ein ist eine ...

(aber eine ist kein )

In der Statistik/Wahrscheinlichkeitsrechnung werden immer wieder (bis zum Erbrechen) die beiden Modelle bzw. Metaphern "Würfel" und "Urne" (:-) bemüht.

Warum eigentlich, d.h.

• was leisten sie besonders gut und
• (das sollte man auch immer fragen) wo sind ihre (gefährlich irreführenden) Grenzen?

Der Würfel hat viele entscheidende Vorteile:

1. ist er als vollkommen rechtwinkliger Körper leicht herzustellen,
2. kann man wegen der simplen Form schnell Abweichungen (dass ein Würfel gezinkt ist) erkennen,
3. sind industriell hergestellte Würfel (fast) perfekt, also laplace-verteilt,
4. hat er standardisiert viele, nämlich sechs Seiten, und ist damit relativ übersichtlich,
5. ist er bei vielen Spielen (pars pro toto ) verbreitet, d.h. jedeR kennt ihn und hat mindestens einen zu Hause,
6. hat der "Normwürfel" immer gleich viele, nämlich sechs Seiten, d.h. wenn beispielsweise eine 5 gewürfelt wurde, verschwindet sie nicht etwa, sondern steht bei den Folgewürfen immer wieder zur Verfügung.

Das fällt einem schon gar nicht mehr auf, und deshalb erscheint der Gedanke, dass eine Zahl nach einem Wurf verschwinden könnte, geradezu absurd bzw. (dem Würfel) widernatürlich

(wir werden uns unten aber Würfel "bauen", bei denen Seiten "verschwinden").

Umso wichtiger wird es aber im Folgenden, nämlich beim Vergleich mit der Urne.

Der Würfel ist also - soviel sei schon erwähnt - im Gegensatz zur Urne ein ziemlich eindeutiges Ding

(solange er nicht gezinkt ist).

Warum aber, um Gottes willen, haben die MathematikerInnen als zweites Modell bzw. zweite Metapher ausgerechnet eine eingeführt?:

sie brauchten ein "Gerät", bei dem - im Gegensatz zum Würfel - Zahlen (Kugeln ...), die einmal vorkamen, endgültig verschwinden und somit später nie wieder auftauchen können. Und dieses Verschwinden sollte möglichst einfach zu bewerkstelligen sein

(also nicht, wie wir unten noch beim Würfel sehen werden, mit größten "Verrenkungen" verbunden sein).

Und am besten sollte das Modell natürlich wieder (wie der Würfel) ein Alltagsgegenstand, d.h. leicht zu beschaffen und allgemein bekannt sein

(die besten Modelle sind noch immer jene, die geradezu "archetypisch" sind; vgl. ).

Ein Beispiel, bei dem man einem "Gerät" etwas entnimmt, es aber nicht zurücklegt, ist

An solch eine Lottomaschine ist aber nicht leicht zu kommen, und deshalb reduzieren wir sie aufs Wesentliche:

(solch ein Eimer hat zudem den Vorteil, dass wir in einem späteren Schritt Dinge doch wieder leicht in ihn zurück legen können).

Die weitere Abstraktion eines Eimers ist , und das (so schön im zweidimensionalen Schnitt durchsichtig) haben MathematikerInnen nunmal "Urne" genannt, obwohl das Urnen-Bild nur schwerlich passt:

1. wird üblicherweise in eine Grab-Asche nur eingefüllt, aber nicht wieder entnommen

(sondern "sie ruhe in Frieden"; und schon gar nicht füllt man sie nach einer Entnahme wieder ein);

2. Als Bild geeigneter ist allemal schon eine , da die Wahlzettel am Wahlabend daraus nur entnommen, nicht aber (teilweise) wieder zurück gelegt werden

(beispielsweise alle CDU-Stimmen zurückzulegen, bis die CDU aber auch garantiert die absolute Mehrheit hat, wäre ja - pfui Spinne! - Wahlfälsch
ung).

In diesem Sinne ist schon mal festzuhalten:

eine ist kein (ist nicht vergleichbar mit einem) ,

da beim Würfel alle Zahlen immer wieder auftauchen, bei einer Wahlurne die Wahlscheine aber nicht zurückgelegt (und somit mehrfach gezählt) werden.

3. Mir fällt - abgesehen vom Wahlbetrug - aber keine Urne ein, bei der ab und zu auch mal zurück gelegt wird, bzw. da lässt man doch besser alles von Anfang an drin wie bei .

Diese Möglichkeit wird auch spaßig in gezeigt

(überhaupt einem - schon allein wegen   - der besten Asterix-Bände!):

Urnen sind also - im Gegensatz zum Würfel - zweideutig, da man

1. einerseits     Dinge entnehmen und nicht wieder zurücklegen kann ("ohne zurücklegen"),
2. andererseits Dinge entnehmen und doch wieder zurücklegen kann ("mit zurücklegen")

Da es aber beim Würfel kein Verschwinden ("zurücklegen") gibt, ist er nur mit Urnen "ohne zurücklegen", also Fall a., vergleichbar.

Die überschrift

ein ist eine ...

ist also nur halb wahr und muss noch vervollständigt werden:

Am besten wäre es also vielleicht, die beiden Modelle strikt zu trennen, so dass

•        das Würfelbild nur  für " mit   zurücklegen" stünde
• und das Urnenbild  nur  für "ohne zurücklegen".

Aber mir fällt keine Urne und auch kein anderer (einfacher) Gegenstand ein, der bzw. dem immer nur etwas entnommen, in die bzw. den aber nie etwas zurück gelegt wird.

Kommt hinzu, dass es ja eimerförmige Geräte (Urnen) gibt,

• denen manchmal nur Dinge entnommen werden,
• in die manchmal aber auch Dinge zurück gelegt werden,

nämlich z.B.

• ein Farbeimer, der
• später aber als Garteneimer benutzt wird.

Noch in einer anderen Hinsicht ist die Urne dem Würfel überlegen: letzterer hat nur sechs Ergebnismöglichkeiten, eine Urne (etwa mit Kugeln) aber beliebig viele.

Allerdings gibt es auch "Würfel" mit anderen Seitenzahlen (und auch anderen Nummerierungen) als 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6):

Aber zurück zu einem Würfel, dem wir - wie oben angedroht - derart einen "Nicht-zurücklegen-Mechanismus" verpassen wollen, dass eine einmal gewürfelte Zahl nie wieder auftaucht.

Man mag sich natürlich fragen, was das "soll", aber mir scheint, indem man zeigt, wie umständlich
und "widernatürlich" das ist, wird erst besonders gut klar, was den Würfel "ausmacht".

Um einem Würfel das "ohne zurücklegen" zu verpassen, gibt es zwei Methoden:

1. Eine Seite (z.B. die 6), die einmal gefallen ist, zählt ab sofort nicht mehr bzw. wird abgeklebt:

Wenn diese (abgeklebte) Seite nun nochmals fällt, zählt das nicht, sondern wird weitergewürfelt, bis eine andere, noch nicht abgeklebte Seite (z.B. die 5) fällt.

So kann man dann sukzessive alle Seite abkleben, sobald die entsprechende Zahl fällt, und es bleiben nacheinander 5, 4, 3, 2, 1, 0 Seiten über.

Der doppelte Nachteil:

• man muss andauernd Seiten abkleben,
• je mehr Seiten abgeklebt sind, desto länger muss man evtl. würfeln, bis überhaupt wieder eine noch nicht abgeklebte Seite fällt.

2. Man verwendet nacheinander andere Würfel mit immer weniger Seiten:

• mit 6 Seiten,
• , also eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, die somit nur noch 5 Seiten hat

(... wobei die Dreiecksseiten dieselbe Flächengröße haben sollten wie das Grundquadrat, und nicht mal dann bin ich mir sicher, ob die Pyramide wirklich laplace-verteilt ist),

• , also einen Tetraeder, d.h. eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die nur noch 4 Seiten hat;
• z.B. ("'Archetyp" für ein dreiseitiges Prisma), bei dem die Kopfseiten am besten sogar noch abgerundet sind, damit das Prisma nicht auf diesen landen kann und nur noch 3 Seiten "gewürfelt" werden können,
• , also eine Münze, die sozusagen ein 2seitiger Würfel ist,
•   , also eine Kugel, die sozusagen ein 1seitiger Würfel ist.

Der Nachteil ist allerdings nicht nur, dass man immer neue "Würfel" zur Hand nehmen muss, sondern auch, dass man diese neuen "Würfel" auch andauernd (je nach Spielverlauf) anders beschriften muss. Wenn z.B. bei die 6 (bzw. 5) gefallen ist, dürfen auf nur noch die Seiten 1, 2, 3, 4, 5 (bzw. 1, 2, 3, 4, 6) auftauchen.

2. Man orientiert sich an Kreisel-"Würfeln" der Form   , oder , die ja mit beliebig vielen Seiten herstellbar sind.

Auch hier bestehen allerdings wieder die Nachteile, dass man

• immer neue "Würfel" zur Hand nehmen und
• diese neuen "Würfel" andauernd (je nach Spielverlauf) anders beschriften muss.

Bei a. stellt sich die interessante Frage, welche "gleichseitigen" "Würfel" denn überhaupt möglich sind. Und das sind eben genau die "platonischen Körper", also

Tetraeder	Hexaeder (Würfel)		Oktaeder
Dodekaeder		Ikosaeder

(Animationen von Rüdiger Appel)