Vermutung

widerlegt ist.

Nochmal kurz zurück zu „sei x eine natürliche Zahl“. Das bedeutet, dass im dann folgenden Beweis x

• nur noch eine beliebige natürliche Zahl
• und nichts anderes
  

(z.B. oder ein Dreieck)

Paradoxerweise ist in „sei x eine [!] natürliche Zahl“

• im Singular nur von einer (einzigen) solchen natürlichen Zahl die Rede
• und sind doch im Plural alle (also unendlich viele) solche natürliche Zahlen gemeint).
  

Merkwürdigerweise wird in dem Beweis aber nie eine konkrete natürliche Zahl (z.B. 17) für x eingesetzt, denn dann würde alles danach Folgende

• nur noch für die gewählte konkrete natürliche Zahl (eben z.B. 17),
• also nur für einen einzigen Fall (17)
• und nicht alle natürliche Zahlen gelten.

Eine berühmte, uralte, aber trotz aller mühsamen Versuche vieler der größten Mathematiker bis heute weder bewiesene noch widerlegte Vermutung ist die „Goldbachsche Vermutung“

(vgl. den dringend empfohlenen Roman :

„Die starke [...] Goldbachsche Vermutung lautet wie folgt:
Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.
[...]
Die schwächere Vermutung
Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist Summe dreier Primzahlen.“
(Quelle: )

„Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.“

Carl Friedrich Gauß
(der „Fürst der Mathematik“)

(Nebenbei: es mag Laien erstaunen, dass es über die natürlichen Zahlen, die in alle Ewigkeit so treudoof und langweilig im Abstand 1 aufeinander folgen

  ,

überhaupt viel zu sagen gibt: o.k., es gibt die geraden und die ungeraden natürlichen Zahlen und dann auch noch die [unendlich vielen!] Primzahlen, aber was sollte an den natürlichen Zahlen sonst noch bemerkenswert sein?!

Und überhaupt: wozu braucht man sowas?)

• z.B. versteht wohl schon jeder Sechstklässler die starke Goldbachsche Vermutung
  

• und jedem Neuntklässler kann man die vielleicht berühmteste zahlentheoretische Vermutung, nämlich „Fermats letzte Vermutung“, verständlich machen.

Der Haken ist allerdings, dass

• einfache Eigenschaften
• der einfachsten, nämlich „natürlichen“ Zahlen
• oftmals extrem schwer zu beweisen sind,
  

Andrew Wiles