ein gestörtes Verhältnis zum Verhältnis

"Denken in Verhältnissen" umfasst sehr viel mehr als nur - wie im folgenden Zitat suggeriert - proportionales Denken.

Immerhin zeigt das folgende Zitat aber, dass nichtmal das eben nur scheinbar einfache proportionale Denken wirklich einfach ist:

"Unter proportionalem Denken wird meist Denken in Verhältnissen verstanden. Es wurde in zahlreichen psychologischen und didaktischen Untersuchungen eingehend erforscht. Dabei zeigte sich u.a., dass ein erheblicher Teil der Schüler bis zum Alter von etwa 15 Jahren große Probleme im Umgang mit Proportionen hat und die allgemeine Intelligenz hoch mit proportionalem Denken korreliert."
(Quelle: )

Nun bin ich ja ausgesprochen skeptisch gegenüber allen mehr oder minder wissenschaftlichen "Untersuchungen", aber nehmen wir folgende Aussage des Zitats doch probeweise mal als Tatsache hin:

"[...] dass ein erheblicher Teil der Schüler bis zum Alter von etwa 15 Jahren große Probleme im Umgang mit Proportionen hat [...]"

(Kaum glauben mag ich aber die Fortsetzung

"[...] dass [...] die allgemeine Intelligenz hoch mit proportionalem Denken korreliert."

Das kommt mir so vor, als dünkten sich die MathematikerInnen wieder mal, [einzige] Sachwalter der Intelligenz zu sein

[und deshalb ist es auch mittels "hoch [...] korreliert" so hübsch mathematisch-allgemeinunverständlich ausgedrückt].)

Wenn also - wie in der Schule ja durchgängig üblich - proportionales Denken weit vor dem 15. Lebensjahr durchgenommen wird, so ist das offensichtlich - zumindest am Zitat gemessen - kilometerweit an den kognitiven Möglichkeiten der Durchschnitts-SchülerInnen vorbei.

Da wird also - so gesehen - etwas durchgenommen und dann auch abgeprüft, was sie meisten SchülerInnen gar nicht "können können", und zwar selbst dann, wenn sie sich noch so sehr anstrengen.

Wenn man das aber nicht tut, überfährt man die SchülerInnen nur - und wundert sich regelmäßig, wie dumm "die Jugend von heute" doch wieder mal ist.

(Immerhin kann also, wer naiv ist, sich jeden Tag aufs Neue wundern!)

Man muss sich nur mal klar machen, was für ein Rattenschwanz allein mit "proportionalem Denken" gemeint ist:

1. linear-proportionale Gleichungen/Funktionen samt (geraden) Graphen,
2. alle Bruchrechnung

(vgl. etwa ),

3. alle Prozentrechnung

(mit 2. und 3. also der Gral der Bildungsbürger, die andauernd beklagen, dass "die Jugend von heute" "nichtmal mehr sowas" kann).

Insbesondere bei 1. und da etwa dem Beispiel f: y = 3x wird zudem klar, dass es nicht nur um konkrete Verhältnisse (z.B. 3 •  4  = 12) geht, sondern auch (und auf die Dauer fast nur) um sehr abstrakte:

• das Dreifache jeder beliebigen Zahl,
• ein Drittel jeder beliebigen Zahl,
• 3 % = ³/₁₀₀ von jeder beliebigen Menge

Und spätestens bei der Prozentrechnung kommen dann typische Fehler zustande wie z.B.:

• wenn ich einen Anfangspreis von 100 € um 3 % senke €
• und dann wieder 3 % drauf schlage,
• so erhalte ich "natürlich" wieder den Anfangspreis 100 €.

Das ist zwar grundfalsch, aber eben doch auch dermaßen grundsuggestiv, dass ich auch selbst zu diesem Fehler neige

(ich falle nur deshalb nicht mehr darauf rein, weil ich weiß, dass die Aufgabe seit Ewigkeiten [gähn!] nur zum Reinlegen von Laien und damit zur Betonung der eigenen Intelligenz dient).

So richtig schön schwierig wird's für viele aber spätestens dann, wenn man Exponentialgleichungen und den Logarithmus einführt, bei denen es - über Proportionalität hinausgehend - verschärft um Verhältnisse geht

(üblicherweise direkt nachdem SchülerInnen überhaupt proportionales Verhalten verstehen konnten).

Schauen wir uns nur einfachste (?) Logarithmen an:

• log ₂ 2   = 1, denn 2¹ = 2            (A)
• log ₂ 4   = 2, denn 2² = 4            (B)
• log ₂ 8   = 3, denn 2³ = 8            (C)
• log ₂ 16 = 4, denn 2⁴= 16           (D)
• ...

Während also die rote Zahl sich jeweils verdoppelt, steigt der Logarithmus jeweils nur um 1, weshalb der Funktionsgraph so aussieht:

Oder wie Peter Geist es schön auf andere Weise formuliert hat:

"[...] wenn ich [auf der y-Achse] gleiche Verhältnisse [2,4,8,16]  in gleichem Abstand [1,2,3,4] darstelle, habe ich eine logarithmische Skala."

Anders gesagt: wenn ich auf der y-Achse jeweils eine Einheit weiter gehe, gehe ich (auf der x-Achse) in Wirklichkeit das Vielfache (im vorliegenden Beispiel das Doppelte) des vorherigen Schritts weiter:

"Das ist ein kleiner Schritt für einen Menschen, ein riesiger Schritt für die Menschheit"
(Neil Armstrong, als er als erster Mensch den Mond betrat):

Das macht alles überschaubarer - und bleibt doch letztlich abstrakt, weil da auf die Dauer gigantische Dimensionen hübsch langsam abspaziert werden: