Stufen der Verallgemeinerung
(typisch mathematisches Denken)

1. Bei Euklid war die Welt noch in Ordnung: alles spielte hübsch in der Ebene

,

und da galt dann doch tatsächlich der berühmte Satz von der "Winkelsumme":

In ALLEN Dreiecken ergeben die drei Winkel zusammen IMMER 180⁰.

(Das ist - nebenbei - ein ganz phantastischer Satz, nämlich einer der ersten [auch in der Schule], der Geometrie und Algebra in Verbindung bringt: wenn man zwei Winkel eines Dreiecks kennt, kann man den dritten berechnen!)

Schade nur, dass dieser Satz in der nicht-euklidischen Geometrie

(also auf anders geformten Flächen als der Ebene)

leider nicht mehr für ALLE Dreiecke gilt

(Vgl. ).

2. Wenn die Winkelsumme die drei Winkel von Dreiecken miteinander in Verbindung bringt, so liegt natürlich die für MathematikerInnen typische Frage nahe:

"Gibt es auch solch eine praktische [Rechen-]Regel für die drei Seiten von Dreiecken?"

In der Tat gibt es diese Regel, und zwar den berühmten "Satz des Pythagoras", also

a² + b² = c²

Auch hier gilt: kenne ich zwei Seiten, so kann ich die dritte berechnen.

Nur hat der "Satz des Pythagoras" einen Schönheitsfehler: er gilt nicht (mehr) für ALLE Dreiecke (in der Ebene), sondern leider nur für ALLE RECHTWINKLIGEN

(was ja immerhin auch noch unendlich viele sind).

Aber auch hier setzt wieder ein für MathematikerInnen typischer Mechanismus ein: wenn ein Dreieck nicht rechtwinklig ist, zerlegen sie es einfach mit der Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke

(das geht tatsächlich wieder mit ALLEN Dreiecken!),

und prompt können sie den "Satz des Pythagoras" doch einsetzen.

(Wenn bislang

• mit der Winkelsumme die drei Winkel eines Dreiecks

• und mit dem "Satz des Pythagoras" die drei Seiten eines Dreiecks

in Verbindung gesetzt wurden, so ist es nur konsequent zu fragen, ob man nicht auch

• sowohl Winkel als auch Seiten eines Dreiecks

in Verbindung setzen kann

[also z.B. aus zwei Seiten einen Winkel berechnen].

Und in der Tat gibt es auch dafür Hilfsmittel, nämlich die sogenannten "trigonometrischen" Funktionen, also Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens.

Allerdings

• haben auch diese Berechnungen den Schönheitsfehler, dass sie nicht für ALLE, sondern nur für ALLE RECHTWINKLIGEN Dreiecke funktionieren,

• und haben die MathematikerInnen etwa mit dem "Sinus-" und "Cosinussatz" auch wieder Auswege gefunden.)

3. Der bereits erwähnte "Satz des Pythagoras" spielt auf zwei Ebenen gleichzeitig:

1. der geometrischen: wie schon gesagt, werden durch ihn die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung zueinander gesetzt (aneinander gefesselt).

Genauer gesagt: das geschieht nicht mit den Seiten, sondern den Seitenlängen, also schon Zahlen.

2. ohne allen geometrischen Hintergrund einfach die Beziehung von Zahlen zueinander:

Das wohl berühmteste, noch geometrische Beispiel für den "Satz des Pythagoras" ist das rechtwinklige Dreieck mit den hübsch Seitenlängen 3, 4 und 5 ("natürlichen" Zahlen), denn

3² + 4² = 5²

9 + 16 = 25

Da kann man sich natürlich fragen: Gibt es noch andere einfache, also natürlichen Zahlentripel (drei natürlichen Zahlen), für die das gilt?

• Die erste Vermutung ist doch wohl:

  • wenn der "Satz des Pythagoras" für die Zahlenfolge 3, 4 und 5 gilt,

  • so könnte er doch wohl für alle solche Folgen direkt aufeinander folgender natürlicher Zahlen gelten, also z.B. für die allereinfachste, nämlich 1, 2 und 3.

Allerdings ist das leider schnell widerlegt:

1² + 2² ≠ 3²

1 + 4 ≠ 9

(Und um ganz kurz doch noch mal geometrisch zu werden: die drei Seiten 1, 2 und 3 ergäben nicht mal ein Dreieck, da die ersten beiden Seiten zusammen genauso lang sind wie die dritte.)

• Zweifelsohne gilt der "Satz des Pythagoras" aber, wenn ich das Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 einfach vergrößere, nämlich z.B. jede Seite verdoppele:

das neue Dreieck ist natürlich auch wieder rechtwinklig, und deshalb gilt auch wieder der "Satz des Pythagoras":

(2•3)² + (2•4)² = (2•5)²

6² + 8² = 10²

36 + 64 = 100

Entsprechen kann ich das Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 natürlich nicht nur verdoppeln, sondern auch verdreifachen, vervierfachen usw. bis in alle Ewigkeit, und jedesmal kommt wieder ein rechtwinkliges Dreieck heraus, für den der "Satz des Pythagoras" gilt.

Es gibt also unendlich viele natürliche Lösungen der Gleichung

a² + b² = c²

Nun kann man sich natürlich fragen, ob

• geometrisch gesehen nur Vergrößerungen und Verkleinerungen des Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 die Gleichung erfüllen

(womit der Satz dann eben doch nicht für ALLE RECHTWINKLIngEN Dreiecke gälte, sondern nur für SPEZIELLE RECHTWINKLIGE Dreiecke),

• algebraisch gesehen nur Vielfache von 3, 4 und 5 die Gleichung erfüllen.

^{Nun lässt sich allerdings zeigen, dass es auch unendlich viele andere natürliche Lösungen gibt, nämlich die sogenannten "pythagoräischen Zahlentrippel", also z.B.}

5²+12²=13², 15²+8²=17², 7²+24²=25², 21²+20²=29², 35²+12²=37²

Insgesamt kann man also festhalten:

• es gibt zwar unendlich viele natürliche Lösungen von a² + b² = c²

• aber keineswegs ALLE natürlichen Zahlen lösen diese Gleichung.

Genau da dann setzt aber wieder eine typische Mathematikerüberlegung ein: sie denken vorwärts und rückwärts: Wie steht es mit den natürlichen Lösungen von

• rückwärts: a¹ + b¹ = c¹

• vorwärts:

  • a³ + b³ = c³

  • a⁴ + b⁴ = c⁴

  • bzw. praktischerweise gleich in einem Abwasch aⁿ + bⁿ = cⁿ, wobei für n jede natürliche Zahl eingesetzt werden kann.

Nun könnte man sich ja fragen, was für Ergebnisse zu erwarten sind:

1. In a¹ + b¹ = c¹ ist es offensichtlich immer möglich, zu zwei vorgegebenen natürlichen Zahlen a und b ein c zu finden, so dass die Gleichung aufgeht:

Man wählt einfach beliebige a und b (z.B. a = 14 und b = 37), addiert sie (a + b = 14 + 37 = 51) und nennt die Summe c:

a¹ + b¹ = c¹

14 + 37 = 51

2. Im Fall von a² + b² = c² , also beim "Satz des Pythagoras", ist das Auffinden solch passender natürlicher Zahlen a, b und c hingegen nicht mehr so einfach:

   z.B. gibt es zu den Zahen a = 14 und b = 37 kein natürliche c, so dass

   a² + b² = c²

   14² + 37² = c²,

   denn 14² + 37² = 1565, aber es gibt keine ganze Zahl c, deren Quadrat 1565 ist, da 39² = 1521 zu klein und 40² = 1600 zu groß ist.

   Es gibt also sozusagen "fast nie" ganzzahlige Zahlen a, b und c, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen - und dennoch unendlich viele, nämlich die o.g. "pythagoräischen Zahlentrippel".

3. Was lässt sich daraus für höhere Exponenten vermuten?:

Schauen wir dazu nochmals zurück:

• bei a¹ + b¹ = c¹ galt "immer",

• bei a² + b² = c² galt "fast nie",

• und deshalb würde ich bei a³ + b³ = c³ vermuten: nie!

• ... und dementsprechend auch für a⁴ + b⁴ = c⁴ usw., also allgemein aⁿ + bⁿ = cⁿ : nie!

"Nie" heißt dabei im einfachsten höheren Falle a³ + b³ = c³ :

Es gibt keine natürlichen Zahlen a, b und c (man wird niemals welche finden), so dass die Gleichung a³ + b³ = c³ aufgeht!

Man beachte, dass auch das eine totale Verallgemeinerung ist, nur eine negative.

Das Problem dabei ist das "man wird niemals welche finden":

• Selbst wenn man (z.B. mit großen Computern) abermilliarden Zahlen ausprobiert und es (bis dahin) nie geklappt hat, könnte es dennoch irgendwo ein Zahlentrippel a, b und c geben, das die Gleichung erfüllt:

• Ausprobieren kann also niemals zu einem allgemeinen Beweis einer Nichtexistenz führen.

• Und umgekehrt: sobald man (sei´s durch Zufall, sei´s durch irrwitzig langes Rechnen) ein einziges Zahlentrippel a, b und c finden sollte, das tatsächlich die Gleichung a³ + b³ = c³ erfüllt, ist der die Verallgemeinerung "man wird niemals welche finden" endgültig "im Eimer".

• Ausprobieren (ein einziges, wenn auch vielleicht fürchterlich verstecktes Beispiel!) kann also durchaus zur Widerlegung einer Nichtexistenz führen.

Nun, "wenn man vom Rathaus kommt, ist man klüger":

die berühmte Fermatsche Vermutung, dass es für a ⁿ + bⁿ = cⁿ (n ≥ 3 ) NIEMALS ganzzahlige Lösungen gibt,

• hat ganze Mathematikergenerationen erfolglos gelassen und in den Wahnsinn getrieben,

• wurde erst vor wenigen Jahren von Andrew Wiles bewiesen.

An dem Gedankengang bis hierhin ist einiges typisch für die Mathematik: geradezu die Sucht nach Verallgemeinerungen (alle n, nicht bloß 2), Vermutungen von unteren Stufen für höhere ("immer" > "fast nie" > "nie") Beweisverfahren (ein einziges Gegenbeispiel widerlegt jede Vermutung), dass eine ganz einfache, jedem 5.-Klässler vermittelbare Aussage teuflisch schwer zu beweisen sein kann. dass man zwar den "Satz des Pythagoras", also a2 + b2 = c2 , noch massenhaft "in der freien Wildbahn", also echten Anwendungen brauchen kann, die Gleichungen mit höheren Potenzen ( also a3 + b3 = c3 usw., also allgemein an + bn = cn) aber zu rein gar nichts brauchbar sind. Und hier eben entscheidet sich, ob jemand einE "richtigeR" MathematikerIn ist. Wichtig ist da weniger, ob man das kann, sondern vielmehr, ob man an solcher Zweckfreiheit und solchen Verallgemeinerungspfaden Spaß hat.

Wie man sich die ganze schöne Allgemeinheit kaputt macht

... und wie sie von selbst zusammenschnurrt

Hier sei noch mal auf die schon anderweitig

(
  )

behandelte Flächenmaximierung eingegangen:

"Ein Bauer (um ein wenig angebliche Lebensnähe reinzubringen) möchte eine rechteckige Kuhweide mit den 100 m Draht um geben, die er noch in der Scheune hat. Welches der Rechtecke hat die größte Fläche?"

Die ganze schöne Allgemeinheit (unendlich viele mögliche Rechtecke) macht man sich "am besten" schon durch eine Planskizze von einem Quadrat kaputt.

Zeichnungen sind nämlich ungemein suggestiv: hat man erst mal ein Quadrat gezeichnet

(und eventuell auch noch - was eben nur in einem Quadrat möglich ist - alle Seiten gleich bezeichnet),

so denkt man einfach nicht mehr daran, dass auch andere Rechtecke möglich sind und eines von diesen anderen Rechtecken (also nicht das Quadrat) das gesuchte mit der größten Fläche sein kann.

Die Suche ist beendet, bevor sie überhaupt angefangen hat, denn natürlich gibt es nur ein Quadrat mit dem Umfang 100 m, nämlich das Quadrat mit den Seitenlängen 25 m.

Aber ist es vielleicht sogar das Rechteck mit der kleinsten Fläche - also das glatte Gegenteil von dem, was in der Aufgabe gesucht wird?

Das gesuchte Rechteck habe die Seiten x und z. Damit erhalten wir die Gleichungen:

U = 100 = 2x + 2z

F = x • z

Wir suchen das Rechteck mit maximaler Fläche, also das Maximum der Funktion F = x • z . Diese Funktion hat nun aber den Nachteil, dass da zusätzlich zur Variablen x auch noch die Variable z vorkommt, und mit zwei solchen Variablen können wir überhaupt nicht rechnen.

Nun könnte man natürlich sagen: dann werfen wir halt die Variable z raus, indem wir da einfach einen konkreten Wert einsetzen, also z.B. z = 10.

(SchülerInnen - das meine ich vorwurfslos - sind tatsächlich mal so vorgegangen.)

Dabei übersieht man allerdings allzu leicht, dass auch mit solch einer Entscheidung die Suche wieder vorbei ist, bevor sie überhaupt angefangen hat. Denn wenn die eine Seite 10 m lang ist, bleibt wegen des Gesamtumfangs U = 100 m für die andere Seite nur 40 m.

Und wieder stellt sich die Frage: ist dieses Rechteck mit den Seitenlängen 40 m und 10 m vielleicht sogar das mit der kleinsten Fläche - also das glatte Gegenteil von dem, was in der Aufgabe gesucht wird?

Die mathematische Notwendigkeit steckt aber in der "Randbedingung" 100 = 2x + 2z.

(Bei einer Kuhweide, die mit einem Elektrozaun, also Rand umgeben werden soll, ist der Begriff "Randbedingung" mal wirklich sinnig.)

100 = 2x + 2z bringt die beiden Variablen x und z in eine Abhängigkeit voneinander, so dass wir die uns unliebsame Variable z in Abhängigkeit von x ausdrücken können:

z = 50 - x

Wohlgemerkt: das ist eine der festen Vorgaben der Aufgabe und nicht unsere selbstherrlich-willkürliche Wahl.

Dieses "z = 50 - x" können wir nun aber in F = x •  z einsetzen und erhalten:

F = x • (50 - x) = 50x - x²

Unser Ziel ist erreicht, die Gleichung

F = 50x - x²

enthält nur noch die eine Variable x, und damit können wir problemlos rechnen.

Deshalb spricht man hier auch von einer "Zielfunktion".

Mittels Ableitung

(die Rechnung spare ich mir hier)

erfährt man nun, dass diese Zielfunktion F = 50x - x² (und damit die Fläche) ihr Maximum für x = 25 hat, womit auch z = 25 gilt.

Also gilt eben doch, was der eine oder andere von Anfang an geahnt haben mag: dass eben gerade das   Quadrat unter allen möglichen Rechtecken dasjenige mit der größten Fläche ist.

Das meine ich mit "... und wie [die Allgemeinheit] von selbst zusammenschnurrt": die Aufgabe war von Anfang an "pseudo-allgemein", in Wirklichkeit gibt es unter all den möglichen Rechtecken nämlich nur eins, das eine maximale Fläche hat, nämlich eben das Quadrat.

Dass das Quadrat die größte Fläche hat, ist von Anfang an entschieden, nur merken wir Menschen es vielleicht erst nach langer, manchmal auch unüberschaubarer, wenn auch logischer Rechnung.

(Wohlgemerkt: das "Anwendungsproblem" hat die Lösung verborgen, nicht irgendwelche böswilligen MathelehrerInnen!)

Wundersam erscheint das allemal: woher wusste das Quadrat, dass es sich unter all den möglichen Rectecken so vordrängeln musste?

(vgl.   )

Hier stellt sich sogar eine regelrecht philosophische Frage: wenn wir das Quadrat erst am Ende herausfinden, woher wissen wir dann (können wir es wissen), dass es von Anfang an als Sieger des Rennens feststand?:

• Wird das Quadrat nicht vielleicht doch erst durch unsere Rechnung zum Sieger?

• Wird Mathematik (bzw. werden mathematische Lösungen)

  • erfunden (entstehen erst durch die Rechnung)

  • oder entdeckt (sind schon vorher da)?

• Geht die Sonne auch dann auf, wenn keiner zuschaut?

War es also doch nicht so falsch (wie oben dargestellt), von Anfang an von einem Quadrat auszugehen???

Die Antwort ist ein eindeutiges "Jein":

• es hätte ja auch ein anderes Rechteck als das Quadrat die maximale Fläche haben können, und mit der verfrühten Einschränkung auf das Quadrat hätten wir dieses andere Rechteck endgültig übersehen;

• unsere Intuition hätte uns - wie so oft - täuschen können;

• und dennoch war unsere Intuition offensichtlich nicht die schlechteste: der Mensch scheint zu ahnen, dass

  • zwischen "sehr lang, dafür aber auch sehr schmal"

  • und "sehr kurz, dafür aber auch sehr breit"

  • das ausgewogene Mittelmaß (also das Quadrat) die günstigste Möglichkeit ist.