Was, zum Teufel, soll

• nach dem

(wie derzeit weltweit modern)

penetrant bunt-bewegten Intro

• an dem pixeligen Schwarz-Weiß-Bild die ach so bedeutsame "breaking news" sein?!

  sieht doch so aus, als wenn ein minimalistischer moderner „Künstler“

(vgl. das erzreaktionäre Buch  )

rein zufällig, also ohne Sinn & Verstand

(und sowieso ohne alles handwerkliche „Können“)

massenhaft schwarze Tropfen auf eine Leinwand hat tröpfeln lassen

(vgl. )

und das Ergebnis großspurig zur „Kunst“ erklärt hat

(die die Schickeria dann sicherlich auch brav für teures Geld als Statussymbol oder Anlageobjekt kauft;

nebenbei: mein Kunstlehrer hat mal gesagt: "Kunst ist, wo kein Hubschrauber mehr landen kann", und überhaupt reicht es oft, ein möglichst großes Bild in einem ordentlichen Rahmen an die Wand zu nageln, und schon macht es Eindruck:

).

Wie es sich für richtige „Kunst“ gehört, kann man in auch so ziemlich alles rein(!)interpretieren:

„Die Clustering-Illusion (von englisch cluster ‚Häufung‘) beschreibt die menschliche Eigenschaft, zufälligen Mustern, die in ausreichend großen Datenmengen zwangsläufig vorkommen, Bedeutungen zuzuschreiben.“
(Quelle: )

Oder

„Der Künstler dekonstruiert mit seiner Punktwolke mutig das kausale Denken und damit die den Menschen versklavende kapitalistische Logik.“

Mit der „Tröpfeltechnik“ ähnelt das Bild Werken des „Pointillismus“, die aus massenhaft einzelnen Punkten zusammengesetzt sind wie z.B. in .

Aber dieses scheinbar rein zufällig hingekleckste Bild ist nur ein Ausschnitt aus dem Bild

(George Seurat: Tour Eiffel).

Bei "hinreichend großer Datenmenge" (s.o.), nämlich dem ganzen Bild, wird der Ausschnitt also als konkretes Detail des Eiffelturms, nämlich als dessen Spitze, erkennbar.

Was an auffällig ist, wird deutlich(er), wenn man es mit dem tatsächlich rein zufällig erstellten Bild vergleicht.

Um diesen Vergleich zu vereinfachen, hier nun beide Bilder direkt nebeneinander:

Ich hoffe, dass spätestens hier klar wird:

• in Bild 2 wirken die Punkte tatsächlich zufällig verteilt, d.h.

  • es sind zwar einzelne mehr oder weniger regelmäßige Teilstrukturen wie z.B. (vergrößert  ) erkennbar,

  • aber keine wiederkehrenden Muster; 

• in Bild 1 hingegen deuten sich regelmäßige Muster an, nämlich diagonale Strecken:

Könnte es sein, dass wir senkrechte und waagerechte Strecken leichter erkennen?:

Angenommen mal, Bild 1 wäre von einem Künstler geschaffen worden. Dann läge der Verdacht nahe, dass er

• die Punkte nicht rein zufällig auf die Leinwand getröpfelt,

• sondern ab und zu absichtlich regelmäßige Strukturen (Strecken) angedeutet hätte.

„angedeutet“, weil die Strecken nie durchgehend, sondern immer wieder unregelmäßig durchbrochen sind.

Aber all das ist nur ein Verdacht, da natürlich auch Regelmäßigkeiten wie z.B.

rein zufällig entstehen können

(und zwar mit derselben Wahrscheinlichkeit wie jede andere [zufällig aussehende] Punkteanordnung).

„Wer am Ende ist, kann von vorn anfangen,
denn das Ende ist der Anfang von der anderen Seite.“
(Karl Valentin)

Wenn ab und zu regelmäßige Muster (Strecken) enthält, ist das ja schön (?) und gut, wird dadurch allerdings noch lange nicht der Titel verständlich.

Um das zu klären, müssen wir ganz an den Anfang zurückspringen

(und später nach einem ellenlangen Umweg zum Ende, also , zurückkehren):

1. : das mathematische Teilgebiet der "Zahlentheorie"

• beschäftigt sich ausschließlich mit den einfachsten, nämlich den positiven ganzen ("natürlichen") Zahlen

• und ist doch eines der schwierigsten mathematischen Teilgebiete, weil erstaunlicherweise
  • simple Vermutungen oftmals (wenn überhaupt)
  • nur teuflisch schwierig zu beweisen oder widerlegen sind.

Wohl gerade wegen dieser "Schizophrenie" hat Carl Friedrich Gauß, „der Fürst der Mathematik“, gesagt:

(… und die Primzahlen sind die Königinnen der Zahlentheorie!)

2. gibt es eine Hierarchie der natürlichen Zahlen

(wobei der Vergleich allerdings hinkt: nicht die zusammengesetzten Zahlen „tragen“ die Primzahlen, sondern umgekehrt):

1 + 1 = 2 ; 2 + 1 = 3; 3 + 1 = 4 … 1000 + 1 = 1001 …

• Primzahlen nennt man alle natürlichen Zahlen, die
• größer als 1 (also ab 2)
• und nur durch 1 und sich selbst (ohne Rest) teilbar sind:

"[...] Primzahl (von lateinisch numerus primus ‚erste Zahl‘) [...] Dabei bedeutet primus speziell „Anfang, das Erste (der Dinge)“, sodass eine »Anfangszahl« gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann."
(Quelle: )

• alle anderen natürlichen Zahlen (außer 1 ) nennt man zusammengesetzte Zahlen, da man sie als Produkte mehrerer Primzahlen schreiben kann:

Z.B. 6 = 2 • 3 und 18 = 2 • 3 • 3 .

Man könnte also sagen:

• die 1 ist das Urelement Wasserstoff , aus dem alle anderen Elemente durch Kernfusion entstanden sind;
• die Primzahlen sind die „unteilbaren“ Atome /  Elemente  ,
• die zusammengesetzten Zahlen sind Moleküle (hier Wasser), die aus den Elementen ( Primzahlen ) zusammengesetzt sind.

Die Tatsache, dass alle (!) Nicht-Primzahlen aus Primzahlen zusammengesetzt werden können, nennt man den (bewiesenen!)

„Fundamentalsatz der Arithmetik“,

womit seine enorme Bedeutung für die Zahlentheorie deutlich wird.

4. : Euklid hat bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

(Zu diesem Beweis siehe Der Beweis gehört unbedingt in Schulen, gerade weil er so aberwitzig ist!)

5. : selbstverständlich suchen die Mathematiker nach einer Regel, nach der die Primzahlen verteilt sind. Ideal wäre da eine (einzige und zudem möglichst einfache)  Formel, mit der man jede der unendlich vielen Primzahlen berechnen könnte.

Wenn man dann z.B.

Schauen wir uns also mal an, wie die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt sind. Wir beginnen dazu der Einfachheit halber mit den ersten acht natürlichen Zahlen:

Nun 

• wird die 1 von Mathematikern sowieso nicht als Primzahl angesehen

• und ist die 2 eine ganz besondere Primzahl:

  • sie ist in der Tat eine Primzahl, weil sie nur durch 1 und sich selbst (also 2 ) teilbar ist

(kleinere Primzahlen als 2 , aus denen sie zusammengesetzt sein könnte, gibt es ja auch gar nicht);

• sie ist die einzige gerade Primzahl, denn alle anderen geraden Zahlen sind
  • nicht nur durch 1 und sich selbst teilbar

(dann wären sie ja doch Primzahlen),

• sondern als gerade Zahlen zusätzlich auch noch (mindestens) durch 2  .

Alle weiteren geraden Zahlen (4, 6, 8 …) sind also zusammengesetzte Zahlen:

Es folgt:

• mindestens die Hälfte aller natürlichen Zahlen

(nämlich alle geraden Zahlen außer der 2)

sind zusammengesetzte und somit keine Primzahlen,

• und

(wieder außer der 2)

nur ungerade Zahlen können

(müssen aber nicht)

Primzahlen sein.

Wenn wir nun aber in der Liste die 1 und die 2 mal weglassen, bleiben .

Wegen dieses einfachen Musters vermuten wir die einfache Regel:

 Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen wechseln sich in alle Ewigkeit ab …

Nach dieser Regel müsste die nächste Zahl, also die 9 , eine Primzahl sein - ist sie aber nicht, denn 9 = 3 • 3.

… womit die ganze gerade erst vermutete Regel an einem einzigen Beispiel (der 9 ) gescheitert und damit endgültig falsch ist.

Und noch eines können wir folgern:

• wenn alle geraden Zahlen (außer der 2) zusammengesetzte Zahlen sind
• und (wieder außer der 2) alle Primzahlen ungerade Zahlen sind,
• dann muss zwischen zwei Primzahlen (außer der 2 und der 3) immer mindestens eine gerade und damit zusammengesetzte Zahl liegen.

Anders gesagt: Primzahlen (außer der 2 und der 3) können nie direkt nebeneinander liegen.

Primzahlen aber, zwischen denen eine einzige (gerade) zusammengesetzte Zahl liegt, nennt man "Primzahlzwillinge" (s.u.).

Beispiele für solche Primzahlzwillinge sind in

Und für die ersten hundert natürlichen Zahlen:

Auf der Suche nach einer möglicherweise vielleicht vorhandenen Regel für das Auftreten von Primzahlen schauen wir uns nun mehr natürliche Zahlen an, nämlich z.B. die ersten hundert.

Schon bei diesen nur hundert Zahlen ergibt sich allerdings ein Problem, das unten noch wegweisend werden wird:

es gelingt uns nämlich nicht, sie übersichtlich

(z.B. auf einem DIN-A4-Papier im Querformat)

nebeneinander aufzuschreiben:

• entweder reicht der Platz nicht für alle 100 Zahlen:

• oder die Zahlen sind unleserlich klein: ,

• oder wir schreiben die hundert natürlichen Zahlen auf einen langen Papierstreifen. Allerdings können wir da

  • immer nur einen sich bewegenden Ausschnitt

,

• aber nicht alle 100 Zahlen in aller Seelenruhe gleichzeitig überblicken.

---

Kleines Zwischenspiel:

kein Mensch ist in der Lage, in dem langen Streifen

irgendeine Ordnung zu entdecken, aber alles wird ganz einfach, wenn wir den Streifen zerschneiden und die Schnipsel untereinander (zweidimensional) anordnen:

Da ist dann plötzlich

(wenn auch arg pixelig)

der amerikanische Präsident Abraham Lincoln erkennbar.

---

Schreiben wir also die ersten hundert natürlichen Zahlen jetzt mal in mehreren gleichlangen Zeilen untereinander bzw.

(umständlich gesagt)

in der „ersten Schlangenform“

auf:

Oder kurz:

(… was nun endlich gut lesbar auf eine DIN-A4-Seite passt

  ,

weil wir jetzt die beiden Dimensionen [Breite und Höhe] der Seite ausnutzen.

Wenn wir jetzt noch die Primzahlen und die zusammengesetzten Zahlen markieren, erhalten wir

.

Die Frage nach einer Regel dafür, wie die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt sind, läuft hier erstmal darauf hinaus, unabhängig von den einzelnen Zahlen ein optisches Muster zu erkennen:

Insbesondere fällt da die dritte Spalte von links auf, also :

• zwar stehen da leider nicht

(was für eine Regel doch sehr schön wäre)

ausschließlich Primzahlen,

• aber immerhin doch überdurchschnittlich viele, nämlich sieben von zehn, und drei davon sogar direkt untereinander, nämlich

(jetzt wieder mit Zahlen)

.

In der Tat sind 3 , 13 und 23 allesamt Primzahlen, aber warum stehen sie übereinander?: weil

• in jeder Zeile zehn Zahlen stehen

• und dann darunter die nächste Zeile folgt,

• wir also Zeilensprünge nach dem Zehnersystem vorgenommen haben

(alle Zahlen mit derselben Endziffer [also z.B. auch 4, 14 und 24 ] stehen untereinander).

Wir hätten aber genauso gut z.B. nach dem Zwölfersystem vorgehen, also nach jeweils zwölf Zahlen einen Zeilensprung machen können

,

und schon

• stünden 3, 13 und 23 nicht mehr direkt untereinander,

• dafür aber jetzt plötzlich , also sogar fünf Primzahlen

(die aber im Zehnersystem nicht untereinander stehen).

Die zweidimensionale Anordnung in gleichlangen Zeilen ist also nicht geeignet, eine Regel für das Auftreten von Primzahlen zu finden.

---

Kurz zurück zu : wir hatten da den Streifen

in 12er-Schnipsel zerschnitten und diese untereinander gelegt.

Wenn wir den Streifen aber in 10er-Schnipsel zerschneiden und diese untereinander legen, ergibt sich  , und da ist kein Lincoln mehr erkennbar. 

---

Jetzt  sei es endlich verraten: die Mathematiker haben

• in den letzten 2000 Jahren

  • anhand der Primzahlen viel über die natürlichen Zahlen

  • und auch viel über Primzahlen herausgefunden

(vgl. das phantastische populärwissenschaftliche Buch ),

• aber trotz unendlicher Bemühungen noch keine Formel gefunden, mit der man jede der unendlich vielen Primzahlen berechnen könnte.

 Könnte es also sein,

• dass
  • es solch eine Formel zwar gibt

(nur sie kennt?),

• sie aber derart kompliziert ist, dass die Mathematiker sie vielleicht nie finden werden

(die Mathematiker also einfach zu dumm sind),

• dass
  • es solch eine Formel nicht gibt,
  • die Primzahlen also nicht nach einer Regel, sondern rein zufällig verteilt sind,
• oder dass die Existenz einer Primzahl-Formel vielleicht eine jener von Kurt Gödel als möglich gezeigten Vermutungen ist, die

(wie die Existenz des lieben Gottes)

niemals bewiesen, aber auch nicht widerlegt werden können, also grundsätzlich unentscheidbar sind.

(Schlimmer noch: solange nicht ein Beweis oder eine Widerlegung vorliegt, werden wir nicht erfahren, ob solch eine Vermutung unentscheidbar ist und somit alle Beweis- oder Widerlegungsversuche verlorene Liebesmüh‘ sind. Vgl. .)

Es ist aber noch ein zweiter Grund dafür denkbar, dass nicht entschieden werden kann, ob die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen zufällig : echter Zufall lässt sich niemals beweisen, denn um ihn zu beweisen, müsste man den Zufall paradoxerweise mit einer Regel erfassen.

Wenn also die Primzahlen tatsächlich zufällig verteilt sein sollten, werden wir das nie erfahren - und werden Mathematiker wohl ewig versuchen, eine Regel zu finden. Erst wenn sie diese gefunden hätten, wäre der Zufall ausgeschlossen.

Schon seit Langem haben sich die Mathematiker

• nicht nur gefragt, wo in der Reihe der natürlichen Zahlen die Primzahlen auftauchen,
• sondern auch, wie häufig sie dort auftauchen.

Ein erstes Beispiel:

Kürzer:

Noch kürzer:

In ist nur schwerlich ein Trend zu entdecken:

• wenn überhaupt, so ist es nur ein schwacher Trend, dass die y für wachsende x, also von oben nach unten kleiner werden (anfangs 4, am Ende 1),
• schon gar nicht kann von einer eindeutigen Regel die Rede sein: die y werden nicht immer kleiner, da sie zwischendurch sogar zwei Mal von einer 2 doch wieder auf eine 3 ansteigen.

Wo der Trend aber so schwach ist: wieso sollte man da überhaupt noch weiterdenken und in sehr große Zahlen ausgreifen?

Zweites Beispiel:

wir schauen uns die ersten Millionen natürlichen Zahlen an,

• so dass jetzt in jeder Zeile hunderttausend Zahlen stehen:

Hier wird's schön abstrakt:

• wir können die Zeilen nicht aufschreiben, da wir nicht jeweils hunderttausend Zahlen nebeneinander auf ein Blatt Papier bekommen würden, und hunderttausend Zahlen lange Streifen wären sowieso sehr unübersichtlich;

• außerdem sind wir viel zu faul, Millionen Zahlen aufzuschreiben;

• selbst wenn wir alle Millionen Zahlen aufschreiben würden, bliebe noch immer das viel größere Problem, die Primzahlen in jeder Zeile zu finden und damit dann auch herauszufinden, wie viele Primzahlen in jeder Zeile vorkommen.

Aber für das, was wir im Folgenden vorhaben, müssen wir

• nichtmal wissen, wo genau Primzahlen liegen,
• sondern nur, wie viele in bestimmten Intervallen liegen, und das lässt sich leicht z.B. mit der Internetseite herausfinden.

Damit ergibt sich

In hat sich der oben noch schwache Trend durchgesetzt, dass in den aufeinander folgenden Zeilen immer weniger Primzahlen vorkommen.

(Es bleibt allerdings zumindest vorerst ein Trend, denn wir wissen nicht, ob es für mehr als eine Millionen Zahlen nicht doch wieder Ausnahmen gibt.)

Halten wir also mal die Vermutung fest:

je größer die Anzahl der natürlichen Zahlen, desto weniger Primzahlen kommen “im Schnitt“ hinzu.

Das aber heißt auch:

je größer die Anzahl der natürlichen Zahlen, desto weiter liegen die Primzahlen “im Schnitt“ auseinander.

Die Einfügung "im Schnitt" ist nötig, weil eventuell wieder "nur" ein Trend mit Ausnahmen vorliegt, denn es scheint trotz des Trends immer wieder (unendlich viele) Primzahlzwillinge (s.o.) zu geben, die sehr nah beieinander liegen.

Mit "scheint" haben wir uns aber schon wieder die nächste Unwägbarkeit eingehandelt:

"Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die Primzahlzwillings-Vermutung besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Sie ist eine der großen offenen Fragen der Zahlentheorie."
(Quelle: )

Zwischendurch mal eine Veranschaulichung dafür, dass ein durchgehender Trend bestehen kann, auch wenn es immer wieder Ausnahmen gibt:

:

• die Stäbe liegen offensichtlich von links nach rechts "im Schnitt" immer weiter auseinander,

• obwohl zwischendurch immer wieder zwei blaue Stäbe (Primzahlzwillinge) nah beieinander liegen.

Nach all den windelweichen Formulierungen, nämlich

• unbewiesenen Vermutungen,

• „Trends“ (mit Ausnahmen)

• und „im Schnitt“,

nun aber endlich mal „richtige“ Mathematik, nämlich etwas Bewiesenes

(und damit ein Highlight der Zahlentheorie, wenn nicht gar der gesamten Mathematikgeschichte).

Schauen wir uns dazu nochmals die Verteilung der Primzahlen unter den ersten hundert natürlichen Zahlen an:

Jetzt soll es im Gegensatz zu oben allerdings um die rechte Tabelle gehen, also um

.

Wenn man diese Zahlen in ein Koordinatensystem einträgt, erhält man

(die y-Achse hat einen größeren Maßstab als die x-Achse, d.h. der Graph ist nach oben gestreckt).

Am Beispiel :

Unter den ersten 80 natürlichen Zahlen (1, 2, 3 ... 78, 79, 80) sind also 22 Primzahlen.

Schauen wir uns nun genauer an:

• da immer neue Primzahlen hinzukommen, liegt jeder neue Punkt Ο (weiter rechts) höher als die alten Punkte;

• die Punkte liegen also auf einer ansteigenden Linie:  ;

• diese Linie ist aber nicht hübsch geschwungen, sondern "eckig": ;

• wenn Mathematiker sowas sehen, denken sie sofort an einen Funktionsgraphen, der aber gerade oder hübsch geschwungen sein sollte;

• also versuchen sie es mit einer Näherung ("Abschätzung"; s.u.), die z.B. so aussehen könnte: .

Es wundert einen schon gar nicht mehr, dass es der große Carl Friedrich Gauß höchstpersönlich war, der 1793 die Vermutung aufgestellt hat, dass die Funktion mit der  Funktionsgleichung eine gute Näherung ist

(auch wenn das für die ersten hundert natürlichen Zahlen noch nicht so aussieht):

Für Laien ist die Funktionsgleichung sicherlich ein Buch mit sieben Siegeln, und zwar insbesondere, weil da im Nenner ein “natürlicher Logarithmus“ vorkommt.

(Aber Schüler ab der 10. Klasse sollten den Logarithmus kennen, wobei insbesondere der „natürliche“ Logarithmus für sie allerdings meistens arg „unnatürlich“ bleibt,

• da der natürliche Logarithmus so ist, denn ln (x) ist diejenige (welche???) Zahl, mit der man e potenzieren muss, um x zu erhalten

[alle Klarheiten beseitigt?]

• wobei zu allem Überfluss auch noch e = 2,718281828459045235360287471352…ist.)

Dennoch ist

(z.B. im Vergleich mit )

relativ einfach, nämlich

• ein simpler Bruch

• mit dem simplen Zähler x

• und dem zugegebenermaßen nicht mehr ganz so simplen Nenner ln(x).

Aber man muss an der Formel ja gar nicht alles verstehen - außer einer Eigenschaft:

Der Funktionsgraph

• steigt zwar in alle Ewigkeit,

• wird aber trotzdem immer flacher, d.h. er ist eine Rechtskurve, was eben bedeutet: es kommen immer weniger Primzahlen hinzu.

Erstes Beispiel für :

• wir betrachten die ersten hundert natürlichen Zahlen (s.o.):

;

• bedeutet dabei, dass in den ersten 80 natürlichen Zahlen 22 Primzahlen vorkommen;

• mit  ergibt sich hingegen bzw. kurz ;

• es ergibt sich also ein ziemlich großer Fehler von ≈ 18 % .

Zweites Beispiel: wir betrachten die ersten Millionen natürlichen Zahlen (s.o.):

;

• bedeutet dabei, dass in den ersten 1.000.000 natürlichen Zahlen 78498 Primzahlen vorkommen;
• mit der Funktionsgleichung ergibt sich hingegen bzw. kurz y ≈ 72.382 ;
• es ergibt sich also ein inzwischen schon kleinerer, aber immer noch beträchtlicher Fehler von ≈ 11 % .

Wenn überhaupt, so nähert sich also für sehr große x nur quälend langsam der Anzahl der Primzahlen bis x.

(Inzwischen gibt es eine sehr viel bessere, weil schnellere und doch sehr ähnliche Annäherung als , nämlich Vgl. .)

Es ist mir ein Rätsel, wie Gauß auf die Gleichung gekommen ist.

Aber selbst ihm ist es nicht gelungen, seine Vermutung zu beweisen. Sondern dieser Beweis konnte erst hundert Jahre später durch Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin erbracht werden (vgl. ).

(Die verschiedenen Beweise sind derart kompliziert, dass sie in der Schule wohl kaum behandelt werden können - und also auch hier nicht auftauchen):

Es ist also seitdem bewiesen und somit keine Vermutung mehr, sondern ein mathematischer "Satz":

nähert sich für sehr große x immer mehr der Anzahl der Primzahlen bis zur Zahl x an.

(Im selben Augenblick, in dem eine Vermutung bewiesen ist, ist sie schon keine Vermutung mehr, sondern ein „Satz“:

Vgl. den „Satz des Pythagoras“: Pythagoras hat angeblich als Erster bewiesen, was bis dahin nur eine Vermutung war.)

Wenn wir nun die Anzahl der Primzahlen bis zur natürlichen Zahl x kurz als bezeichnen

(wobei mit dem Buchstaben hier also ausnahmsweise mal nicht die Kreiszahl ≈  3,14159265358979 gemeint ist),

so lautet der "Satz"

nähert sich für sehr große x immer mehr an:

schmiegt sich also für sehr große x immer mehr an an.

In mathematischer Schreibweise:

Solch einer abstrakten Gleichung muss man aber eine Bedeutung geben

(die ein "richtiger" Mathematiker natürlich sofort erkennt):

• für sehr große x nähert sich der Bruch immer mehr der 1 an;

• woraus folgt:

  • die Zahlen und werden annähernd gleich groß,

  • also ≈ ,

  • d.h. die Funktion kommt unendlich nah.

(Ich ahne schon, dass "richtigen" Mathematikern bei solch laxer umgangssprachlicher Umschreibung des Limes schlecht wird. Aber ich versuche in diesem Essay ja nur so zu sprechen, dass sogar Laien oder Schüler ab der 8. [!] Klasse es verstehen können.)

Wir hatten schon gesehen, dass diese Annäherung quälend langsam ist

(bei x = 1.000.000 ist der Fehler noch immer ca. 11 %).

Aber für gigantisch große x geht der Fehler eben doch gegen 0.

Und Mathematikern ist es sowieso erstmal herzhaft egal, ob die Annäherung langsam oder schnell voran geht, Hauptsache, „am Ende“ findet sie hautnah statt.

Auch der mathematische Satz

nähert sich für sehr große x immer mehr an

bedarf wieder einer (doppelten) Deutung:

1. ist es doch schon erstaunlich, dass

• die relativ einfache Gleichung
• etwas eigentlich unfassbar Kompliziertes annähert, nämlich

  • die Anzahl der Primzahlen unter den ersten x natürlichen Zahlen,

  • obwohl man gar nicht weiß, wo diese (unendlich vielen!) Primzahlen liegen!

(Das ist etwa so, als wenn wir

• nicht wüssten, wo im Wald die Räuber sind, die wir also auch gar nicht sehen,

• aber sehr wohl wüssten, dass es vorne ganz viele und nach hinten hin immer weniger Räuber sind: .

Und genau solch eine aberwitzige Denkweise ist "typisch Mathematik".)

2. zeigt der Satz aber vor allem,

Nebenbei: der mathematische „Satz“

nähert sich für sehr große x immer mehr an

ist neben Euklids „Satz“, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, der wohl wichtigste Primzahlsatz und wird deswegen

• nicht nur als „irgendein“ Primzahlsatz,

• sondern als „der“ Primzahlsatz bezeichnet

(wohl weil mit ihm zum ersten Mal eine Regel für das Auftauchen von Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen bewiesen werden konnte).

Viele Leute kritzeln bei mehr oder minder langweiligen Telefonaten und Sitzungen (auch Vorlesungen und Unterrichtsstunden) auf einem Zettel rum.

(Vgl. etwa "Die Kritzelei der Woche" und .)

 Und so hat dann auch der bedeutende Mathematik Stanisław Ulam

(vgl. )

1963 mal während eines wissenschaftlichen Vortrags aus Langeweile (drumhe-)rumgekritzelt

(Quelle: ):

• Ich vermute, dass Ulam auf kariertem Rechenpapier rumgekritzelt hat, denn sonst hätte er z.B. für die Zahlen von 1 bis 100 wohl kaum , sondern hinbekommen, und dann wäre er vermutlich nie zu der frappierenden Erkenntnis gekommen, um die es gleich gehen wird.

• Warum aber hat Ulam die Zahlen überhaupt spiralförmig angeordnet?:

• Ohne jede Absicht, also unbewusst

(vgl.

• "Der französische Ausdruck Écriture automatique (dt.: Automatisches Schreiben, Automatischer Text) bezeichnet eine Methode des Schreibens, bei der Bilder, Gefühle und Ausdrücke (möglichst) unzensiert und ohne Eingreifen des kritischen Ichs wiedergegeben werden sollen. Das Schreiben erfolgt dabei klassischerweise als manuelles Schreiben mit einem Schreibgerät. Unter Verzicht auf Absichtlichkeit und Sinnkontrolle dürfen sowohl Sätze, Satzstücke, Wortketten als auch einzelne Wörter [und eben auch Zahlen] geschrieben werden. Was ansonsten in Hinsicht auf Orthografie, Grammatik oder Interpunktion als fehlerhaft gilt, kann unter diesen Bedingungen erwünscht und zielführend sein. Wichtig ist allein die Authentizität des Einfalls."

  (Quelle: )

• "Brainstorming ist eine von Alex F. Osborn 1939 entwickelte und von Charles Hutchison Clark modifizierte Methode zur Ideenfindung, die die Erzeugung von neuen, ungewöhnlichen Ideen in einer Gruppe von Menschen [oder auch bei Einzelnen] fördern soll. Er benannte sie nach der Idee dieser Methode, nämlich using the brain to storm a problem (wörtlich: »das Gehirn verwenden, um ein Problem zu stürmen«)."

  (Quelle: ; Ulams Kritzelei hatte aber vermutlich nichtmal den Zweck, eine Idee zu finden oder "ein Problem zu stürmen")?

• Weil viele Leute (auch Laien) ihre Kritzeleien mit Grobstrukturen (u.a. Spiralen) anfangen, die dann sukzessiv

(je länger ein Telefonat, ein Vortrag … dauert, desto feiner)

mit feineren Ornamenten gefüllt werden?

• Oder weil es Ulam klar war (wie es auch jeder Laie wüsste), dass er die Zahlen sowieso nicht nebeneinander aufschreiben konnte?

(Vgl. oben

.)

• All diese Fragen laufen auf die eine Frage hinaus, ob es der mathematischen Genialität eines Ulams bedurfte, um zu seiner aufregenden Erkenntnis (s.u.) zu kommen. Oder hätte das auch jeder Laie schaffen können?:
• An dem Zwischenstand kann man (konnte wohl auch Ulam) noch nicht erkennen, was hinter den Zahlen lauert. Sondern der wissenschaftliche Vortrag muss wohl so langweilig gewesen sein, dass Ulam bis z.B.

(oder einfach, bis das Blatt voll war oder dreistellige Zahlen kaum mehr in die Kästchen passten)

 weitergemacht hat.

• Bis hierhin hat Ulam (vermutlich unbewusst) das mathematisch häufig produktive Motiv der Schlange gewählt

(vgl. ):

→

Das "Aufwickeln" der Zahlen um die hat einen enormen Vorteil: es ist unabhängig vom Zahlensystem

(s.o. das Zehner- und Zwölfersystem)

so dass auch vielleicht vorkommende (Primzahl-)Muster unabhängig von diesen Zahlensystemen sind. 

(Im Nachhinein bereue ich es, 10 • 10 = 100 Zahlen, also genommen und damit doch wieder das Zehnersystem suggeriert zu haben. Besser wären da z.B. 8 • 8 = 64 Zahlen, also , wobei keiner an das Achtersystem denken würde; oder vielleicht noch besser nichtquadratisch, also z.B. .

Entscheidend ist: man kann die Zahlen so oft um die 1 wickeln, wie man lustig ist, also z.B. auch 17,5 mal.)

• Als Ulam die Seite voll hatte, musste er das automatische Aufschreiben von Zahlen beenden und, wenn er irgendwie weitermachen wollte, seine Aufmerksamkeit in eine andere Richtung lenken.

Wie oben schon gesagt, neigen Leute bei Telefonaten, Vorträgen ... dazu, das anfangs grob erstellte Muster mit immer feineren Ornamenten auszumalen.

Ulam hat dann das feinere Ornament "Primzahlen" gewählt und diese markiert:

• angenommen mal, Ulam hätte aus Platzgründen nur aufgeschrieben und dann die Primzahlen markiert: . Aufgrund der wenigen (Prim-)Zahlen wäre noch nichts Auffälliges erkennbar gewesen - und deshalb frage ich mich, ab welchem Zeitpunkt Ulam sein -Erlebnis haben konnte.

• Eine erste Ahnung mag Ulam bei beschlichen haben: "aller guten Dinge sind drei" bzw. "ab drei scheint etwas eine Regel zu sein": , woran immerhin schon bemerkenswert ist, dass da auffallend viele Primzahlen auf diagonalen Linien liegen.

Wenn hier aber eine strikte Regel vorläge, müssten auch die Zahlen auf den Fortsetzungen der roten, hellblauen und hellgrünen Diagonale Primzahlen sein:

• zur roten Diagonale: dann müsste auch 65 eine Primzahl sein - ist sie aber nicht, denn 65 = 13 • 5;
• zur hellblauen Diagonale: dann müssten auch 57 und 91 Primzahlen sein - sind sie aber nicht, denn 57 = 19 • 3 und 91 = 13 • 7;
• zu hellgrünen Diagonale: dann müssten auch 39, 67, 47 und 79 Primzahlen; nun ist zwar 39 keine Primzahl, denn 39 = 13 • 3, aber  47,  67 und 79 sind alle drei Primzahlen!:

Es klingt erstmal enttäuschend: damit zeigten sich gleichzeitig

• eine Regel (auf der hellgrünen Diagonale stehen bis hierhin "viele" Primzahlen).

• aber eben auch mindestens eine Ausnahme von der Regel (39 ist keine Primzahl, denn 39 = 13 • 3).

In der Mathematik ist eine (vermeintliche) Regel aber keine Regel mehr, wenn sie auch nur eine einzige Ausnahme hat.

(Wohlwollender sind da hingegen der Volksmund mit "Ausnahmen bestätigen die Regel" und Juristen mit "im Zweifelsfall für den Angeklagten".

Nebenbei: auch für die rote Diagonale gilt eine "Regel mit Ausnahme [65 = 13 • 5]", denn 101 ist wieder eine Primzahl!: )

• Die ersten hundert natürlichen Zahlen mit den Primzahlen sehen so aus:

• Mag sein, dass auch mal ein Laie stumpf eine Zahlenfolge auf ein Papier kritzelt. Aber man muss doch (wie Ulam) Mathematiker sein, um in dieser Zahlenfolge die Primzahlen zu markieren. Und man sollte die in vorkommenden Primzahlen (er-)kennen, denn eine Überprüfung aller Zahlen von 1 bis 100 auf mögliche Teiler würden doch den meditativen „flow“ des Kritzelns zerstören.

Wenn man aber erstmal bei ist, kann vielleicht auch ein Laie das sich andeutende „Diagonalenmuster“ entdecken. Nur würde er vermutlich sagen: „Ist ja ganz nett, aber was soll‘s?“

Nur ein Mathematiker, der das  anscheinend weitgehend chaotische Auftreten der Primzahlen kennt, wird bei einem sich andeutenden Muster ebenso hellhörig wie skeptisch.

• Ich kann mir nicht vorstellen, dass Ulam sehr viel mehr als 10 • 10 = 100 Zahlen aufgeschrieben hat. Schon bei 100 • 100 =10.000 Zahlen

  • hätte der langweilige wissenschaftliche Vortrag unrealistisch lang sein müssen,

  • wäre ein Blatt Papier zu klein gewesen,

  • hätte Ulam sicherlich nicht mehr alle vorkommenden Primzahlen erkannt und deshalb tausende sehr umständliche Untersuchungen auf mögliche Teiler durchführen müssen.

Nun lebte Ulam in einer Zeit, in der es kaum Computer gab, um Primzahlen zu berechnen, aber es gab mühsamst erarbeitete Primzahltabellen.

Das Platzproblem ließ sich dadurch lösen, dass man

• gar nicht mehr umständlich und platzraubend alle Zahlen aufschrieb,

• sondern nur noch die Primzahlen schwarz markierte

(wenn es nur um das Muster geht, das die Primahlen bilden, ist es ja uninteressant, welche Primzahl wo liegt).

• Für die ersten 10 • 10 = 100 natürlichen Zahlen:

• Für die ersten 100 • 100 = 10.000 natürlichen Zahlen ergibt sich ENDLICH

.

Die Vermutung, dass sich die Primzahlen auf Diagonalen drängeln, scheint sich also zu bestätigen.

.

Daran ist nun dreierlei bemerkenswert:

(nach außen, also für immer größere Zahlen, müsste das Bild immer heller werden);

• hinzu kommen aber viele
  • ebenfalls hellere horizontale und vertikale Linien
  • und sogar dreieckige Flächen:

.

Wie auch immer: Ulam hat wegen eines glücklicherweise schnarchlangweiligen Vortrags als Erster vermutliche Muster in der Verteilung der Primzahlen gefunden.

Die „Schlange“

• muss nicht - wie bei Ulam - so aussehen,
• sondern kann auch soaussehen, womit sich dann dieses Primzahl-Muster ergibt:

Und es muss nichtmal eine Schlange, sondern kann auch ein Dreieck sein:

Oder kurz:

Da fällt es (noch) schwer, ein Muster zu erkennen. Mit sehr viel Phantasie kann man aber vielleicht diese Primzahl-Spalte erkennen

(allerdings wieder mit Ausnahmen, nämlich den zusammengesetzten Zahlen 39 = 13 • 3 und 49 = 7 • 7):

Wenn man aber ein Dreieck mit 1000 Zeilen nimmt, ergibt sich im Vergleich mit Ulams "Schlange" ein sehr viel deutlicheres Primzahl-Muster:

Oder ohne allen Regentropfen-Schnickschnack:

Wenn Ulams Entdeckung 1963 erfolgt ist und auch ziemlich schnell von den Zahlentheoretikern aufgenommen wurde, kann derzeit, also fast 60 Jahre später, kaum mehr von  die Rede sein.

„kaum mehr“ impliziert aber „evtl. doch noch ein bisschen“.

„ein bisschen“ sind jene Nicht-Zahlentheoretiker, die erst jetzt von Ulams Spirale erfahren, aIso Laien (Schüler) - und ich.

Ich habe nämlich überhaupt erst im Jahr 2022 zum ersten Mal gesehen, und das war für mich

(schon wissend, dass da Primzahlen gezeigt werden)

 ein regelrechter Erkenntnisschock:

"Diese kleinen Viecher [Primzahlen] sind wirklich raffiniert
und bilden filigrane Muster !"

Von wegen "raffiniert":

• auf den schwarzen Linien in liegen besonders viele Primzahlen, aber eben auch zusammengesetzte Zahlen (hier weiß);
• neben den schwarzen Linien liegen weniger, aber durchaus auch Primzahlen:

es bleibt (vorerst) ein Rätsel.