die (Bruch-)Division: wie oft passt x in y?

Ach, ist mir das peinlich:

1. da verkündige ich seit Ewigkeiten, dass die Bruchdivision eine rein abstrakte Folgerung aus anderen Bruchrechnungsgesetzen sei,

2. und jetzt erst fällt es mir wie Schuppen von den Augen, dass das alles viel einfacher (?) ist.

Zu 1.:

Es sei daran erinnert:

• man dividiert einen ersten durch einen zweiten Bruch,

• indem man den ersten Bruch mit dem KEHRWERT des zweiten multipliziert.

An sich ist das nicht weiter schwierig, sondern man muss es nur stumpf durchführen:

Damit ist die schwierigere Division von Brüchen auf die einfachere (und bereits bekannte) Multiplikation von Brüchen zurückgeführt, und das Gesetz für die Multiplikation von Brüchen besagt, dass man sie auf eine nochmals erheblich einfachere Multiplikation von ganzen Zahlen im Zähler bzw. Nenner zurückführen kann. Also lässt sich weiter rechnen:

=

Aber gelingt es irgendwem, mit irgendeine über die sture Rechnung hinausgehende Anschauung zu verbinden?

Und warum ist das so?:

• man dividiert einen ersten durch einen zweiten Bruch,

• indem man den ersten Bruch mit dem KEHRWERT des zweiten multipliziert.

Wie für ganze Zahlen soll auch für Brüche gelten:  teilt man eine Zahl (ungleich Null) durch sich selbst, so kommt 1 heraus, also                           

 x  :  x  = 1

Ist  nun  x = ,  so   bedeutet  das              = 1    (A)

 

Mit der Bruchmultiplikation können wir schon berechnen:

oder kurz                          (B)

 Vergleicht  man  nun  (A) mit (B),  so  bemerkt  man  anhand  des Umrahmten:

 

 die Multiplikation  bewirkt das gleiche wie die Division .

Oder anders (und nochmals) gesagt:

• man dividiert einen ersten durch einen zweiten Bruch,

• indem man den ersten Bruch mit dem KEHRWERT des zweiten multipliziert.

Nur bleibt natürlich auch diese Herleitung völlig formal-abstrakt, bzw. zumindest mir gelingt da kein anschauliches Verständnis.

Zu 2.:

Und doch geht alles (?)einfacher, wenn man "nur" eben wieder einfach denkt:

Was bedeutet die Division y : x denn anderes als "wie oft passt x in y"?

Also z.B.

10 : 5 bzw. ¹⁰/₅ bedeutet: "Wie oft passt die 5 in die 10?" - nämlich offensichtlich zwei Mal, also

10 : 5 = ¹⁰/₅ = 2

Wenn man sich also an dieses simple "wie oft passt x in y" bei ganzen Zahlen zurückerinnert, kann man es auch auf Brüche übertragen:

10 : ¹/₂ bedeutet also: "Wie oft passt ¹/₂ in 10?" - nämlich offensichtlich 20 Mal, also

10 : ¹/₂ = 20

Nun gilt natürlich auch

10 • 2 = 20,

d.h.

• die Division durch ¹/₂ bewirkt dasselbe

• wie die Multiplikation mit dem KEHRWERT von ¹/₂, also ²/₁ = 2 .

In 2. ist also in der Tat eine Veranschaulichung der Argumentation

 die Multiplikation  bewirkt das gleiche wie die Division .

in 1. gelungen.

Aber hilft das wirklich weiter, nämlich auch in komplexeren Fällen?

Ein Beispiel:

oder kurz

Sieht irgendjemand anschaulich, dass

genau mal in passt?

(Aber das ist nicht nur bei der Bruchdivision typisch. Z.B. unter der Multiplikation kann ich mir ja auch reichlich wenig vorstellen, und überhaupt verlässt einen ja schnell die Anschauung bei Brüchen mit größeren Zählern bzw. Nennern [z.B. ])

Anders gefragt:

• gibt es nun mal nur für ganz einfache Fälle Veranschaulichungen,

• hilft hingegen

(abgesehen von - enorm wichtigen! - groben Abschätzungen der Größenordnung [z.B. ≈ 4] )

in komplexeren Fällen nur noch die sture Anwendung einer letztlich unverstandenen Rechenregel?

Ich sehe noch ein anderes Problem, nämlich die zwei verwirrend unterschiedlichen Formulierungen

• "y durch x"

• "wie oft passt x in y?"

(und sei es schon allein, dass da x und y in umgekehrter Reihenfolge auftauchen, was zum Standardfehler ^x/_y = ^y/_x führt).

Und ich wette fast,

Vgl.