seltsame Zusammenhänge:
Zwischen den verschiedenen Gleichungen
gibt es erstaunliche Ähnlichkeiten:
(immerhin ist klar, dass alle abhängig von r ab- bzw. zunehmen),
wobei man sich allerdings leider (?) als Koeffizienten die hübschhässliche Zahl π ≈ 3,14159265358979 einhandelt.
Dabei wächst
(wenn r doppelt so groß ist, ist (r) acht mal so groß),
(wenn r doppelt so groß ist, ist (r) vier mal so groß),
(wenn r doppelt so groß ist, ist (r) vier mal so groß),
(wenn r doppelt so groß ist, ist (r) auch doppelt mal so groß).
Entsprechend ergeben sich verschieden stark steigende Graphen
(hier nicht maßstabsgetreu):
Seltsam ist es aber für mich vor allem, dass es mir, der ich doch einen Blick für Ableitungen haben sollte, erst heute siedend heiß aufgeht, wie diese Gemeinsamkeiten zustande kommen:
Daraus folgt außerdem:
Davon sollen uns im folgenden die reinen Ableitungsgleichungen interessieren:
Wenn die Ableitung die momentane Veränderung misst, so bedeutet das doch:
(... wie sich also eine Veränderung verändert).
Was aber mag man sich unter solchen Veränderungen (von Veränderungen) vorstellen?
Schauen wir uns dazu die Graphen nochmals (vergrößert) im Koordinatensystem dar:
Hier kann man nun gut ablesen, wie groß für ein fixes r die Eigenschaften (r) , (r) , (r) und (r) sind.
Interessant wird all das aber erst, wenn
also
in Bewegung.
Dabei gilt im Folgenden:
(also z.B. nacheinander r = 1,9, r = 2, r = 2,1 ...),
Damit ergibt sich:
Und aus A. und B. folgt "doppelt gemoppelt"
Oder anders gesagt:
= ein Viertel der Beschleunigung von im Augenblick r .
Der Kreisumfang (r) in einem bestimmten Augenblick r zeigt uns also, wie schnell sich gerade die Kugeloberfläche (r) verändert und wie sehr das Kugelvolumen (r) beschleunigt.
Und dennoch bleibt das alles für mich völlig abstrakt: ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, was das überhaupt anschaulich bedeuten soll: dass